UWAGI O SPOSOBACH OBRÓBKI DANYCH Z POMIARÓW KINEMATYCZNYCH DLA ZADAŃ SYMULACJI DYNAMICZNEJ ODWROTNEJ UKŁADÓW BIOMECHANICZNYCH

41, s. 55-63, Gliwice 2011

UWAGI O SPOSOBACH OBRÓBKI DANYCH Z POMIARÓW KINEMATYCZNYCH

DLA ZADAŃ SYMULACJI DYNAMICZNEJ ODWROTNEJ UKŁADÓW BIOMECHANICZNYCH

KRZYSZTOF DZIEWIECKI, WOJCIECH BLAJER, ZENON MAZUR

Instytut Mechaniki Stosowanej i Energetyki, Wydział Mechaniczny, Politechnika Radomska e-mail: krzysztof.dziewiecki@pr.radom.pl; w.blajer@pr.radom.pl; z.mazur@pr.radom.pl

Streszczenie. Wiarygodność symulacji dynamicznej odwrotnej układów biomechanicznych zależy od jakości zbudowanego modelu dynamicznego, poprawności oszacowania parametrów masowo-geometrycznych oraz dokładności użytych charakterystyk kinematycznych analizowanej czynności ruchowej.

W pracy ocenia się kilka sposobów obróbki danych pomiarowych. Mierzone reakcje z podłożem podczas wybicia z platformy dynamometrycznej są porównywane z reakcjami wyznaczanymi z modelu, co stanowi kryterium oceny jakości zmierzonych i numerycznie obrobionych danych kinematycznych.

1. WSTĘP

Racjonalnym (bezinwazyjnym) sposobem szacowania wartości sił mięśniowych i reakcji w stawach człowieka podczas wykonywania określonych czynności ruchowych są metody symulacji komputerowej z użyciem adekwatnego modelu dynamicznego, oddającego cechy masowo-geometryczne układu mięśniowo-szkieletowego oraz biomechanikę ruchu człowieka. Danymi wejściowymi dla symulacji dynamicznej odwrotnej prowadzonej z użyciem tych modeli są charakterystyki kinematyczne analizowanych czynności, uzyskiwane metodami fotogrametrycznymi – poprzez rejestrację za pomocą układu kamer położeń w czasie odpowiednich punktów (markerów) na ciele człowieka, a następnie komputerową obróbkę tych danych pomiarowych. Wiarygodność wyników takiej symulacji jest wypadkową jakości zbudowanego modelu dynamicznego ciała człowieka, dokładności oszacowania parametrów geometryczno-inercyjnych tego modelu oraz precyzji przygotowanych charakterystyk kinematycznych [1]. Niniejsza praca koncentruje się na tym ostatnim zagadnieniu.

Na jakość charakterystyk kinematycznych badanej czynności ruchowej ma wpływ wiele czynników. Ważna jest sama technika pomiarowa, w tym liczba i ustawienie kamer rejestrujących ruch, częstotliwość kamer, kalibracja i rozdzielczość obrazów, a także precyzja ulokowania markerów we właściwych punktach anatomicznych. Niezależnie od stosowanych technik otrzymywane (dyskretne) przebiegi położeń markerów w czasie są zawsze obarczone błędami przypadkowymi, wynikającymi z niedokładności urządzeń optoelektrycznych, przemieszczania się markerów względem układu kostnego, czy ograniczonej precyzji digitalizacji obrazów. Te wysoko-częstotliwościowe i nisko-amplitudowe zakłócenia

mierzonych położeń są następnie silnie wzmacniane przy numerycznym różniczkowaniu tych

„surowych” danych w celu wyznaczenia wymaganych charakterystyk kinematycznych na poziomie prędkości i (przede wszystkim) przyspieszenia, co w praktyce wyklucza ich przydatność dla zadań symulacji dynamicznej odwrotnej. Dane otrzymywane z pomiarów zawsze wymagają odpowiedniej obróbki numerycznej (wygładzania/filtrowania) [2,3].

Sposób przygotowania tych danych może być źródłem istotnego zróżnicowania wyników symulacji dynamicznej odwrotnej.

