O wyznaczaniu miary przez funkcję figury elementarnejW pracy niniejszej podaję pewien dowód następującego twierdzenia:

(1)

O w yznaczaniu m iary przez funkcję figury elem entarnej W pracy niniejszej podaję pewien dowód następującego twierdzenia:

Tw ie r d z e n ie T. Niech Ф będzie nieujemną funkcją addytywną figury elementarnej w k-wymiarowej przestrzeni euklidesowej c1Rk. Istnieje taka miara borelowska /л, że dla dowolnego przedziału domkniętego P 0

C92*

(a) ^(P0) = kres dolny liczb

Ф{Р

),

gdzie P jest dowolnym przedziałem domkniętym zawierającym wewnątrz Po

(tj. P 0Cmt(P)).

Przypominamy, że

figurą elementarną

nazywamy każdy zbiór, który jest sumą skończonej liczby ft-wymiarowych przedziałów domkniętych, oraz zbiór pusty.

Funkcja addytywna Ф

figury elementarnej jest to funkcja **przyporządkowująca każdej figurze elementarnej P C 92* liczbę rzeczy**

wistą skończoną Ф(Р), tak że

(b)

Ф( Р1

+

P%) — Ф{Р\)

+ Ф(Рг) ?

jeśli figury P 1? P 2 nie zachodzą na siebie, tj. jeśli nie mają wspólnych punktów wewnętrznych:

m t { B 1M2) — 0.

Miara borelowska /л

ł) jest to funkcja rzeczywista przyporządkowująca każdemu zbiorowi borelowskiemu

В

**c92* liczbę rzeczywistą nieujemną**

/л(В)^.оо,

tak że

p{B\

+

B2

+ ...) =

p { B x)

+

(л(В

2) -f- ...

dla każdego ciągu

Bn

**C92* rozłącznych zbiorów borelowskich.**

Twierdzenie T jest jednym z podstawowych twierdzeń teorii miary w przestrzeniach euklidesowych. Warunek (a) nie może być na ogół zastąpiony przez równość

/л(Р0) = Ф ( Р 0).

Drobna komplikacja, jaka tu występuje, związana jest z tym, że brzeg przedziału domkniętego może mieć miarę

p

dodatnią. Zjawisko to powoduje również pewne niezbyt przyjemne komplikacje (konieczność omijania tzw.

hiperplaszczyzn nie

ciągłości* 2)

przy szczegółowym przeprowadzeniu dowodu twierdzenia T

b S. Saks, Theory of the integral, Warszawa 1937, str. 64.

2) H. Cramer, Mathematical Method of Statistic, Princeton 1946, str. 79.

(2)

286 R. S i k o r s k i

przez bezpośrednie stosowanie metody miary zewnętrznej Carathóodo- ry’ego. Inna często stosowana metoda dowodu, oparta na rozważaniu przedziałów jednostronnie otwartych zamiast przedziałów domkniętych, wprowadza nieistotny moment asymetrii; stosuje się ją. zresztą zwykle do funkcji

Ф

jednostronnie ciągłych. Dowód podany w tej pracy jest wolny od tych wad.

Dla uniknięcia nieporozumień terminologicznych przypominamy podstawowe pojęcia ogólnej teorii miary.

Niepusta klasa & podzbiorów mnogości

X

jest

ciałem zbiorów

, jeśli

A-\-Be$%

oraz

A —B e Ш

dla dowolnych

A , Be

&3). Jeśli ponadto mamy

A x-\~.

d2 + ...e& dla dowolnego ciągu zbiorów

A n e

&, to & nazywa się

przeliczalnie addytywnym ciałem zbiorów.

Najmniejsze przeliczalnie addytywne ciało zbiorów zawierające dane ciało zbiorów & będziemy oznaczali symbolem

Niech

v

będzie nieujemną funkcją rzeczywistą określoną na pewnym ciele zbiorów &, tj. funkcją przyporządkowującą każdemu zbiorowi J.e$? liczbę rzeczywistą

y{ A) , 0 ^ y ( A ) ^ o o .

Powiadamy, że

v

jest

addy- tywną funkcją zbioru

, jeśli

v( Ax

-j-

A 2)

=

v( Ax)

-f-

r ( A2)

dla dowolnych rozłącznych zbiorów

A 1,A 2e$%.

