STRESZCZENIE
W pracy przedstawiono krótki przegląd modeli probabilistycznych oddziaływań zmiennych, głównie klimatycznych oraz możliwości i konsekwencje wykorzystania modeli w postaci procesów stochastycznych Markowa. Jako podstawowy model przyjęto jednorodny łańcuch Markowa. Zawiera on kompletną informację dotyczącą częstości występowania poszczególnych stanów. Generując błądzenie losowe po stanach łańcucha obciążeń, można prognozować wartości okresu powrotu oddziaływań i oszacować wartości wystąpienia obciążeń ekstremalnych. Przedstawiony model wykorzystano do symulacji losowych stanów łańcucha Markowa opisującego obciążenie śniegiem gruntu. Szczególnie uwagę skupiono na obciążeniach, które odpowiadają obciążeniom charakterystycznym dla danej lokalizacji oraz tych, które przewyższają wartość obciążenia charakterystycznego. Uzyskane wyniki porównano ze standardowym modelem Gumbela, który jest powszechnie stosowany do estymacji parametrów rozkładów oddziaływań klimatycznych na konstrukcje budowlane.
Słowa kluczowe: oddziaływania klimatyczne, obciążenie śniegiem gruntu, łańcuchy stochastyczne Markowa
1. WPROWADZENIE
Spełnienie wymagań niezawodności, przy racjonalnych kosztach poniesionych na realizacje zaprojektowanej konstrukcji budowlanej, wiąże się z trafną oceną wielkości oddziaływań. Wśród nich są oddziaływania zmienne, które są skutkiem zjawisk o charakterze naturalnym, do których zaliczają się między innymi zjawiska i procesy geofizyczne zachodzące w skorupie ziemskiej oraz w atmosferze i hydrosferze. Wartości reprezentatywne tych oddziaływań są najczęściej wartościami charakterystycznymi wywołanymi przez te zdarzenia. Były one w przeszłości ustalane na podstawie obserwacji, prostych pomiarów danych historycznych. Współczesną formą ich opisu są modele probabilistyczne najczęściej w postaci zmiennych losowych, których parametry i rozkłady prawdopodobieństwa są identyfikowane na podstawie analiz statystycznych wyników systematycznie prowadzonych pomiarów. Modele te mają charakter opisowy tzn. nie odnoszą się do natury zdarzeń, które determinują ich wystąpienie i parametry. Obecnie najczęściej stosuje się modele oparte na ________________________
1 tpytlowany@pwsz.krosno.pl
losowych próbach dyskretnych, ciągłe modele iloczynów oraz wartości ekstremalnych.
Kluczowymi parametrami określającymi wartość reprezentatywną oddziaływań klimatycznych są okres powrotu T (w którym obciążenie charakterystyczne może być średnio jednokrotnie przekroczone) oraz roczne (lub odniesione do innego okresu jednostkowego) prawdopodobieństwo p przekroczenia tej wartości. W pracy przedstawiono krótki przegląd założeń związanych z zastosowaniem modelu Gumbela do opisu wartości maksymalnych oddziaływań klimatycznych oraz możliwości zastosowania symulacji łańcuchów stanów Markowa opisujących obciążenie śniegiem gruntu.
2. PROBABILISTYCZNE MODELE ODDZIAŁYWAŃ KLIMATYCZNYCH
W celu prawidłowego zaprojektowania konstrukcji przyjmuje się pewne umowne wartości oddziaływań środowiskowych z określonym prawdopodobieństwem przewyższenia [1]. Wartości te określa kwantyl rozkładu maksimów rocznych obliczony na podstawie wyników pomiarów.
W normie [2] zdefiniowano wartość charakterystyczną oddziaływania zmiennego jako kwantyl rzędu p losowych maksimów w okresie powrotu T. Według [3] okres powrotu T równa się liczbie lat, jakie upływają średnio między kolejnymi przewyższeniami wartości St przez proces losowy podkreślić, że prawdopodobieństwo przekroczenia tak zdefiniowanej wartości charakterystycznej wynosi p, a prawdopodobieństwo P, x- krotnego przekroczenia wartości charakterystycznej w okresie odniesienia T można obliczyć ze wzoru Bernoulliego. I tak prawdopodobieństwo nieprzekroczenia wartości charakterystycznej (dla T=50 lat) przedstawia wzór:
50
W tablicy 1 przedstawiono niezależne próby Bernouliego odniesione dla założonych parametrów p, T.