W niniejszej pracy analizuje się kilka sposobów obróbki i przygotowania danych kinematycznych dla zadań symulacji dynamicznej odwrotnej. Analizę tę prowadzi się z użyciem danych kinematycznych zarejestrowanego naskoku jedną nogą na podłoże (platformę dynamometryczną), a następnie odbicia się z tej nogi (rys. 1). Mierzone reakcje z podłożem są porównywane z reakcjami wyznaczanymi z modelu, co stanowi kryterium oceny jakości stosowanego modelu dynamicznego oraz precyzji przygotowanych danych kinematycznych.

Rys.1. Wybrane kadry z filmu rejestrującego naskok i odbicie z platformy dynamometrycznej

2. MODEL DYNAMICZNY

Analizowany skok potraktowano jako ruch płaski, realizowany w płaszczyźnie strzałkowej. Model skaczącego (rys. 2a) składa się z b=14 sztywnych segmentów połączonych przegubowo w k=13 stawach. W fazie lotu układ ma k+3=16 stopni swobody, a podczas kontaktu z podłożem na stopę prawej nogi oddziałują reakcje

T P y x

r =[R R M ]

λ sprowadzone do punktu P (rys. 2c). Przyjęto deterministyczny model sterowania [3] za pomocą wypadkowych momentów sił mięśniowych w stawach

T k] [τ L₁ τ

=

τ , a do opisu położenia układu użyto n= b3 =42 współrzędnych absolutnych

T b Cb Cb C

C y x y

x ]

[ _{1 1} θ L₁ θ

=

p , na które składają się współrzędne środków mas członów w inercjalnym układzie XY oraz kąty odchylenia członów od pionu (zilustrowane na rys. 2b).

Ruch członów skrępowany jest l= k2 =26 więzami połączeń w stawach, a w fazie kontaktu z podłożem na stopę działają dodatkowo reakcje od podłoża λ . Równania więzów we _r współrzędnych absolutnych p mają postać Φ(p)=0 i definiują zablokowane kierunki

(poziomy i pionowy) przemieszczeń względnych w stawach [4]. Dynamiczne równaniu ruchu układu we współrzędnych p mają postać

τ B λ p C λ p C f p

M = − − r+

T r T

g ( ) ( )

&& (1)

gdzie Mp&&=f_g jest złożeniem niezależnych równań ruchu dla członów swobodnych pod działaniem tylko sił grawitacyjnych. Siły bierne, wynikające z więzów połączeń, reprezentuje

-

n wektor uogólnionych sił reakcji więzów f_λ=−C^Tλ, gdzie C=∂Φ/∂p jest -

n

l× wymiarową macierzą więzów, a λ=[λ L₁ λ_l]^T jest wektorem (fizycznych) sił reakcji w stawach. Analogiczne określenia dotyczą wektora uogólnionych sił reakcji w wyniku kontaktu z podłożem f_r=−C^T_rλ_r (w fazie lotu są one z założenia zerowe) oraz uogólnionych sił sterowania f_τ=Bτ, gdzie B jest macierzą dystrybucji momentów sterujących τ na kierunki p.

2

X

a)

Y AL

K_L 5 6

1

H ⁷

8 10

9

MP

A

3 R

Ry

P R^x

12

K_R

c)

13

b)

H

x

1 C1

K_R

C1

y

Rys.2. Aspekty modelowania: a) model deterministyczny skaczącego, b) współrzędne absolutne, c) oddziaływanie z podłożem

Wykorzystując charakterystyki kinematyczne analizowanego skoku, p_d(t), )p&_d(t i p&&_d(t), równania (1) przekształcają się w układ n=42 liniowych równań algebraicznych względem

=26

l mnożników Lagrange’a λ , 3lr= składowych λ oraz _r k=13 wypadkowych momentów sił mięśniowych τ w stawach, l+l_r+k=n. Przebiegi tych zmiennych podczas analizowanego ruchu, λ_d(t), )λ_rd(t i τ_d(t), wyznaczyć można zatem jednoznacznie z zależności

) (

] ) ( ) (

[ ^T _d ^T_{r d} ¹ _{d g}

r C p C p B Mp f

τ λ

λ

−

−

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− &&

M

M (2)

gdzie -n× wymiarowa macierz n [−C^T M−C^T_r MB] jest z założenia odwracalna. Rozwiązanie to obowiązuje zarówno dla fazy kontaktu z podłożem (jedną stopą) jak i fazy lotu, gdy żadna ze stóp nie kontaktuje się z podłożem (λ_rd(t) powinny być wówczas zerowe). Można zauważyć, że wyznaczone z zależności (2) przebiegi reakcji w stawach λ_d(t) nie uwzględniają wpływu sił mięśniowych, który to wpływ może być znaczny [5,6].

