Algorytmy poszukiwań z zabronieniami i poszukiwa-

Ogólny schemat algorytmu poszukiwań z zabronieniami (algorytmu ta-bu) został już przedstawiony w sekcji 2.2.1. Jednym z najlepszych algo-rytmów tego typu dla klasycznego problemu gniazdowego jest algorytm o nazwie T SAB, który został przedstawiony po raz pierwszy w pracy [70]. Algorytm ten, w stosunku do typowych algorytmów tabu, został wyposa-żony w dodatkowy mechanizm tzw. skoków powrotnych. Mechanizm ten umożliwia algorytmowi powrót do tych fragmentów przestrzeni rozwiązań, które wydają się szczególnie obiecujące. W skrócie, algorytm T SAB można opisać następująco. Algorytm rozpoczyna działanie z dowolną permutacją π ∈ Π (np. skonstruowaną przez algorytm typu wstaw) oraz po

zainicjo-waniu zmiennych π∗ := π, C∗ := C_max(π), przechowujących najlepszą per-mutację i najlepszą wartość funkcji celu znalezioną w trakcie poszukiwań. Algorytm wymaga również ustalenia wartości parametrów maxiter, max t, maxδ i maxc. Parametr maxiter określa maksymalną liczbę iteracji bez po-prawy wartości funkcji celu, max t określa długość listy tabu, parametry maxδ i maxc są używane w detektorze cykli. Detektor cykli jest pewnym dodatkowym mechanizmem zabezpieczającym algorytm przed cyklicznym „odwiedzaniem” tych samych rozwiązań. W każdej iteracji algorytmu, przy użyciu procedury przeszukiwania sąsiedztwa NSP (od ang. neighborhood searching procedure), ze zbioru ruchów AV²(π) (nie zabronionych przez aktualną listę tabu) wybierany jest ruch v0, rozwiązanie sąsiednie π0 oraz modyfikowana jest lista tabu. Jeżeli w ciągu maxiter iteracji wartość zmien-nej C∗ nie zostanie poprawiona, wykonywany jest skok powrotny do jedne-go z najlepszych rozwiązań odnalezionych w trakcie wcześniejszych iteracji algorytmu. Rozwiązania te są przechowywane na specjalnej liście L, prze-chowującej maksymalnie maxl elementów, gdzie maxl jest parametrem. Algorytm kończy swoje działanie, gdy lista L jest pusta.

W celu przybliżonego rozwiązania omawianego problemu gniazdowe-go z transportem, poniżej przedstawia się modyfikacje algniazdowe-gorytmu T SAB, które zachowują wszystkie zalety oryginalnego algorytmu. Autor tej pracy zdecydował się ograniczyć prezentację algorytmów jedynie do tych składni-ków, którymi należy zastąpić oryginalne składniki algorytmu T SAB w celu utworzenia wspomnianych modyfikacji.

Omawiane poniżej algorytmy w trakcie swojej pracy wykorzystują są-siedztwo AN3(π), π ∈ Π. Z wykorzystaniem notacji podobnej jak w pra-cy [70], opis algorytmów będzie rozpoczęty od koncepcji modyfikacji listy tabu. Lista tabu jest krótkoterminową pamięcią (zwykle o stałym rozmia-rze), która zabezpiecza algorytm przed cyklicznym powrotem do rozwiązań przeglądniętych we wcześniejszych iteracjach algorytmu. Bardziej precyzyj-nie, każdorazowo po zastosowaniu ruchu v = (x, y) ∈ AV3(π) do dowolnej permutacji π ∈ Π, na liście tabu zapamiętywany jest ruch odwrotny, noto-wany jako para v = (y, x). Każdy ruch na liście będzie nazynoto-wany ruchem zabronionym i nie może być zastosowany do żadnej permutacji.

Dana jest permutacja π ∈ Π. Każdy ruch (x, y) ∈ AV3(π) taki, że m_x∈ Mp i m_x∈ Mt będzie nazywany odpowiednio ruchem pro-dukcyjnym i transportowym. Zatem, zbiór ruchów AV3(π) można podzielić na dwa rozłączne podzbiory: zbiór ruchów produkcyjnych AV_p³(π) = {(x, y) ∈ AV3(π) : m_x ∈ Mp} oraz zbiór ruchów transportowych AV3

t (π) = {(x, y) ∈ AV3(π) : mx ∈ Mt}. Ponieważ moc zbioru AV3

t (π) jest zwykle znacznie większa od mocy zbioru AV3

pomy-słem wydaje się użycie dwóch list tabu. Pierwsza, lista tabu produkcyjna T^p= (Tp