Tablica 1.Ciąg niezależnych prób Bernouliego
Prawdopodobieństwo P, że zmienna losowa F w okresie T nie przekroczy
wartości Fk
gdzie: Fk- wartość charakterystyczna oddziaływania
Niewątpliwie ważną klasę modeli probabilistycznych stanowią modele opisujące właściwości rozważanego zjawiska jako zespół trudnych do wyodrębnienia przyczyn, decydujących o wypadkowej niepewności zjawiska. Rozkład zmiennej wypadkowej, można często określić bez znajomości rozkładów przyczyn, na podstawie sposobu, w jaki wpływają one na zmienną wypadkową. Najczęściej rozpatruje się trzy przypadki podstawowe, gdy przyczyny są: addytywne, multiplikatywne oraz gdy istotne są wartości ekstremalne przyczyn [6].
3. MODELOWANIE WARTOŚCI NAJWIEKSZEJ OBCIAŻENIA
Rozkłady wartości maksymalnych są powszechnie stosowane do estymacji parametrów rozkładów oddziaływań klimatycznych na konstrukcje budowlane. Najczęściej stosowany jest rozkład pierwszego typu, czyli podwójnie wykładniczy rozkład Gumbela. Dystrybuanta rozkładu zmiennej Y, największej z wielu niezależnych zmiennych losowych o wykładniczym charakterze (gdzie: u, α– parametry rozkładu: wartość modalna i miara rozproszenia) dla dostatecznie dużych wartości argumentu ma postać:
)]}
Prognozowaną wartość charakterystyczną oddziaływania jako funkcję okresu powrotu T (lub prawdopodobieństwa przekroczenia tej wartości), można oszacować za pomocą wykresu zależności: statystyk pozycyjnych rangi i uporządkowanych w kolejności rosnącej. Dla obliczonych parametrów α i u można określić dla założonego okresu odniesienia T, wartość
Dowodzi się, że rozkład maksimów asymptotycznie zmierza do teoretycznego rozkładu Gumbela ze wzrostem liczebności próby n, np. liczby okresów obserwacji, z których wybrano największe wartości. Jak łatwo zauważyć, parametry rozkładu α i u zależą od n. W praktyce zakłada się, że n jest na tyle duże, że dystrybuanta empiryczna jest właściwym modelem zmiennej losowej Y. Na przykład, według zaleceń [5] do analizy obciążenia śniegiem gruntu należy uwzględnić co najmniej 20 pomiarów maksymalnych wartości rocznych. Związek funkcyjny pomiędzy wartością modalną un z próby m – elementowej można aproksymować, na przykład za pomocą zależności:
m un 1ln
=λ lub un 1 lnm
= λ (5)
Jeżeli przyjąć założenie, że rozkład obciążenia w każdym roku jest wykładniczy z parametrem λ (parametr rozkładu wykładniczego wyznaczony na podstawie wyników pomiarów) to prawdopodobieństwo, że obciążenie w ciągu m lat przekroczy wartość maksymalną powiększoną o składnik λ
m
Dla dużych wartości maksymalnych k i małej ilość obserwacji w ciągu m lat przybliżenie (7) występujące jako składnik wzoru (6) jest niedokładne.
)
Dlatego dla dużych wartości maksymalnych maksimum kilku niezależnych rozkładów wykładniczych ma również rozkład wykładniczy.
Powstałe rozbieżności, z reguły pomijane w analizach inżynierskich, wynikają z założenia, że teoria rozkładów ekstremalnych jest poprawna, kiedy okresowe (np. roczne) wartości ekstremalne zostały wybrane z nieskończonych zbiorów niezależnych obserwacji [6]. Założenie to nie jest spełnione, kiedy rozważa się zagadnienie prognozy niektórych oddziaływań meteorologicznych, np. obciążenia śniegiem.
