Wyk lad 14
Formy kwadratowe I
Wielomian n-zmiennych x 1 , . . . , x n postaci
n
X
i,j=1
a ij x i x j , (1)
gdzie a ij ∈ R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1, . . . , n nazywamy form a kwadratow , a , n-zmiennych.
Form e kwadratow , a (1) mo˙zna te˙z zapisywa´ , c w postaci
n
X
i=1
a ii x 2 i + X
i<j
2a ij x i x j . (2)
Przyk lad 14.1. (a) Postaci a og´ , oln a formy kwadratowej jednej zmiennej jest wyra˙zenie ax , 2 1 , gdzie a ∈ R.
(b) Postaci a og´ , oln a formy kwadratowej dw´ , och zmiennych jest wyra˙zenie ax 2 1 + bx 2 2 + 2cx 1 x 2 , gdzie a, b, c ∈ R.
(c) Postaci a og´ , oln a formy kwadratowej trzech zmiennych jest wyra˙zenie a , 1 x 2 1 + a 2 x 2 2 + a 3 x 2 3 + 2ax 1 x 2 + 2bx 1 x 3 + 2cx 2 x 3 , gdzie a 1 , a 2 , a 3 , a, b, c ∈ R. 2
Macierz A = [a ij ] ∈ M n (R) nazywamy macierz a formy (1), r(A) nazywamy rz , edem formy , (1), za´ s det(A) nazywamy wyr´ o ˙znikiem tej formy.
Z definicji formy kwadratowej wynika, ˙ze jej macierz A spe lnia warunek A = A T , czyli A jest macierz a symetryczn , a. Na odwr´ , ot, ka˙zda macierz symetryczna jest macierz a pewnej formy , kwadratowej.
Przyk lad 14.2. Macierz a formy kwadratowej x , 2 1 + x 2 2 − 3x 1 x 2 − 3x 1 x 3 trzech zmiennych x 1 , x 2 , x 3 jest A =
1 − 3 2 − 3 2
− 3 2 1 0
− 3 2 0 0
. Zatem wyr´ o˙znik tej formy det(A) = (−1) 3+1 · (− 3 2 ) ·
− 3 2 − 3 2
1 0
= (− 3 2 ) · (−(− 3 2 )) = − 9 4 6= 0, sk ad jej rz , ad wynosi 3. , 2
Na form e kwadratow , a (1) mo˙zemy te˙z patrze´ , c jak na funkcj e n-zmiennych F : R , n → R dan a , wzorem
F ([x 1 , . . . , x n ]) =
n
X
i,j=1
a ij x i x j , (3)
gdy˙z funkcja F jest wyznaczona jednoznacznie przez wsp´ o lczynniki a ij , bo a ij = 1 2 · [F (ε i +
ε j ) − F (ε i ) − F (ε j )] dla wszystkich i, j ∈ {1, . . . , n}.
Uto˙zsamiaj ac macierz [a] ze skalarem a ∈ R uzyskamy, ˙ze ,
[x 1 , . . . , x n ] · A · [x 1 , . . . , x n ] T = [x 1 , . . . , x n ] ·
a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n .. . .. . . .. .. . a n1 a n2 . . . a nn
·
x 1
.. . x n
=
= h
x 1 , . . . , x i , . . . , x n i
·
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n
.. .
a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a in x n .. .
a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . + a nn x n
=
" n
X
i=1
[x i ·
n
X
j=1
a ij x j ]
#
=
" n
X
i,j=1
a ij x i x j
#
= F ([x 1 , . . . , x n ]), a wi ec wz´ , or (3) mo˙zna zapisa´ c w postaci:
F ([x 1 , . . . , x n ]) = [x 1 , . . . , x n ] · A · [x 1 , . . . , x n ] T . (4) Twierdzenie 14.3. Niech f b edzie automorfizmem przestrzeni liniowej R , n posiadaj acym w , bazie kanonicznej macierz B i niech F b edzie form , a kwadratow , a n-zmiennych o macierzy A. , W´ owczas F ◦ f te˙z jest form a kwadratow , a n-zmiennych i jej macierz , a jest B , T · A · B.
Dow´ od. Na mocy wzoru (4) (F ◦f )([x 1 , . . . , x n ]) = F (f ([x 1 , . . . , x n ])) = F ([x 1 . . . x n ]·B T ) = [x 1 . . . x n ] · B T · A · ([x 1 . . . x n ] · B T ) T = [x 1 . . . x n ] · (B T · A · B) · [x 1 . . . x n ] T . Wystarczy zatem pokaza´ c, ˙ze macierz B T · A · B jest symetryczna. Ale z w lasno´sci transponowania macierzy (B T · A · B) T = B T · A T · (B T ) T = B T · A · B, gdy˙z macierz A jest symetryczna. 2
Definicja 14.4. Powiemy, ˙ze formy kwadratowe F i G, n-zmiennych s a r´ , ownowa ˙zne, je˙zeli istnieje automorfizm f przestrzeni R n taki, ˙ze G = F ◦ f .
Z twierdzenia 14.3 i ze stwierdzenia 11.15 otrzymujemy od razu nast epuj , ace ,
Twierdzenie 14.5. R´ ownowa˙zne formy kwadratowe n-zmiennych maj a takie same rz , edy. , 2
Twierdzenie 14.6. Relacja r´ ownowa˙zno´ sci form kwadratowych jest relacj a r´ , ownowa˙zno´ sci w rodzinie wszystkich form kwadratowych n-zmiennych.
