Rozwi¡zanie zadania 13. z konwersatorium

Rozwi¡zanie zadania 13. z konwersatorium

Aleksandra Spyra 14 pa¹dziernika 2011

Cel: Zsumowanie szeregu P^∞_n=0d(xⁿ), gdzie d(y) oznacza odlegªo±¢ liczby rzeczywistej y od najbli»szej liczby caªkowitej oraz x =¹⁺₂^√5.

Zauwa»my, »e zachodzi równo±¢ x²= x + 1. Wobec tego mo»emy udowodni¢

nast¦puj¡cy

Lemat: Dla dowolnego n ∈ N zachodzi xⁿ= F_nx + c, gdzie Fn oznacza n-t¡ liczb¦ Fibonacciego, a c ∈ Z.

Dowód:

Dla n = 1:

x¹= 1 ∗ x = F1x + 0 = F1x + c1. Dla n = 2:

x²= x + 1 = F2x + 1 = F2x + c2.

Zaªó»my, »e twierdzenie zachodzi dla wszystkich k ≤ n, gdzie n ≥ 2. Wówczas xⁿ⁺¹= x²xⁿ⁻¹= (x+1)xⁿ⁻¹= xⁿ+xⁿ⁻¹= Fnx+cn+Fn−1x+cn−1= Fn+1x+cn+1.

Z powy»szego lematu wynika, »e P^∞n=0d(xⁿ) =P∞

n=0d(F_nx).

Zajmiemy si¦ teraz wyrazami szeregu dla n ≥ 2 i skorzystamy z tego, »e

1−√ 5 2

 1+√ 5 2



= −1.Mamy

xFn= 1 +√ 5 2

! 1

√5

1 +√ 5 2

!n

− 1 −√ 5 2

!n!!

=

 1

√ 5







1 +√ 5 2

!ⁿ⁺¹

− 1 −√ 5 2

!ⁿ⁺¹

+

 1

√ 5







1 −√ 5 2

!ⁿ⁺¹

+ 1 −√ 5 2

!ⁿ⁻¹



1

Ze wzoru Bineta wynika, »e:

 1

√ 5







1 +√ 5 2

!ⁿ⁺¹

− 1 −√ 5 2

!ⁿ⁺¹

= Fn+1,

wi¦c jest liczb¡ caªkowit¡ oraz dla n ≥ 2

R_n=      

 1

√5







1 −√ 5 2

!ⁿ⁺¹

+ 1 −√ 5 2

!ⁿ⁻¹

      

=      

 1

√ 5







1 −√ 5 2

!ⁿ⁻¹

5 −√ 5 2

!

      

=

√5 − 1 2

!ⁿ

< 1 2.

Wobec tego wyrazy szeregu, pocz¡wszy od n = 2, tworz¡ ci¡g geometryczny i suma szeregu wynosi

∞

X

n=0

d(xⁿ) = R0+ R1+

∞

X

n=2

√5 − 1 2

!n

= 0 + 3 −√ 5

2 +3 −√ 5

2 ∗ 1

1 −

√5−1 2

= 3 −√ 5 2 + 1.

2