Zeszyty Naukowe. Sekcja Matematyki. Nr 3

(1)

i

f

ZESZYTY NAUKOWE ^

SEKCJA MATEMATYKI

N R 3

E K . MAT.

ATOWICE

W Y D A W N I C T W O „ P R A C E N A U K O W E W S P " 7 5

44 K A T O W I C E 1 9 6 2

(2)

(3)

ZESZYTY NAUKOWE

SE K C JA M A T E M A T Y K I

NR 3

W Y D A W N I C T W O „ P R A C E N A U K O W E W S P "

K A T O W I C E 1 9 6 2

(4)

W Y D A N O Z Z A S IŁ K U

P R E Z Y D IU M W O J E W Ó D Z K I E J R A D Y N A R O D O W E J W K A T O W I C A C H

W y d a w c a

W Y Ż S Z A S Z K O Ł A P E D A G O G I C Z N A W K A T O W I C A C H u l i c a S z k o l n a 9

S E K C J A M A T E M A T Y K I

P r z e w o d n i c z ą c y K o m i t e t u W y d a w n i c z e g o J A N Z A R E M B A

S e k r e t a r z K o m i t e t u W y d a w n i c z e g o W I T O L D N A W R O C K I

R e d a k t o r N a u k o w y J A N B Ł A Ż R e d a k t o r T e c h n i c z n y J A N F R Ą C K O W I A K

W S Z E L K I E P R A W A Z A S T R Z E Ż O N E

W Y Ż S Z A S Z K O Ł A P E D A G O G I C Z N A — K A T O W I C E 1962

N a k ł . 300 e g z . + 30 e g z . n a d b i t e k a u t o r s k i c h . A r k . w y d . 7 ,0, A r k . d r u k . 6 ,0 . F o r m a t B5. P a p i e r d r u k . s a t . V / 8 0 . 70 X 100. S k ł a d r o z p . 25. 7. 61

D r u k . u k o ń c z , w l i p c u 1962 r . C e n a z ł. 15 .—

K a t o w i c k i e Z a k ł . G r a f . 4 M i k o ł ó w , u l. Ż w i r k i i W i g u r y 1 Z a m . 1013 — G -5

(5)

1. Jan B Ł ai

D O W 0 D t w i e r d z e n i a s o b o l a o w a r u n k u w y s t a r c z a j ą c y m O S C Y L A C Y J N O S C I R Ó W N A N I A R O Z N I C Z K O W E G O x + 2 p (I) x' + q (<) x = 0 ... S

2. Jan B la t

O I S T N I E N IU R O Z W I Ą Z A Ń U K Ł A D U R Ó W N A N R Ó Ż N I C Z K O W Y C H N I E L I N I O W Y C H Z P R Z Y S P IE S Z O N Y M A R G U M E N T E M ... 7

3. J a n B l a l

O O S C Y L A C Y J N O S C I R O Z W I Ą Z A Ń R Ó W N A N I A R O Z N I C Z K O W E G O L I N I O W E G O J E D N O R O D N E G O R Z Ę D U D R U G IE G O ... 13

4. Jan B la t t

O P E W N Y M T W I E R D Z E N I U H A R T M A N A — W I N T N E R A ... 1#

5. C z e s ła w K lu c z n y

O P E W N Y C H F U N K C J A C H , K T Ó R E G E N E R U J Ą R O D Z I N Ę K R Z Y W Y C H W P O W I Ą Z A N I U Z T E O R I Ą R O W N A N R Ó Ż N I C Z K O W Y C H Z W Y C Z A J N Y C H ... 21

0. C zesła w K luczn y

O S T R U K T U R Z E Z B I O R O W U S Ł A N Y C H P R Z E Z K R Z Y W E P E W N Y C H R O D Z I N . . . . 39

7. M. K u ch a rzew sk l 1 M . K uczm a

O G O L N E R O Z W I Ą Z A N I E R Ó W N A N I A F U N K C Y J N E G O / ( x y ) = 1 (x ) 1 (y ) D L A M A C IE R Z Y F D R U G IE G O S T O P N I A ... , , 47

1. M. K u ch a rzew sk l 1 M. K uczm a

K IL K A U W A G O C I Ą G A C H D Y F I N I O W A N Y C H R E K U R E N C Y J N I E ... 61

9. M. K uczm a

O P E W N Y C H R Ó W N A N I A C H F U N K C Y J N Y C H , K T Ó R Y C H R O Z W I Ą Z A N I A S Ą P R Z E D S T A - W I A L N E P R Z Y P O M O C Y F U N K C J I G A M M A E U L E R A ... 71

It. P io tr A n t o s l k

W A R U N K I K O N I E C Z N E I D O S T A T E C Z N E I S T N I E N I A R O Z W I Ą Z A Ń O S C Y L U J Ą C Y C H R Ó W N A N I A R O Z N I C Z K O W E G O L I N I O W E G O J E D N O R O D N E G O R Z Ę D U D R U G IE G O . . . 89

(6)

(7)

JAN BŁAŻ

DOW ÓD TW IERDZENIA SOBOLA O W ARUNK U W YSTARCZAJĄ CY M OSCYLACYJNOSCI R O Z W IĄ Z A Ń R Ó W N A N IA RÓ ŻN ICZK O W EG O

x + 2p (t) x + q (t ) x = 0

I. M. S obo l [1] w y k a z a ł w r o k u 1951 n a s tę p u ją c y w a r u n e k w y s ta r c z a ją c y o s c y la c y jn o ś c i ro z w ią z a ń r ó w n a n ia ró ż n ic z k o w e g o

11) x -F 2p (t) x + q (t) x = 0

J e ż e li fu n k c je p (t) i q (t) są c ią g łe w p rz e d z ia le A = < a, + oo) o ra z

(2) lim { — p (f) 4- J [g (s) — p 2 (s)] d s ) = + oo,

t ->-f- o© a

to w s z y s tk ie c a łk i r ó w n a n ia (1) są o s c y lu ją c e w p rz e d z ia le A.

D o w ó d I. M. S o b o la o p a r ty je s t n a b a d a n iu w ła s n o ś c i r o z w ią z a ń r ó w n a n ia ró ż n ic z k o w e g o (1) p rz y p o m o c y w s p ó łrz ę d n y c h b ie g u n o w y c h . W n in ie js z e j p ra c y d o w o d z ą tw ie r d z e n ie S o b o la k o r z y s ta ją c z t w i e r d z e n ia Z. O p ia la [2] o n ie ró w n o ś c i c a łk o w e j.

D ow ód p o p ro w a d z im y m e to d ą s p ro w a d z e n ia d o n ie d o rz e c z n o ś c i.

P rz y p u ś ć m y m ia n o w ic ie , że is tn ie je c a łk a x (f) r ó w n a n ia (1) n ie o s c y lu - ją c a w p rz e d z ia le A. Bez s z k o d y d la o g ó ln o ś c i m o ż n a p rz y ją ć , że (f) x ({) > 0 w p rz e d z ia le A.

X ^ ( t )

Z ate m fu n k c ja v (f) = — — je s t o k r e ś lo n a i c ią g ła w p rz e d z ia le A

X (t)

i sp e łn ia w nim ró w n a n ie R ic c a ti'e g o

(3) v ' + v 2 + 2p (f) v + q (f) = 0.

F u n k c ja 0 (<) = v (f) + p (f) s p e łn ia w ię c r ó w n a n ie

(4) (0 — p )’ + 0 2 + q — p 2 = 0.

C a łk u ją c ró w n o ś ć (4) w g ra n ic a c h o d s = a do s — t (f =s a) o trz y m a m y

e (f) = - i ©J (S) d s - {— P (t) + ]■ [q (s) — p2 (s) ] d s } + C,

(8)

s k ą d n a m o c y z a ło ż e n ia (2) w y n ik a , że is tn ie je lic z b a b ^ o, ta k a , że d la t ^ b z a c h o d z i n ie ró w n o ś ć

ł

(5) e ( f ) * £ n + J [ — ©*(s)]ds, ( n < o ) .

D la 0 < 0 fu n k c ja (p(0) = — 0 2 je s t ro s n ą c a ; z a te m — z g o d n ie z tw ie r d z e n ie m o n ie ró w n o ś c ia c h c a łk o w y c h — n ie ró w n o ś ć (5) p o c ią g a d la t b n ie ró w n o ś ć

(6) 0 ' (f) = _ 0 2 (f)

g d z ie p rz e z 0 (t) o z n a c z a m y c a łk ę p o m o c n ic z e g o ró w n a n ia ró ż n ic z k o w e g o

0 ’ (t) = 0 2 ^{(t )} p rz e c h o d z ą c ą p rz e z p u n k t ( b , rj), tj. 0 (f) = 1

O b lic z a ją c g ra n ic ę fu n k c ji 0 (t) p rz y f - * i = ( — I — 0 o trzy - m a m y

11

lim 0 ( t ) = lim — 1

- * 6 _ J L

co z -u w a g i n a n ie ró w n o ś ć (6) o zn a cza , że lim 0 (t) = — oo . W y n ik a stą d , że fu n k c ja 0 (f) n ie je s t o k r e ś lo na n a c a łe j p ó ło si (b, + o o ) , co nie je s t m o żliw e, g d y z fu n k c ja ta je s t o k r e ś lo n a w p rz e d z ia le A.

