• Nie Znaleziono Wyników

Wielomian n-zmiennych x 1 , . . . , x n postaci

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wielomian n-zmiennych x 1 , . . . , x n postaci"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

Wyk lad 14

Formy kwadratowe I

Wielomian n-zmiennych x 1 , . . . , x n postaci

n

X

i,j=1

a ij x i x j , (1)

gdzie a ij ∈ R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1, . . . , n nazywamy form a kwadratow , a , n-zmiennych.

Form e kwadratow , a (1) mo˙zna te˙z zapisywa´ , c w postaci

n

X

i=1

a ii x 2 i + X

i<j

2a ij x i x j . (2)

Przyk lad 14.1. (a) Postaci a og´ , oln a formy kwadratowej jednej zmiennej jest wyra˙zenie ax , 2 1 , gdzie a ∈ R.

(b) Postaci a og´ , oln a formy kwadratowej dw´ , och zmiennych jest wyra˙zenie ax 2 1 + bx 2 2 + 2cx 1 x 2 , gdzie a, b, c ∈ R.

(c) Postaci a og´ , oln a formy kwadratowej trzech zmiennych jest wyra˙zenie a , 1 x 2 1 + a 2 x 2 2 + a 3 x 2 3 + 2ax 1 x 2 + 2bx 1 x 3 + 2cx 2 x 3 , gdzie a 1 , a 2 , a 3 , a, b, c ∈ R. 2

Macierz A = [a ij ] ∈ M n (R) nazywamy macierz a formy (1), r(A) nazywamy rz , edem formy , (1), za´ s det(A) nazywamy wyr´ o ˙znikiem tej formy.

Z definicji formy kwadratowej wynika, ˙ze jej macierz A spe lnia warunek A = A T , czyli A jest macierz a symetryczn , a. Na odwr´ , ot, ka˙zda macierz symetryczna jest macierz a pewnej formy , kwadratowej.

Przyk lad 14.2. Macierz a formy kwadratowej x , 2 1 + x 2 2 − 3x 1 x 2 − 3x 1 x 3 trzech zmiennych x 1 , x 2 , x 3 jest A =

1 − 3 23 2

3 2 1 0

3 2 0 0

 . Zatem wyr´ o˙znik tej formy det(A) = (−1) 3+1 · (− 3 2 ) ·

3 23 2

1 0

= (− 3 2 ) · (−(− 3 2 )) = − 9 4 6= 0, sk ad jej rz , ad wynosi 3. , 2

Na form e kwadratow , a (1) mo˙zemy te˙z patrze´ , c jak na funkcj e n-zmiennych F : R , n → R dan a , wzorem

F ([x 1 , . . . , x n ]) =

n

X

i,j=1

a ij x i x j , (3)

gdy˙z funkcja F jest wyznaczona jednoznacznie przez wsp´ o lczynniki a ij , bo a ij = 1 2 · [F (ε i +

ε j ) − F (ε i ) − F (ε j )] dla wszystkich i, j ∈ {1, . . . , n}.

(2)

Uto˙zsamiaj ac macierz [a] ze skalarem a ∈ R uzyskamy, ˙ze ,

[x 1 , . . . , x n ] · A · [x 1 , . . . , x n ] T = [x 1 , . . . , x n ] ·

a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n .. . .. . . .. .. . a n1 a n2 . . . a nn

·

 x 1

.. . x n

 =

= h

x 1 , . . . , x i , . . . , x n i

·

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n

.. .

a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a in x n .. .

a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . + a nn x n

=

" n

X

i=1

[x i ·

n

X

j=1

a ij x j ]

#

=

" n

X

i,j=1

a ij x i x j

#

= F ([x 1 , . . . , x n ]), a wi ec wz´ , or (3) mo˙zna zapisa´ c w postaci:

F ([x 1 , . . . , x n ]) = [x 1 , . . . , x n ] · A · [x 1 , . . . , x n ] T . (4) Twierdzenie 14.3. Niech f b edzie automorfizmem przestrzeni liniowej R , n posiadaj acym w , bazie kanonicznej macierz B i niech F b edzie form , a kwadratow , a n-zmiennych o macierzy A. , W´ owczas F ◦ f te˙z jest form a kwadratow , a n-zmiennych i jej macierz , a jest B , T · A · B.