4. EKSTREMA W ŁAŃCUCHACH MARKOWA GENEROWANE METODAMI SYMULACYJNYMI
4.1 Stany procesu
Przez S(t) oznaczono stan procesu w czasie t. W celu ujednolicenia zapisu macierzowego przyjęto zamiennie St oraz S(t). Założono, że dla wszystkich St przyjmuje się wartości ze zbioru przeliczalnego, a więc S jest procesem określonym w przestrzeni dyskretnej. Rozwinięciem zagadnienia jest stochastyczny proces w przestrzeni dyskretnej S0, S1, S2 ,..., w którym wartość St zależy od wartości St-1, ale nie od ciągu stanów, które doprowadziły proces do tej wartości.
Z definicji [6] wynika, że proces stochastyczny z czasem dyskretnym S0, S1, S2 ,..., jest
Powyższe założenie definiuje stan St jako niezależny odSt-1, jak i od tego w jaki sposób proces ten osiągnął stan St-1. Cecha ta definiowana jest w literaturze [7] jako własność Markowa lub zagadnienie braku pamięci. Wszelka zależność St od przeszłości zawarta jest w zapisie St-1.
W dalszych rozważaniach założono, że dyskretna przestrzeń stanów łańcucha Markowa ma postać [0,1,2,...,n]. Prawdopodobieństwo przejścia wg (9) jest prawdopodobieństwem tego, że proces przechodzi ze stanu i do j w jednym kroku.
)
Pr( 1
, S jS i
Pi j = t = t− = (9)
Proces ten jednoznacznie zdefiniowany jest przez macierz przejść w jednym kroku.
Znaczy to, że element w i- tym wierszu i j- tej kolumnie jest prawdopodobieństwem przejścia Pi,j, natomiast suma poszczególnych wierszy tej macierzy jest równa jedności (
∑
j≥0Pi,j =1).4.2 Symulacja stochastyczna z wykorzystaniem łańcucha Markowa
Pierwszym krokiem w budowaniu symulatora jest przekształcenie obciążeń S (maksimów rocznych) w szereg czasowy stanów. Przed przystąpieniem do określenia łańcucha stochastycznego, sprawdzono za pomocą regresji liniowej, czy istnieje zależność pomiędzy pierwotnymi, a kolejnymi stanami łańcucha oraz czy zbiór danych empirycznych charakteryzuje okresowość (za pomocą koleogramu) (rys. 1).
Stwierdzono nikłą zależność pomiędzy przyszłym, a pierwotnym stanem (I strefa r= 0,0279, II strefa r=0,15406, III strefa r=0,1844, IV strefa r=0,019466, gdzie r- wsp. korelacji)
Postanowiono więc przyjąć model, w którym łańcuch jest w postaci wg (9), czyli prawdopodobieństwo dojścia do stanu j nie zależy od stanu początkowego.
a) b)
Rys. 1. Wykres (St, St+1) zależności maksymalnego obciążenia śniegiem pomiędzy poprzednim i kolejnym rokiem: a) I strefa obciążenia śniegiem gruntu (Wrocław), b) II strefa obciążenia śniegiem gruntu (Katowice).
Wartości obciążeń z poszczególnych lokalizacji powtarzają się w szeregu stanów łańcucha. Skutkuje to tym, że ich częstości występowania są brane pod uwagę tylko raz w łańcuchu stochastycznym stanów. Przyjęto na podstawie danych pomiarowych dla pierwszych stanów (odpowiadających obciążeniom mniejszym od: 0,6[kN/m2] (I strefa Wrocław), 0,7[kN/m2] (II strefa Katowice), 0,8[kN/m2] (III strefa Kraków), 1,0[kN/m2] (IV strefa Olsztyn); prawdopodobieństwa p1,p2,...,pn, które są równe częstości ich występowania w łańcuchu stochastycznym (11).