T y m sa m y m d o w ó d tw ie r d z e n ia S o b o la z o sta ł z a k o ń c z o n y .

LIT E R A T U R A

(1) I. M . S o b o l , I s s l e d o w a n i j e a s i i n p t o t i c z e s k o w o p o w i e d i e n i a r e s z e n i j , l i n i e / n o w o d i i t e r e n c j a l n o w o u r a w n i e n i j a w t o r o w o p o r i a d k a pr i p o m o s z c z i p o l i a r n y c h k o o r d i n a t , M a te m . S o b o rn ik , 28, 70, n r 3, 1951.

(2) Z. O p i a 1, S u r u n e s y s t e m e d' i n e g a l i t e s i n t e g r a l e s , A n n . Po lo n . M a th . 3, 1957.

O d d a n o d o d r u k u w l i s t o p a d z i e 1960 r.

(9)

J A N BŁAŻ

O ISTNIENIU R O ZW IĄ ZA Ń UKŁADU R Ó W N A Ń RÓ ŻNICZKOW Y CH N IELINIOW Y CH Z PRZYŚPIESZONYM ARGUMENTEM

1. C elem n in ie js z e j p r a c y je s t p o d a n ie w a ru n k ó w w y s ta r c z a ją c y c h na to, b y u k ła d ró w n a ń ró ż n ic z k o w y c h n ie lin io w y c h z p rz y ś p ie s z o n y m a rg u m e n te m

(]) x 'i (i) = fi [f, X! (t + a ' ( t ) ) x n (t + (/)) (i = 1 ,2 ,. . ., n-, a j {t) ^ 0 d la i, X = 1,2, . . ., n)

p o sia d a ł d o k ła d n ie je d n o ro z w ią z a n ie o g ra n ic z o n e , o k re ś lo n e w p r z e d ziale A = < f0, + oo) i s p e łn ia ją c e w a r u n e k p o c z ą tk o w y

(2) X; ((o) = x ° (i = 1,2, . . ., n).

P o d a n e tw ie rd z e n ia są u o g ó ln ie n ie m w y n ik ó w S. D o ss’a i K. N a s r 'a [1], d o ty c z ą c y c h ró w n a n ia x ’ (t) = f [ t , x ((), x (f + h)], g d z ie h — c o n st, h > 0.

2. O d n o śn ie u k ła d u (1) p o c z y n im y n a s tę p u ją c e z a ło ż e n ia :

1° F u n k c je /; (f, x x, . . ., x„) (i = 1,2, . . ., n) są o k re ś lo n e i c ią g łe w o b s z a rz e D {<o ^ t < + OO; OO < Xi, . . ., x„ < + °°}.

2° | l t { t . X i X„) — /, (f, Xl...x„) | < p ‘(ł) |X 1_ x 1[ + ...( O ( f ) |X „—x„j, (i = 1 ,2 ,.. ., n) d la k a ż d e j p a r y p u n k tó w (f, X 1(. . ., X n) o ra z (f, x x..., x j n a le ż ą c y c h do o b s z a ru D, g d zie w s p ó łc z y n n ik i (3j (t) są c a łk o w a ln e

w p rz e d z ia le A, (i,X = 1,2, . . ., n).

3° 0 < J[pj(t) + . . . + ^ (<)] dt — q, < [ (i - 1,2 n) (o___________________________________________________________ __ __

4° Do k a ż d e g o i (i = 1,2, . . ., n) is tn ie je p u n k t ( x ' , . . . , x^) (— oo < < oo; i,X — 1,2...n) ta k i, że

T |/ i ( f , X ' x ‘) \ d t = C , < +

5° a ‘ (t) ^ 0 c ią g łe w p rz e d z ia le A (i, X = 1,2, . . ., n).

P rz y jm u ją c z a ło ż e n ia 1° — 5° w y k a ż e m y

T w i e r d z e n i e I. Is tn ie je d o k ła d n ie je d n o o g ra n ic z o n e ro z w ią z a n ie u k ła d u (1), o k re ś lo n e w p rz e d z ia le A i s p e łn ia ją c e w a r u n e k p o c z ą t

k o w y (2).

(10)

D o w ó d : D la d o w o d u ro z p a trz m y d la k a ż d e g o i (i = 1,2, . . n) ciąg k o le jn y c h p rz y b liż e ń

x ] (t) = x* + } i, (t, x» x°) dr 'o

x j (t) = x° + J l, [T, x j (T + a ‘ (T)) x ‘n (x 4" a*n (t))] dr

( 3 ) X J- ( f ) = x ° + S f i [ t , XjV - ‘ ( t + a j ( t ) ) X v - ‘ ( 1 + ¾ ( t ) ) ] d r

In

O c z y w iś c ie n a m o c y (3) i z a ło ż e ń 2°, 3° i 4° m a m y

\ x \ (f) - x?j < M , J[p ‘ (t) + . . . + fł‘ (t)] dr + J j / , (t, x | x j,)| d r =

10 fo

= M i qi + C-, = A i, gdzie M,- = m a x ( | x j — x { J |x° — xji j}, (i = 1,2...n).

W y k a ż e m y in d u k c y jn ie , że

(4) |x " (f) — x v - > (f)| ^ A j qi, t e A, (i = 1,2 . . ., n), (v = 1, 2, 3, . . . ) . P rz y jm ijm y w ty m c e lu n ie ró w n o ś ć (4) d la 1 ^ v ^ k — 1. N a m o c y (3) o ra z z a ło ż e ń 2° i 3° m a m y :

|x* (f) - x*-« (f)| < A , q*~* JtPj (x) + . . . + (P (r)] d r = A , q*->.

*0

Z n ie ró w n o ś c i (4) w y n ik a je d n o s ta jn a i b e z w z g lę d n a zb ie ż n o ść sz e re g ó w

(5) j X ( * ) — Jej'-' (01 (i = 1 2 ... n).

„=i

Is tn ie ją w ię c g ra n ic e x , (t) = lim xj' (t) (i = 1...n).

Ł>—*-foo

F u n k c je X! (f) s p e łn ia ją r ó w n a n ia c a łk o w ite :

(6) X; (t) =

X]

+ J/i [T, Xl (T + a* (T)) Xn (T + cd (i))] dl

to

(i — 1,2...n).

Is to tn ie , w e d łu g (3) m am y :

|x ” (0 — x® — S ti [x, Xi (x + a[ (t)) x n (r + cd (x)] dx| <

to

<S\ t , [ x. x " - ‘(x + a ‘|x)) x«-i(x + cd (t)) - / , (1, Xx (t + a{(x)) x n(x - f

t o

+ a'(x ))]|d x < J[0{(x)| x p i ( x + a|(x)) — Xj (t + a ‘(x))| + . . . + pi(x)| x - i ( x + + o|(x )) — x „ (x + cd (x ))|]d x

(11)

Ze z b ie ż n o śc i je d n o s ta jn e j c ią g ó w {X" (t)}, p rz y v ->• + oo, t (: A w y n ik a , że IX”'1 (f) — x ; ( t ) j < e d la v > t (: A, g d z ie e je s t d o w o ln ie m a łą lic z b ą d o d a tn ią , z a ś N ; s to s o w n ie d o b ra n ą lic z b ą n a tu r a ln ą (i = 1,2, . . n).

Z ate m

| x ”(£) — x® — J7,[i, X[ ( t + a ‘(x)) x„ (x + cd (t)] dx| 4

t o

^ E J[P;(T) 4 . . . 4 ^ (T )] dx = e g ;, d la v > N = m a x (N lr . , N„),

t o

(i = 1,2, . . n), co o z n a c z a , że

lim x?’(£) = x° 4 J

f,

[t, Xl (t 4 a ‘(x)), . . .,

x n

(i 4 cd(x))] di.

—» -|- oo to

Z je d n o z n a c z n o ś c i g ra n ic y c ią g ó w ( x ” |£)} w y n ik a ró w n o ś ć (6).

Z n ie ró w n o ś c i (4] ła tw o w y n ik a , że

| x i M | < | x » | + T ~ r (i = ! -2... n >’

1 4 i

co d o w o d z i o g ra n ic z o n o ś c i ro z w ią z a n ia u k ła d u (1), s p e łn ia ją c e g o w a ru n k i p o c z ą tk o w e (2).

D la d o w o d u je d n o z n a c z n o ś c i o g ra n ic z o n e g o ro z w ią z a n ia u k ła d u (1) ro z p a trz m y d ru g ie o g ra n ic z o n e ro z w ią z a n ie x1(t), . . ., x„ (t) te g o u k ła d u , s p e łn ia ją c e w a ru n e k p o c z ą tk o w y (2). W te d y z g o d n ie z (6) je s t

x,(t) = x° + S fi [t, xx ( t 4 a((T)), . . ., x n ( t 4 cd (t))] dr.

to

In d u k c y jn ie d o w o d z i się, że

(7) |x ”(£) — x f(f)| < M /g ”, (v = 1 ,2 ,3 ,. . i = 1,2, . . ., n), g d zie M ; = su p | x, (t) — x°|.

t o

W y n ik a stąd , że X; (t) — x ; (t), (i — 1,2... n).