Dow´ od. Na mocy wzoru (4) (F ◦f )([x 1 , . . . , x n ]) = F (f ([x 1 , . . . , x n ])) = F ([x 1 . . . x n ]·B T ) = [x 1 . . . x n ] · B T · A · ([x 1 . . . x n ] · B T ) T = [x 1 . . . x n ] · (B T · A · B) · [x 1 . . . x n ] T . Wystarczy zatem pokaza´ c, ˙ze macierz B T · A · B jest symetryczna. Ale z w lasno´sci transponowania macierzy (B T · A · B) T = B T · A T · (B T ) T = B T · A · B, gdy˙z macierz A jest symetryczna. 2

Definicja 14.4. Powiemy, ˙ze formy kwadratowe F i G, n-zmiennych s a r´ , ownowa ˙zne, je˙zeli istnieje automorfizm f przestrzeni R n taki, ˙ze G = F ◦ f .

Z twierdzenia 14.3 i ze stwierdzenia 11.15 otrzymujemy od razu nast epuj , ace ,

Twierdzenie 14.5. R´ ownowa˙zne formy kwadratowe n-zmiennych maj a takie same rz , edy. , 2

Twierdzenie 14.6. Relacja r´ ownowa˙zno´ sci form kwadratowych jest relacj a r´ , ownowa˙zno´ sci w rodzinie wszystkich form kwadratowych n-zmiennych.

Dow´ od. Niech F , G, H b ed , a dowolnymi formami kwadratowymi n-zmiennych. Poniewa˙z , id R

n

jest automorfizmem przestrzeni R n oraz F = F ◦ id R

n

, wi ec forma F jest r´ , ownowa˙zna formie F .

Za l´ o˙zmy, ˙ze forma F jest r´ ownowa˙zna formie G. Wtedy istnieje automorfizm f przestrzeni R n taki, ˙ze G = F ◦ f . Ale wtedy f −1 te˙z jest automorfizmem przestrzeni R n oraz F = G ◦ f −1 , wi ec forma G jest r´ , ownowa˙zna formie F .

Za l´ o˙zmy, ˙ze forma F jest r´ ownowa˙zna formie G oraz forma G jest r´ ownowa˙zna formie H.

Wtedy istniej a automorfizmy f , g przestrzeni R , n takie, ˙ze G = F ◦ f i H = G ◦ g. Zatem

H = F ◦ (f ◦ g). Ale f ◦ g jest automorfizmem przestrzeni R n , wi ec forma F jest r´ , ownowa˙zna

formie H. 2

(3)

Definicja 14.7. Form a kanoniczn , a n-zmiennych nazywamy form , e postaci ,

c 1 x 2 1 + c 2 x 2 2 + . . . + c n x 2 n , (5) dla pewnych c 1 , c 2 , . . . , c n ∈ R.

Twierdzenie 14.8. Ka˙zda forma kwadratowa n-zmiennych jest r´ ownowa˙zna pewnej formie kanonicznej n-zmiennych.

Dow´ od. Zastosujemy indukcj e wzgl , edem n. Przeprowadzone przez nas rozumowanie nazywa , si e metod , a Lagrange’a sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej. ,

Dla n = 1 teza jest oczywista na mocy przyk ladu 14.1 (a).

Niech n b edzie tak , a liczb , a naturaln , a wi , eksz , a od 1, ˙ze ka˙zda forma kwadratowa (n − 1)- , zmiennych jest r´ ownowa˙zna pewnej formie kanonicznej (n − 1)-zmiennych. Rozwa˙zmy dowoln a , form e kwadratow , a F , n-zmiennych o macierzy A = [a , ij ] ∈ M n (R). Je˙zeli a ij = 0 dla wszystkich i, j ∈ {1, . . . , n}, to F jest form a kanoniczn , a. Za l´ , o˙zmy wi ec dalej, ˙ze a , kl 6= 0 dla pewnych k, l ∈ {1, . . . , n}, przy czym k ≤ l. Mo˙zliwe s a teraz tylko dwa przypadki. ,

Przypadek 1. a ii = 0 dla wszystkich i = 1, . . . , n. Wtedy k < l oraz F ([x 1 , . . . , x n ]) = 2 · X

i<j

a ij x i x j =

= 2 · X

i<j,i6=k,j6=l

a ij x i x j + 2 · X

i<l,i6=k

a il x i x l + 2 · X

k<j,j6=l

a kj x k x j + 2a kl x k x l . Rozwa˙zmy przekszta lcenie liniowe f : R n → R n dane wzorem

f ([x 1 , . . . , x k , . . . , x l , . . . , x n ]) =



x 1 , . . . , x k + x l

2 , . . . , x k − x l

2 , . . . , x n

 .