3. REJESTRACJA RUCHU I OBRÓBKA DANYCH POMIAROWYCH

Rejestracji ruchu dokonano z wykorzystaniem układu przestrzennie rozstawionych kamer cyfrowych o częstotliwości 100 Hz. Otrzymano (dyskretne) przebiegi w czasie przestrzennych położeń m=21 punktów bazowych (m.in. osi obrotu w stawach), a dla członów najbardziej zewnętrznych dodatkowo w punktach zaznaczonych na rys. 2a za pomocą dużych kropek. Na potrzeby analiz tej pracy wykorzystano tylko przebiegi w płaszczyźnie XY, a więc składowe r_j =[x_j y_j]^T położenia markerów, r=[r₁^T L r_m^T]^T. Przy znanych (zmierzonych lub oszacowanych z zastosowaniem modeli proporcjonalnych) długościach poszczególnych członów oraz położeniach ich środków mas w lokalnych układach odniesienia możliwe było następnie przetransformowanie tych wyjściowych danych pomiarowych na przebiegi w czasie współrzędnych absolutnych członów, a więc r(t)→p(t). W obliczeniach tych uwzględniano „mierzone” zmiany odległości (w płaszczyźnie XY) między markerami ulokowanymi na tych samych członach (z założenia odległości te powinny być stałe). Dla danej chwili czasu t , chwilowe wartości prędkości i przyspieszenia członów _i liczone były następnie z wykorzystaniem różnic skończonych

t

i i

i Δ

= ⁺ − ⁻ 2

1

1 p

p& p , ¹ 2 ₂ ¹ t

i i i

i Δ

+

=p⁺ − p p⁻

p&& (3)

gdzie Δt=0.01s jest interwałem czasowym wynikającym z częstotliwości kamer, a p_i−1, p _i i p_i+1 są wartościami współrzędnych odpowiednio dla t_i−1=t_i−Δt, t oraz _i t_i+1=t_i+Δt.

0 0.25 0.5 0.75 1

0.4 0.8 1.2

t [s]

y_C1

[m]  

faza kontaktu z platformą

0 0.25 0.5 0.75 1

-80 0 80

t [s]

y_C1 [m/s²]

..

Rys.3. Niewygładzone charakterystyki ruchu pionowego środka masy prawego uda Otrzymywane z pomiarów położenia markerów r(t), przeliczane na położenia członów

) (t

p , obarczone są wysoko-częstotliwościowymi zakłóceniami (błędami przypadkowymi). Ze względu na relatywnie małą amplitudę tych zakłóceń (w odniesieniu do globalnych zmian położeń) nie mają one zwykle istotnego wpływu na kształt/gładkość „surowych” przebiegi

) (t

p , które mogą być ewentualnie użyte w równaniu (2) jako p_d(t). Zakłócenia te są jednak silnie wzmacniane przy wyznaczaniu przyspieszeń zgodnie z formułą (3)2 (lub innym sposobem). Otrzymywane tak przebiegi p&&_d(t) są zwykle bezużyteczne dla zadań symulacji

dynamicznej odwrotnej. Przykład takich „surowych” charakterystyk kinematycznych pokazano na rys. 3 dla ruchu pionowego środka masy nogi prawej (kontaktującej się z podłożem).

Dane kinematyczne p(t) otrzymane z pomiarów wymagają obróbki celem przygotowania odpowiednich )p_d(t i p&&_d(t) dla symulacji dynamicznej odwrotnej (p&_d(t) nie są bezpośrednio wykorzystywane w zależności (2)). Zabiegi te polegają zwykle na wygładzaniu/aproksymacji zaburzonych błędami przypadkowymi charakterystyk kinematycznych lub filtrowaniu tych wysoko-częstotliwościowych zaburzeń [2.3,7]. Poniżej opisano cztery z tych technik.

a) Aproksymacja z wykorzystaniem wielomianowych funkcji sklejanych trzeciego stopnia (splajnów). Wyjściowe charakterystyki dyskretne p(t) przekształcane są na opisane analitycznie charakterystyki ciągłe p_d(t). Stosując algorytm pracy [8], możliwe jest sterowanie efektem wygładzania przebiegów p_d(t) za pomocą dobieranych przez użytkownika „współczynników wagowych” w punktach węzłowych.