Powiadamy, że

v

jest

przeliczalnie addytywną funkcją zbioru4'),

jeśli warunek

A x

-)-

A 2-f- ...

implikuje

v ( A x + A 2 -j- . . . ) — v { Ai ) -f- v( A 2) + . . .

dla każdego ciągu przeliczalnego zbiorów rozłącznych

Każdą nieujemną przeliczalnie addytywną funkcję zbioru określoną na przeliczalnie addytywnym ciele zbiorów nazywamy

miarą.

Miara borelowska jest to więc dowolna miara określona na prze

liczalnie addytywnym ciele zbiorów borelowskich.

Dowód twierdzenia T opiera się na następującym twierdzeniu z ogólnej teorii miary:

Tw ie r d z e n ie

**(*)•**

Każdą nieujemną przeliczalnie addytywną funkcją zbioru v określoną na ciele zbiorów

&

można przedłużyć do miary v' na ciele

(

tzn. istnieje taka miara v' na najmniejszym przeliczalnie addytywnym ciele

5?'

zawierającym

&,

że v' ( A) =v { A) dla А е Щ.

3) Częstokroć w definicji ciała zbiorów dodaje się jeszcze założenie, że (w tym przypadku ciałó $ definiuje się zwykle jako taką niepustą klasę zbiorów, że А-\-ВеЩ, i X — i e f i dla dowolnych А, ВеШ) . Dla naszych rozważań wygodniej jednak będzie przyjąć powyższą ogólniejszą definicję.

4) P. R. H aim os, Measure Theory, New York 1950, str. 54.

(3)

Idea dowodu twierdzenia T jest następująca (przyjmujemy dla pro

stoty

Tc—

1): Każdy punkt prostej 92 rozszczepiamy na 2 punkty. Otrzy

**mujemy w ten sposób przestrzeń 92*, którą w naturalny sposób można stopologizować. Funkcja addytywna przedziału**

Ф

wyznacza wówczas pewną funkcję addytywną zbioru

v

określoną na ciele podzbiorów otwar

**tych zwartych przestrzeni 92*. Ze względu na zwartość funkcja**

v

jest przeliczalnie addytywną funkcją zbioru, rozszerza się więc do pewnej miary

v'.

**Zlepiając z powrotem punkty przestrzeni 92* otrzymujemy miarę borelowską o żądanej własności5).**

Przystępujemy do dokładnego dowodu twierdzenia T w przypadku ogólnym 1.

**Mech 92 oznacza zbiór liczb rzeczywistych i niech 92* oznacza zbiór wszystkich par uporządkowanych (ж, —1), (ж, + 1), gdzie же92. Jeśli**

I = ( a , b }

C92 jest jednowymiarowym przedziałem domkniętym, niech **ZC92 oznacza zbiór złożony z par**

(a,

1),

{а,—

1) oraz (ж,—1) i (ж,1), gdzie

a < x < b .

**Zbiór 92* powstaje więc ze zbioru 92 przez rozszczepienie każdego** punktu же92 na dwa: lewą część (ж,—1) i prawą część (ж,+1). Do Z*

zalicza się wszystkie punkty powstałe przez rozszczepienie punktów wewnętrznych przedziału Z oraz prawą część lewego końca i lewą część prawego końca.

Łatwo zauważyć, że

(1)

Dwa 'przedziały

Zn Z2 C92

nie zachodzą na siebie

(

tzn

.

mają co najwyżej jeden punkt wspólny) wtedy i tylko wtedy

,

gdy —

0. Mech / oznacza funkcję przyporządkowującą każdej parze

z =

= (ж,±1) liczbę жеР. Oczywiście

(2) **/(Z*)=Z oraz**

Г 1{1) = 1 * + { а - 1 ) + { Ъ , 1 ) ф Г

dla dowolnego przedziału domkniętego

I = ( a , b }

C92. Stąd (3)

Dla dowolnych jednowymiarowych przedziałów domkniętych

OO

ZojZjjZa,...,

jeśli I 0 = n i n i

ZoCintZ^

dla n =

1, 2, . . . ,

to П —

1

OO

r ' ( i ° )