50,
i i
p = L dla i=1,2,...,n (11)
Dla kolejnych stanów łańcucha zastosowano przybliżenie rozkładem wykładniczym dla k (k=m-n, gdzie m- całkowita liczba stanów) wartości co najmniej równych obciążeń założonych powyżej. Rozkład wykładniczy dobrano tak, aby :
50
Ze wzoru (12) otrzymano λ. Jako kolejne stany przyjęto sześć wartości których maksymalne obciążenia są większe bądź równe od: 0,6[kN/m2] (I strefa), 0,7[kN/m2] (II strefa), 0,8[kN/m2] (III strefa), 1,0[kN/m2] (IV strefa). Dalsze stany łańcucha stochastycznego Markowa przedstawiono jako dki (stan teraźniejszy) oraz uki (stan przyszły). Na przykładzie III
strefy obciążenia: w przedziale obciążenia dk32=0,8, a uk32 =0,89 przypisano stan Z32, pomiędzy dk33=0,89, a uk33 =1,12 przypisano stan Z33 itd., natomiast ostatni stan dk40=2,48, a uk40=∞ dla stanu Z40. Prawdopodobieństwa dla stanów k są obliczane wg wzoru (13):
i zróżnicowana dla poszczególnych stref. Następnie, mając obliczone prawdopodobieństwa każdego ze stanów, przeprowadzono symulacje łańcuchów Markowa. Symulacje sprowadzały się do wygenerowania ciągu stanów za pomocą obliczonych prawdopodobieństw. Założono okresy obserwacji symulowanych stanów łańcucha w liczbie 105 i 103 powtórzeń procesu Markowa dla określonego pułapu obciążenia. W tablicy 2 pokazano realizacje błądzenia losowego po stanach łańcucha stochastycznego.
Tablica 2. Opis procedury symulacyjnej
Przykład realizacji procedury symulacyjnej w postaci wykresów błądzenia losowego oraz odpowiadające im stany w łańcuchu stochastycznym Markowa pokazano na rys. 2.
0
Rys. 2. Przykład błądzenia losowego po stanach Ł.M. ( ) i odpowiadające im obciążenia ( ) dla: IV strefy obciążenia (Olsztyn) w czasie 5·102 [lat].
1. Stan początkowy i0.
Dla wylosowanego poprzedniego (kroku) stanu początkowego i0, następny stan wylosowano zgodnie z macierzą przejść; w przyjętym modelu jest ona zawsze równa:
pm
p p1, 2,...,
2. Kolejne stany i.
Jeżeli prawdopodobieństwa przejścia ze stanu i0 do stanów: 1,2,…,m wynosiłyby:
m
a) wylosować liczbę q z przedziału [0,1] o rozkładzie jednostajnym;
b) przejść do stanu i, dla którego zachodzi warunek: i
5. OKRESY POWROTU NA PODSTAWIE ŁAŃCUCHA STOCHASTYCZNEGO Jednorodna macierz przejść (10) jest macierzą startową do przeprowadzenia symulacji.
Zawiera ona komplet informacji o częstości występowania poszczególnych stanów. Łańcuch stochastyczny startując ze stanów i, odwiedzi stan Z o prawdopodobieństwie pz (i). Jeżeli jednak pierwotny stan przejdzie do innego stanu Z, wówczas prawdopodobieństwo, że osiągnięty zostanie stan z Z jest równe:
∑
∈ Aby obliczyć średni czas osiągnięcia stanu Z posłużono się wzorem (17). Przez mZ (z) oznaczono oczekiwany czas na osiągnięcie z ze stanu z Z:] [
)
(z ET X i
mZ = Z o = (17)
Na (rys. 3) przedstawiono przykład okresów powrotu T dla standardowej analizy opartej na metodzie Gumbela, oraz dla modelu stochastycznego częstości stanów Markowa, dla 50 pomiarów maksymalnych wartości rocznych obciążenia śniegiem.
statystyczną modelu Gumbela ( ): a) Kraków, b) Olsztyn.
Zgodnie z procedurą przedstawioną w pkt. 4.2 przeprowadzono symulacje łańcuchów stochastycznych stanów Markowa. Dzięki tak przyjętym założeniom błądzenia losowego po stanach łańcucha obliczono średnie czasy powrotu tego samego obciążenia. Szczególnie ważne są obciążenia, które odpowiadają obciążeniom charakterystycznym dla danej lokalizacji oraz te, które przewyższają wartość obciążenia charakterystycznego. W tablicy 3 zebrano średnie (Tśr) okresy powrotu pomiędzy takimi samymi wartościami obciążenia w czasie 105 i 103 [lat] powtórzeń procesu.