T w i e r d z e n i e II. J e ż e li s p e łn io n e są z a ło ż e n ia 1° — 5° o ra z Xi ( t ) , . . ., x n (t) je s t o g ra n ic z o n y m ro z w ią z a n ie m u k ła d u (1), to ro z w ią z a  n ie to d ą ż y do s k o ń c z o n e j g ra n ic y , g d y / - > 4 oo,

Do wód . Z g o d n ie z (6) w y s ta r c z y w y k a z a ć z b ie ż n o ść c a łk i (8) 1 fi [t, x j (r 4 a ‘(T))... x „ ( t 4 cd(T))] dr, (j = 1,2...n).

t o

P o n ie w a ż

Ji ft) = X|/j [T, Xi (T 4 cc1 (t)) X„ (T 4 « '( !))] | dT < J | fi (T, x [ xMj d i

lo (o

+ 5\ fi [T, * i ( t 4 a ‘ (T))... x n ( i 4 cd(t))] — fi (X, x [ x ^)| d t 4

t o

(12)

Ci + j [ P i ( T)| X! (T + a$(x)) — x 'j + . . . . + f^(x)| x„ (X + o^(T))— x ^ |] d t <

t o

5¾ C ; + M ,g ;, g d zie:

M ; = m a x { s u p |x i (t + af (( ))— x '|, . . s u p |x „ (f + a ' (f)) — x{J},

( > t o < > t o

(i = 1 , 2 , . . . n) — o ra z p o n ie w a ż J / (<) je s t fu n k c ją n ie m a le ją c ą , w ięc is tn ie je lim J (f); s tą d w y n ik a z b ie ż n o ść c a łk i (8).

/—> -f oo

3. P rz y p a d k i sz c z e g ó ln e u k ła d u (1).

a) R o z p a trz m y u k ła d ró w n a ń ró ż n ic z k o w y c h p o s ta c i

(9) x ’ (ł) = ai (t) g-, [x, (t + «■({))--- - x n (f + cd (0 )], (f) ^ 0, ( i , l = 1,2, n).

T w ie rd z e n ia I i II z a c h o w u ją sw ą m oc d la u k ła d u (9) p rz y z a ło ż e n ia c h (Zi) |g ; (X i X„) — g; (Xi Xn)| < 2 ( L '| X A — x j )

(Z2)

0

< ( S L ‘ ) f j a, (

0

| dl = <

7

i < l .

A = 1 t o

(i = 1,2, . . n).

b) U k ła d ró w n a ń ró ż n ic z k o w y c h lin io w y c h

(10) x'.(t) == a n (0 X! (i t- aj(f)) + . . . + a ln (0 x n (t + a ^ f ) ) (i = 1,2, . . ., n)

m a d o k ła d n ie je d n o ro z w ią z a n ie o g ra n ic z o n e , d ą ż ą c e do sk o ń c z o n e j g ra n ic y g d y t -+ + oo i s p e łn ia ją c e w a r u n e k p o c z ą tk o w y (2), je ż e li

1 (2 \ua (t)| dt — q, < 1, (i, l = 1,2...n).

t o K— \

U w a g a 1 . Z ało ż en ia 1° — 5° n ie g w a ra n tu ją je d n o z n a c z n o śc i ro z w ią  za ń u k ła d u (1); o b o k je d y n e g o ro z w ią z a n ia o g ra n ic z o n e g o u k ła d u (1), s p e łn ia ją c e g o w a r u n e k p o c z ą tk o w y (2) m o g ą is tn ie ć ro z w ią z a n ia n ie o g ra n ic z o n e , s p e łn ia ją c e ró w n ie ż te n sam w a r u n e k p o c z ą tk o w y .

Za p rz y k ła d m o ż e słu ż y ć u k ła d ró w n a ń

( 11)

x i (

2 0

— x j ( t ) x -l ( < ) == ---

t S*5 1, Xi (1) = x 2 (1) = e, x '2 (t)

Xj (40 — x 2 (20 e ' (e2/ — 1)

k tó re g o ro z w ią z a n ie m — o p ró c z o g ra n ic z o n e g o ro z w ią z a n ia [xj (f) =

— e, x 2 (0 = e — je s t ro z w ią z a n ie n ie o g ra n ic z o n e : Xi (t) = e', x 2 (f) = e*.

U w a g a 2. J e ż e li z a ło ż e n ie (3) n ie je s t s p e łn io n e , to te z a o je d n o z n a c z  n o ść o g ra n ic z o n e g o ro z w ią z a n ia u k ła d u (1) p rz e s ta je b y ć p ra w d z iw ą ,

(13)

P o tw ie rd z a to n a s tę p u ją c y p rz y k ła d : U k ła d ró w n a ń ró ż n ic z k o w y c h

(

12

⁾

X i ( t ) — * a ( 2 t )

(t) =* e - « _ i

_ x t (

2

^{t) — x}

2

⁽

4

^Q

W ~ e - ' (e~*' — 1)

1, X! (1) = x 2 (1) = e-

p o s ia d a o p ró c z ro z w ią z a n ia x, (f) = e ~ \ x 2 (t) = e—1 d ru g ie o g ra n ic z o n e ro z w ią z a n ie x t (fł = e ~ x 2 (I) = e ~ *, s p e łn ia ją c e ró w n ie ż d a n y w a r u n e k p o c z ą tk o w y .

U w a g a 3. D o w o d y tw ie rd z e ń I i II p rz e n o s z ą się — b ez is to tn y c h zm ian — ró w n ie ż n a u k ła d y ró w n a ń ró ż n ic z k o w y c h z w y p rz e d z a ją c y m i o p ó ź n io n y m a rg u m e n te m , tj. n a u k ła d y ty p u :

(13) xh (f) = ii [t, x , ^{(t -} (<)). X! (t + d[ (0 ) x n (t Y' (0)- x n (f + + d‘n (f))] (i = 1,2, . . n, y1 (t) > 0, <5^ (f) > 0 , (i, X = 1 n) o ile fu n k c je p o c z ą tk o w e tPi (f), • . •, cPn (t) s ą c ią g łe i o g ra n ic z o n e n a z b io rz e p o c z ą tk o w y m Ea, ró w n y m su m ie z b io ró w p o c z ą tk o w y c h Eh k , g d zie k a ż d y ze z b io ró w Eu l s k ła d a się z p u n k tu t0 o ra z ty c h w a rto ś c i fu n k c ji Q i>z (f) = t — (<), k tó r e p rz y t ^ t0 są m n ie js z e o d t 0. *)

O fu n k c ji f/ (t, u h u 2l . . u 2n) z a k ła d a m y p rz y ty m , że s p e łn ia z a ło ż e n ia a n a lo g ic z n e z a ło ż e n io m 1°, 2°, 3° i 4°, z a ś f u n k c je (t) o ra z d ł (t) są n ie u je m n e i c ią g łe w p rz e d z ia le A,

L I T E R A T U R A

[1] S h a f i k D o s s, S a a d K. N a s r , : O n t h e l u n c t i o n a l e ą u a t i o n d y / d x —

= / [x ,y (x), y (x + h )] h > 0, A m e r. J o u r n . o f M a th . L X X V , n r 4, 1953, p. 713 — 716.

[2] A . D. M y s z k i s ; O b s z c z a j a te o r ia d i i t e r e n c j a l n y c h u r a w n i e n i j z z a p a z d y w a j u s z - c z y m a r g u m e n t o m . U s p ie c h y M a t. N a u k , IV , 5, 1949, lu b

[3] L. E. E 1 s g o 1 zf K a c z e s t w i e n n y j e m e t o d y w m a t e m a t i c z e s k o m a n a liz ie . M o s k w a 1955.

*) O z a d a n i u C a u c h y ' e g o d la r ó w n a ń z o p ó ź n i o n y m a r g u m e n t e m .

(14)

(15)

JA N BŁA2

0 OSCYLACYJNOŚCI R O ZW IĄ ZA Ń R Ó W N A N IA RÓ ŻNICZKOW EG O LIN IO W EG O JEDNORODNEGO RZĘDU DRUGIEGO

1. M. Z ła m a ł [1] p o d a ł n a s tę p u ją c y w a r u n e k w y s ta r c z a ją c y o s c y la - c y jn o ś c i ro z w ią z a ń ró w n a n ia ró ż n ic z k o w e g o

(1) (O (/) x ')' + i (t) x = 0,

g d zie fu n k c je Q (t) i ł (t ) są c ią g łe w p rz e d z ia le A = < 0, + oo) o ra z Q (t) > 0:

J e ż e li

. , f ds

J « w ~ ^ “ ■

o

b) Q (() / (f) > — M , M > 0

l

c) lim su p J ł (s) d s = ~h oo,

t—* o® O

to w s z y s tk ie c a łk i ró w n a n ia (1) s ą o s c y lu ją c e w p rz e d z ia le A. I s tn ie ją p r z y k ła d y r ó w n a ń n ie o s c y lu ją c y c h , d la k tó r y c h z a c h o d z ą w a ru n k i a) o ra z c), z a ś ilo c z y n Q (t) i (t) je s t n ie o g ra n ic z o n y o d do łu .

W n in ie js z e j p r a c y p o d a ję p e w ie n w a r u n e k w y s ta r c z a ją c y o s c y la - c y jn o ś c i ro z w ią z a ń r ó w n a n ia (1) n ie w y k lu c z a ją c y p rz y p a d k u , g d y lim inf Q (<) / (f) = — oo (T w ie rd z e n ie I).

