Uwagi o twierdzeniu redukcyjnym Brouwera

BOCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VII (1962)

A.

(Wrocław)

Uwagi o twierdzeniu redukcyjnym Brouwera

Niech będzie dana rodzina F podzbiorów przestrzeni X . Zbiór A nazywa się nieprzywiedlny w rodzinie F% jeśli A należy do F i żaden pod­

zbiór właściwy zbioru A nie należy do F (p. [2], str. 26).

W dowodach twierdzeń topologicznych naturalnym narzędziem wy­

dają się niekiedy liczby porządkowe, a metodą — indukcja pozaskoń- czona. Dowody takie są jednak wtedy na ogół żmudne i skomplikowane.

Twierdzeniem, którego zastosowanie zazwyczaj eliminuje w tych wypad­

kach kłopotliwą metodę indukcji pozaskończonej, jest następujące tzw.

twierdzenie redukcyjne Brouwera:

Tw ie r d z e n ie

1 (Brouwer). Jeżeli F jest rodziną podzbiorów dom­

kniętych przestrzeni topologicznej X z bazą przeliczalną oraz

(*) część wspólna dowolnego ciągu zstępującego F t D F ZD ... zbiorów Fi należących do F {i = 1 , 2 , . . . ) jest zbiorem należącym do F,

to w każdym zbiorze z rodziny F istnieje podzbiór, który jest nieprzywiedlny w rodzinie F (p. [2J, str. 27).

Jak się okaże, twierdzenie to można nieznacznie wzmocnić i korzysta­

jąc z niego w nowej postaci, uzyskać prosty dowód pewnego twierdzenia Eilenberga.

Zachodzi mianowicie

Tw ie r d z e n ie

2. Warunek (*) w twierdzeniu

może być zastąpiony przez warunek

(**) część wspólna dowolnego ciągu zstępującego F 1 D F ZD . . . zbiorów Ft należących do F (i — 1 , 2 , . . . ) z a wi e r a zbiór należący do F.

D o w ó d twierdzenia 1 z warunkiem (**) zamiast (*) nie różni się istotnie od dowodu twierdzenia 1. Tak więc np. w pochodzącym od Ma­

zurkiewicza krótkim dowodzie twierdzenia Brouwera, który Kuratowski podaje w swej monografii (p. [2], str. 27), wystarczy równość (2) prze­

kształcić w inkluzję, zmieniając = na C.

Znane następujące twierdzenie Moore’a pokazuje, że wśród conti­

nuów (tj. przestrzeni metrycznych zwartych i spójnych) luki stanowią

pod pewnym względem przypadek graniczny:

108

Tw ie r d z e n ie

3 (Moore). W każdym continuum zawierającym więcej niż jeden punkt istnieją co najmniej dwa punkty, które go nie rozcinają (p. [2], str. 118).

Dla luku tymi punktami są końce. Daleko idącym uogólnieniem twier­

dzenia Moore’a jest następujące twierdzenie Eilenberga:

Tw ie r d z e n ie

4 (Eilenberg). Jeżeli X = \ J C t ,

t

gdzie t przebiega pewien zbiór wskaźników, jest rozkładem continuum X na (co najmniej dwa) zbiory spójne Ct , to istnieją wskaźniki tx Ф t2 takie, że obydwa zbiory

UG, u ct

t^tx

są spójne (p. [1], str. 298, oraz [2], str. 125).

Dowód. Mech

Ą = U Cu, ифЬ

a zatem X = Ct ^ B t , skąd X —I)t C C t dla każdego t. Jeżeli и Ф t, to Cu C B t, a ponieważ zbiór Cu jest spójny, więc leży w jednej składo­

wej Etu zbioru B t . Z tego samego powodu każda składowa zbioru B t jest sumą pewnych zbiorów Cu, gdzie u Фt , czyli jest postaci Etu. W dal­

szym ciągu, pisząc Etu będziemy opuszczać założenie, że u Ф t.

(I) Jeżeli Etu Ф Etv, to Etu C Evt.

Rzeczywiście, ponieważ Etu jest składową zbioru B t, więc Etu —

—EtuC X —B t CCt CE vt. Ale z założenia w (I) wynika, że zbiór Bt nie jest spójny, a jego składowa Etu nie przecina zbioru Gv, skąd Etu C Bv.

Wobec tego, że przestrzeń X jest continuum, mamy B t Ф X i stąd EtVtr J X —Bt Ф 0 (p. [2], str. 112). Zbiór spójny Etu nie jest więc roz­

graniczony ze zbiorem X —B t C C t , czyli leży w tej samej składowej zbioru Bv, co zbiór spójny Ct . Mamy przeto również inkluzję Etu C Evt.