= / 7 £ . n~l

**Mech X będzie produktem kartezjańskim Ze egzemplarzy zbioru 92*, tzn. zbiorem ciągów**

(zu . . . , z k),

gdzie

z1, . . . , z k

**e92*. Jeśli P jest jfc-wymia-**

6) Powyższy dowód istnienia miary v' można w łatwy sposób uogólnić uzy

skując następujące twierdzenie: Niech Й będzie klasą wszystkich podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej X , które są równocześnie otwarte i zwarte. Klasa jest ciałem zbiorów. Każdą nieujemną funkcję addytywną zbioru określoną na В można przedłużyć do pewnej miary na

(4)

288 R. S i k o r s k i

rowym przedziałem domkniętym, to

P —I l x . . . x l k,

gdzie

I 1, . . . , I k

są, j edno wy miaro wy mi przedziałami domkniętymi. Oznaczmy

p* = I*xI*2x . . . x I $ .

Z (1) wynika, że

(4)

Dwa przedziały domknięte

P UP2C92*

nie zachodzą na siebie wtedy i tylko wtedy

,

gdy

**PP = 0.**

Odwzorowanie

g

(%,...,

zk)

= (/

{z

x / (%)) przestrzeni

X

**na 92* ma tę własność (por. (2)), że**

(5)

g ( P * ) = P

oraz

P*Cg~1( P)

**dla dowolnego przedziału domkniętego P C 92*.**

Dokładniej (por. (3)):

00 (6)

Jeśli

P 0,P 1,P 2,...C92*

są przedziałami domkniętymi oraz

P 0=

[ ]

P n>

n = l

P 0Cint(PJ dZa

n =

1, 2, . . . , to

g - ' i P o ) ^ [ ] P*.

n = 1

Jeśli

B = P X

**+ ... + P m C92* jest figurą elementarną (Px,... ,Pm — prze**

działy domknięte), to niech

**P * = P ? + . . . + P * .**

Zbiór

Ii*

nie zależy od sposobu przedstawienia figury elementarnej

В

jako sumy przedziałów domkniętych. Z (4) otrzymujemy bezpośrednio, że:

(7)

Dwie figury elementarne

P U P2C92*

nie zachodzą na siebie wtedy i tylko wtedy

,

gdy

**P*P2 = 0.**

№ech Й będzie klasą wszystkich zbiorów

B*

(włączając zbiór pusty), **gdzie P C 92* jest figurą elementarną. Klasa $ jest ciałem zbiorów, gdyż**

B*

+

Et

=

(B,

+ P 2)* i

B* - B*2

=

{B1 - B t ) \ .

Ponadto

(8)

Jeśli A

= J-i +

A 2

+ ... ей, ^.пей (w= 1, 2, . . . ), to

istnieje takie m, że A

=

A x

+ ... -j-

A

m.

Istotnie, niech #n= J ,1-j-...+ J .n, w= 1 , 2 , . . .

Przypuśćmy, że dla każdego

n

istnieje punkt

vneA —8 n.

Z ciągu 1^} można wyjąć taki podciąg

un—vVni

że

^

n ((^m

5el)

i

• • • > (^Ли

(5)

gdzie liczby ei = ± l nie zależą, od

n

oraz ciąg

[xiv\

jest albo stały, albo rosnący, albo malejący ( г Me c h

Mech

oraz

yi — lima?™,

dla i = 1, . . . , Tc.

n—>00

jeśli ciąg {

xin)n

jest stały, jeśK ciąg

[xin}n

jest malejący, jeśli ciąg {

xin\n

jest rosnący

^o=((2/i ?

Z podanych warunków wynika, że jeśli

I

jest jednowymiarowym przedziałem domkniętym oraz (

х1п1е{)е1*

dla nieskończenie wielu

n

, to (■

уг,% )е1

. W rezultacie, jeśli \ e P (gdzie P jest fc-wymiarowym prze

działem domkniętym) dla nieskończenie wielu

n,

to

uQeP.

Meco ogólniej, jeśli

K e

& i

une K

dla nieskończenie wielu

n,

to

щ еК .

Istotnie wtedy J

l

**=P? + ... + P*, więc przy pewnym jest**

uneP*

dla nieskończenie wielu

n,

co daje

щ еР * С К .