1 —> 00

W c y to w a n e j p r a c y [1] M. Z ła m a ł w y k a z a ł ró w n ie ż , że je ś li r ó w n a n ie (1) je s t n ie o s c y lu ją c e , to is tn ie je c a łk a x (ł) te g o ró w n a n ia , o te j w ła sn o śc i, że lim su p x (f) = -f oo.

/ __> -f. OO

T w ie rd z e n ie II n in ie js z e j p r a c y d o ty c z y w a ru n k u , p rz y k tó ry m n ie o s c y lu ją c e ró w n a n ie (1) p o s ia d a c a łk ę x (f), ta k ą , że lim a p r x (t) =

l > oo

= + oo i u o g ó ln ia p e w ie n w y n ik A. W in tn e r a [2], W p rz y p a d k u Q ( t ) = l tw ie rd z e n ie to u d o w o d n ił Z. O p ia l [3].

T w ie rd z e n ie III — k tó r e w p rz y p a d k u p (t) = 0 z o s ta ło w y k a z a n e p rz ez O le c h a , O p ia la i W a ż e w s k ie g o [4] je s t u o g ó ln ie n ie m p e w n e g o tw ie rd z e n ia I. M. S o b o la [5],

(16)

P rz y s fo rm u ło w a n iu tw ie rd z e ń k o r z y s ta ć b ę d z ie m y z n a s tę p u ją c y c h o z n a c z e ń i d e fin ic ji (v. [4]);

O z n a c z a m y p rz e z {f : W (f)} zb ió r ty c h w a r to ś c i t, k tó r e s p e łn ia ją w a  r u n e k W (ł), z a ś p rz e z m (E) m ia rę L e b e s q u e 'a z b io ru E. N iec h t (t) b ę d z ie fu n k c ją c ią g łą w p rz e d z ia le A o ra z — o o ^ k ^ + oo i oo <

+ oo.

D e fin ic ja I. M ó w im y , że lim a p r inf t (f) = k,

/ - > - j - » o

je ś li m {f : / (/) < A j < + oo d la k a ż d e g o k i < A, ni {t : ł (t) < A2} = + oo d la k a ż d e g o k2 > k.

D e fin ic ja II. M ó w im y , że lim a p r su p i (f) = K,

t + o o

je śli m {t : i (t) ^ K x} = + oo d la k a ż d e g o K i < K, m { t : f (t) ^ K 2} < + oo d la k a ż d e g o K2 > K.

D e fin ic ja III. M ó w im y , że lim a p r f (t) — X, je ś li A = K = A.

/ —> -f- oo

2. O d n o ś n ie r ó w n a n ia (1) z a k ła d a m y , że Q (f) > o ra z Q (f) i f (t) są fu n k c ja m i c ią g ły m i w p rz e d z ia le A.

T w i e r d z e n i e I. J e ż e li /

(2) lim a p r su p J / (s) d s = + oo

t -> -|- oo o

o ra z

(3) lim a p r s u p Q (t) = L < T oo,

t —y -}■ o®

to w s z y s tk ie c a łk i ró w n a n ia (1) są o s c y lu ją c e w p rz e d z ia le A.

D o w ó d . D la d o w o d u n ie w p r o s t p rz y p u ś ć m y , że is tn ie je c a łk a x (f) r ó w n a n ia (1) n ie o s c y lu ją c a w p rz e d z ia le A.

Bez sz k o d y d la o g ó ln o ś c i m o ż n a p rz y ją ć , ż e x (I) > 0 w p rz e d z ia le A.

F u n k c ja v (t) — Q (f)x' (f)/x (f) je s t w ię c o k re ś lo n a w p rz e d z ia le A i s p e ł

n ia w ty m p rz e d z ia le ró w n a n ie R ic c a ti'e g o v 2 (/)

(4) v ' (f) + - Q - f i + i (f) = 0.

W y n ik a stąd , że

l

(5) v (0 = C - S i ( a ) d a + J { ~ ^ j d s , ( f ^ O ) .

o

R o z p a trz m y n a s tę p u ją c e z b io ry o tw a r te ;

E = {t : C — J l (s) ds < — ii}, B = co n st, r) > 0 O

T = {t : Q (ł) < M } , M = c o n st, M > L

o ra z W = E T.

Z z a ło ż e ń (2) i (3) w y n ik a k o le jn o , że m (E) = + oo, m (T) — + oo o ra z m (T'j < + oo, g d zie m (E), m (T) i m (T1) o z n a c z a ją m ia ry L e b e s q u e ’a

— u _ _

(17)

o d p o w ie d n io z b io ró w : E, T i d o p e łn ie n ia z b io ru T. Z a te m m (W)

= m ( E - T ) = m ( E — E - T ' = + 00.

Z (5) i (2) w y n ik a , że w z b io rz e W z a c h o d z i n ie ró w o ś ć

16) v (i) ą + f v2 (S) ds ( t € W ) .

J 0(8)

O d b ie rz m y (v. [3]) s k o ń c z o n y c ią g p rz e d z ia łó w lic z b o w y c h

(aj, bj), (a2, b 2) (on, b „), 0 < a x < bi < a 2 < b2 < . . . < a n < b n, tak i, że

n n M

(7) 2 (a ;, b;) C W o ra z 2 (bt — a,) = --- .

i=i 1=1 ⁰

O z n a c z m y p rz e z z (t) c a łk ę ró w n a n ia p o m o c n ic z e g o

|8) z' = ---— z2,

M

p rz e c h o d z ą c ą p rz ez p u n k t ( 0 ,— r|). Ł atw o sp ra w d z ić , że

(9) lim z (t) = — 00.

t M O

V

W p rz e d z ia le < a lr b, < — n a m o c y (6) o ra z (3) — z a c h o d z i n ie ró w n o ś ć 1 t

V ( t ) ^ — t l + — J [ — v 2 ( s ) ] d s . a i

Z tw ie rd z e n ia o n ie ró w n o ś c ia c h c a łk o w y c h (v. [6]) w y n ik a , że (100 V (t) < z (f — a d , (f e < ai, b\ > ) .

P o n ie w a ż — co ła tw o s p ra w d z ić —

z (bi — cą) ^ — 11 + -—r j' [— v 2 (s)] ds, z a te m w p rz e d z ia le < a 2, b2 > z a c h o d z i n ie ró w n o ś ć

v (/) z (bi — a d + - i - j [ — v 2 (s)] ds,

M a,

k tó r a d la t e < a 2, b2 > p o c ią g a n ie ró w n o ś ć

1102) v (f) =¾ z ({ — o 2 + b( — a d .

O g ó ln ie d o w o d z i się, że

(1O0 v (t) < z [f — a; + S (b_, — a y)J, t e < a i( b; > , i - 1,2,. . ,

i = 1

N iec h

« —1 /VI

5 = a„ — 2 (bj — a,) + — .

i = 1 ll

N a m o cy (9)

n — 1

lim z [t — a n + 2 (b; — a,)] — — oo.

r -* | — o i = 1

n.

(18)

Z n ie ró w n o ś c i (10n) w n io s k u je m y , że lim v (t) = — oo,

/ -> I — o

co n ie je s t m o żliw e, g d y ż fu n k c ja v (t) je s t o k re ś lo n a w c a ły m p rz e d z ia le A.

U w a g a 1. T w ie r d z e n ie p o z o s ta je p ra w d z iw e , je ś li o słab im y za ło ż e n ie (2), z a s tę p u ją c je z a ło ż e n ie m

t

lim a p r s u p J' f (s) ds — L0 > C,

t -> - f 00 O

g d zie C je s t w a rto ś c ią w p u n k c ie t = 0 c a łk i v (t) r ó w n a n ia R ic c a tie g o (4), o k re ś lo n e j w p rz e d z ia le A.

U w a g a 2. S to so w n e p r z y k ła d y w y k a z u ją , że p o d a n e tw ie rd z e n ie n ie je s t u o g ó ln ie n ie m tw ie rd z e n ia Z ła m a ła , a n i te ż z n ie g o n ie w y n ik a . W sz c z e g ó ln o śc i, je ś li Q (t) = te _ t, / (t) = e 'c o s t , to ró w n a n ie (1) je s t o s c y lu ją c e w p rz e d z ia le A, ja k k o lw ie k lim inf Q (t) ■ i (t) = — 00. F u n k c je i (t) i Q (/) s p e łn ia ją b o w ie m z a ło ż e n ia (2) i (3) tw ie rd z e n ia I. Isto tn ie, dla d o w o d u , że

t

lim a p r s u p J e* co s s ds = + 00

t - > -f 00 o

w y s ta r c z y w y k a z a ć , że lim a p r su p Ac?e‘ co s 11 --- 2-1 = ^

< - > + - 4

.-T

O z n a c z a m y w ty m c e lu S (t) — ^ e ' co s £ = {J : cos >

> . ą Ł atw o w id a ć , że m (E) = + 00. W z b io rz e E z a c h o d z i w ięc 2

n ie ró w n o ś ć S U) > — e'.

2

N ie c h k b ę d z ie d o w o ln ą d o d a tn ią lic z b ą rz e c z y w is tą ; w p rz e d z ia le E' = (In 2k, + 00) z a c h o d z i n ie ró w n o ś ć ~ e' > k.