Poniewa˙z f 2 = id R

n

, wi ec f jest automorfizmem przestrzeni R , n . Ponadto (F ◦f )([x 1 , . . . , x n ]) = F ([x 1 , . . . , x

k

+x 2

l

, . . . , x

k

−x 2

l

, . . . , x n ]) = 2 · X

i<j,i6=k,j6=l

a ij x i x j + 2 · X

i<l,i6=k

a il x i

x k − x l

2 +

2· X

k<j,j6=l

a kj x k + x l

2 x j +2a kl x k + x l

2 · x k − x l

2 . Mamy tutaj cztery sk ladniki, przy czym w pierw- szych trzech sk ladnikach (b ed , acych sumami) nie wyst , api x , 2 k . Poniewa˙z a kl 6= 0, wi ec w otrzy- , manej formie kwadratowej (r´ ownowa˙znej formie F ), x 2 k wyst api z niezerowym wsp´ , o lczynnikiem r´ ownym a 2

kl

. W ten spos´ ob dochodzimy do przypadku 2.

Przypadek 2. a ss 6= 0 dla pewnego s = 1, . . . , n. Bez zmniejszania og´ olno´ sci rozwa˙za´ n mo˙zemy zak lada´ c, ˙ze s = n, gdy˙z dla s < n przy pomocy automorfizmu f przestrzeni R n danego wzorem f ([x 1 , . . . , x s , . . . , x n ]) = [x 1 , . . . , x n , . . . , x s ] mo˙zemy form e F zast , api´ , c form a , F ◦ f , w kt´ orej wsp´ o lczynnik przy x n jest r´ owny a ss 6= 0. Niech zatem dalej a nn 6= 0. Wtedy

F ([x 1 , . . . , x n ]) = X

i<j<n

a ij x i x j + 2 ·

n−1

X

i=1

a in x i x n + a nn x 2 n =

= X

i<j<n

a ij x i x j + a nn x n + 1 a nn

n−1

X

i=1

a in x i

! 2

− 1 a nn

n−1

X

i=1

a in x i

! 2

.

(4)

Niech g b edzie , przekszta lceniem liniowym przestrzeni R n w siebie danym wzorem g([x 1 , . . . , x n−1 , x n ]) =

"

x 1 , . . . , x n−1 , x na 1

nn

n−1

X

i=1

a in x i )

# .

W´ owczas Ker(g) = {θ}, wi ec g jest automorfizmem przestrzeni R , n . Ponadto (F ◦ g)([x 1 , . . . , x n ]) = a nn x 2 n + G([x 1 , . . . , x n−1 ]), gdzie G jest form a kwadratow , a (n − 1)- , zmiennych i G([x 1 , . . . , x n−1 ]) = X

i<j<n

a ij x i x j − 1 a nn

n−1

X

i=1

a in x i

! 2

. Z za lo˙zenia indukcyjnego istnieje automorfizm h przestrzeni R n−1 taki, ˙ze (G ◦ h)([x 1 , . . . , x n−1 ]) = c 1 x 2 1 + . . . + c n−1 x 2 n−1 dla pewnych c 1 , . . . , c n−1 ∈ R. Istniej a zatem funkcjona ly ϕ , i : R n → R dla i = 1, . . . , n−1 takie,

˙ze h([x 1 , . . . , x n−1 ]) = [ϕ 1 ([x 1 , . . . , x n−1 ]), . . . , ϕ n−1 ([x 1 , . . . , x n−1 ])]. Niech t : R n → R n b edzie , odwzorowaniem danym wzorem

t([x 1 , . . . , x n−1 , x n ]) = [ϕ 1 ([x 1 , . . . , x n−1 ]), . . . , ϕ n−1 ([x 1 , . . . , x n−1 ]), x n ]. W´ owczas t jest prze- kszta lceniem liniowym i Ker t = {θ}, czyli t jest automorfizmem przestrzeni R n . Ponadto (F ◦ (g ◦ t))([x 1 , . . . , x n ]) = c 1 x 2 1 + . . . + c n−1 x 2 n−1 + a nn x 2 n . 2

Przyk lad 14.9. Przy pomocy metody Lagrange’a sprowadzimy do postaci kanonicznej form e kwadratow , a F ([x , 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]) = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 4 + x 4 x 1 i znajdziemy automorfizm liniowy f przestrzeni R 4 taki, ˙ze F ◦ f jest form a kanoniczn , a. Mamy tutaj przypadek 1, wi , ec , f 1 ([x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]) = [x 1 , x 2 , x

