Algebra 2 dla MSEM , 2019/2020 ćwiczenia 7. – z dystansu – rozwiązania
17 marca 2020
1. Udowodnij, że jeśli w grupie G, dla każdego g ∈ G, g2 =1, to ta grupa jest abelowa. Co więcej, jeśli ta grupa jest skończona, to ∣G∣ = 2m.
Zatem dla każdego a ∈ G, a−1=g. W takim razie dla każdych g, h ∈ G, hg = h−1g−1= (gh)−1=gh.
Skoro grupa jest skończona, niech {g1, . . . , gn} ⊆G będzie minimalnym zbiorem jej generatorów. Wtedy każdy podzbiór tego zbioru definiuje jednoznacznie element tej grupy, będący iloczynem elementów tego zbioru (skoro grupa jest abelowa oraz gg = 1). Zatem ∣G∣ = 2n.
2. Udowodnij, że Zn×Zk jest grupą cykliczną wtedy i tylko wtedy gdy n, k są względnie pierwsze. Ponadto wykaż, że w takim przypadku Zn×Zk=Znk.
Będziemy w tym zadaniu stosować notację +, 0, −a. Zauważmy, że l ⋅ (1, 1) = (0, 0) wtedy i tylko wtedy, gdy n∣l oraz k∣l. Jeśli są one względnie pierwsze, to to oznacza, że nk∣l, czyli o((1, 1)) = nk = ∣Zn×Zk∣, zatem ta grupa jest cykliczna i izomorficzna z Znk (izomorfizm to jedyny homomorfizm przyporządkowujący (1, 1) ↦ 1).
3. Udowodnij Twierdzenie Cayleya, które mówi, że każda grupa jest izomorficzna G z pewną podgrupą grupy bijekcji G → G (oznaczaną ΣG).
Zauważ, że ψg∶G → G ψg(x) = gx jest właśnie bijekcją, a Ψ∶ G → ΣG zadane jako Ψ(g) = ψg jest mono- morfizmem. Zatem jest izomorfizmem pomiędzy G a imΨ ≤ ΣG.
4. Udowodnij, że grupa Q+ nie jest cykliczna, a wręcz, że nie ma żadnego skończonego zbioru generatorów.
Załóżmy przeciwnie, że dla pewnej liczby naturalnej k ∈ N zbiór {l1/m1, . . . , lk/mk}generuje Q+. W takim razie każdy element Q+można przedstawić jako
n1l1/m1+. . . + nklk/mk,
a więc w postaci s/(m1⋅. . .⋅mk). A wiemy, że to niemożliwe, np. nie da się tak przedstawić 1/(2⋅m1⋅. . .⋅mk).
5. Przedstaw permutację
( 1 2 3 4 5 6 7 1 5 7 4 6 2 3 ) jako iloczyn rozłącznych cykli.
( 1 2 3 4 5 6 7
1 5 7 4 6 2 3 ) = (1)(2, 5, 6)(3, 7)(4) = (2, 5, 6)(3, 7).
6. Znaleźć rzędy wszystkich elementów grupy Z12.
Stosujemy notację z + i 0. Wtedy Z12= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Oraz o(0) = 1, o(1) = o(5) = o(7) = o(11) = 12, o(2) = o(10) = 6, o(3) = o(9) = 4, o(4) = o(8) = 3, o(6) = 2.
7. Udowodnij, że jeśli ϕ∶ G → H jest homomorfizmem, to ker ϕ ⊴ G.
Rzeczywiście, jeśli h ∈ ker ϕ, to ϕ(ghg−1) = (ϕ(g))(ϕ(h))(ϕ(g))−1= (ϕ(g)) ⋅ 1 ⋅ (ϕ(g))−1=1, więc również ghg−1∈ker ϕ.
1
8. Niech A ⊆ G, gdzie G jest grupą. Centralizatorem zbioru A nazywamy Z(A) = {g ∈ G∶ ∀a∈Aag = ga}.
Udowodnij, że Z(A) ≤ G.
Rzeczywiście, 1 ∈ Z(A). Jeśli g, h ∈ Z(A) oraz a ∈ A, to gha = gah = agh, więc gh ∈ Z(A). W końcu, jeśli g ∈ Z(A) oraz a ∈ A, to g−1a = g−1agg−1=g−1gag−1=ag−1, zatem g−1∈Z(A).
9. Udowodnij, że jedynymi podgrupami grupy G o rzędzie pierwszym są 1 oraz G.
Z Twierdzenia Lagrange’a wynika, że rząd każdej podgrupy jest dzielnikiem rzędu całej grupy (o ile cała grupa jest skończonego rzędu).
10. Udowodnij, że jeśli permutacja σ jest złożeniem cykli rozłącznych o długości n1, . . . , nk, to o(σ) = nww(n1, . . . , nk).