R o z p a trz m y z b ió r E" — E ■ E'. O c z y w iś c ie je s t m (£") = + 00. W zb io rz e E" s p e łn io n a je s t d la k a ż d e g o k > 0 n ie ró w n o ś ć S (f) !> A.

W p r z y p a d k u A ^ O n ie ró w n o ś ć — e ' > A z a c h o d z i o c z y w iśc ie w c a ły m

p rz e d z ia le A. ,

W a r u n e k lim a p r s u p t e ~ ‘ — L < + 00 je s t o c z y w isty , g d y ż lim te - '= 0 .

I —► -f ©o

T w i e r d z e n i e II. J e ż e li ró w n a n ie (1) je s t n ie o s c y lu ją c e w p r z e d z ia le A o ra z

(11) lim a p r su p Q (t) = L < + oo,

I -> -f 00

to is tn ie je c a łk a x (<) te g o ró w n a n ia , ta k a , że lim a p r x (<) = + 00.

t —> + 00

D o w ó d . N ie c h w (<) b ę d z ie c a łk ą ró w n a n ia (1) s p e łn ia ją c ą w p rz e  d z ia le A n ie ró w n o ś ć w (f) > 0.

(19)

F u n k c ja

x (/) = w (/) d s Q (s) w 2 (s)

je s t ró w n ie ż c a łk ą te g o ró w n a n ia . W y k a ż e m y że lim a p r x (t) — + oo.

Ż—*-fe>o

O z n a c z m y w ty m c e lu : E = {t : x (/) < A) A = c o n st, A > 0.

T == {/ : Q (f) < M ) M = c o n st, M > L.

D la d o d o w u tw ie rd z e n ia w y s ta r c z y o c z y w iś c ie w y k a z a ć , że m (E) < + o o . P rz y p u ść m y , że m [E) — + oo.

P o n ie w a ż w z b io rz e E z a c h o d z i n ie ró w n o ś ć

' / *

w ( /) I - -7 - — r — :¾ A, w ' Q (s) w 2 (s) cz y li n ie ró w n o ś ć

A f d s

k j 0 ( s ) w :)w 2(s) w(t) O

w ięc w z b io rz e Z = E ■ (a, + 00) b ę d z ie

5 1 - i i /

l

v(t) ^ — r j— — I —— ds, g d z ie v(i) = — -

O (s) w (ł)

a

a = c o n st, a > 0, rj = c o n s t, ij > 0 Z ate m fu n k c ja v (f) s p e łn ia w z b io rz e W = Z • T n ie ró w n o ś ć

1 A - v 2 (s) ,

z k tó re j a n a lo g ic z n ie ja k w d o w o d z ie tw ie rd z e n ia I d o c h o d z im y do sp rz e c z n o śc i z ty m , że fu n k c ja v(t) je s t o k re ś lo n a w c a ły m p rz e d z ia le A.

R o z p a trz m y za S o b o le m (v. [5]) r ó w n a n ie ró ż n ic z k o w e

(12) ^x+ 2p (f) ^x + q (t)x = 0,

g d zie fu n k c je p(t) i q(t) są c ią g le w p rz e d z ia le A i o z n a c z a m y S(f) = — p(t) + J [q(s) — p 2(s)] ds

O P o d o b n ie u d o w a d n ia się

T w i e r d z e n i e III. J e ż e li

(13) lim a p r su p S (/) = + oo,

t —> 4 - ©o

to w s z y s tk ie c a łk i r ó w n a n ia (12) są o s c y lu ją c e w p rz e d z ia le A.

Z e s z y ty n a u k o w e — 2

17

(20)

D o w ó d . D la d o w o d u n ie w p r o s t p rz y p u ś ć m y , że is tn ie je c a łk a x ( t ) ró w n a n ia (12) d o d a tn ia w p rz e d z ia le A. F u n k c ja v (0 = x (t)'/x (t) je s t w ię c o k re ś lo n a w p rz e d z ia le A i s p e łn ia w nim ró w n a n ie R ic c a ti'e g o :

(14 v ' + v 2 + 2 p (t)v + q(t) = 0.

P o łó ż m y 6 ( 0 = v (0 + p(t); fu n k c ja 0 ( 0 je s t w ię c o k re ś lo n a w p rz e d z ia  le A i s p e łn ia w n im ró w n a n ie

(15) (0 — p)' + 0 2 + q — p 2 = 0.

C a łk u ją c ró w n o ś ć (15) w p rz e d z ia le < o , t > (f ^ 0) o trz y m a m y 0 (0 = C — S(t) + 1 [ - 0 2(s)] ds

O

Z g o d n ie z (13) m{E) = m {t: C — S(0 < — fl} = + oo, r| = co n st, t) > 0.

O

z k tó r e j ro z u m u ją c p o d o b n ie ja k w d o w o d z ie tw ie rd z e n ia I, w n io s k u je m y, że fu n k c ja 0 ( 0 n ie je s t o k re ś lo n a w c a ły m p rz e d z ia le A. P rz e c z y Lo d e fin ic ji fu n k c ji 0 ( 0 .

Z w y k a z a n e g o tw ie r d z e n ia w y n ik a w sz c z e g ó ln o ś c i tw ie rd z e n ie S o b o la : J e ż e li lim S (0 — + oo, to w s z y s tk ie ro z w ią z a n ia ró w n a n ia (12) są o s c y lu ją c e w p rz e d z ia le A.

L IT E R A T U R A

[1] Z ł a m a ł O s c i l l a t i o n c r i te r i o n s , Ć as. p e st. M a t. a F is., 75, (1950), p. 213-217.

[2] A . W i n t e r , A c r i t e r i o n o i o s c i l l a t o r y s t a b i l i t y , Q u a r t. of A p p l. 7 (1949), p. 115-117.

[3] Z. O p i a 1, S u r u n c r i t e r e d ' o s c i l l a t i o n d e s i n t e g r a l e s d e 1' e g u a t i o n d i i i e r e n t i e l l e [ Q ( ijx '] ' + i ( t ) x = O, A n n . P o lo n . M a th ., 6 (1959), p. 99-104.

[4] C. O 1 e c h, Z. O p i a 1, T. W a ż e w s k i, S u r l e p r o b l e m e d ' o s c i l l a t i o n d e s i n t e  g r a l e s d e 1' e g u a i i o n y " + g ( t ) y = 0, B uli. A c a d . P o lo n . S ci. C l. III, 5 (1957), p. 621-626.

[5] I. M . S o b o l , I s s l e d o w a n i j e a s i m p t o t i c z e s k o w o p o w i e d e n i j a r e s z e n i j d iit . u r a w - n i e n i j a w t o r o w o p o r i a d k a p r i p o m o s z c z i p o l i a r n y c h k o o r d i n a t , M a te m . S b o rn ik , 28 (70), n r 3 (1951) p . 707-714.

[6] Z. O p i a l , S u r u n s y s t e m e d' i n e g a l i t e s i n te g r a l e s , A n n . P o lo n . M a th . 3 (1957), p. 200-209.

(21)

JAN BŁAŻ

O P E W N Y M T W IE R D Z E N IU H A R T M A N A - W IN T N E R A

1. P. H a rtm a n i A. W in tn e r [1] w y k a z a li w r o k u 1955 n a s tę p u ją c y w a r u n e k w y s ta r c z a ją c y n ie o s c y la c y jn o ś c i ro z w ią z a ń r ó w n a n ia ró ż n ic z k o w e g o

(1) y " + f(x) y ' + g (x )y = 0

w p rz e d z ia le A = < a , b > :

J e ż e li fu n k c je /(x), f'(x) i g(x) są c ią g łe w p rz e d z ia le A o ra z is tn ie je s t a ła C ta k a , że w p rz e d z ia le A z a c h o d z i n ie ró w n o ś ć

(2) g(x) — C i ' (x) + C (C — 1) f2(x) < 0,

to w s z y s tk ie c a łk i r ó w n a n ia (1) s ą n ie o s c y lu ją c e w p r z e d z ia le A. W n i

n ie js z e j n o c ie d o w o d z ą p ra w d z iw o ś ć n ie c o o g ó ln ie js z e g o tw ie rd z e n ia , o p ie ra ją c się n a n a s tę p u ją c y m tw ie r d z e n iu J e ls z y n a : N a to , b y w s z y s t

k ie ro z w ią z a n ia ró w n a n ia (1) b y ły n ie o s c y lu ją c e w p rz e d z ia le A p o t r z e b a i w y sta rc z a , a b y is tn ia ła fu n k c ja 0 (x c ią g ła w p rz e d z ia le A, ta k a ,

t (X)

że ró ż n ic a 0 ( x ) ---— je s t ró ż n ic z k o w a ln a w ty m p rz e d z ia le i s p e ł

n ia w n im n ie ró w n o ś ć

(3 ) * | 0 ^-Y + 0 2 + g — ~ < 0 .

2. O d n o ś n ie ró w n a n ia (1) z a k ła d a m y , że f u n k c je f(x) i g(x) s ą c ią g łe w p rz e d z ia le A.

T w i e r d z e n i e . J e ż e li is tn ie je f u n k c ja r(x) c ią g ła w p rz e d z ia le A, tak a, że ilo c z y n r(x) • f(x) je s t ró ż n ic z k o w a ln y w ty m p rz e d z ia le i s p e ł

n ia ją c a w p rz e d z ia le A n ie ró w n o ś ć

(4) g(x) — [r(x) • /( x ) ] ’ + r(x) [r(x) — 1] f2(x) ^ 0, to w s z y s tk ie c a łk i r ó w n a n ia (1) są n ie o s c y lu ją c e w p rz e d z ia le A.