(II) Jeżeli Etu Ф Eiv i EVIV Ф Evu, to Evw CZ Eiv.

Z (I) wynika bowiem, że Cu C Etu C Evt. A ponieważ Gu C Evu C С X Evw, więc Evw Ф Ev^. Stąd Evw CZ Eiv na mocy (I).

Twierdzenie 4 będzie dowiedzione, gdy wykażemy, że dla każdego wskaźnika t0 istnieje wskaźnik t Ф t0 taki, że zbiór B t, jest spójny. Wbrew temu przypuśćmy, że istnieje t0 takie, że żaden zbiór B t nie jest spójny dla t Ф t0, a więc ma co najmniej dwie składowe.

Oznaczmy przez F rodzinę złożoną ze wszystkich zbiorów Etu, gdzie t Ф t0, spełniających nierówność ЕЫФ Ещ. Ponieważ istnieje wskaźnik t Ф t0 i składowa zbioru B t , różna od składowej EUq, więc F jest niepustą

A. L e l e k

Uwagi o twierdzeniu, redukcyjnym Brouwera 109

rodziną podzbiorów domkniętych przestrzeni X. Udowodnimy, że spełnia ona warunek (**).

Niech zatem EtiU} D $t2u2 Z) ... będzie ciągiem elementów rodziny F.

Więc %

t0 oraz Et.u.

Etit0 dla i = 1, 2, ... Wobec zwartości przestrzeni X istnieje punkt p należący do wszystkich zbiorów Ё^н . Mech p e Ct . Odrzucając powtarzające się wyrazy ciągu możemy od razu przyjąć, że wszystkie zbiory Et.u., a co za tym idzie, również zbiory Et.Ui, są różne.

Ponieważ domknięcia zbiorów Et.u. tworzą ciąg zstępujący, żadne dwa z tych zbiorów nie są rozgraniczone. Stąd wynika, że wszystkie wskaźniki ti są różne (i = 1 , 2 , . . . ) , a więc istnieje liczba Tc taka, że t Ф tit czyli Ct^-Et.t dla i > Tc. Ponieważ jednak p e Ct r\ Et u , więc składowe EUu. X Ъ Ъ 4 fr i Et.t nie są rozgraniczone. Przeto Et.u. = Et.t, a zatem Ещ Ф Ej.t dla i >Tc. Stąd też t

t0, czyli istnieje składowa Etu Ф Eu . Więc Ełue F.

Stosując (II) otrzymujemy Etu C Et.t — Et.u. dla i > Tc, skąd

oo

Etu E (П Ецщ C P) EłiU . = P) Ёцщ

i> k i> k г = 1

i w ten sposób własność (**) rodziny F została wykazana.

Z twierdzenia 2 wynika zatem, że istnieje zbiór Etu nieprzywiedłny w rodzinie F. Stąd t

t0 i EU

Ф Ełu. A więc и Ф t0, czyli istnieje skła­

dowa Euv Ф Eu(o. Stąd Euv C Etu na mocy (II), oraz v

tor czyli istnieje składowa Е„юф Evto. Zatem Evwe F i Evw C Euv na mocy (II). Dostajemy E^w Etu, a także Evw CI Eu, skąd О

X Ev C CJU Evw CI Etu Evw^ co przeczy nieprzywiedlności zbioru Etu.

Prace cytowane

[1] S. E ile n b e rg , Sur les decompositions des continus en ensembles connexes, Fundamenta Mathematicae 22 (1934), str. 297-302.

[2] C. K u ra to w sk i, Topologie I I , Warszawa 1961.

А. Лелек (Вроцлав)

ЗАМЕЧАНИЯ О РЕДУКЦИОННОЙ ТЕОРЕМЕ БРАУЭРА РЕЗЮМЕ

Некоторая модификация редукционной теоремы Брауэра ведет к более короткому доказательству одной теоремы Эйленберга, обобщающей хорошо известную теорему Мура о том, что всякий невырожденный континуум содержит по крайней мере две точки, которые его не разбивают.

п о A. L e l e k

A. Le l e k (Wrocław)

REMARKS ON BROUWER REDUCTION THEOREM

S U M M A R Y

A modification of Brouwer Reduction Theorem leads to a shorter proof of a theorem of Eilenberg generalizing the well known theorem of Moore that any non-degenerate continuum contains at least two non-cutting points.