Zadania z OTW (zestaw 7)

(1)

Zadania z OTW (zestaw 7)

37. Prosz¦ za pomoc¡ diagramamów Penrose'a zbada¢ struktur¦ kauzaln¡ czasoprzestrzeni:

(a) 1 + 1 Minkowski (b) 3 + 1 Minkowski

(c) Schwarzschild (d) de Sitter

(e) anty de Sitter

38. W modelu Friedmana deniujemy tensor

K

_αβ

= a

²

(t)(g

_αβ

+ u

_α

u

_β

) ,

gdzie u

^α

= (1, 0, 0, 0) jest pr¦dko±ci¡ obserwatora wspóªporuszajacego si¦.

(a) Pokaza¢, »e ∇

(α

K

_µν)

= 0 (zadanie nadobowi¡zkowe).

(b) Korzystaj¡c z (a) pokaza¢, »e dla cz¡stki poruszaj¡cej si¦ po geodetyce z wektorem stycznym v

^α

wielko±¢ K = K

αβ

v

^α

v

^β

jest staªa.

(c) Stosuj¡c (b) do geodetyki zerowej wyprowadzi¢ wzór na redshift kosmologiczny.

Co wynika z (b) dla geodetyki czasowej?

39. Korzystaj¡c z równa« Friedmana znale¹¢ rozwi¡zanie równa« Einsteina bez materii, ale z niezerow¡ staª¡ kosmologiczn¡ Λ (rozwa»y¢ dodatnie i ujemne warto±ci Λ).

40. Napisa¢ równania Friedmana dla pyªu z dodatni¡ staª¡ kosmologiczn¡ i dobra¢ tak warto±ci parametrów, aby rozwi¡zanie byªo statyczne. Pokaza¢, »e to rozwi¡zanie jest

Zadania z OTW (zestaw 7)

Zadania z OTW (zestaw 7)

37. Prosz¦ za pomoc¡ diagramamów Penrose'a zbada¢ struktur¦ kauzaln¡ czasoprzestrzeni:

(a) 1 + 1 Minkowski (b) 3 + 1 Minkowski

(c) Schwarzschild (d) de Sitter

(e) anty de Sitter

38. W modelu Friedmana deniujemy tensor

K

= a

(t)(g

+ u

u

) ,

gdzie u

= (1, 0, 0, 0) jest pr¦dko±ci¡ obserwatora wspóªporuszajacego si¦.

(a) Pokaza¢, »e ∇

K

= 0 (zadanie nadobowi¡zkowe).

(b) Korzystaj¡c z (a) pokaza¢, »e dla cz¡stki poruszaj¡cej si¦ po geodetyce z wektorem stycznym v

wielko±¢ K = K

v

v

jest staªa.

(c) Stosuj¡c (b) do geodetyki zerowej wyprowadzi¢ wzór na redshift kosmologiczny.

Co wynika z (b) dla geodetyki czasowej?

39. Korzystaj¡c z równa« Friedmana znale¹¢ rozwi¡zanie równa« Einsteina bez materii, ale z niezerow¡ staª¡ kosmologiczn¡ Λ (rozwa»y¢ dodatnie i ujemne warto±ci Λ).

40. Napisa¢ równania Friedmana dla pyªu z dodatni¡ staª¡ kosmologiczn¡ i dobra¢ tak warto±ci parametrów, aby rozwi¡zanie byªo statyczne. Pokaza¢, »e to rozwi¡zanie jest

niestabilne wzgl¦dem maªych zaburze«.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/

Zadania z OTW (zestaw 7)

Zadania z OTW (zestaw 7)

37. Prosz¦ za pomoc¡ diagramamów Penrose'a zbada¢ struktur¦ kauzaln¡ czasoprzestrzeni:

(a) 1 + 1 Minkowski (b) 3 + 1 Minkowski

(c) Schwarzschild (d) de Sitter

(e) anty de Sitter

38. W modelu Friedmana deniujemy tensor

K

= a

(t)(g

+ u

u

) ,

gdzie u

= (1, 0, 0, 0) jest pr¦dko±ci¡ obserwatora wspóªporuszajacego si¦.

(a) Pokaza¢, »e ∇

K

= 0 (zadanie nadobowi¡zkowe).

(b) Korzystaj¡c z (a) pokaza¢, »e dla cz¡stki poruszaj¡cej si¦ po geodetyce z wektorem stycznym v

wielko±¢ K = K

v

v

jest staªa.

(c) Stosuj¡c (b) do geodetyki zerowej wyprowadzi¢ wzór na redshift kosmologiczny.

Co wynika z (b) dla geodetyki czasowej?

39. Korzystaj¡c z równa« Friedmana znale¹¢ rozwi¡zanie równa« Einsteina bez materii, ale z niezerow¡ staª¡ kosmologiczn¡ Λ (rozwa»y¢ dodatnie i ujemne warto±ci Λ).

40. Napisa¢ równania Friedmana dla pyªu z dodatni¡ staª¡ kosmologiczn¡ i dobra¢ tak warto±ci parametrów, aby rozwi¡zanie byªo statyczne. Pokaza¢, »e to rozwi¡zanie jest

niestabilne wzgl¦dem maªych zaburze«.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/

38. W modelu Friedmana deniujemy tensor