1, T₂^p, . . . , T_maxp^p ), o stałej długości maxp, nie zawiera ruchów trans-portowych, tzn. na liście mogą być zapamiętane ruchy produkcyjne i ruchy sztuczne. ruchem sztucznym będzie nazywany ruch dv = (0, 0). Podobnie, lista tabu transportowa Tt = (Tt

1, T₂^t, . . . , T_maxt^t ), o stałej długości maxt, nie zawiera ruchów produkcyjnych. Dodanie ruchu v, v ∈ AV3

p(π), noto-wane jako Tp ⊕ v, polega na położeniu T_j^p := Tp

j+1, j = 1, . . . , maxp − 1 oraz Tp

maxp:= v. W ten sam sposób dodawany jest ruch v, v ∈ AV3

t (π) do listy Tt. Czynność ta będzie notowana jako Tt⊕ v. Jeżeli któraś z list tabu będzie pusta, tzn. będzie zawierać jedynie ruchy sztuczne, fakt ten będzie oznaczany odpowiednio przez Tp= ∅ lub Tt= ∅.

Główna idea zastosowania listy tabu o stałej długości polega na tym, że ruch zabroniony znajduje się na liście stałą liczbę iteracji, równą długości listy tabu. Aby idea ta była zachowana w przypadku dwóch list, za każdym razem gdy do jednej z list dodawany jest ruch odwrotny, do drugiej listy oddawany jest ruch sztuczny. Bardziej precyzyjnie, jeżeli kładzie się Tp⊕ v, to kładzie się też Tt⊕ dv. Symetrycznie, jeżeli kładzie się Tt⊕ v, to kładzie się też Tp⊕ dv.

Ruch zabroniony jest perspektywiczny, jeżeli spełnia przyjęte kryterium aspiracji, tzn. jeżeli prowadzi do rozwiązania lepszego od najlepszego roz-wiązania znalezionego do tej pory w trakcie pojedynczego uruchomienia algorytmu. Zbiór wszystkich takich ruchów będzie oznaczany przez

ZP = {v ∈ AV³(π) ∩ T : Cmax(πv) < C∗}, (4.9) gdzie T = Tp∪Tt, zaś C∗jest wartością funkcji celu najlepszego znalezione-go rozwiązania. Ostatecznie, zbiór ruchów niezabronionych i zabronionych perspektywicznych można zapisać następująco:

ZR = (AV³(π) \ T ) ∪ ZP. (4.10) Najprostszy algorytm poszukiwań z zabronieniami powstaje poprzez iterowanie procedury przeszukiwania sąsiedztwa (P P S) przedstawionej na rys. 4.2. Jednakże, najlepsze rezultaty przynosi osadzenie procedury P P S w schemacie omawianego już algorytmu T SAB. Zatem, pierwszy z algo-rytmów rozwiązywania problemu omawianego w tym rozdziale, nazwany algorytmem T SAB_AGV, uzyskuje się poprzez zastąpienie oryginalnego są-siedztwa AN2(π) sąsiedztwem AN3(π) i oryginalnej procedury NSP pro-cedurą P P S. Algorytm T SABAGV wykorzystujący „klasyczne” sąsiedztwo AN²(π) będzie nazywany algorytmem T SAB0

AGV. Podobnie jak oryginalny algorytm, algorytmy T SABAGV, T SAB0

AGV wymagają określenia warto-ści parametrów maxiter, maxl, maxδ, maxc (omawianych na początku tej

Procedura rozpoczyna działanie z permutacją π, aktualną listą tabu T = T^p∪ T^t, niepustym zbiorem ruchów AV3(π) i najlepszą znale-zioną wartością funkcji celu C∗. Procedura zwraca ruch v0, zmodyfi-kowaną listę tabu T0 i nową permutację π0.

1. Dla każdego ruchu v ∈ AV3(π) wyznacz i zapamiętaj wartość C_max(πv) używając równania (3.40).

2. Wyznacz zbiór ZR, dany równaniem (4.10).

3. Jeżeli ZR 6= ∅, to wyznacz ruch v⁰ ∈ ZR taki, że C_max(πv0

) = min{C_max(πv) : v ∈ ZR} i idź do kroku 12.

4. Jeżeli |AV³(π)| = 1, to wybierz ruch v0 ∈ AV³(π) i idź do kroku 12.

5. Jeżeli T^p 6= ∅, to znajdź i = min{1 ¬ j ¬ maxp : T_j^p 6= dv}. W przeciwnym przypadku idź do kroku 8.

6. Jeżeli i 6= maxp, to powtarzaj T^p := Tp⊕ Tp

maxp dopóki AV3 p(π) \ Tp= ∅ i idź do kroku 11. 7. Powtarzaj Tp := Tp⊕ dv dopóki AV3 p(π) \ Tp = ∅ i idź do kroku 11.