Dow´ od. Niech F , G, H b ed , a dowolnymi formami kwadratowymi n-zmiennych. Poniewa˙z , id R
njest automorfizmem przestrzeni R n oraz F = F ◦ id R
n, wi ec forma F jest r´ , ownowa˙zna formie F .
Za l´ o˙zmy, ˙ze forma F jest r´ ownowa˙zna formie G. Wtedy istnieje automorfizm f przestrzeni R n taki, ˙ze G = F ◦ f . Ale wtedy f −1 te˙z jest automorfizmem przestrzeni R n oraz F = G ◦ f −1 , wi ec forma G jest r´ , ownowa˙zna formie F .
Za l´ o˙zmy, ˙ze forma F jest r´ ownowa˙zna formie G oraz forma G jest r´ ownowa˙zna formie H.
Wtedy istniej a automorfizmy f , g przestrzeni R , n takie, ˙ze G = F ◦ f i H = G ◦ g. Zatem
H = F ◦ (f ◦ g). Ale f ◦ g jest automorfizmem przestrzeni R n , wi ec forma F jest r´ , ownowa˙zna
formie H. 2
Definicja 14.7. Form a kanoniczn , a n-zmiennych nazywamy form , e postaci ,
c 1 x 2 1 + c 2 x 2 2 + . . . + c n x 2 n , (5) dla pewnych c 1 , c 2 , . . . , c n ∈ R.
Twierdzenie 14.8. Ka˙zda forma kwadratowa n-zmiennych jest r´ ownowa˙zna pewnej formie kanonicznej n-zmiennych.
Dow´ od. Zastosujemy indukcj e wzgl , edem n. Przeprowadzone przez nas rozumowanie nazywa , si e metod , a Lagrange’a sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej. ,
Dla n = 1 teza jest oczywista na mocy przyk ladu 14.1 (a).
Niech n b edzie tak , a liczb , a naturaln , a wi , eksz , a od 1, ˙ze ka˙zda forma kwadratowa (n − 1)- , zmiennych jest r´ ownowa˙zna pewnej formie kanonicznej (n − 1)-zmiennych. Rozwa˙zmy dowoln a , form e kwadratow , a F , n-zmiennych o macierzy A = [a , ij ] ∈ M n (R). Je˙zeli a ij = 0 dla wszystkich i, j ∈ {1, . . . , n}, to F jest form a kanoniczn , a. Za l´ , o˙zmy wi ec dalej, ˙ze a , kl 6= 0 dla pewnych k, l ∈ {1, . . . , n}, przy czym k ≤ l. Mo˙zliwe s a teraz tylko dwa przypadki. ,
Przypadek 1. a ii = 0 dla wszystkich i = 1, . . . , n. Wtedy k < l oraz F ([x 1 , . . . , x n ]) = 2 · X
i<j
a ij x i x j =
= 2 · X
i<j,i6=k,j6=l
a ij x i x j + 2 · X
i<l,i6=k
a il x i x l + 2 · X
k<j,j6=l
a kj x k x j + 2a kl x k x l . Rozwa˙zmy przekszta lcenie liniowe f : R n → R n dane wzorem
f ([x 1 , . . . , x k , . . . , x l , . . . , x n ]) =
x 1 , . . . , x k + x l
2 , . . . , x k − x l
2 , . . . , x n
.
Poniewa˙z f 2 = id R
n, wi ec f jest automorfizmem przestrzeni R , n . Ponadto (F ◦f )([x 1 , . . . , x n ]) = F ([x 1 , . . . , x
k+x 2
l, . . . , x
k−x 2
l, . . . , x n ]) = 2 · X
i<j,i6=k,j6=l
a ij x i x j + 2 · X
i<l,i6=k
a il x i
x k − x l
2 +
2· X
k<j,j6=l
a kj x k + x l
2 x j +2a kl x k + x l
2 · x k − x l
2 . Mamy tutaj cztery sk ladniki, przy czym w pierw- szych trzech sk ladnikach (b ed , acych sumami) nie wyst , api x , 2 k . Poniewa˙z a kl 6= 0, wi ec w otrzy- , manej formie kwadratowej (r´ ownowa˙znej formie F ), x 2 k wyst api z niezerowym wsp´ , o lczynnikiem r´ ownym a 2
kl. W ten spos´ ob dochodzimy do przypadku 2.
Przypadek 2. a ss 6= 0 dla pewnego s = 1, . . . , n. Bez zmniejszania og´ olno´ sci rozwa˙za´ n mo˙zemy zak lada´ c, ˙ze s = n, gdy˙z dla s < n przy pomocy automorfizmu f przestrzeni R n danego wzorem f ([x 1 , . . . , x s , . . . , x n ]) = [x 1 , . . . , x n , . . . , x s ] mo˙zemy form e F zast , api´ , c form a , F ◦ f , w kt´ orej wsp´ o lczynnik przy x n jest r´ owny a ss 6= 0. Niech zatem dalej a nn 6= 0. Wtedy
F ([x 1 , . . . , x n ]) = X
i<j<n
a ij x i x j + 2 ·
n−1
X
i=1
a in x i x n + a nn x 2 n =
= X
i<j<n
a ij x i x j + a nn x n + 1 a nn
n−1
X
i=1
a in x i
! 2
− 1 a nn
n−1
X
i=1
a in x i
! 2
.
Niech g b edzie , przekszta lceniem liniowym przestrzeni R n w siebie danym wzorem g([x 1 , . . . , x n−1 , x n ]) =
"
x 1 , . . . , x n−1 , x n − a 1
nn
