ZESZYTY NAUKOWE
SEKCJA MATEMATYKI
C Z E R W I E C 1959
NR 2
3EK. MAT.
KATOWICE
W Y D A W N I C T W O „ P R A C E N A U K O W E W S P " L K A T O W I C E 1960
ZESZYTY NAUKOW E
S EKCJ A M A T E M A T Y K I W S P
N R 2
ZESZYTY NAUKOWE
SEKCJA M ATEM ATYKI
C Z E R W I E C 1959
N R 2
W Y D A W N I C T W O „ P R A C E N A U K O W E W S P “ K A T O W I C E 1960
W Y D A N O Z Z A S IŁ K U
P R E Z Y D IU M W O J E W Ó D Z K IE J R A D Y N A R O D O W E J W K A T O W I C A C H
W ydaw ca
W Y Ż S Z A S Z K O Ł A P E D A G O G IC Z N A W K A T O W IC A C H u lica S zk oln a 9
S E K C JA M A T E M A T Y K I
R ed a k to r N a cz e ln y TA D E U S Z J. D O B R O W O L S K I
R ed a k to r N a u k o w y S T E F A N S E D LA K
S ekreta rz R e d a k cji J O A N N A W ID U C H
R ed a k to r T ech n iczn y J A N F R Ą C K O W IA K
W S Z E L K IE P R A W A Z A S T R Z E Ż O N E
W Y Ż S Z A S Z K O Ł A P E D A G O G IC Z N A — K A T O W IC E 1960 •
W y d . I. N a k ła d 400 e g z .+ 3 0 e g z. n ad b itek autorskich . A rk u s z y w y d a w n . 4,7 A rk . druk. 4,75. Form at B 5. P a p ie r druk. sat. 111/80. 7 0 X 100. O d d an o do skład an ia 25. 2. 1960. Druk u k oń czon o w sierpniu 1960. C e n a z ł. 15.—
K A T O W IC K IE Z A K Ł A D Y G R A F IC Z N E , Z A K Ł A D 3, K A T O W IC E u lic a W arsza w s k a 58 Zam . 359/60 — W -4
Str.
P io tr A n to sik
O P E W N Y M PR O B LE M IE M . Z Ł A M A Ł A ... 7
Tadeu sz D łotko
O Z A C H O W A N I U SIĘ C A Ł E K R Ó W N A N I A R Ó Ż N I C Z K O W E G O ...11 a (t) * u " + b (t) . u' + k 2 * u « = <> (t).
Jan Błaż
D O W Ó D T W IE R D Z E N IA J E L S Z Y N A O W A R U N K U K O N IE C Z N Y M I D O S T A T E C Z N Y M N IE O S C Y L A C Y J N O S C I R O Z W I Ą Z A Ń R Ó W N A N I A R Ó Ż N IC Z K O W E G O . . . . 19
C zesław K lu czn y
P E W IE N D O W Ó D T W IE R D Z E N IA J O R D A N A O P O S T A C I K A N O N IC Z N E J M A C IE R Z Y . 25
Z o fia Kareńska, M ie c zy s ła w K u ch arzew ski
U W A G I D O T Y C Z Ą C E S T O S O W A N I A E P S Y L O N O W E J D E Ę IN IC J I G R A N IC Y C IĄ G U W P R A K T Y C E S Z K O L N E J ... 37
A n to n i W akulj.cz
Z A R Y S N O W E J K O N S T R U K C J I K U R S U S T E R E O M E T R I I ... 49
K a zim ierz Zim a
T W IE R D Z E N IE O LIC ZB IE IN W E R S J I P E R M U T A C J I R O Z D ZIE LO N E J, O R A Z Z A S T O S O W A N IE T E G O T W IE R D Z E N IA D O D O W O D U T W IE R D Z E N IA L A P L A C E A ... 73
O P E W N Y M PROBLEMIE M. Z Ł A M A Ł A
W p ra cy M . Złam ała [I] zn ajd u je s ię prob lem : c z y w aru n ek
b y ły o s cy la c y jn e?
C ele m m o je g o artyku łu je s t w y k a za n ie, ż e w aru n ek (I) jest n ie
w y s ta r c z a ją c y do o s c y la c y jn o ś c i rozw ią za ń rów n an ia (2).
W y n ik a to z p rzyk ła d u skonstru ow anego' w op arciu o następu
ją c e tw ie rd ze n ie: I. Jeśli f (f) n a le ż y do k la s y fu n k cji d a ją cych s ię przed staw ić dla t 8 [f0, oo) w postaci
g d zie fu n k cja cp (ł) n a le ż y do k la s y -C1, dla, t s [tol oo), t o ro zw ią za nia rów n a n ia (2) są n ie o s c y la e y jn e .
W rozw a ża n ia ch b ę d ę k o rzy sta ł z n astępu jących d e fin ic ji i zna
n ych tw ie rd ze ń II i III.
U ż y w a ją c w a rtyk u le w y ra że n ia ,,ro zw ią za n ie rów n an ia" mam na m yśli ro zw ią za n ie ró żn e od z e r o w e g o rozw iązania.
O fu nk cji f (t) w s z ę d z ie p rzy jm u ję, że jes t ciągła w p rzed zia le rozpatryw an ym .
Definicja. R ozw ią za n ie rów n an ia (2) n a zyw am o s c y la c y jn y m w p rzed zia le [tol oo), je ż e li w ty m p rzed zia le ma n iesk o ń czen ie w ie le m iejs c zerow ych .
T w i e r d z e n i e II. Jeśli rów n a n ie (2) posiada p rzyn ajm n iej jed n o rozw ią za n ie o s c y la c y jn e w [fQ. ° ° ) , to k a żd e in n e je g o ro z w ią za n ie jest os cy la c y jn e. [2]
P o d od p ow ied n im rów n an iem R io d tieg o dla rów n an ia (2) będę rozum iał rów nanie
w ysta rcza na to, aby rozw ią za n ia rów nania
X " + f (/) X = 0 (2)
* (t\ = - it\ - <r»2 m
Z • + Z2 = - f (/) (4)
R ów n a n ie (4) o trzym am y stosując p o d sta w ien ie
x ; (o x (0
do rów nan ia (2).
Defi ni cj a. Przed łu ża ln ym rozw ią za n iem rów n an ia R ieca tieg o na
z y w a s ię ro zw ią za n ie ok reślon e dla t z przed ziału [fc, oo). [3]
T w i e r d z e n i e III. W a ru n k iem k o n ieczn y m i w y s ta rc z a ją cy m n ie o s c y la c y jn o ś c i rozw ią za ń rów n an ia (2) jes t istnienie prze- d łu ta ln eg o ro zw ią za n ia o d p o w ied n ieg o rów n an ia R ie ca tie g o . [3]
D o w ó d tw ie rd ze n ia I. D la fu n k cji f (t) postaci, (3) otrzym u ję r ó w nanie (2) w p o staci
X + [ — cp’ (f) - c?2 (/)] • X = 0 . . . . (5) R ó w n a n ie R io ca tie go od p o w ied n ie d la (5) jest
Z ’ + Z2 = 'f'{t) + f ( t ) i m a przed łu żaln e ro zw ią za n ie Z = cp (t) w [fG, oo).