Tablica 3. Porównanie okresów powrotu na podstawie symulacji z okresami powrotu według modelu Gumbela I Strefa obc. gdzie: Tsr- średni okres powrotu obciążenia na podstawie symulacji (ŁM)
T- okres powrotu w oparciu o parametry statystyczne rozkładu Gumbela (MG).
a) b)
Dla obciążeń które są równe obciążeniom charakterystycznych (dla danej strefy) okresy powrotu dla I, II i III strefy, są znacznie krótsze niż w strefie IV. Podobną sytuację można zaobserwować w przypadku obciążenia przekraczającego wartość charakterystyczną.
Stosunkowo krótkie okresy powrotu dla obciążeń rzędu 1,5Sk wystąpiły dla stref: I (Wrocław) i II (Katowice). Natomiast krótsze okresy powrotu (w stosunku do pozostałych stref) dla wartości wyjątkowych rzędu 2Sk zanotowano w strefie I (Wrocław).
6. WNIOSKI
Dotychczasowe prace w większości przypadków wiążą się z aproksymowaniem rocznych wartości obciążenia śniegiem w Polsce rozkładem prawdopodobieństwa Gumbela.
W modelu przedstawionym w pracy wartości pomiarowe przedstawiono w funkcji częstości ich występowania. Dzięki temu zaobserwowano te stany, które są najbardziej niebezpieczne, w tym obciążenia wyjątkowe. Dla obciążeń które są równe obciążeniom charakterystycznych, dla danej strefy, okresy powrotu dla I, II i III strefy, są znacznie krótsze niż w strefie IV.
Podobną sytuację można zaobserwować w przypadku obciążenia przekraczającego wartość charakterystyczną. W przeprowadzonej analizie najbardziej podatne na obciążenia wyjątkowe są strefy: I (Wrocław) i II (Katowice) obciążenia śniegiem gruntu. Okresy powrotu T dla standardowej analizy opartej na metodzie Gumbela, oraz modelu stochastycznym częstości stanów Markowa różnią się od siebie. Największa różnica dotyczy wartości, które wykraczają ponad wartości charakterystyczne.
PIŚMIENNICTWO
[1] Pawlikowski J.: Oddziaływania stałe i zmienne na konstrukcje budynków, ITB, Warszawa 2007 i 2010.
[2] PN-EN 1990:2004 Podstawy projektowania konstrukcji.
[3] Murzewski J.: O zapewnieniu bezpieczeństwa budynków pod dużym obciążeniem śniegiem. Inżynieria i Budownictwo 2006 nr 9.
[4] Rawska-Skotniczy A.: Redukcja obciążeń środowiskowych konstrukcji o różnych okresach wykonania i użytkowania. Inżynieria i Budownictwo 2010 nr 7.
[5] EN 1991-1-3:2003 Eurocode 1 Actions on structures- Part 1-3: General actions- Snow loads.
[6] Benjamin J. R., Cornell C.A.: Rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna i teoria decyzji dla inżynierów. WNT, Warszawa 1977.
[7] Mitzenmacher M, Upal E.: Metody probabilistyczne i obliczenia WN-T 2009.
[8] Woliński Sz., Pytlowany T.: Uwagi o szacowaniu wartości oddziaływań za pomocą modelu Gumbela. 56 Konferencja KILiW PAN i KN PZITB, Kielce- Krynica 2010 s.
63-70.
MARCOV CHAIN MODEL OF ACCIDENTAL ACTIONS Summary
The paper presents issues related to loads of climate actions. An assessment of the possibilities and consequences of using the stochastic Markov chain model to predict return time T of climate actions was presented. Moreover, the author presents a model to estimate the limits of exceptional probability (extreme) of snow load S in subsequent cycles of discrete sampling which generates some random walk on the states of the stochastic chain load.
Simulations of the chain states were shown in an example of four zones of snow load.
Mariusz RUCHWA1 Politechnika Koszalińska