3

+x 2

4

, x

3

−x 2

4

]. Wtedy

(F ◦ f 1 )([x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]) =

= x 1 x 2 + x 2

x 3 + x 4

2 + x 3 + x 4

2 · x 3 − x 4

2 + x 3 − x 4 2 x 1 =

= x 1 x 2 + 1

2 x 2 x 3 + 1

2 x 1 x 3 + 1 4 x 2 3 − 1

4 x 2 4 + 1

2 x 2 x 4 − 1

2 x 1 x 4 =

= x 1 x 2 + 1

2 x 2 x 3 + 1

2 x 1 x 3 + 1 4 x 2 3 − 1

4 (x 4 − x 2 + x 1 ) 2 + 1

4 (x 2 − x 1 ) 2 =

= − 1

4 (x 4 − x 2 + x 1 ) 2 + 1 4 x 2 1 + 1

4 x 2 2 + 1 4 x 2 3 + 1

2 x 1 x 2 + 1

2 x 1 x 3 + 1 2 x 2 x 3 .

St ad f , 2 ([x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]) = [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 + x 2 − x 1 ]. Zatem (F ◦ f 1 ◦ f 2 )([x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]) = − 1 4 x 2 4 +

1

4 x 2 1 + 1 4 x 2 2 + 1 4 x 2 3 + 1 2 x 1 x 2 + 1 2 x 1 x 3 + 1 2 x 2 x 3 . Teraz zajmiemy si e form , a kwadratow , a G , 1 : G 1 ([x 1 , x 2 , x 3 ]) = 1

4 x 2 1 + 1 4 x 2 2 + 1

4 x 2 3 + 1

2 x 1 x 2 + 1

2 x 1 x 3 + 1

2 x 2 x 3 =

= 1

4 (x 2 3 + 2x 1 x 3 + 2x 2 x 3 ) + 1 4 x 2 1 + 1

4 x 2 2 + 1

2 x 1 x 2 =

= 1

4 (x 3 + x 1 + x 2 ) 2 − 1

4 (x 1 + x 2 ) 2 + 1 4 x 2 1 + 1

4 x 2 2 + 1

2 x 1 x 2 =

= 1

4 (x 3 + x 1 + x 2 ) 2

St ad h , 1 ([x 1 , x 2 , x 3 ]) = [x 1 , x 2 , −x 1 − x 2 + x 3 ] oraz (G 1 ◦ h 1 )([x 1 , x 2 , x 3 ]) = 1 4 x 2 3 . Zatem f 3 ([x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]) = [x 1 , x 2 , x 3 − x 1 − x 2 , x 4 ] oraz

(F ◦ f 1 ◦ f 2 ◦ f 3 )([x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]) = 1 4 x 2 3 − 1

4 x 2 4 .

(5)

Pozostaje zatem obliczy´ c f 1 ◦ f 2 ◦ f 3 . Poniewa˙z (f 2 ◦ f 3 )([x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]) =

= f 2 ([x 1 , x 2 , x 3 −x 1 −x 2 , x 4 ]) = [x 1 , x 2 , x 3 −x 1 −x 2 , x 4 +x 2 −x 1 ], wi ec (f , 1 ◦f 2 ◦f 3 )([x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]) = f 1 ([x 1 , x 2 , x 3 − x 1 − x 2 , x 4 + x 2 − x 1 ]) = [x 1 , x 2 , −x 1 + 1 2 x 3 + 1 2 x 4 , −x 2 + 1 2 x 3 − 1 2 x 4 ]. Zatem szukanym automorfizmem liniowym przestrzeni R 4 jest

f ([x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]) =



x 1 , x 2 , −x 1 + 1 2 x 3 + 1

2 x 4 , −x 2 + 1 2 x 3 − 1

2 x 4



.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zbadamy teraz zbie˙zno´ s´ c szeregu w kra´ ncach otrzymanego przedzia

Semestr zimowy Kolokwium próbne. Javier

Zbada´ ´ c obszar zbie˙zno´sci podanych szereg´ ow oraz wyrazi´ c sumy szereg´ ow przez

Zmienna losowa X ma rozk lad dyskretny, je˙zeli zbi´ or jej warto´sci S ⊂ R jest sko´ nczony

Jaki warunek geometryczny charakteryzuje punkty krzywej eliptycznej rz¸edu 2, rz¸edu

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2020/21.. Zadania do omówienia na ćwiczeniach w

Odpowiedź: Podany szereg jest

Znale´z´c si l¸e wywieran¸a przez tak¸a mas¸e na mas¸e punktow¸a znajduj¸ac¸a si¸e w odleg lo´sci x od ´srodka kuli.. Znajd´z energi¸e potencjaln¸a tego