N a p o d sta w ie tw ierd zeń II i III ro zw ią za n ia rów n an ia (5) są n ie o s c y la c y jn e .
D la kon stru k cji p rzy k ła d u ob ieram dw a c ią g i o w yra za ch do
datnich { h n} i {cfn) takie, że lim hn = oo.
ti —y c-c
ora z £ h'ln • d„ jes t szere gie m zbieżnym . n — 1
Q'„ — ozn aczają d łu gości p rz e d zia łó w A „ osi t, k tó ry ch środkami są p u n k ty naturalne tej osi.
N a stęp n ie ok reśla m fu n k cję <p (t) k la s y C ’ , sp ełn iającą następu
ją c e w arunki.
1° ?(/) = 0 dla t e |/0( oo) - £ n = 1 2" - h n 9(0 < 0 dla t e An
3° <P(n) = - h n
P rzyk ła d em fu nk cji sp e łn ia ją c e j p o w y ż s z e w aru nki jest funkcja.
? ( » ) =
— n • cos2 (f - n) • —j— dla 11 A„
d n
0 dla t £ [0 oo) — 2' A„
n = 1
W itym p rzy k ła d zie w y s ta r c z y w zią ć dn = - y p y gdziie a > L R ozp atrzm y rów n an ie
X + [ - ? ' ( ł ) - ? - ( ł ) ] X = 0 . . . . (6) g d zie cp (i) jest fu nkcją ok reślon ą ja k w y ż e j.
Z tw ie rd ze n ia I w yn ik a , że (6) posiada n ie o s c y la c y jn e r o z w ią zania.
R ó w n a n ie (6) posiada ro zw ią za n ie n ie o s c y la c y jn e , m im o że w a runek (1) jest spełn ion y,
m ian ow icie:
i t
lim sup f [— <p’ (s) — ' f (s)] ds = lim sup [ - 'f (t) — f rf2 (s) ds| = ^
| > oo o l- > c a o
po n iew aż w m yśl o k re śle n ia fu n k cji <p (f) m am y
T~" n —2~
j ? 2 (s) ds = ^ J ? 2 (s) ds . . . . (7)
„ = ,
N a p o d sta w ie o k reślen ia fu n k cji q> (f) oraz doboru 1
dn — n 2 + »
f" f w * < ^
* n
n - —
W o b e c tego m ajorantą dla (7) jes t szereg
/1 — 1
zbieżny.
P rzyk ła d rów n an ia (6) d o w o d zi nam, ż e w aru nek (1) jest n ie w y sta rc za ją cy dla oscylacyjn oiści rozw ią za ń rów n an ia (2).
W a r to zau w ażyć, iż je s t to w aru n ek w y s ta rc z a ją c y p rz y d o d a t
k o w y m założeniu, ogran iczon ości f (t) z dołu, [I]
W rozp a tryw a n ym p rzy k ła d zie w aru n ek ogran iczon ości f (t) z dołu n ie jest spełn ion y.
I I ] Zlam al M,, O soilatian criterions. Ć asopis pro p estow an i m atem atiku a fisiku ro e 75, ,1950 r.
[2] Sansone D., O b y k n o w ie n n y je d ife r e n c ja ln y je urawmienia tom I, II.
[3] S o b o l M ., O b u raw n ien iach R ik ka ti i p riw o d im y ch k nim lin ie jn y c h uraw- niieniach w lo r o g o p o ria d k a D .A .N . S.S.S.R. 65 N r 3 1949 r.
{4] S tiepa now W . W ., R ów n an ia Tóżn iczkow e.
O ddano do d ruku w październiku 1958 r.
O Z A C H O W A N IU SIĘ CAŁEK R Ó W N A N IA R Ó ŻN IC ZK O W E G O a (f) u“ + b (t) u ‘ + k2 ua = <1 (f)
Is tn ie je bardzo obszerna literatu ra, podająca różne w aru nki w y sta rcza ją ce na to, b y ca łk i rów n an ia ró ż n ic z k o w e g o u " + i (t) u' +
|- g (t) u = 0 b y ły ogran iczon e, z m ie rza ły cło zera itp. W p ra c y tej p o d a ję p e w ie n w aru n ek w y s ta rc z a ją c y na to, b y w szys tk ie ca łk i rów nan ia ró ż n ic z k o w e g o a ft) u " + b (t) u' + k 2 u“ = ( t) b y ły o g r a niczone, p r z y c z y n i sposób otrzym an ia te g o warunku jest bardzo prosty.
Z o trzy m a n eg o tw ierd zen ia w y c ią g a m p e w n e w n io sk i o za c h o w a niu s ię ca łek t e g o rów nania, g d y a (t) > 0 i b (/) ^ 0.
W szczeg ó ln o śc i p o d a ję w aru nek w y s ta r c z a ją c y n a to, b y w s z y s t
k ie ca łk i rów nania a (i) u " + u" + u = 0 z m ie rza ły do zera g d y t -> co, ja k ró w n ież w aru n ek k o n ie c z n y na to, a b y osta tn ie z rów n ań p o s ia dało całkę z asym ptotą p o ziom ą różną o d osi t.
T w i e r d z e n i e I. Dane jest rów n an ie ró ż n ic z k o w e rze c z y w is te
lic z b y c a łk o w ite p i q są w z g lę d n ie p ie rw s ze o> sum ie p a rzy stej i p rzy jm u jem y , że u“
P r z y tych założen ia ch k ażda ca łk a u (f) rów n an ia (1) sp ełn iająca w aru nek p o c z ą tk o w y u (fQ) = u0, u' (f0) = v D da s ię p rzed łu ży ć na c a ły p rzed zia ł [fOI oo).
N a tom ia st je ś li a (/) ^ 5 > 0 dla t e [tn, oo), to każda taka całka jest o gran iczon a w całym p rzed zia le [tol oo).
1 a (t) u” + b (t) u + k2 u“ = ó (t),
w którym a (i) e c 1; a (f) > 0 oraz a {ł) ■< 2 b (f);
b (t) s c°; b ( t ) > 0 dla t s [ t 0, c o );
ł ( i ) s c 0;
Dowód. Przypu śćm y, że fu n k cja u (f) ok reślon a i cią gła w ra z z p o ch odnym i u' (i) i u" (f) w p rzed zia le [f0, P), igdzię f0 ^ P < + oo, sp eł
n ia ró w n a n ie (1) (patrz n p .’ [3] rozdz. I. § 6).
iPo p o d sta w ien iu te g o rozw iązania, do (1) p o m n ó żm y j e obustron
n ie p rzez 2u' ( ł) patrz [1] tom II. rozdz. V II. § 4) i ca łk u jm y obu
stronnie w gran icach od t a do i, g d z ie f e [ f OF P).