D o w ó d . Z a u w a ż m y p rz e d e w sz y stk im , ż e n ie ró w n o ś ć (4) je s t r ó w n o  w a żn a n ie ró w n o ś c i

(5) { [ ~ 2 ~ r(x)1 t(x) ~ ^ } + { [ t ” r(x)] /(x)}2 + g(x) - °-

(22)

P rz y jm ijm y te ra z , ż e i s tn ie je f u n k c ja r(x) c z y n ią c a z a d o ść p o c z y n io n y m z a ło ż e n io m , s p e łn ia ją c a n ie ró w n o ś ć (5) i p o łó ż m y

0(x) = - i - — r (x )l /(x).

f (X)

F u n k c ja 0 (x ) j e s t c ią g ła w p rz e d z ia le A ; ró ż n ic a 0 ( x ) --- — = — r(x) • /(x) je s t ró ż n ic z k o w a ln a w ty m p rz e d z ia le o ra z z a c h o d z i w p rz e d z ia le A n ie ró w n o ś ć 3.

Z tw ie r d z e n ia J e ls z y n a (w a ru n e k w y s ta r c z a ją c y ) w y n ik a w ięc, że w s z y s tk ie c a łk i r ó w n a n ia (1) s ą n ie o s c y lu ją c e w p rz e d z ia le A,

U w a g a 1. Z a k ła d a ją c , że f u n k c ja f (x) je s t ró ż n ic z k o w a ln a i p rz y jm u  ją c r(x) = C o n s t o trz y m u je m y tw ie r d z e n ie H a r tm a n a — W in te ra .

U w a g a 2. W a r u n e k (5) — w p rz y p a d k u g d y /(x) -/=■ 0 w p rz e d z ia le A

— j e s t ró w n ie ż w a ru n k ie m k o n ie c z n y m n ie o s c y la c y jn o ś c i ro z w ią z a ń ró w n a n ia (1).

Is to tn ie , z a k ła d a ją c że w s z y s tk ie c a łk i r ó w n a n ia (1) s ą n ie o s c y lu ją c e w p rz e d z ia le A w n io s k u je m y z tw ie r d z e n ia J e ls z y n a (w a ru n e k k o n ie c z n y ), że is tn ie je fu n k c ja 0 (x ) c ią g ła w p rz e d z ia le A, ta k a , że ró ż n ic a

t (x)

0 ( x ) ^d-jest ró ż n ic z k o w a ln a w ty m p rz e d z ia le i sp e łn ia w nim n ie r ó w n o ś ć (3).

P o łó ż m y

1 0(x)

r(x)

2 /(x)

2

je s t ró ż n ic z k o w a ln y w ty m p rz e d z ia le o ra z z a c h o d z i n ie ró w n o ś ć (5) F u n k c ja r(x) je s t c ią g ła w p rz e d z ia le A, ilo c z y n r(x) ■ /(x) = — i(x) — 0 (x )

L IT E R A T U R A

[1] P. H a r t m a n , A. W i n t e r , A n i n e ą u a l i t y to r t h e l i r s t e i g e n v a l u e ot an or- d i n a r y b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m , Q u a r t. A p p l. M ath'. i 3, n r. 3, 1955.

[2] M . I. J e l s - z y n , M e t o d i a z i k l a s s i c z e s k i j m e t o d s r a w n i e n i j a , D o k ta d y A k a d . N a u k . SSSR, 68, n r 5, 1949.

(23)

C K L U C Z N Y

O P E W N Y C H F U N K C JA C H , KTÓRE GENERUJĄ R O D Z IN Ę K R Z Y W Y C H

(w p o w ią z a n iu z te o rią ró w n a ń ró ż n ic z k o w y c h z w y c z a jn y c h )

1. Z a g a d n ie n ie , k tó ry m z a jm u ję się w p r a c y n in ie js z e j n a s u n ę ło m i się w z w ią z k u z p r a c ą [1]. A-by u n ik n ą ć p o w ta r z a n ia się z a k ła d a m , że c z y te ln ik je s t o b z n a jo m io n y z n ie k tó r y m i ro z d z ia ła m i w s p o m n ia n e j p ra cy , a m ia n o w ic ie z ro z d z ia ła m i 2, 3, 4, 6, 7 o ra z p o c z ą tk ie m ro z d z ia łu 13. Z a c h o w u ję ta k ż e p r z y ję te ta m o z n a c z e n ia .

W p ra c y [1] o k a z a ło się, że do b a d a n ia p e w n y c h w ła s n o ś c i ro d z in k rz y w y c h p e w n y c h ty p ó w , o z n a c z o n y c h ta m p rz e z F, G 0, a w sz c z e g ó l

ności ro d z in c a łe k u k ła d u ró w n a ń ró ż n ic z k o w y c h z w y c z a jn y c h s p e ł n i a ją c y c h cz y n ie s p e łn ia ją c y c h w a r u n k u je d n o z n a c z n o ś c i i ro d z in r o z w ią zań ró w n a ń p a r a ty n g e n s o w y c h is to tn e z n a c z e n ie m a ją p e w n e fu n k c je , k tó re p u n k to m c z y z b io ro m p r z y p o rz ą d k o w u ją z b io ry . T a k im i fu n k c ja mi b y ły w sz c z e g ó ln o śc i f u n k c je E(t,x) i '^(cęs). P ie rw s z a z n ic h p r z y p o  rz ą d k o w u je jru n k to w i (f,x) je g o s tre f ę e m is ji p r a w ą ze w z g lę d u n a d a n ą ro d z in ę k rz y w y c h F. O t a k o k re ś lo n e j fu n k c ji E(t,x) b ę d z ie m y m ó w ili że je s t in d u k o w a n a p rz e z ro d z in ę F.

W p ra c y n in ie js z e j d e f in ju je m y p rz e k s z ta łc e n ie ty p u F, k tó r e p u n k to w i (t, x) p rz y p o rz ą d k o w u je p e w ie n z b ió r i s p e łn ia p e w ie n z e s p ó ł w a  ru n k ó w , a n a s tę p n ie w y k a z u je m y , że je ż e li fu n k c ja E(t, x) je s t in d u k o  w a n a p rz e z ro d z in ę k rz y w y c h ty p u F, to E(t, x ) je s t p rz e k s z ta łc e n ie m ty p u F. W d a lsz y m c ią g u d e fin iu je m y w p e w ie n sp o s ó b k r z y w ą p r z e k s z ta łc e n ia (d e fin ic ja (4,2)) i w y k a z u je m y , że je ż e li F{t, x ) je s t p r z e  k s z ta łc e n ie m ty p u F, to ro d z in a k rz y w y c h te g o p rz e k s z ta łc e n ia , — o k t ó re j b ę d z ie m y ta k ż e m ó w ili, że je s t g e n e ro w a n a p rz e z p rz e k s z ta łc e n ie

F(t, x) — , je s t ro d z in ą k rz y w y c h t y p u F i to ta k ą , że in d u k o w a n e p rz e z n ią p rz e k s z ta łc e n ie je s t id e n ty c z n e z F (f,x ). W y k a z u je m y ta k ż e , że j e żeli p r z e k s z ta łc e n ie E ( t , x ) je s t in d u k o w a n e p rz e z ro d z in ę F ty p u F, to g e n e ro w a n a p rz e z to p rz e k s z ta łc e n ie ro d z in a k rz y w y c h je s t id e n ty c z n a z ro d z in ą F.

A n a lo g ic z n e w y n ik i o trz y m u je m y d la o k re ś lo n e g o o d p o w ie d n io p r z e k s z ta łc e n ia ty p u G„.

(24)

Z u z y s k a n y c h tw ie r d z e ń i z d e fin ic ji k rz y w e j p rz e k s z ta łc e n ia w y n ik a w sz c z e g ó ln o śc i, że w a r u n e k

(t, y( t ) ) € F(t, q (x)) d la f ^ x

m o ż n a u w a ż a ć za u o g ó ln ie n ie u k ła d u ró w n a ń ró ż n ic z k o w y c h z w y c z a j

n y c h .

W [1] o k re ś liliś m y fu n k c ję w y m ia ta n ia ty p u G* (d e fin ic ja (13,1)) i w y k a z a liś m y , że w y ż e j w s p o m n ia n a f u n k c ja ^ ( a .s ) , (o k re ś lo n a je d n o z n a c z n ie p rz e z d a n ą ro d z in ę F ty p u G„), p r z y jm u ją c a w a rto ś c i b ę d ą c e p o d z b io ra m i p e w n e g o z b io ru A , g d y je j a r g u m e n t a p rz e b ie g a p o d z b io ry te g o ż z b io ru , a p a r a m e tr s p rz e d z ia ł (— oo, + oo) je s t fu n k c ją w y m ia t a n ia ty p u G*. O ro d z in ie F z a k ła d a liś m y , że j e s t r e g u la r n a w z b io rz e A , to z n a c z y , że ze z b io ru A n ie w y c h o d z ą k rz y w e a s y m p to ty c z n e ro d z in y F, lu b co n a je d n o w y c h o d z i, że s tre f a e m is ji k a ż d e g o p u n k tu z b io ru A je s t z b io re m z w a rty m . R o d z in a F s p e łn ia p o n a d to p e w ie n w a ru n e k n a b rz e g u z b io ru , w k tó ry m je s t o k re ś lo n a . O fu n k c ji 'F(a, s), s k o n s tru o w a n e j w o p is a n y w [1] sp o só b , (w zór (13,1)), b ę d z ie m y ta k ż e m ó w ili, że je s t in d u k o w a n a p rz e z ro d z in ę F.

