Algebra 2 dla MSEM , 2019/2020 ćwiczenia 28. – z dystansu
5 czerwca 2020
1. Zbadać, czy forma kwadratowa jest dodatnio lub ujemnie określona:
a) q∶ R2→R, q((x1, x2)) = −x21+4x1x2−5x22, b) q∶ R3→R, q((x, y, z)) = x2+2y2+2z2+2xy +
2xz.
2. Dla poniższej formy kwadratowej, podać jej po- stać diagonalną:
a) q∶ R3→R, q((x, y, z)) = xy − xz + yz.
b) q∶ R4→R, q((a, b, c, d)) = 2a2+b2+2c2−d2+ 4ab + 8cd.
3. Stosując wartości własne zbadać, czy forma kwa- dratowa q∶ R2→R, q((x, y)) = x2+9y2+6xy jest dodatnio lub ujemnie określona lub półokreślona.
4. Wykaż, że każdy zbiór algebraiczny w przestrzeni afinicznej nad R jest hiperpowierzchnią.
5. Niech
X = {(x, y, z) ∈ R3∶x3+2x2z − 4yz5−7 = 0}.
Znajdź równanie opisujące tę hiperpowierzchnię w układzie bazowym
(2, 1, 3); (1, 1, 0), (0, 3, 1), (0, 1, 0).
6. Dla poniższych funkcji wielomianowej na H, dim H = n, znaleźć układ bazowy, w którym funk- cji tej odpowiada wielomian postaci
a1x21+. . . + arx2r+c, r = r(f ), a1, . . . , ar≠0, lub
a1x21+. . . + arx2r+xn, r = r(f ) < n, a1, . . . , ar≠0,
a) f ∶ R2→R, f ((x, y)) = x2+3y2+2xy −4x+y +5, b) f ∶ R3→R, f ((x, y, z)) = −4z2+xy + 2y − 6z + 1.
7. Określić typ afiniczny następujących krzywych w R2.
a) {(x, y) ∈ R2∶x2+5y2+2xy + x − y = 0}, b) {(x, y) ∈ R2∶4x2+25y2+20xy + 10y + 3 = 0}.
8. Określ typ afiniczny krzywej będącej przecięciem hiperpowierzchni
{(x, y, z) ∈ R3∶
5x2+9y2+12xy − 4xz − 6yz + 4x + 6y − 2z + 2 = 0}
oraz płaszczyzny opisanej równaniem 2x + 3y − z = −1.
9. Określić typ afiniczny następujących powierzchni w R3.
a) {(x, y, z) ∈ R3∶x2−2z2+2xy − 2yz − 2z = 0}, b) {(x, y, z) ∈ R3∶ −x2+y2−3z2+4xz + 2yz + x +
2y + 3z + 4 = 0},
c) {(x, y, z) ∈ R3∶2x2+4xy + 2xz − 4yz + 1 = 0}.
10. Dla jakich wartości parametru t ∈ R hiperpo- wierzchnie
X = {(x, y, z) ∈ R3∶
5x2+3y2+6xy + 4xz + 4x + 4z + 8 = 0}
oraz
Y = {(x, y, z) ∈ R3∶ −x2+y2+ (t + 2)z2−4y + 2 = 0}
są tego samego typu afinicznego?
11. Ile jest typów afinicznych właściwych hiperpo- wierzchni stopnia 2 w Rn.
1