O trzy m u je m y
P + 1
f a (t) 2 u u" d t + 2 J b (t) (u (t))2 d t = 2 / ł W u ^ jd t + c o n s t 'o
Z a sto su jem y do p ie r w s z e g o składnika stro n y le w e j ca łk o w a n ie p rz e z części, w ó w c za s otrzy m a m y
a (f) (u (t)Y + J(2 b (t) - d (t)) (u (t))5d t + - _ f - • u ' 1 =
<»
(1*) '
= 2 f 4* (T) u' (x) d t + const,
P
g d z ie C = a (to) - f q
U d ow od n im y, że w p rzed zia le [ł0, P) pochodna u ( t ) jest ogran i
czona. W ty m ce lu w p ro w a d źm y oznaczenia
A = in f a (t) ■ M = J | <J> (t) | d r ; Ać = ,
<,<«<p A i0 A
B ęd zie O < A < o o ; O s ^ M < + oo.
Z rów n an ia (1*) i założeń tw ie rd ze n ia w yn ik a , że w p rzed zia le [/<>, P),
a (ł) • (u (f))2 < 2J <J> (x) • u' (r) d t + C < 2 ( | <J> (t) | • | u' (r) |d t + ] C |.
*0 <0
Stąd n a m o c y p ie rw s z e g o tw ie rd ze n ia o średniej dla ca łk i otrzym u je m y
a (f) (u (f))2 < 2 [ u' (0) |•/ | (t) | d t - f | C |
<0
lub 1 u' (!) I2 M I u' (0 ) I + N , g d z ie f0 ^ 0 =¾ t. N ie c h b ę d z ie v (f) = sup I u' (r). |. P o n iew a ż fu n k cja u' (1) je s t Ciągła w p rzed zia le
<0 =¾ * =¾ '
[fOI P), w ię c fu nkcja v (t) jest ró w n ie ż ciągła, a p rzy tem o c z y w iś c ie niem al ej ąca.
W o b e c le g o
|u’ ( f < M v ( ( | + N
i (v (f))3 = |sup. [ u (t) |]2 = sup. | u (t) j2 sup. |M v (t) + N\ = M v (t) + N
t„ sg t ^ i <0 t I, ^ t ^ !
U stalm y t e [t0, (5). A lb o v ( t ) ^ 2 + M , albo v ( t ) > 2 + M i w te d y ( v(/)]2 > (2 + M ) v (/), sk ąd M v( t ) + N > (2 + M ) v (f) i v (t) < |
W o b e c teg o dla d o w o ln e g o t s [ł0, fi) b ę d z ie
| u' (t) j ' v (t) K = max. + 3 M ;
W ten sposób d o w ied liśm y , że pochodna u' ( t ) rozw ią za n ia u( t) jest w p rzed zia le [t0, fi) ogran iczon a. A l e stąd w y n ik a już, że o g ra niczon e są fu n k cje u (f) i u " (f) i w o b e c teg o ro zw ią za n ie u (t) ma
gran icę dla t d ą żą cego do (i z le w e j stro n y (patrz np. [6] str. 135 tw. 1). C ałkę u( t ) m ożn a w ię c p rzed łu ży ć na ja k iś p rzed zia ł szers zy [fol fV] g d zie (V > (1 (patrz np. [6] str. 135 tw. 2). O p ie ra ją c s ię ma tym , d o w o d zi się w zn an y sposób (patrz np. [6] str. 135 tw . 2), że całkę u( t) m ożna p rzed łu ży ć na ca ły p rzed zia ł [t„, oo).
Z a łó ż m y olbecnie, że aft) ^ § > 0, dla t e [t„, oo). W ó w c z a s I u' (f) I ^ K* dla t e [ta, o o ):
g d zie K k = max. (2 + JT J ^ ( t) J d t ; 1
W y k a ż e m y jeszcze, że w s z y s tk ie całki rów n an ia (1) są w tym p r z y padku ogra n iczon e w [f0, 00).
Skoro w y r a ż e n ie s to ją c e p o p ra w e j stron ie ró w n o śc i (1*) n ie przek racza 2 K* *Jj <J) [t )dt + |c| < 00, to n ie u je m n e w y r a ż e n ia sto ją ce
t 0
z le w e j stro n y (1*) są ogran iczon e g d y t e [fol 00).
W szczeg óln ości
2 ii2 2 k 1 — _i_ 1
^ P Y | / 'up + <? C| = const. = 2 K* • /1 (]> (t) | dt + a (f0) v l + uJ' c z y li
<7
I “ (*) I < * K ‘ * + a (fo)v o + u0ł ‘ ' ) ila t e [tol 00).
Uwaga I. J e ś lib y u (/) b y ła całką ró w n a n ia (1) określon ą w p r z e dzia le [t0, 00), o p o ch od n ej u‘ ( t) og ran iczon ej, to sam a całka u (f)
m u siałab y b y ć tak że ogran iczon a w p rz e d zia le [tot oo), g d y ż w te d y w y ra że n ie 2 • f j (<) | • ] u (t) clł je s t te ż o gran iczon e.
Uwaga II. T w i e r d z e n i e I. p rzes ta je b y ć p ra w d ziw e p o o d rzuceniu założen ia a' (/) kć 2 £>(/). W s p ó łc z y n n ik i rów n an ia t2 (1 + + In t) u " + tu + u = 0 sp ełn ia ją p o zo s ta łe założen ia tw ierd zen ia I., a całka te g o rów n an ia u (t) = ln ~ jest n ie o g ra n ic zo n a w p rze
d zia le [1; oo).
T w i e r d z e n i e II. D ane jes t rów n an ie ró żn ic zk o w e r z e c z y w iste
a{t) u " + b(t) u + k 2 u“ = 0, (2) w k tó ry m a{t) £ C 1; a(t) > 0;
b{t) t ,C°; b(t) kc 0, oraz a'(t) < 2 b (t);
dla t £ [ł0r ° ° ) Zakładam y, że k y t 0 i a = - - > 0, gd zie lic z b y ca ł
k o w ite p i q są w z g lę d n ie p ie rw s ze o sum ie p a rzy s te j i, p rzy jm u jem y , że u“ = y up .
P rz y p o w y ż s z y c h za łożen ia ch każd a całka u(t) rów n an ia (2), sp ełn iają ca w aru n ek p o c z ą tk o w y zi(fo) = u0; u'(to) = vq; da się przed łu ży ć na c a ły p rzed zia ł [t0, °° )- Ponadto w s z y s tk ie całki u (f) rów nan ia (2) są ogran iczon e w p rzed zia le [t0, oo).
Dowód. Przedłu żalność ca łek u(t) rów n an ia (2) w p rzed ziale [t„, oo), w y n ik a z tw ierd zen ia I., je ś li p r z y ją ć ^ (t) = 0 d la t s [t0, oo).
A ż e b y u d ow od n ić ogran iczon ość w szystkich c a łe k rów nan ia (2) w p rzed zia le [tor00), zastosu jm y do rów n an ia (2) te sam e op eracje co w d o w o d zie tw. I (do rów n an ia (1). W ó w c z a s o trzy m u je m y
(2*) a (t) (u (t))2 + / (2 b (t) - a' (t)) (u (x))2 d x + u'' + ‘ = const. = C,
g d zie C i = a(/0) Vq2 + u* + *•
Składniki w ys tę p u ją c e po stron ie le w e j rów n ości (2) są nieujem ne, więic k a żd y z nich jest ogran iczon y. G d y b y b o w ie m k tó ry ś ze sk ła d n ik ó w b y ł n ieogra n iczon y, to dla dostatecznie d u żego t o trzy m a li
byśm y sprzeczność z faktem , że strona le w a jes t stała n ieza leżn a od t.
T a k w ię c otrzy m u jem y
skąd
j (2 b ( t ) - a ( t ) ) ■ (u (O)2 d t < co oraz a (t) • (u ( t))3 < C, dla t e [f0,
Uwag i do Twierdzeni a II.
Uwaga I. G d y b y d!la t e [0 , oo ), g d z ie t1 ^ t0l zach od ziło a (?) ^
^ 8 > 0, to r ó w n ie ż I u' ft) | ^ const
Uwaga II. W sz c z e g ó ln y m przypadku , dla a — k = 1, rów n an ie p rzy b iera postać a(t) u " + b(t) u' + u = 0. Jeśli zachodzą za ło żenia tw ie rd ze n ia II, to c a łk i rów nan ia (2') są ogran iczone.
Uwaga III. P r z y jm ijm y w rów n an iu (2‘) w szczeg ó ln o śc i b (/) = 1 dla tz [f0, oo), w ó w c za s całki rów n an ia ró ż n ic z k o w e g o a (t) u " + + u' + u = 0 są ogran iczon e, je ś li ty lk o a(t) > 0 i a'(t) ^ 2, dla t 6 [ f OI O O ).
Uwaga I V . W sz c z e g ó ln y m przypadku g d y rów n an ie (2 ) jest postaci
dzenia II., w ię c całki rów n an ia (2 "‘) są og ra n iczon e dla t e [fc, oo).
R ó w n a n ie (2 '") jes t in teresu ją ce z teg o w zględ u , że je ś li w y konać tran sform ację v = u e ~ ‘ (patrz [2] rozdz. 6 § 20 oraz [4] str. 82), rów n an ie to p rze jd zie do postaci
P o n iew a ż c a łk i rów n an ia (2 " ‘) są ogran iczon e, a ca łk i ostatn iego
g d y t -> oo (patrz [5]).
Z e w zg lęd u na to, że iv(l)| K — const. dla t £ [tol oo), o trzy m u je m y
całka u( t ) rów nania (2"), jest n ie o sc y lu ją ca w tym przed zia le, d o i zach odzi 0 < aft) ^ — , g d y t £ [tol oo), spełniają się założen ia tw ier-
aft) u " + u' + u = 0.
rów nan ia w y r a ż a ją s ię w zo re m uft) = ' w ię c uft) zm ierza d o zera,
M O ! = ~ dla t e (/0, oo), gd zie K = \/a (f0) v 20 + u20
Ponadto, je ż e li w p rzed zia le [ t j , o o ), jes t 0 < a (0 ^ ^ to każda
k ład n iej, każda taka całka ma w p rz e d zia le [ f i , oo) co n a jw y ż e j jed n o m ie js c e z e r o w e (patrz [4] str. 77 lem at 4).
O statnie tw ie rd ze n ie d o w o d zi p ra w d ziw o ś c i h ip o te z y R. Bellm ana (patrz [2]), że całki ró w n a n ia (2"), zach ow u ją się pod ob n ie jak całki rów n an ia u' + u = 0, w p rzyp a d k u g d y fu n k cja dodatnia a (t) zm ierza do zera, g d y t -*■ oo.
T w ie rd ze n ie to, sta n ow i u o g ó ln ien ie tw ierd zen ia V podanego p rzez M . Złam ała w a rtyk u le [4] na stron ie 82.
Uwaga V. Z a ło żen ie tw ie rd ze n ia II. żąd ające b y k y t 0, jest istotne, g d y ż w sp ó łczy n n ik i ró w n a n ia t u " + u' = 0 sp ełn iają p o zo stałe z a ło że n ia te g o ż tw ie rd ze n ia np. w p rzed zia le [1, oo), a całka o sta tn iego ró w n a n ia u (1) = Irt t jest n ieog ra n iczon a w [1, oo)
Uwaga V I . W roku 1957 A . W im tner (A c rite rio n fo r hom ogene- ous lin e a r d iffe re n tia ł eąu ations witih dam ped Solutions; J. Math.
M ech. (6) 1957) otrzym ał następujące tw ie rd ze n ie d otyczą ce r ó w nania ró żn iczk o w eg o
u " + f ( t ) u' + g (1) u = 0. (3) Jeśli fu n k cje / (/) i g (t) są cią g łe w [t0, oo) i zachodzi 0 < c ^ i (t) =¾ C o ra z o < c ^ g (t) ^ C, to ca łk i rów n an ia (3) są 0 (exp ( — y t) p rz y f - > o o i y = const. > 0. T a k siln eg o w y n ik u nie m ożna u zysk ać dla rów n an ia ró ż n ic z k o w e g o a (t) u " + b (1) u' + u = 0, w k tó ry m a (/) i b (t) są dodatnie dla t e [f01 oo) i limsup. a (t) = oo), g d y ż np. rów nania
l j oo
l 2u " + 3tu + u = 0 posiada ca łk ę u(t) = - j d l a k tó r e j l i m | y * e T<j=
= oo p r z y y = const. > 0, c z y li dla c a łk i u[t) = j p oprzedn iego rów n an ia n ie zachodzi 0 ( e " Yt) p rz y t oo.
T w i e r d z e n i e III. R o zp atrzm y rów n an e ró ż n ic z k o w e a(ł) u” + u' + u = 0 w k itó ry m a(t) £ C 1, a (ł) > 0 oraz a' (1) > 0 dla t £ [fol oo).
W a ru n k iem k o n iec zn y m na to, b y (4) posia d a ło ca łk ę ui (t), taką, że lim ui (t) = Ci ■=/- 0, jest, b y w p rzed zia le [ł0, oo) zach odziło:
1° sup. a ( t ) > - y
l £ [J0 °o ) Z
2C sup. a ‘( f ) > 2
< = [<• )
Dowód. W e d łu g założenia fu nkcja a(t) k la s y C1 jest dodatnia i rosnąca i zachodzi
a) sup. a(t) -
bądź też b) sup. a(t) > ~ t = ['„ °°) 2
W p rzypadku a) — w oln o stosow a ć u w a g ę I V do p o p rzed n ieg o tw ierdzenia. O trzy m u jem y , że w s z y s tk ie całki u (f) rów nan ia (4) zm ierzają do zera.
W przypadku b) — istn ie je ty ^ to i takie, że a(t) > y dla t £ [t y, OC).
R o zw aża n ia w y s ta rc z y o g ra n ic zy ć do przedziału [ h , ° ° ). N a le ż y jes zc ze w yk aza ć, że g d y a\t) > y , oraz istn iej ej takie § > 0, że a'(t) sgi 2 — 8, to irównanlie (4) n ie posia da c a łk i z asympitotą p o ziom ą różną od osi t.
P rzyp u śćm y p rzeciw n ie, że dla a{t) > ~ i 0 < ' a '(t) ^ 2 — 8, 8 > 0 istn ie je tak a ca łk a Uy (t) rów n an ia (4).
Z g od n ie z u w agą II I d o p o p rze d n ie g o tw ie rd ze n ia całki ró w n a nia (4) są ogran iczon e. R ó w n a n ie (4) m ożna d o p row ad zić do postaci
„ , 1 , . 1
U + — rrr U + — ■ U = 0
a{t) a(t)
P o m n óżm y ostatnie rów n an ie p rzez u (t) i sca łk u jm y stronam i w gran icach od ty d o t, p r z y czym d w a p ie rw s ze składniki p rzez części. O trzy m u je m y
t t
f a ] r j W " d T + T / a2(x)‘ *u ^ d i = ~ u [t) • {u (t)) +
ty ty
t
+ j \ u ' W)2 d t - 2 (u (f))2 + const.
h
P o n iew a ż a(t) > y w ię c sp ełn ia s ię za ło że n ie w u w a d ze I. do p o p rze d n ie g o tw ierd zen ia , c z y li |u'(t)| 5¾ const. d la t e [ty, oo).
Z g a d n ie z przypu szczen iem 0 < a'(t) :¾ 2 — 8, g d zie 8 > 0;
skąd (por. d o w ó d T w ie rd ze n ia II) o trzy m u je m y
oo > f (2 — a' (r)) • (u' (r))2 d t ^ o . f u' (r))2 d t > 0,
t , >i
c z y li J (u (t))2 dt < cc.
u
O sza cu jm y le w ą stron ę rów n ości (5) d la u = Uy (t),
2 Z e s z y t y n a u k o w e — m a t e m a ty k a ___ l y
f 1 r a' ( T )
w ó w c za s J a (t) ~ r r u, d t + ~ r r v u: d t < , const., 1 J a (') 1 dla t g [/ ,,i 1100),
*1 '1
a p o n iew a ż fu n k cje p o d c a łk o w e są nieujem ne, w ię c np.
1,
W e d łu g założen ia lim u 1 (1) = c i ^ 0, w ię c dla f > f e jest (/) ^ i/o©
est (f) >- — e > 0, co d a je
c z y li I —r - r d fC 00.
J a (t)
t,
Jednakże fu n k cja a (f) rośn ie w o ln ie j n iż fu n k cja lin io w a (2 — 8) t, w ię c całka n ie w ła ś ciw a z od w rotn ości a (/) n ie m oże b y ć zbieżna.
D oszliśm y do sprzeczności, co d o w o d zi słuszności n aszego tw ie r dzenia.
L IT E R A T U R A
[1] Sansone G., Eąuazioni D iffe re n zia li N e l Cam po Reale. B ologn a 1948.
[2] B ellm an R., S ta b ility th e o ry o f d ifferen tia l eąuations. N e w Y o r k 1953.
ł3] C od d in gton A ., L e vin s o n N ., T h e o ry o f o rd in ary d ifferen tia l eąuations. N e w Y o r k 1955.
[4] Złam ał M ., O ber A sy m p to tisch e E igenschaften der Losungen der Linearen D ifferen tia lg łeich u n g Z w e ite r Ordnung. C zechoslovaik M ath. Journal 1 6 (81) 1956.
[5] O pial Z., Sur 1'allure asym ptdtiąu e des in teg ra les de l'equatdon d ifferen - tie lle u " + a(t)u ‘ + fa(t)u = O . Biiull. P. A . N . Cl. I II (5), 1957.
[6] K am ke E., D ifferen tialgleich u n gen R e e lle r F unktionen L e ip zig 1956.
Oddano do d ruku w pa źd ziern iku 1958 r.
DO W ÓD T W IE R D ZE N IA JE L S Z Y N A O W A R U N K U K O N IE C Z
N Y M I D O S T A T E C ZN Y M N IE O S C Y LA C Y J N O Ś C I R O Z W IĄ Z A Ń R Ó W N A N IA R Ó ŻN IC ZK O W E G O
Y " + P ( x ) y ‘ + g (x )y = 0
M . I. J els zy n p o d a ł w roku 1949 p e w ie n w aru n ek k o n ie c zn y i do
sta teczn y na 'to, b y całki rów nan ia ró żn iczk o w eg o
(1) Ł (y ) = y " + p (x )y " + g (x )y = o b y ły n ie o s c y lu ją c e *) w p rzed zia le (a, b) [1].
C elem n in ie jszej p ra c y jes t poda n ie dow od u bezp ośredn iego, op a rteg o na elem en tarn ych w łasnościach rozw ią za ń rów nan ia Rio- ca ti'eg o .
T w ie rd ze n ie J elszyn a brzmli następująco:
Zakładam y, że fu n k cje p (x ) i q (x ) są c ią g łe w p rzed zia le (a, b).
P rz y tym założen iu w szy s tk ie całki rów nan ia (1) są n ie o sc y lu ją ce w p rzed zia le (a, b) w te d y i ty lk o w te d y , g d y is tn ie je j fu nkcja © (x) ciągła w p rzed zia le (a, b) taka, że różnica © (x) — —j~j'eist r ó ż n ic z k o wał,na w p rzed zia le (a, to) oraz spełnia w tym p rzed zia le n ie ró w n o ść
(2) 0 _ ( ! _ ) ' + 02 + g _ P2 o
Zanim p rzy stą p im y do dow odu zau w ażm y, że n ierów n ość (2) jest ró w n o w a żn a n ie ró w n o ści
(3) ( 9 - A ) V ( e - | ) * + P ( « - A ) + , . o
D o w ó d kon ieczn ości warunku w y p o w ie d z ia n e g o w tw ierd zen iu Jelszyn a p o p rze d zim y n astęp u jącym lem atem :
L e m a t 1. J eżeli ro zw ią za n ia rów n a n ia (1) są n ie o sc y lu ją ce w p rz e d zia le (a, b ), to is tn ie je ro zw ią za n ie o d p o w ie d n ie g o ró w n a n ia R ic c a tfa g o :
(4) v ' + v2 + p (x ) v + g (x ) = 0, ok reślon e w całym p rzed zia le (a, b ) .
Do wó d : W y k a ż e m y w p ierw , że p rz y p r z y ję ty m założeniu ist
n ie je rozw ią za n ie rów n an ia (1) za ch ow u ją ce w p rzed zia le (a, b) Stały znak.
O b ie rzm y w tym celu w obszarze D: { a < x < b; 0 < y < + c o } punkt (x<), y o) i o zn a czm y p rz e z Z zb iór w s p ó łc z y n n ik ó w kieru n k o
w y c h w p u n k cie (x0 yo) w szystk ich c a łe k rów n an ia (1) p rzech od zą cy c h przez ten punkt. N ie c h oznacza zb ió r w sp ó łczy n n ik ó w k ie ru n k ow ych w pu nkcie (x, y Q) tych całek rów n an ia (1) k tó re p rzec h o dzą p rzez punkt (x 0, yo) i p rzec in a ją oś o d cięty ch w punktach x, takich, że xo < x <C b\ p o d ob n ie — n ie ch Z2 ozn a cza zb ió r w s p ó ł
czy n n ik ó w k ie ru n k o w y c h w punkcie (x 0, yo) c a łe k równania, (1) p rzech od zą cych p rzez punkt (x 0, y o ) i p rzec in a ją cy c h oś od ciętych w punktach, k tó ry c h o d c ię te sp ełn iają n ie ró w n o ść a <C x < xo- N ie trudno w yk aza ć, że z b io r y Z i i Z2 są nieproste, rozłączn e i otw a rte. P o n ie w a ż zb ió r Z n ie m oże b y ć sumą d w u z b io ró w nie- pustych, o tw a rty c h i rozłą czn ych , zatem is tn ie je punkt z e Z i taki, że 00 (zeZ t) ora z 00 (zf.Z^). O zn acza to, że istn ieje całka1 rów n an ia (1)
y' 00
dodatnia w p rzed zia le (a, b). W o b e c te g o v (x ) = jest fu nkcją ok reślon ą i cią głą w p rz e d zia le (a, b), zaś ła tw y m rachunkiem m ożna spraw dzić, że spełnia ona rów n an ie R io ca ti‘eg o (4).
T y m sam ym d o w ó d lem atu został za k oń czon y.
D o w ó d kon ieczn ości warunku za w a rteg o w tw ierd zen iu Jelszyna.
Z a łó żm y teraz, że ro zw ią za n ia rów n an ia (1) są n ie o s c y lu ją c e w p rzed zia le (a„ b). N a le ż y dow ieść, ż e istn ie je fu nkcja 0 (x) cią g ła dodatnia w p rzed zia le (a, b). W o b e c teg o v (x ) = je s t fu nkcją w p rzed zia le (a, b) i sp ełn ia n ieró w n o ść (3).
N a m o cy lem atu 1 (istnieje ro z w ią za n ie v (x) rów n an ia Ricca- ti'e g o (4), ok reślon e w całym p rzed zia le (a, b).
P rz y jm ijm y , że
0 (x) = v ( x ) + f
') R o zw ią za n ie ró w n an ia (1) n a zyw a m y n ie o scy lu ją c y m w p rzed zia le (a,b ), je ż e li posiada ono w tyim p rzed zia le co n a jw y ż ej ijedno m ie js c e zerow e.
Zatem j + + p + q = O w p rzed zia le (a, b), c z y li zachodzi n ie ró w n o ść (3), którą n a leżało w yk azać.
D o w ó d n a to, że w aru nek JeHszyna jest w y s ta rc za ją c y , p o p rze d zim y ró w n ie ż lem atem .
L e m a t 2. J e ż e li w sp ó łczy n n ik q (x) w rów nan iu (1) spełnia w p rzed zia le (a, ib) n ie ró w n o ść q (x) 0, to ro zw ią za n ia rów n a n ia (1) są n ie o se ylu ją ce w p rzed zia le (a, b).
T eza jest oc zy w ista w przypadku , g d y q (x) = 0 w p rzed zia le (a, b); ro zw ią za n ia rów n an ia
(5) y " + p (x ) y ‘ = 0
są b o w ie m — ja k ła tw o sp raw d zić p rostym rachunkiem — n ie o s c y
lu jące w k a żd ym p rzed zia le. z
Jd ( t ) d -
M nożąc rów nania ( 1) oraz (5) stronami przez e x° otrzym am y o d p ow i e dnilo r ó w n ani a
(1') j Jp (') d z | fp (t) d z
\er» y 7 + q (x) e x° y = 0 oraz
I fph)dz
\el0 y ' ] = 0 P rzy jm u ją c ozn aczen ia:
X X
I p (-) d z Jp (-) d z
e x° = k (x), q (x) e x° = h (x) zap iszem y rów n an ia (1') i (5‘) w postaci rów nań Sturma:
(1" ) (k y ')' + ń y = 0 oraz
(5” ) (k y ‘)' = 0, p r z y c z y m zachodzą w p rzed zia le (a,fo) n ieró w n o ści
(6) k (x ) > 0 oraz h (x ) :¾ 0.
D o w ó d lem atu p o p ro w a d zim y m etod ą sprow adzen ia do n ie d o rzeczności.
P rzyp u śćm y w ty m celu, że is tn ie je oscy lu ją ce w p rzed zia le (a, b) ro zw ią za n ie q> (x) rów nan ia (1) ii ozn a czm y p rzez x i, X2 d w a k o le jn e zera te g o ro zw ią za n ia [x i < x 2; x i, x2 e (a, b)j.
Bez s z k o d y dla og ó ln o ści m ożna p rzy ją ć, że <p (x) > 0 w p rze
d zia le (X i, X2).
N ie c h 'P (x) b ę d zie dodatnim w p rz e d zia le 1 x i, x 2l rozw ią za n iem rów nania (5). Z rów nań (1” ) oraz (5") w yn ika, że
(1" ') (k f j ' + h ę = 0 oraz
(5 "') (k -y r = o
M n ożą c p ie rw s ze z p o w y ż s z y c h rów nań p rzez 'P (x), zaś dru gie przez cp (x) i odejm u jąc stronam i, otrzym am y
(7) (k <?')' ó - (k f = - h f ó, p rzy czym zachodzi n ierów n ość
(8) - h (x) cp (x) ó (x) 0 w p rzed zia le txi, x2l.
Zatem
f[(k ę j ó - (k •'/)' o| d t >- 0.
P o n iew a ż zaś (k ę')' ó — (k ó')' ? = |k ( f ' <j> - f ó')|', oraz ę (x 3) = ę (x 2) = w ię c
(9) k (x 2) ' f (x 2) <!» (x 2) - k (x,) f (x,| ó (x,) > 0
Skoro cp(x2) = 0 oraz cp(x) > 0 w p rzed zia le ( x i , x 2), to ?‘ (x 2) < 0;
a n a lo gic zn ie w n iosk u jem y, że cp'(xi) > 0.
P o n iew a ż nadto k (x 2) > 0 i k (x i) > 0 oraz xl/(x 2) > 0 i xIf ( x i ) > 0, zatem k (x 2)? ' (x aj (x 2) — k ( x , ) f ' (x 1)ó |x,) < 0, co przeczy nierówności (9)' W o b e c teg o żadne rozw ią za n ie rów n an ia (1) n ie jest oscylu ją ce w p rzed zia le (a, b).
D o w ó d d o stateczn o ści warunku Jelszyna.
Zakładam y, ż e 'is tn ie je fu nkcja 0 (x) cią gła w p rzed zia le (a, b), taka, że różn ica 0 (x) — — j est różń iczk o w a ln a w tym p rzed zia le i s p e ł
nia n ieró w n o ści (3).
M a m y w yk azać, że rozw ią za n ia rów n ości (1) są n ie o s c y lu ją c e w p rzed zia le (a, b).
Zastosu jm y w ty m celu w rów n an iu (1) p o d sta w ien ie
y (x) = u (x) e x»
O trzy m a m y rów n an ie
(11) u- + 20 u ' + [ ( e - - 2 - ) ' + ( e - £ - ) 1 + p ( e - £ ; ) + <j o,
k tó reg o ro zw ią za n ia zeru ją s ię w ttych sam ych m iejscach, co odpo
w ied n ie ro zw ią za n ia rów n an ia (1).
Z założen ia (3) oraz lem atu 2 w y n ik a natychm iast, że rozw ią za n ia rów nania (11) a w ię c i rów n an ia (1) n ie m og ą b y ć o s c y lu ją c e w p rzed zia le (a, ib).
T y m sam ym z a k o ń czy liśm y d o w ó d tw ie rd ze n ia Jelszyna.
Przyjm u ją c, że w rów nan iu (1) jes t p (x ) = 0 o trzy m u je m y nastę
p u ją cy w n io se k z tw ie rd ze n ia Jelszyna:
W a ru n k iem k o n iec zn y m i d ostateczn ym na ;to, b y rozw ią za n ia rów nan ia
(12) y " + - g ( x ) y = 0
b y ły n ie o s c y lu ją c e w p rz e d zia le (a, b) jest, aiby istniała fu nkcja 0 (x), różn iczk ow a ln a w p rz e d zia le (a b) i sp ełn iają ca w tym p rze
dziale n ieró w n o ść
(13) 0 ' + 02 + g < O .
Z tw ie rd ze n ia Jelszy n a m ożna w y p ro w a d z ić s z e re g zn an ych k r y te r ió w n ie o s c y la c y jn o ś c i ro zw ią za ń rów nań ró żn iczk o w y ch (1)
/ 1'
w zg lę d n ie (12). I talk k łed ą c u (x) = e x» otrzym am y z r ó w nania (1)
L (u) e r° g = 0.
skąd w y n ik a k ryteriu m K o n d ra tiew a [2]:
W a ru n k iem k o n iec zn y m .i dostateczn ym na to, b y rozw iązan ia rów nan ia
L (y) = y “ + P (x) y ' + g (x) y = 0
b y ły n ie o s c y lu ją c e w p rzed zia le (a, b), jest, a b y Istniała dodatnia, dw u krotnie różn iczk ow a ln a fu n k cja u (x) sp ełn iająca w p rzed zia le (a, !b) n ierów n ość L (u) sśJ 0.
Podobnie, p rzy jm u ją c w n ie ró w n o ści (13) 0 (x) =: J^ otrzym am y tw ie rd ze n ie K n esera [3]:
J eżeli 0 < g (x) w p rzed zia le (a, b), to rozw iązan ia rów nan ia (12) są nieosicylujące w p rzed zia le (a, b).
K ładąc w n ieró w n o ści (13) 0 (x) = — y — o trzy m a m y tw ie rd ze n ie Pa w lu k a [4]:
W a ru n k iem k o n iec zn y m i dostatecznym na to, b y rozw iązan ia rów nan ia (12) b y ł y n ie o s c y lu ją c e w p rzed zia le (a, b) jest, aby istnia
ła fu n k cja cp (x) > 0, d w u k rotn ie różn iczk o w a ln a i taka, że
(y
W p ro w a d z a ją c ozn a czen ia
ln\ x = ln x, lri2 x = ln ln% x ... .. l nv x = ln lnp-\ x L 0 (x) = x, L i (x) = x/ni x , ...L p (x) = L p_, (x) l n p x i p rzy jm u ją c w n ieró w n o ści ( 1 3 ) ...0 (x) = ^ Ip
1/Lp (x) m o żem y otrzym ać tw ie rd z e n ie B ellm ana [5]:
J eżeli
1 , , 1___
^ X ^ 4x2 4 x2/n3x 4 x ~ l n - l n x 4 x2 l n 2 x . . . l n 2p x to rozw ią za n ia rów nan ia (12) są n ie o s c y lu ją c e w p rzed zia le (a, b).
L IT E R A T U R A
[1] Ea u i u h M . M . , M e T O fl 4>a3 m K jia c c n M e c K n n M e m u c p a B H e H n a , H o k ji. A r b a . H a y K C C C P , 68, N r 5, 1949.
[2| K o u d p a n e e B. A ., EjieMeHTapHbiii bm boa HeoóxoAHMoro u AOCTaTOHHoro ycjiOBna HeKO.neojieMOCTH pemeHMM jm iieiłu o ro An ctcirepennnajm oro ypaB - HeHMH BToporo n o p «A K a , y c n e x n MaTeM. HayK, T om X II, 3 (75), 1957.
[3] S tiepan ow W . W ., R ów n an ia różn iczk o w e, P W N , W a rszaw a, 1956.
[4j riaB jnoK M. A ., H e o 6xoAHMoe n AOCTaTOHHoe ycJioBne HeKOjreójieMOCTM p e - lueHMM jiHHeiiHoro AHcficbepeHm-iajibHoro ypaBHeHMH BToporo nopnAKa, H ayK . 3 an. K h ib c k . Y h - t , 1957, 16, N r 2 (patrz Pecjr. T K ypn a ji N r 9, 1948).
!5] Bellm an R., S ta b ility th eo ry o f d iffere n tia l eąuations, N e w Y ork, 1953.
Oddano do druku w październiku 1958 r.
PEW IEN D O W Ó D T W IE R D ZEN IA JO R D A N A O POSTACI K A N O N IC Z N E J M ACIERZY
W S T Ę P
N ie c h A ozn a cza m a cierz p rzek szta łcen ia B e jo w e g o P p rzestrze
ni eu k lid esow ej n -w y m ia r o w e j p r z y p e w n e j bazie. W e d le znanego tw ierd zen ia Jordana is tn ie je baza S, p r z y k tó re j m acierz przek ształ
cenia P ma postać k an on iczn ą U. K la s y c zn y d o w ód teg o tw ierd zen ia op iera s ię na (teorii p rzek szta łceń lin io w y ch . W p ra cy n in iejszej p odaję inny dow ód, o ty le bardziej elem entarny, że om ija teo rię przekształceń łin jo w y c h , a op iera s ię na p e w n y m tw ierd zen iu z ra chunku m acierzy, k tó re u zysk u ję w § 1. Z tw ierd zen ia te g o w yn ik a , że jeś li jest p,-krotn ym p ie rw ia stk iem ch ara k terystyczn ym m a
c ie r z y A, to is tn ie je lic z b a naturalna r,t r ; < ' p ;, taka że
r.
rząd A t > rząd A j > - ...> rząd A j = n — pf
gd zie A j = A — "A; I, I jest m acierzą jednostkow ą, a A\ j-tą p o tęgą m a c ie rzy Aj.
T w ie r d z e n ie (to p o zw a la ła tw o skonstru ow ać bazę S (§ 2). Z e sp o sobu k on stru k cji b a zy S w yn ik a , że liczb y Pij, g d zie P;j = rząd A j (k tóre o c z y w iś c ie m og ą b y ć w y zn a czon e e fe k ty w n ie ), ok reślają w zupełn ości postać m a c ie rz y U. O bjaśn ia to tabelka, zam ieszczo
na w § 3.
§ 1. P E W N E W Ł A S N O Ś C I M A C IE R Z Y
N ie c h A oznacza m acierz k w a d ra tow ą , stopnia n o elem entach cijj. B ęd ziem y u ż y w a li następ u jących oznaczeń:
a* = K , Qi„ . . . . , a ,J
P u L r ... i Wii / 2 1...1 i m
a,-,j„ a,-, j„,
Cl/. j „ ,
• a' .i n
■ a ',/„
a
L e m a t 1. J e ż e li rząd m a c ie r z y A jest r ó w n y m, 1 =sC m < n,
■a (ii, i 3 l ... im)i U i- /2, • . . . 1 jm) o zn a cza ją dw a ustalone p od cią gi ciągu (1,2, ... ,n) p r z y czy m w e k t o r y a '1, a ‘% . . , a >
są lin jo w o n ieza leżn e, to is tn ie je liczba y, Itaka że d la k a ż d e g o p o d ciągu ( k u k 2... k m) ciągu (1,2, ... n) jest
( U ) det A ^ ... = Y- d et A ^ ' ^ Dowód. P o n ie w a ż rz A = m, a w e k t o r y a'*, a 1’5, . ... , a ‘".
są lin jo w o n ie za leżn e, to k a żd y z w e k to r ó w a b (p = 1,2, ... , m), jest lin jo w ą k o m b in a cją w e k to r ó w a y (p = 1,2, . . . . , m ) .
N ie c h
(1,2) ab = c;,i a'1 + C/,2 a'- + + cpm a'™
O zn aczm y
c
c u, C ( 2, . . . . c ,1( Co,, . . . .
C.j/1, C ni 21 • • • • • 1 Cm m a 7 == 1,2, . . . . , n jest
/, / + c p2 a u t + . . . . . + c
a zatem dla d o w o ln e g o p o d cią gu ( ki , k 2, k m) ciągu (1.2, n) jest
A ... n = C A [ ^ ' f
\K1, K- J, ... , Km \ Kl, «2,
, L \ . k j
O zn acza ją c y = det C d k o rzy sta ją c z tw ie rd ze n ia Cauichy'ego o w yzn a czn ik u ilo c zy n u m a c ierzy o trzy m u jem y lem at.
L e m a t 2. J e ż e li rz A = m, 1 ^ m < n, a ( i i , i 2, , im), (ii, 72, ... , j m), ( ki , k 2, ... km) o zn a cza ją t r z y d o w o ln e p o d cią g i cią gu (1,2, ... n), to
• i m \
■ , k j
- < W A I ? ’ \ A i , k ... i " -d e t A l ' , 1' 2, , km I /1, /2, ... ... jn
Dowód. J eżeli/ w ek to ry a '1, a'% . . . . , a'™ są lin jo w o zależn e, to
det ^4 (l-1’ \ 7 l r / 2 , ... Jni J / 2...!m) = det ^ ^ ’ l\ l i 2 2 ... K-m ]’ k"! ) = °
i tw ie rd ze n ie jest p ra w d ziw e. Z a łó żm y w ięc, że w e k to r y te n ie są linjoW o zaileżne. S k o rzy s ta m y z lem atu 1. Zastępu jąc w ystęp u jącą w le m a c ie 1 lic z b ę y, k tó ra z a le ż y od c ią g ó w (i2, i2, ... , i m), (/1. /2... /m) przez Y/j o trzy m u je m y
a p o d sta w ia jąc w (1,3) (/1, y2, ... , /,„) na m iejs ce (k i k 2, . . . .
• • , * m)
(1,4) det A ( ' } ' h ... [ m ) - Y;; • det A ( * ' ! 2...
\71, / 2 , ... J m } \ J l , 7 2 , ...
Z (1,3) i 1,4) w y n ik a lem at 2.
L e m a t 3. J eżeli liczb a 0 jest p-krotn ym , ( p ^ l ) , p ierw ia stk iem ch a ra k tery styczn ym m a c ie rz y A , to
a) rz A k ^ n — p, (k = 1,2, ... ) b) je ż e li rz A ‘ > n — p, to rz A 2' < rz A ',
c) je ż e li rz A,+1 = rz A ', to rz A ,+k = rz A ', (k = 1 , 2 ,... )
Do wó d , ad a). J e ż e li M je s t d o w o ln ą m acierzą k w a d ra tow ą stop nia n, a Ay (/ = 1,2, ... n) ozn a cza sum ę m in o ró w głó w n y ch stopnia / m a c ie rz y M , to ja k w ia d om o
(1,5) det ( M - U ) = ( - X ) " + A1( - a ) '« - i + A2( - a)'!- 2 + + A „ _ , ( - X ) + A n.
P o n iew a ż lic z b a 0 jes t p-k rotn ym p ie rw ia stk iem ch ara k terystycz
nym m a c ie rz y A , ito jes t także p -k rotn ym p ierw ia stk iem ch ara k tery
sty czn y m m a c ie rz y A \ (k — 1,2, . . . . .), a zatem ze zw ią zk u (1,5) w y n ik a ż e suma m in o ró w g łó w n y c h stopnia n — p m a c ierzy A k nie rów n a s ię zeru, co .dow odzi punktu a).
ad b). O zn aczm y
A ' = B, A 2' = B2 = C oraz rz B = m.