Przebiegi )p&&_d(t wyznaczane są następnie analitycznie bądź z zależności (3)2 z wykorzystaniem punktów z wygładzonego przebiegu p_d(t). Cechą tego algorytmu są wymuszone zerowe przyspieszenia w początkowym i końcowym punkcie węzłowym.

b) Filtr Butterwortha. Celem jest istotne stłumienie wysoko-częstotliwościowych błędów przypadkowych w przebiegach p(t). Poprawione dane otrzymuje się, stosując [2,3]

F i F i i i i F

i =a₀p +a₁p₋₁+a₂p₋₂+b₁p₋₁+b₂p₋₂

p (4)

gdzie p oznacza dane przefiltrowane. „Odcinając” zaburzenia powyżej 10 Hz (przy ^F częstotliwości próbkowania 100 Hz), współczynniki występujące w tej zależności można dobrać jako [2]: a₀ = a₂=0.06746, 13491a₁=0. , 14298b₁=1. , 41280b₂=−0. (ich suma jest równa 1). Jak widać, przefiltrowane przebiegi otrzymuje się dopiero od trzeciego punktu pomiarowego, i=3, a rozpoczęcie obliczeń wymaga wstępnego oszacowania p oraz 1^F p . Ze względu na generowane przez filtr przesunięcie w czasie ^F₂ (spóźnienie) wygładzonych danych, z reguły zaleca się filtrowanie danych w obie strony [2,7]. Wykorzystując otrzymane tak p_d(t), wartości p&&_d(t) wyznacza się następnie stosując schemat przyrostowy (3)2. Wyniki te mogą być znów filtrowane.

c) Metoda ważonej średniej kroczącej, będąca rodzajem filtru SOI (skończonej odpowiedzi impulsowej) [9]. Schemat obliczeniowy filtru wykorzystuje tylko wartości wyjściowe )p(t . Spośród wielu możliwych odmian tej metody dobre rezultaty dał schemat oparty na siedmiu punktach, odpowiadający rozkładowi normalnemu współczynników

3 3 2 2 1 1 0 1 1 2 2 3

3 − + − + − + + + + + + +

= _{i i i i i i i}

F

i ap ap ap ap bp bp bp

p (5)

gdzie 036633a₃= b₃=0. , 111281a₂= b₂=0. , 216745a₁= b₁=0. oraz a₀=0.270682 (suma współczynników jest równa 1). Tym razem wygładzone dane otrzymać można od czwartego punktu, a proces kończy się na czwartym punkcie od końca. Przefiltrowane tak dane może również charakteryzować spóźnienie czasowe, co można usunąć poprzez dwukrotne użycie procedury w obie strony. Wykorzystując otrzymane tak p_d(t), wartości )p&&_d(t wyznacza się następnie stosując schemat przyrostowy (3)2. Dane mogą być filtrowane wielokrotnie, na poziomie położeń, prędkości i przyspieszeń.

d) Różniczkowanie danych pomiarowych z wykorzystaniem schematu Newmarka. To nowe podejście [10] wykorzystuje metodę Newmarka całkowania równań różniczkowych, stosując ją w kierunku odwrotnym – od położeń do prędkości i przyspieszeń. Jak pokazano w pracy [10], przyspieszenia i prędkości można wyznaczyć z zależności

i i

i i

i p tp p t p

p&& & &&

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛ − Δ + Δ −

= ⁺ −

+ β β 2β

1 1

2 1

1 , p&i₊₁=p&i+Δt(1−γ)p&&i+Δtγp&&i₊₁ (6) gdzie 5γ ≥0. oraz β≥(0.5+γ)²/4 zapewniają tłumienie błędów przypadkowych. W ten sposób bezpośrednio z nieobrobionych danych p(t) otrzymuje się p&&_d(t). Procedura obowiązuje od drugiego punktu pomiarowego, a dobór współczynników γ i β jest zależny od użytkownika [9]. W zastosowaniach poniżej przyjęto γ=2 oraz β=10.

0 0.25 0.5 0.75 1

-80 0 80

t [s]

y_C1 [m/s²]

..

0 0.25 0.5 0.75 1

-80 0 80

t [s]

y_C1 [m/s²]

..

Rys.4. Efekt wygładzenia przyspieszeń metodami a), b), c) i d)

Współrzędne modelu wygładzane są tylko metodami a), b) i c), )p(t)→p_d(t (w schemacie d), wzorowanym na metodzie Newmarka, wykorzystywane są „surowe” przebiegi

) (t

p ). Wygładzone przebiegi p_d(t) metodami a), b) i c) praktycznie się ze sobą pokrywają, wizualnie nie odbiegają też od przebiegów niewygładzonych p(t). Nie będą więc one tutaj pokazywane. Efekt wygładzania widać dopiero na poziomie przyspieszeń, co ilustruje rys. 4.

Relatywnie najgorszy efekt daje metoda Newmarka, co zostanie potwierdzone również w następnym rozdziale. Dla wygładzania splajnami charakterystyczna jest zerowa wartość przyspieszenia dla chwili początkowej (brak tego efektu na końcu pokazanego przedziału czasu wynika z obcięcia wyników prezentowanych na wykresach). Pokazane przebiegi przyjmą oczywiście nieco inne przebiegi dla innych, niż zastosowano, parametrów poszczególnych metod.

4. WYBRANE WYNIKI SYMULACJI DYNAMICZNEJ ODWROTNEJ

Z użyciem charakterystyk kinematycznych p_d(t) oraz p&&_d(t) (p&_d(t) nie są wykorzystywane, symulację dynamiczną odwrotną analizowanego skoku prowadzono zgodnie z równaniem (2). Jednym z wyników tej symulacji są wyznaczane przebiegi reakcji

)

rd(t

λ z podłożem. W fazie lotu reakcje te powinny być zerowe, a podczas kontaktu z podłożem, równe mierzonym na platformie dynamometrycznej. Zgodność obliczanych i oczekiwanych/mierzonych reakcji z podłożem może być kryterium adekwatności

zbudowanego modelu mięśniowo-szkieletowego, poprawności oszacowania charakterystyk masowo-geometrycznych oraz precyzji użytych charakterystyk kinematycznych.

Na rys. 5 pokazane są wyznaczone przebiegi reakcji pionowej R_y(t) na tle wartości mierzonych. Pierwszy wykres pokazuje efekt zastosowania danych „surowych”. Wysoko- częstotliwościowe wahania R_y(t) wyznaczanych z użyciem tych danych podważają sens ich stosowania. Kolejne wykresy pokazują efekt zastosowania wygładzonych przebiegów p_d(t) i (przede wszystkim) p&&_d(t). Zastosowanie filtrów Butterwotha oraz SOI daje podobne efekty, a wyznaczane przebiegi R_y(t) są bardzo zbliżone (jakościowo i ilościowo) do przebiegów zmierzonych na platformie dynamometrycznej. Dobre efekty daje też wygładzanie danych z pomocą splajnów. Najgorsze wyniki uzyskano przy zastosowaniu schematu Newmarka (6) dla wyznaczania p&&_d(t) bezpośrednio z danych nieobrobionych. Odrzucając ten sposób jako wątpliwy, można zauważyć, że niezerowe wartości R_y(t) w początkowej fazie ruchu są wynikiem kontaktu z podłożem przed naskokiem na platformę (dla wygładzania splajnami są one „zafałszowane” przez wymuszone metodą zerowe przyspieszenia układu dla t=0s).

Charakterystyczne jest też wygładzenie sił uderzeniowych oraz „numeryczne” wcześniejsze rozpoczęcie i późniejsze zakończenie kontaktu z podłożem/platformą.

0 0.25 0.5 0.75 1

-2000 0 2000 4000

t [s]

R_y [N]

 kontakt 

pomiar surowe dane

0 0.25 0.5 0.75 1

-2000 0 2000 4000

t [s]

R_y [N]

 kontakt 

pomiar a) splajny b) Butterworth

a) b)

b)

b) a)

0 0.25 0.5 0.75 1

-2000 0 2000 4000

t [s]

R_y [N]

 kontakt 

pomiar c) SOI d) Newmark

c) d)

d)

d) c)

Rys.5. Wyznaczane reakcje z podłożem na tle pomiarów z platformy dynamometrycznej

5. WNIOSKI

Dokładność pomiaru charakterystyk dynamicznych analizowanych czynności ruchowych, a przede wszystkim adekwatność numerycznej obróbki (wygładzania) tych danych, ma fundamentalne znaczenie dla poprawności i wiarygodności wyników symulacji dynamicznej odwrotnej. Szczególne znaczenie ma pozyskiwanie tych charakterystyk na poziomie przyspieszeń, wyznaczanych numerycznie na podstawie mierzonych położeń odpowiednich punktów anatomicznych (markerów) na ciele człowieka. Użycie tych charakterystyk w postaci „surowej”, ze względu na ich wysoko-częstotliwościowe zakłócenia błędami przypadkowymi, silnie wzmacnianymi przy obliczaniu przyspieszeń, czyni wyniki symulacji

odwrotnej w praktyce nieużytecznymi. Spośród analizowanych w pracy metod wygładzania danych pomiarowych najbardziej wiarygodne wydają się zastosowania filtrów Butterwortha oraz SOI (metody ważonej średniej kroczącej). Relatywnie poprawne wyniki otrzymywano też po zastosowaniu splajnów dla wygładzania danych pomiarowych. Wszystkie metody posiadają pewne ograniczenia i wymagają dużego doświadczenia przy doborze odpowiednich parametrów sterujących. Optymalne wartości tych parametrów zależą od rodzaju analizowanego zagadnienia, częstości rejestracji, czy rzetelności przygotowanie charakterystyk „surowych”.

Ograniczeniem wszystkich metod wygładzania danych pomiarowych jest „obcinanie”

mogących występować w rzeczywistości gwałtownych przyrostów przyspieszeń, związanych na przykład z przechodzeniem od stanu lotu do stanu kontaktu z podłożem/otoczeniem. W analizowanym przypadku skutkowało to istotnym „łagodzeniem” wyznaczanych sił uderzeniowych oraz numerycznie wcześniejszym wchodzeniem i późniejszym kończeniem fazy kontaktu z podłożem. Obliczane reakcje z podłożem były też nieco niższe od mierzonych.

LITERATURA

1. Hatze H.: The fundamental problem of myoskeletal inverse dynamics and its implications. “Journal of Biomechanics” 2002, 35, p. 109-115.

2. Winter D.A.: Biomechanics and motor control of human movements. New York: John Wiley & Sons, 1990.

3. Silva M.P.T., Ambrósio J.A.C.: Human motion analysis using multibody dynamics and optimization tools. Technical Report IDMEC/CPM – 2004/001, Lisbon, 2004.

4. Blajer W., Dziewiecki K., Mazur Z.: Multibody modeling of human body for the inverse dynamics analysis of sagittal plane movements. “Multibody System Dynamics” 2007, 18, p. 217-232.

5. Yamaguchi G. T.: Dynamic modeling of musculoskeletal motion. A vectorized approach for biomechanical analysis in three dimensions. Dordrecht : Kluwer, 2001.

6. Blajer W., Czaplicki A., Dziewiecki K., Mazur Z.: Influence of selected modeling and computational issues on muscle force estimates. “Multibody System Dynamics” 2010, 24, p. 473–492.

7. Erer K.S.: Adaptive usage of the Butterworth digital filter. “Journal of Biomechanics”

2007, 40, p. 2934-2943.

8. Reinsch C.H.: Smoothing by spline functions. “Numerische Mathematik” 1967, 10, p.

177-183.

9. Oppenheim A.V., Schafer R.W.: Discrete-time signal processing. Upper Saddle River : Prince Hall Press, 2009.

10. Alonso F.J., Cuadrado J., Lugrís U., Pintado P.: A compact smoothing-differentiation and projection approach for the kinematic data consistency of biomechanical systems.

“Multibody System Dynamics” 2010, 24, p. 67–80.

REMARKS ON METHODS FOR SMOOTHING MEASURED KINEMATIC DATA USED IN INVERSE DYNAMICS SIMULATION OF BIOMECHANICAL SYSTEMS

Summary. Validity of inverse dynamics simulation of biomechanical systems depends on quality of the dynamic model built, correctness of the assessed inertial-geometric parameters, and accuracy of used kinematic characteristics of the analyzed movement. In this paper some data smoothing techniques are evaluated. Measured ground reactions when a gymnast jumps on a force plate, and then takes off, are compared with those computed from inverse dynamics analysis, regarded as a criterion for quality valuation of the data smoothing techniques.

Publikacja jest wynikiem pracy naukowej finansowanej przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego ze środków na naukę w latach 2010–2012, jako projekt badawczy Nr N N501 156438.