Błąd linearyzacji (1)

Stosowane modele równowagi ogólnej (CGE)

ogólnej (CGE)

Wykład 2

Błąd linearyzacji (1)

Przykład:

• Równanie „na poziomach”: Y=X²+Z

• Postać zlinearyzowana:

y=2X²/Y·x + Z/Y·z y=2X²/Y·x + Z/Y·z

gdzie małe litery wyrażają procentowe przyrosty (krańcowe), a duże – poziomy zmiennych (ich wartości wyrażające początkowe rozwiązanie równania „na poziomach”).

• W równaniu zlinearyzowanym x, y, z są

zmiennymi; X, Y, Z – współczynnikami (stałymi).

Błąd linearyzacji (2)

• Mając następujące rozwiązanie

początkowe: X=3, Z=6, Y=15 równanie zlinearyzowane przyjmuje postać:

y=6/5·x + 2/5·z

• Zakładając, że X↑20%, Z↓10%, tj. x=20, z=–10, otrzymujemy:

y=... [Y↑...]

• Jest to wynik przybliżony. Dokładny wynik to y*=...

• Błąd linearyzacji ...

Błąd linearyzacji (2)

• Mając następujące rozwiązanie

początkowe: X=3, Z=6, Y=15 równanie zlinearyzowane przyjmuje postać:

y=6/5·x + 2/5·z

• Zakładając, że X↑20%, Z↓10%, tj. x=20, z=–10, otrzymujemy:

y=6/5·20 + 2/5·(–10)=20 [Y↑20%]

• Jest to wynik przybliżony. Dokładny wynik to Y↑22,4%.

• Błąd linearyzacji = 20 – 22,4 = –2,4 p.p.

Błąd linearyzacji – ćwiczenie

• Równanie „na poziomach”:

• Rozwiązanie początkowe: X=4, Y=2.

• Równanie zlinearyzowane: ………….

X Y =

• Zakładamy wzrost X z 4 do 16 (o 300%).

• Wynik dokładny: Y rośnie o …………%.

• Aproksymacja: y=………..

• Błąd linearyzacji: y=………..

Błąd linearyzacji – ćwiczenie

• Równanie „na poziomach”:

• Rozwiązanie początkowe: X=4, Y=2.

• Równanie zlinearyzowane: y=0,5·x.

X Y =

• Zakładamy wzrost X z 4 do 16 (o 300%).

• Wynik dokładny: Y rośnie z 2 do 4 (o 100%).

• Aproksymacja: y=0,5·300=150.

• Błąd linearyzacji: 150 – 100 = 50 p.p.

Y 1 step Y^J

dY

Błąd linearyzacji – ilustracja

Exact

X⁰ X X

Y⁰

Y^exact

dX F

Y^exact – rozw. dokładne; Y^J – rozw. przybliżone (metoda Johansena).

Źródło: dokumentacja modelu MINIMAL.

Y 1 step

3 step Exact Y¹

Y³ Y^exact Y²

Y^J

Jak zmniejszyć błąd linearyzacji? (1)

Exact

X⁰ X¹ X² X³ X

Y⁰

Y Y^exact

X^F

Podział zmiany X na kilka mniejszych kroków (dla mniejszych kroków błędy linearyzacji są proporcjonalnie mniejsze) – metoda Eulera (wielokrokowa – multistep).

Źródło: dokumentacja modelu MINIMAL.

Jak zmniejszyć błąd linearyzacji? (2)

• Dzieląc zmiany X na nieskończoną (a w praktyce – bardzo dużą) liczbę kroków otrzymalibyśmy dokładne rozwiązanie…

• …ale takie podejście jest nieefektywne (relatywnie długi czas obliczeń)…

(relatywnie długi czas obliczeń)…

• …dlatego zaproponowano wykorzystanie ekstrapolacji.

Ekstrapolacja rozwiązań (1)

• Rozw. w 2 krokach – w każdym zwiększamy X o 100%

• Rozw. w 4 krokach – w każdym zwiększamy X o 41,42%

·

Metoda y Błąd

Johansena (1 krok) 150% 50 p.p.

• W tym przykładzie podwojenie liczby kroków zmniejsza błąd ok. dwukrotnie – więc np. dla 8 kroków y≈106% itd.

Źródło: dokumentacja modelu MINIMAL.

·

Eulera (2 kroki) 125% 25 p.p.

Eulera (4 kroki) 112,3% 12,3 p.p.

Eulera (∞ kroków) 100% 0

Ekstrapolacja rozwiązań (2)

• Faktycznie GEMPACK dzieli zmianę X nieco inaczej, tak że otrzymamy:

·

Metoda y Błąd

Johansena (1 krok) 150% 50 p.p.

Eulera (2 kroki) ^· 127,5% 27,5 p.p.

Eulera (2 kroki) 127,5% 27,5 p.p.

Eulera (4 kroki) 114,16% 14,16 p.p.

Eulera (∞ kroków) 100% 0

Rozw. wielokrokowe a współczynniki (1)

• W poprzednim przykładzie

zlinearyzowane równanie nie zawierało współczynników.

• Inny przykład: Y=X²+1

( _{Y = X} )

• Po linearyzacji: y=2·X²/Y·x

• Lub y=C·x gdzie C=2·X²/Y

• W powyższym równaniu występuje współczynnik C.

Rozw. wielokrokowe a współczynniki (2)

• Zał. rozw. początkowe: X=1, Y=2.

• Symulujemy zmianę X=1→X=4, dzieląc ją na 2 kroki: X=1→X=2→X=4.

• W punkcie X=1 współczynnik C=...

• W punkcie X=1 współczynnik C=...

• Ale w punkcie X=2 współczynnik C=...

• Zatem w symulacji wielokrokowej (inaczej niż w 1-krokowej) współczynniki nie są

stałe i powinny być aktualizowane z każdym krokiem symulacji.

Rozw. wielokrokowe a współczynniki (2)

• Zał. rozw. początkowe: X=1, Y=2.

• Symulujemy zmianę X=1→X=4, dzieląc ją na 2 kroki: X=1→X=2→X=4.

• W punkcie X=1 współczynnik C=1.

• W punkcie X=1 współczynnik C=1.

• Ale w punkcie X=2 współczynnik C=1,6.

• Zatem w symulacji wielokrokowej (inaczej niż w 1-krokowej) współczynniki nie są

stałe i powinny być aktualizowane z każdym krokiem symulacji.

Rozw. wielokrokowe a współczynniki (3)

• W kodzie modelu (TABLO) do aktualizacji współczynników służy polecenie Update.

Rozw. wielokrokowe a współczynniki (4)

• UWAGA – jeśli model „na poziomach” jest liniowy, to na podstawie modelu

przekształconego do postaci zawierającej procentowe przyrosty zmiennych dokładne rozwiązanie otrzymujemy w 1 kroku!

rozwiązanie otrzymujemy w 1 kroku!

• Aby rozwiązanie wielokrokowe było także poprawne potrzebne są odpowiednie

polecenia Update.

Rodzaje Update

• Jeśli w modelu jest zmienna p_x

wyrażająca procentowy przyrost X:

Update X = p_x;

• Jeśli X=X₁·X₂·X₃:

• Jeśli X=X₁·X₂·X₃:

Update X = p_x₁*p_x₂*p_x₃;

• W pozostałych przypadkach potrzebna formuła na zwykły przyrost (krańcowy) X.

Update (change) X = ...;