Ponieważ

une A —SPm

dla

n ^ m ,

więc

u0e A —SPm

dla dowolnego

m.

Stąd

0 0 OO

Uq€ A ~ A ^ A-n

,

m = 1 n = l

wbrew założeniu, że

A

jest sumą zbiorów

A n.

Dowód własności (8) został zakończony.

Mech teraz

у(В *)=Ф (В )

dla figur elementarnych PC92fc.

Z (b) oraz z (7) wynika, że

v

jest nieujemną funkcją addytywną zbioru określoną na ciele Stąd oraz z (8) wynika, że

v

jest przeliczalnie addy

tywną funkcją zbioru. Istotnie, jeśli

A — А г

-f-

A 2

-f-...

e

5?,

gdzie

A ne®

jest ciągiem zbiorów rozłącznych, to na mocy (8)

A

— -di + • •. +

^{A m}

,

a więc, wobec rozłączności zbiorów

A n,

jest

A n = 0

dla

n > m .

Stąd

v(A n) =

O dla

n > m

oraz (ze względu na addytywnośó

v

)

m m oo

v(A) = v ( ] ? A n) = £ v ( A n)

=

£ v{An).

74=1 74=1 74=1

**Z twierdzenia (*) wynika, że funkcję**

v

można przedłużyć do miary

v

określonej na najmniejszym przeliczalnie addytywnym ciele

Й'

zawie

rającym &.

Roczniki P. T. М-Prace Matematyczne I 19

(6)

290 В . S i k o r s k i

Z (6) wynika, że

q 1(P)e®'

dla dowolnego przedziału domkniętego **P C92*. W konsekwencji**

(P) e dla dowolnego zbioru borelowskiego

В

С92л,

gdyż klasa zbiorów P spełniających warunek </_1(P)e&' jest przeliczalnie addytywnym ciałem zbiorów zawierającym wszystkie przedziały dom

knięte, a ciało zbiorów^ borelowskich jest najmniejszym przeliczalnie addytywnym ciałem zawierającym wszystkie przedziały domknięte.

Niech

p(B ) = v(g~l (B))

dla każdego zbioru borelowskiego

В

C92fc. Funkcja zbioru

д

jest miarą borelowską.

Niech P 0C92fc będzie przedziałem domkniętym i niech {Pn} będzie ciągiem takich przedziałów domkniętych, że

CO

P 0C in t(P J dla

n =

1 , 2 , . . . ,

P 0 = f ] P nJ

lim

Ф(Рп) =

inf Ф(Р).

n=1 n —>00 -Po C int(-P)

Ponieważ Ф jest funkcją niemalejącą, możemy założyć, że ciąg {P^j jest zstępujący. Z (6) wynika, że

OO

= » ' ( П К ) = =

n — 1 w —>oo

**= lim V (P) = hm Ф(Р) = inf Ф(Р),**

n—>oo w—>oo P 0 C int(P)

co kończy dowód twierdzenia T.

I N S T Y T U T M A T E M A T Y C Z N Y P O L S K I E J A K A D E M I I N A U K

P. Си к о р с к и й (Варшава)

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ МЕРЫ ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИГУРЫ

Р Е З Ю М Е

В работе дано простое доказательство следующей известной теоремы:

Для каждой неотрицательной аддитивной функции Ф элементарной фигуры в h-мерном евклидовом пространстве 92* существует борелева мера р, такая, что для произвольного замкнутого интервала Р0с92*

р (Р 0) = inf Ф(Р),

где Р — произвольный замкнутый интервал содержащий Рд внутри (т. e.P Q Cint(P)).

(7)

R. Si k o r s k i (Warszawa)

ON THE DETERMINATION OF MEASURE BY A FUNCTION OF AN ELEMENTARY FIGURE

S U M M A R Y

The paper contains a simple proof of the following known theorem:

For each non-negative additive function Ф of an elementary figure in the Tc-dimen• sional Euclidean space 92* there exists a Bor el measure p such that, for each closed in  terval P„C 92*,

^(Р„)= inf Ф(Р),

where P is an arbitrary closed interval such that P 0cint(P).

19*

O wyznaczaniu miary przez funkcję figury elementarnejW pracy niniejszej podaję pewien dowód następującego twierdzenia: