Kolokwium z matematyki nr 2

Kolokwium z matematyki nr 2 23.1.2019, WZ UW, gr. L

Proszę wybrać jedno z zadań 1 lub 1’.

Zadanie 1. Proszę uzasadnić, że przekątna w prostokącie o bokach 12 i 5 ma długość 13 nie powołując się na twierdzenie Pitagorasa. (Wskazówka: Proszę porównać pola kilku figur: trójkątów i kwadratów odpowiednio rozmieszczonych.)

Zadanie 1’. Sformułuj definicję funkcji logarytmu naturalnego ln x oraz uzasadnij, że 1

4 < ln 4 − ln 3 < 1 2(1

3+1 4) = 7

24.

Zadanie 2. Z każdego z rogów tekturowego prostokąta o bokach 35 cm i 11 cm wycięto kwadrat o boku x cm. Zagięto tekturę w wyniku czego powstało pudełko (bez pokrywki) w kształcie prostopadłościanu. Wysokość pudełka równa jest x cm. Dla jakiego x pojemność otrzy- manego pudełka jest największa?

Zadanie 3. Oblicz (a) log₄2, (b) sin^π₆, (c) cos(2019π), (d) arc cos(¹₂).

Zadanie 4. Oblicz granicę

limx→0

ln(1 + x) − x cos x

x² .

Zadanie 5. Wyznacz największą i najmniejszą wartość wyrażenia |x²−4x|+³₂ln(x−3), gdzie x ∈ [⁷₂, 5].

Zadanie 6. Wyznacz te przedziały, na których funkcja f rośnie, maleje, jest wypukła, wklęsła. Na- szkicuj wykres funkcji f , gdzie f (x) = (x²− 32)e^x/2.

Wszystkie rozwiązania proszę starannie uzasadniać! Nie używamy kalkulatorów.

Ciekawostki. lim_h→0 ^ln(1+h)_h = 1, lim_h→0 ^{sin h}_h = 1, lim_h→0 ^eh_h⁻¹ = 1, (ln x)⁰ = ¹_x, (a^x)⁰ = a^xln a, (x^a)⁰ = ax^a−1, gdzie a 6= 0; (sin x)⁰ = cos x, (cos x)⁰ = − sin x, ^f_g^0 =^{f0g−f g}_g2 ⁰

.

2