Niech l = nww(n1, . . . , nk). Oczywiście σl=id. Z drugiej strony, jeśli σmjest identycznością, to korzystając z rozłączności cyklów, m-ta potęga każdego cyklu musi być jedynką, więc ni∣m. Zatem l jest najmniejszą taką liczbą.
11. Niech σ = (6, 13) ○ (7, 8) ○ (2, 3, 11, 4, 12, 9) ○ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ∈ Σ13. a) Zapisz σ−1 jako iloczyn rozłącznych cykli.
σ =
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 11 12 13
3 11 12 5 6 7 8 2 1 10 4 9 13
3 11 12 5 6 8 7 2 1 10 4 9 13
3 11 12 5 13 8 7 2 1 10 4 9 6
⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
= (1, 3, 12, 9)(2, 11, 4, 5, 13, 6, 8)(7)(10).
Zatem σ−1= (1, 9, 12, 3)(2, 8, 6, 13, 5, 4, 11)(7)(10).
b) Udowodnij, że σ jest permutacją nieparzystą.
Owszem każdy cykl długości k jest złożeniem k − 1 transpozycji. Zatem σ jest złożeniem 3 + 6 = 9 transpozycji.
c) Zbadaj, czy w Σ13 istnieje permutacja parzysta o takim samym rzędzie, co σ.
Zauważmy, że o(σ) = nww(4, 7) = 28. Zauważmy, że permutacja (1, 9, 12, 3)(2, 8, 6, 13, 5, 4, 11)(7, 10) ma ten sam rząd, a oczywiście różni się parzystością, więc jest parzysta.
12. Znaleźć monomorfizm φ∶ Σn→GL(n, K).
Możemy taką permutację rozważyć, jako permutację bazy standardowej przestrzeni Kn, a więc przekształ- cenie liniowe, którego macierz składa się z jedynek i zer, ale ma dokładnie jedną jedynkę w każdym wierszu i kolumnie. Zatem φ(σ) = M (σ)stst jest szukanym monomorfizmem.
13. Wykaż, że dla każdego n ∈ N, grupa permutacji parzystych An⊴Σn oraz Σn/An≃Z2.
Niech σ ∈ Σn. Możemy taką permutację rozważyć, jako permutację bazy standardowej przestrzeni Kn, a więc przekształcenie liniowe, którego macierz składa się z jedynek i zer, ale ma dokładnie jedną jedynkę w każdym wierszu i kolumnie. Zauważamy, że transpozycja ma wyznacznik −1, a zatem skoro złożenie przekształceń to mnożenie macierzy, permutacja jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik to 1, a permutacje nieparzyste mają wyznacznik −1. Zatem det∶ Σn→ {−1, 1} to homomorfizm, gdzie {−1, 1}
to grupa z mnożeniem izomorficzna z Z2. Zatem Anto jądro homomorfizmu, więc jest podgrupą normalną.
Oczywiście ma tylko dwie warstwy, działania na których zgadzają się z dodawaniem reszt z dzielenia przez 2 i w takim razie Σn/An≃Z2.
14. Niech H ⊴ G. Pokazać, że dla każdych x, y ∈ G, jeśli xy ∈ H, to yx ∈ H. Podać przykład takich H, G, że H ≤ G, ale ta własność nie zachodzi.
Skoro H ⊴ G oraz xy ∈ H, to x−1(xy)x ∈ H, ale x−1(xy)x = yx.
Rozważmy H = {id, (1, 2)} ≤ Σ3. Zauważmy, że (1, 3) ○ (1, 2, 3) = (1, 2), ale (1, 2, 3) ○ (1, 3) = (2, 3) ∉ H.
2
15. Udowodnij, że jeśli G jest grupą cykliczną:
(a) jeśli H ≤ G, to H jest grupą cykliczną.
Niech G = ⟨g⟩ oraz niech k = min{k ∈ N ∖ {0}∶ gk ∈H}. Oczywiście ⟨gk⟩ ≤H. Jeśli za to gm∈H oraz m = ks + r, r < k to gm= (gk)s⋅gr, zatem gr∈H i r = 0. Czyli H = ⟨gk⟩.
(b) jeśli dodatkowo ∣G∣ < ∞, to dla każdej liczby l∣∣G∣ istnieje dokładnie jedna podgrupa H ≤ G taka, że
∣H∣ = l.
Ponieważ każda podgrupa G jest cykliczna, wystarczy rozpatrzeć grupy postaci ⟨gk⟩k = 1, . . . , ∣G∣.
Niech i = ∣G∣/l. Wtedy H = {1, gi, . . . , g(l−1)i} jest grupą rzędu l. Co więcej, jeśli dla pewnego k, ⟨gk⟩ jest rzędu l, to (gk)l =1, zatem ∣G∣∣kl. Zatem ∣G∣ = akl, czyli k = ai, czyli ⟨gk⟩ ≤ H, a zatem jest równe H.
3
