Algebra dla MSEM 1, 2019/2020 ćwiczenia 2. – rozwiązania

Algebra dla MSEM 1, 2019/2020 ćwiczenia 2. – rozwiązania

8 października 2019

1. Niech A₂= {n ∈ N∶ ∃k∈Nn = 2k} oraz A₃= {n ∈ N∶ 3∣n}. Wyznacz A2∩A₃. 2. Znajdź sumę i przecięcie dla każdej z następującej rodzin zbiorów:

a) A = {{∅}, {∅, {∅}}}

⋃ A = {∅, {∅}}, ⋂ A = {∅}.

b) B = {∅, N, {ⁿ⁺¹2 ∶n ∈ N}}

⋃ B = {ⁿ₂∶n ∈ N} = {0,¹2, 1, . . .}, ⋂ B = ∅.

3. Udowodnij, że dla każdego zbioru B, B = ⋃ P(B)

Niech b ∈ B, wtedy b ∈ {b} ∈ P(B), a zatem b ∈ ⋃ P(B), czyli B ⊆ ⋃ P(B).

Jeśli natomiast x ∈ ⋃ P(B), to istnieje A ∈ P(B), a więc A ⊆ B, takie że x ∈ A. Zatem x ∈ B. Czyli

⋃ P (B) ⊆ B. ◻

4. Niech A = {{∅}, {N, ∅}, {{7}, R, ∅}}. Wyznaczyć ⋃ A oraz ⋃ ⋃ A i ⋂ ⋃ A.

⋃ A = {∅,N, {7}, R}.

⋃ ⋃ A =R.

⋂ ⋃ A = ∅.

5. Relację r, r^′⊆A²nazywamy przeciwzwrotną, jeśli ∀a∈A⟨a, a⟩ ∉ r. Czy jeśli r, r^′⊆A² są przeciwzwrotne, to r ∩ r^′oraz r ∪ r^′też?

Tak, załóżmy r, r^′ są przeciwzwrotne oraz załóżmy nie wprost, że dla pewnego a, ⟨a, a⟩ ∈ r ∪ r^′. Wtedy

⟨a, a⟩ ∈ r lub ⟨a, a⟩ ∈ r^′, co przeczy przeciwzwrotności r lub r^′. Podobnie jeśli ⟨a, a⟩ ∈ r ∩ r^′, to ⟨a, a⟩ ∈ r, co przeczy przewcizwrotności r.

6. Udowodnić, że jeśli r ⊆ r^′oraz s ⊆ s^′, to r ⋅ s ⊆ s^′○r^′.

Niech ⟨a, b⟩ ∈ r ⋅ s, zatem istnieje c takie, że ⟨a, c⟩ ∈ r oraz ⟨c, b⟩ ∈ s, zatem ⟨a, c⟩ ∈ r^′oraz ⟨c, b⟩ ∈ s^′. Czyli

⟨a, b⟩ ∈ r^′⋅s^′=s^′○r^′. ◻

7. Określ dziedzinę lewostronną i prawostronną oraz pole relacji:

a) r = {⟨n, 2n⟩ ∶ n ∈ N}

Dziedzina lewostronna N, prawostronna: zbiór liczb naturalnych parzystych, zatem pole relacji to N.

b) s⁻¹, gdzie s = {⟨x, x²⟩ ∶x ∈ [−2, 1]}

Dziedzina lewostronna s to [−2, 1], a prawostronna to [0, 4], zatem dziedziny s⁻¹ odwrotnie – lewo- stronna to [0, 4], a prawostronna to [−2, 1]. W takim razie pole tej relacji to [−2, 4].

8. Dla następujących zbiorów: o ile są podzbiorami płaszczyzny, naszkicuj je w układzie współrzędnych.

Sprawdź, czy jest funkcją, a jeśli tak, określ dziedzinę i przeciwdziedzinę. Jeśli nie, podaj przykład dwóch par o tych samych poprzednikach i różnych następnikach, należących do tego zbioru.

a) {⟨x, y⟩ ∈ R²∶x²=y²},

1

Nie jest to funkcja – pary ⟨1, −1⟩ , ⟨1, 1⟩ stanowią kontrprzykład.

b) {⟨x, y⟩ ∈ R²∶x = 2^y},

To funkcja, po prostu y = log₂x. Df= (0, +∞), Rf =R.

c) {⟨X, Y ⟩ ∈ (P(N))²∶X ∪ Y = N}.

To nie jest funkcja, bo ⟨0, N⟩ oraz ⟨0, N ∖ {0}⟩ są elementami tego zbioru.

9. Sprawdzić, czy dana funkcja jest różnowartościowa i czy jest „na”. Jeśli nie jest różnowartościowa, podaj przykład dwóch argumentów, które przyjmują te same wartości. Jeśli nie jest „na”, to znajdź Rf. a) f ∶ R → R, f (x) = 2^x,

Jest różnowartościowa, bo jeśli 2^x=2^x′, to x = log₂2^x′=x^′. Nie jest „na”, R_f= (0, +∞).

b) f ∶ P(N) ∖ {∅} → N, f (X) = min X.

Nie jest różnowartościowa, bo np. f ({0}) = 0 = f ({0, 1}). Jest na bowiem dla każdego n ∈ N, f ({n}) = n.

2