W d a lsz y m c ią g u p r a c y n in ie js z e j w y n ik , o k tó ry m w y ż e j m ow a u z u p e łn ia m y w y k a z u ją c , że je ż e li d o fu n k c ji W (a, s) z a s to s u je m y p e w n ą, o p is a n ą w p r a c y k o n s tr u k c ję , to o trz y m a m y z p o w ro te m ro d z in ę F.

W y k a z u je m y ta k ż e , że d a n a fu n k c ja w y m ia ta n ia T(a, s) ty p u G* p rz y z a s to s o w a n iu te j s a m e j k o n s tr u k c ji o k re ś la je d n o z n a c z n ie ro d z in ę k r z y w y c h t y p u G 0 r e g u la r n ą i to ta k ą , że in d u k o w a n a p rz e z n ią fu n k c ja w y m ia ta n ia je s t id e n ty c z n a z F(a, s).

2. D e f i n i c j a (2,1). F u n k c ję F(t, x), k tó r a p u n k to w i (t, x) z b io ru W , z a w a r te g o w p rz e s trz e n i D (por. [1], 1.) *) p rz y p o rz ą d k o w u je p o d z b ió r z b io ru W n a z y w a m y p r z e k s z t a ł c e n i e m ty p u F0, je ż e li są s p e łn io n e n a  s tę p u ją c e w a ru n k i:

1' F (t, I) C D{ f ^ t ) , 2' (t, i) ę f ( t , i),

3' je ż e li ( ½ ¾ 6 F(x, £), to F(xlf i t) r F (t, £),

4' je ż e li (tj, £x) (j F(x, £), to d la k a ż d e g o x2 n a le ż ą c e g o d o p rz e d z ia łu

< t, t j > is tn ie je | 2 ta k ie , że (x2, £2) ę F (t, i) i (xlr h ) (- F (t2, | 2), 5' je ż e li d la p e w n e g o 5 > 0 z b ió r F (t, I) (t ^ t + 5} z a w ie ra się w p o d

z b io rz e z w a rty m z b io ru W , to z b ió r F (t, £) ( t + 5} je s t z w a rty 6' d la k a ż d e g o £ > o i k a ż d e g o (x, ?) ( W is tn ie je 8 > o ta k ie , że j e

żeli (f, x) £ F(r, £) {< ^ t + 8}, to Q(x, H) < e,

7' je ż e li p u n k t (x, i) € W , a z b ió r F(x, | ) {t ^ x + 8} je s t z w a rty , to d la k a ż d e g o £ > o i s tn ie je liczb a r > 0, t a k a że je ż e li (xlr £j) ; K ((t, £), r) • W , to F(T1( I ,) (f < x + 8} C K (F(r, S), £) (f < t + 8},

') W [1] z b ió r W s p e łn ia ł z a ło ż e n ie Zi, k t ó r e w ty m m ie js c u n ie o b o w ią z u je .

(25)

Z 1 '— 7' w y n ik a ją n a s tę p u ją c e w n io sk i;

W n i o s e k (2,1). F(x, 1) { t = t ) = (t, | )

W n i o s e k (2,2). P rz y jm ijm y z a ło ż e n ie Zi z [1].*) J e ż e li z b ió r P je s t z w a r  ty i P C W , to d la k a ż d e g o e > o is tn ie je & > o, ta k ie że d la k a ż d e g o (r, !=) n a le ż ą c e g o do z b io ru p i d la k a ż d e g o (1, x) n a le ż ą c e g o d o z b io ru P{x< 5) {t < r + 5} je s t p(x, 1) < e.

W n i o s e k (2,3). P rz y jm ijm y z a ło ż e n ie Zi z (!]. J e ż e li (x, | ) £ W , to is tn ie je 8> o ta k ie , że zb ió r F (t, £) {( ^ t + .5 } j e s t z w a rty i o g ó ln ie j, je ż e li z b ió r P je s t z w a r ty i P C W , to is tn ie je 8 > o ta k ie , że d la k a ż d ego (t, j=) ę P z b ió r F(x, i) {1 < t + 8} je s t z w a rty .

D o w ó d w n i o s k ó w (2,1) — (2,3). W n io s e k (2,1) w y n ik a o d r a z u z 6' i z 2’.

Dla d o w o d u w n io s k u (2,2) z a u w a ż m y n a jp ie r w , że z z a ło ż e n ia Z x w y n i  ka, że is tn ie je lic z b a n > 0, ta k a że d la k a ż d e g o (^t, I) £ p k u la d o m k n ię ta o ś ro d k u (t, £) i p ro m ie n iu n j e s t ro z łą c z n a ze z b io re m W. Z a łó ż m y , że p u n k t P — (x, I) 6 P, a o < e ^ i]. P rz y jm ijm y V = K ((t, §), tj) • W . Z b ió r V je s t p o d z b io re m z w a rty m z b io ru W . Z 6' i 5' w y n ik a , że is tn ie je lic z b a 8p, 0 < 8P < n ta k a , że je ż e li (t, x ) fc P(T, I) {< ^ x + &p) , to P (x, 1) < — ,

a p o n a d to zb ió r F (t, I) {t < r + 8p} je s t z w a rty . W o b e c te g o n a m o c y T is tn ie je liczb a rp > 0 ta k a że je ż e li ( t lr £j) C K ((t, £), r p) . W , to

(2.1) F ( x 1, l 1) { t ^ x + bp} Z k ( f ( t , i ) , - i - j { f < T + 8p}.

P rz y jm ijm y 8P 8p/2 i r p = m in ( r p, e/3, 8p). Z (2,1) w y n ik a , że (2.2) Q (x, 1,) < e je ż e li (xh £j) £ K ((t, £), r p) . W,

a (t, x) H F (T1( Hi) {t < t j + 8p}.

W te n sp o só b p rz y u s ta lo n y m £ k a ż d e m u p u n k to w i P z b io ru P o d p o  w ia d a ją lic z b y i p i 8P. K u le K (P, r p) tw o rz ą p o k r y c ie z b io ru P. Z p o k r y c ia te g o m o żn a w y b r a ć p o k ry c ie s k o ń c z o n e u tw o rz o n e p rz e z k u le o ś ro d k a c h w p u n k ta c h Pu P2, . ■ . Pj... P u n k to w i P ; o d p o w ia d a ją lic z b y Tp. , bp. i — 1,2, . . . . k, ta k ie że s p e łn io n y je s t w a r u n e k (2,2). P o łó ż m y 8 = m in {&f l Dl a k a ż d e g o (r, £) ę p i k a ż d e g o ((, x) n a le ż ą c e g o do z b io ru F (t, £) {t ^ x + &) je s t 9 (x, 1) < e. U d o w o d n iliś m y w n io s e k (2.2). D o w ó d p o w y ż sz e g o w n io s k u ro z p o c z ę liś m y o d u w a g i, że is tn ie je liczb a > 0, ta k a że d la k a ż d e g o (r, | ) £ p z b ió r K ((x, 5), r\). W z a w ie ra się w p o d z b io rz e z w a rty m z b io ru W . N a m o c y te g o ż w n io s k u is tn ie je liczb a 80 > 0 ta k a , że d la k a ż d e g o (x, §) £ P i k a ż d e g o (f, x) € F (x, 5) {f ^

^ x + 8} je s t p (x, 5) < j). P rz y jm ijm y 8 = m in (80, i)} N a m o c y 5' d la k a ż d e g o (r, 5) e P zb ió r F (t, I) {< ^ t + 8} je s t z w a rty , co s ta n o w i d o w ó d w n io s k u (2,3).

Z a ło ż e n ie Zi b ę d z ie w s z c z e g ó ln o ś c i s p e łn io n e , g d y z b ió r W j e s t d o m k n ię ty lu b o tw a r ty .

(26)

D e fi n i cj a (2,2). F u n k c ję F (t , x) n a z y w a m y p r z e k s z t a ł c e n i e m t y p a F, je ż e li F (l, x) je s t p r z e k s z ta łc e n ie m ty p u F 0 a p o n a d to je s t sp e łn io n y w a r u n e k n a s tę p u ją c y :

8' J e ż e li p u n k t (rlr £j) £ F (r, |) , to is tn ie je s k o ń c z o n y c ią g p u n k tó w (to, x 0), (tn x i) (tn, x n) ta k i. że (t0, x 0) = (t, ?), (fn, x„), = (xlt ^ ) , a p o  n a d to d la i = 1,2, . . ., n p u n k t (th x ;) 6 F ((,_ ,, x j_ 1) i zb ió r F ({;_,, x i_ 1) U ^ t , } je s t z w a rty .