8. Znajdź i = min{1 ¬ j ¬ maxt : Tt

j 6= dv}.

9. Jeżeli i 6= maxt, to powtarzaj Tt := Tt⊕ Tt

maxt dopóki AV_t³(π) \ Tt= ∅ i idź do kroku 11. 10. Powtarzaj Tt:= Tt⊕ dv dopóki AV3 t (π) \ Tt= ∅. 11. Wybierz ruch v⁰ ∈ AV³(π) \ {Tp∪ T^t}. 12. Jeżeli v0 ∈ AV3 p(π), to połóż Tp:= Tp⊕ v0 oraz Tt:= Tt⊕ dv. W przeciwnym przypadku połóż T^t:= Tt⊕ v0 oraz T^p := Tp⊕ dv. Połóż π0 := πv0

oraz T⁰ := Tp∪ Tt.

Rysunek 4.2: Schemat procedury P P S

sekcji); oryginalny parametr określający długość listy tabu został zastąpio-ny parametrami maxp i maxt, omawiazastąpio-nymi powyżej.

W celu przybliżonego rozwiązania problemu gniazdowego z transpor-tem, modyfikacjom został również poddany algorytm poszukiwania rozpro-szonego (ogólny schemat algorytmów tego typu został omówiony w

sek-cji 2.2.4) o nazwie i–T SAB. Oryginalnie, algorytm ten został zaprojekto-wany dla klasycznego problemu gniazdowego i opisany w pracy [72]. Poniżej zamieszczony jest krótki opis jego działania. Algorytm wykorzystuje pro-cedurę generowania nowych rozwiązań początkowych NIS (od ang. new initial solution generator ). Procedura rozpoczyna działanie z dwoma per-mutacjami α, β. Procedura zwraca permutację φ, której odległość w mierze tau Kendalla (omawianej w sekcji 3.4.1) od permutacji α i β wynosi od-powiednio h(α, β) · maxV % i h(α, β) · (100% − maxV %), gdzie maxV jest parametrem.

Algorytm i–T SAB jest algorytmem dwufazowym. W fazie wstępnej al-gorytm rozpoczyna działanie z dowolną permutacją początkową π0 ∈ Π. Przy użyciu algorytmu T SAB, później procedury NIS generowane jest maxE rozwiązań elitarnych, zapamiętywanych na liście, gdzie maxE jest parametrem. W każdej iteracji fazy zasadniczej z listy rozwiązań elitarnych wybierane jest rozwiązanie najlepsze π∗ oraz – najbardziej od niego odda-lone w sensie miary tau Kendalla – rozwiązanie πd. Następnie, w efekcie użycia procedury NIS, później algorytmu T SAB, generowane jest rozwią-zanie π0, które zastępuje rozwiązanie πdna liście rozwiązań elitarnych. Algo-rytm i–T SAB kończy działanie, jeśli odległość pomiędzy rozwiązaniem π∗

i πdjest mniejsza niż maxD, gdzie maxD jest parametrem.

Modyfikacja algorytmu i–T SAB, nazwana algorytmem i–T SABAGV, polega na zastąpieniu algorytmu T SAB w fazie wstępnej oraz zasadni-czej odpowiednio algorytmem T SAB0

AGV i T SAB_AGV. Ponieważ czas pra-cy algorytmu i–T SABAGV silnie zależy od poszczególnych instancji pro-blemu, poza parametrami maxV , maxE, maxD stosuje się również para-metry maxR oraz maxT , stanowiące dodatkowe kryteria stopu. Pierwsze z kryteriów określa maksymalną liczbę wywołań algorytmów T SABAGV, T SAB_AGV⁰ bez poprawy najlepszego rozwiązania π∗, zaś drugie – maksy-malny czas pracy algorytmu i–T SAB_AGV.

Najbardziej czasochłonnym krokiem każdej iteracji wszystkich algoryt-mów jest przegląd sąsiedztwa dokonywany przez procedurę P P S. Dzię-ki zastosowaniu w niej własności 3.6-3.8 i twierdzenia 3.1, omawianych w sekcji 3.2.1, złożoność obliczeniowa procedury P P S (i tym samym po-szczególnych iteracji wszystkich algorytmów) wynosi O(|ANi(π)| · n log m), i ∈ {2, 3}, przy założeniu, że n_k= m, k ∈ J, o_l= n, l ∈ M, n ­ m.