U w a g a (3,1). J e s t o c z y w iste , że w a r u n e k 8' b ę d z ie a u to m a ty c z n ie s p e łn io n y , je ż e li d la k a ż d e g o (r, £) ę W i k a ż d e g o t j > x z b ió r F (t, ?) { f ^

^ r j j e s t z w a rty . M a to np. m ie js c e w p rz y p a d k u , g d y zb ió r W je s t ta k i, że d la k a ż d e g o t i k a ż d e g o r x > t z b ió r W { t ^ f =¾ t j ) je s t z w a rty , bo w te d y z b ió r F (r, £) {( =¾ tj} je s t z a w a r ty w p o d z b io rz e z w a rty m z b io  r u W i n a m o c y 5' je s t z w a rty .

W [1] o k re ś liłe m fu n k c ję E { t , x ) , k tó r a p u n k to w i (t, x) p rz y p o rz ą d k o  w y w a ła je g o p ra w ą s tre f ę em isji.

T w i e r d z e n i e (2,1. F u n k c j a E (t, x) i n d u k o w a n a p r z e z r o d z i n ę F k r z y w y c h t y p u F, o k r e ś l o n ą w z b i o r z e W , s p e ł n i a j ą c y m z a ł o ż en i e z [1] j e s t p r z e k s z t a ł c e n i e m t y p u F.

D o w ó d . N a le ż y w y k a z a ć , że fu n k c ja E ( t , x) p o s ia d a w ła s n o ś c i 1' — 8'.

W ła s n o ś c i 1' i 2' s ą o c z y w is te , a w ła s n o ś c i 3' i 4' w y n ik a ją z w ła s n o ś c i (i3) i (U) (p. [1], ro z d z ia ł 4) s tre fy em isji. W ła s n o ś ć 5’ w y n ik a z w ła s  n o ś c i 3° ro d z in y t y p u F (por. [1], d e fin ic ja (2,3))*). Z z a ło ż e n ia Z x w y n ik a , że is tn ie je k u la d o m k n ię ta K o p ro m ie n iu r > 0 i ś ro d k u w p u n k c ie (t, £) ro z łą c z n a ze z b io re m T . K rz y w e n a le ż ą c e do E (i, H) i z a w a rte w z b io rz e K są n a m o c y tw ie rd z e n ia (2,1) z [1] je d n a k o w o c ią g łe , w o b e c te g o d la d o w o ln e g o £ > 0 is tn ie je lic z b a 8, 0 < 8 ^ r ta k a , że je ż e li p u n k t (t, x) ę E (t, I) {t siśł t -j- 8), to 9 (§, x) ^ e. U d o w o d n iliś m y w łasn o ść 6'. P rz e c h o d z im y d o d o w o d u 7'. O z n a c z m y d la w y g o d y (x, i;) p rz ez P.

G d y b y w ła sn o ść 7' n ie b y ła p ra w d z iw a , to is tn ia ła b y liczb a £ > 0 i ciąg p u n k tó w P1, P2, z b ie ż n y d o p u n k tu P i c ią g k rz y w y c h h ,/2,...

ro d z in y F ta k i, że k r z y w a /„ w y c h o d z iła b y z p u n k tu P n, a p o n a d to ż a d n a z k r z y w y c h I n {t ^ x + 8} n ie z a w ie r a ła b y się w z b io rz e K (E (P), £) {t ^ 5¾ t + 8}. L ecz z z a ło ż e n ia zb ió r £ (P) {( t + 8} je s t z w a rty , a p o n ie w aż z b ió r T je s t d o m k n ię ty , to is tn ie je lic z b a e,0 ta k a , że zb ir W*, b ę d ą c y d o m k n ię c ie m z b io ru K (JE (P) ( t < t + 8 ), £0) je s t z a w a r ty w W.

Bez sz k o d y d la o g ó ln o ś ć ]. m o ż e m y p rz y ją ć , że < ^{e ,} a P„ £ W ' dla n = 1,2, . . .. W y n ik a ło b y stąd , że is tn ie je c ią g p u n k tó w ((h 0 2, . . . ., le ż ą c y c h n a b rz e g u z b io ru W* ta k i, że Q„ £ łn {t ^ x + 8}, a c z ęść k rz y w e j I n o p o c z ą tk u w P„ i k o ń c u w Q„ je s t z a w a r ta w zb io rz e W*. W o b e c te g o n a m o c y w ła s n o ś c i 3° ro d z in y ty p u F is tn ia ła b y ta k ż e k rz y w a ro-

*) W k o ń c o w e j f a z i e d o w o d u t w i e r d z e n i a (4,1) z [1] w y k a z a l iś m y , że je ż e li E (a) z a w ie r a s ię w p o d z b io r z e z w a r ty m z b io r u W , a z b ió r a j e s t z w a r ty , to i z b ió r E (a)

j e s t z w a r ty . W y n ik a s tą d w s z c z e g ó ln o ś c i 5'.

(27)

d żin y F n a le ż ą c a do E (P) {t ^ x + 5} m a ją c a k o n ie c n a b rz e g u zb io ru W*, co o c z y w iśc ie n ie je s t m o żliw e. W te n s p o s ó b u d o w o d n iliś m y 7'.

Dla d o w o d u 8' za łó ż m y , że (xlt §j) ę E (t, 1). Is tn ie je k rz y w a I n a le ż ą c a do £" (t, §) o k o ń c u w p u n k c ie ( t 1( |j ) . P o n ie w a ż k r z y w a / s a m a je s t p o d z b io re m z w a rty m z b io ru W , to n a m o c y w n io s k u (2,3) is tn ie je 5 > 0 ta k ie , że d la s ę < t, Xj > z b ió r S (s, q? (s)) {f s + 8} je s t z w a rty . J e ż e li t = f0 < fj < . . . . ^ t k — t x je s t p o d z ia łe m p rz e d z ia łu < x, xj > ta k im , ze d la i = 1 ,2... . k je s t t, — F _ j 8, to k a ż d y ze z b io ró w

E O i - i,? ({,_i)) 0 ^ łi} j e s t z w a rty , a p o n a d to (tj, cp (f,)) € E <p ( t , ^ ) ) . W te n sp o só b tw ie r d z e n ie (2,1) z o s ta ło u d o w o d n io n e .

3. D e f i n i c j a (3,1). K rz y w ą o ró w n a n iu x = qp (f), f £ A n a z y w a m y k r z y w ą p r z e k s z t a ł c e n i a F (t, x), je ż e li d la k a ż d e g o r € A i k a ż d e g o t ^ x n a le ż ą c e g o d o p rz e d z ia łu A je st

(3.1) (t, (f (<)) ę F (T, <p (t) )

K rz y w e p rz e k s z ta łc e n ia F (t , x ) o ra z p u n k ty z b io ru W n a z y w a m y e le m e n ta m i te g o p rz e k s z ta łc e n ia , a z b ió r w s z y s tk ic h ta k ic h e le m e n tó w ro d z in ą e le m e n tó w p r z e k s z ta łc e n ia F (t , x).

J e s t o c z y w iste , że k a ż d a - k rz y w a ro d z in y ty p u F je s t k r z y w ą p r z e k s z ta łc e n ia , k tó r e p u n k to w i (f, x) p r z y p o rz ą d k o w u je je g o s tre f ę em isji.

T w i e r d z e n i e (3,1). J e ż e l i w z b i o r z e W , s p e ł n i a j ą c y m z a ł o ż e n i e Zj j est o k r e ś l o n a r o d z i n a F t y p u F, a E(t,x) j e s t s t r e f ą e m i s j i p r a w e j p u n k t u (t, x) ze w z g l ę d u n a r o d z i n ę F, to k a ż d a k r z y w a p r z e k s z t a ł c e n i a E (t, x) j est k r z y w ą r o d z i n y F.

Do wó d. Z ałó ż m y , że k r z y w a I o ró w n a n iu x = cp (£), t 6 A je s t k r z y w ą p rz e k s z ta łc e n ia E (t, x). Z n a c z y to, ż e d la t, x n a le ż ą c y c h do p rz e d z ia łu A je s t

(3,1') (t, <P ( tj) U > t } C E (x, ą> (r)).

Z u w a g i n a w ła s n o ś ć 2° ro d z in y ty p u F w y s ta r c z y w y k a z a ć , że je ż e li p rz e d z ia ł Aj = < flr f2 > z a w ie ra s ię w A, to k rz y w a I {t ę Aj} je s t k r z y w ą ro d z in y F. K rz y w a I {t 6 Aj} je s t z b io re m z w a rty m i ze w z g lę d u n a d o m k n ię to ść z b io ru M' is tn ie je r0 > 0 ta k ie , że d o m k n ię c ie zb io ru V = K (I {t € A j), eQ) je s t ro z łą c z n e ze z b io re m VP. Z b ió r V • W je s t p o d zb io re m z w a rty m z b io ru W , w o b e c te g o z tw ie rd z e n ia (2,1) i w n io sk ó w (2.2) i (2,3) w y n ik a , że is tn ie je lic z b a 8 > 0 ta k a , że d la k a ż d e g o x n a l e żą ceg o d o p rz e d z ia łu Aj zb ió r E (x, cp (t)) {t ^ x + 6} je s t z a w a r ty w z b io rz e V • W i z w a rty . N iec h fi = *0 < Xj < . . . < xp = f2 b ę d z ie p o d z ia łe m p rz e d z ia łu < fi, f2 > ta k im , że d la i = 1,2, . . . p je s t x, — P o łó ż m y Z„ = I E ( x . _ (, cp (x._,)) {f < x;).

i=l