3.3 Własności grafu i permutacji częściowej
3.4.3 Inne własności przestrzeni rozwiązań dopuszczalnych 65
do-datkowych parametrów charakteryzujących przestrzeń rozwiązań dopusz-czalnych. W tym celu dla każdej z 30 instancji zostało wygenerowane g = 5000 losowych rozwiązań dopuszczalnych γ1, γ2, . . . , γg. Następnie, po-dobnie jak w sekcji 3.4.1, dla każdej pary rozwiązań wyznaczono znorma-lizowaną odległość H(γi, γj), i, j = 1, . . . , h. Wartość maksymalną MaxH, średnią AvH) i odchylenie standardowe σH zbioru tych odległości przed-stawiono w tabeli 3.5. Analizie poddano również wartości funkcji celu po-szczególnych rozwiązań, wyznaczając dla każdego z nich błąd względny
RE(γi, π0) = 100% · Cmax(γi) − Cmax(π0)
Cmax(π0) , i = 1, . . . , g, (3.83) gdzie π0 jest rozwiązaniem referencyjnym. Wartość maksymalna MaxRE, średnia AvRE i minimalna MinRE spośród tych wartości dla każdej in-stancji została przedstawiona w tabeli 3.5.
Po analizie tabeli 3.5 nasuwa się kilka wniosków. Po pierwsze, śred-nia odległość AvRE różni się bardzo niewiele pomiędzy poszczególnymi instancjami. Dotyczy to nawet instancji o różnych rozmiarach (instancje
Tabela 3.5: Odległości i błędy względne dopuszczalnych permutacji loso-wych
Instancja H(γi, γj) RE(γi, γ0)
Nr Nazwa M axH AvH σH M axRE AvRE M inRE
1 HK1 tjkl t0 kl.1 61,1 22,4 6,4 38,1 13,8 1,5 2 HK1 tjkl t0 kl.2 56,4 22,0 6,7 36,4 13,6 0,8 3 HK1 tjkl t0 kl.3 56,8 22,8 6,8 32,9 11,9 0,0 4 HK1 D1 d1 53,1 20,8 7,4 56,3 20,8 2,3 5 HK1 D1 t1 51,2 20,2 6,0 61,3 23,4 5,0 6 HK1 D2 d1 53,5 21,9 6,9 33,8 13,3 2,0 7 HK1 D3 d1 54,3 23,5 7,5 22,4 8,3 1,4 8 HK1 tkl t0 kl.1 44,4 18,9 5,9 27,2 8,6 0,0 9 HK1 T 2 t1 50,5 19,5 5,9 68,9 23,5 1,4 10 HK1 T 3 t0 47,8 19,7 5,3 47,8 14,2 0,0 Średnia 52,9 21,2 6,5 42,5 15,1 1,4 11 HK2 D1 d1 44,1 23,0 4,8 64,2 31,5 8,2 12 HK2 D1 t0 44,5 23,0 4,8 68,3 30,9 11,0 13 HK2 D1 t1 46,3 22,9 4,8 68,1 30,4 9,2 14 HK2 D2 d1 44,6 22,5 4,7 61,9 32,0 12,1 15 HK2 D3 d1 43,9 22,4 4,8 59,3 32,5 12,9 16 HK2 D5 t2 42,1 21,2 4,4 44,6 22,0 8,4 17 HK2 T 1 t1 46,2 23,3 4,9 61,2 30,8 11,3 18 HK2 T 2 t1 44,9 23,2 4,9 63,4 32,3 12,1 19 HK2 T 5 t2 42,5 22,1 4,7 60,9 31,2 11,3 20 HK2 tjkl t0 kl.1 43,8 22,6 4,8 65,2 32,1 9,4 21 HK2 tjkl t0 kl.2 44,1 22,5 4,8 64,4 30,9 8,6 22 HK2 tjkl t0 kl.3 45,4 22,7 4,8 58,7 31,9 9,9 23 HK2 tjkl t0 kl.4 44,9 22,5 4,7 63,1 31,7 10,9 24 HK2 tkl t0 kl.1 43,5 22,5 4,8 62,8 31,2 11,7 25 HK2 tkl t0 kl.2 42,9 22,2 4,7 59,7 30,7 11,7 26 HK2f 0.5 D1 d1 45,9 23,1 4,9 65,7 37,0 14,4 27 HK2f 0.5 D1 t1 43,7 22,3 4,7 67,3 36,8 11,7 28 HK2f 0.5 D2 d1 48,0 24,4 5,4 62,1 34,3 10,6 29 HK2f 0.5 D2 t0 41,2 20,7 4,4 70,2 35,9 14,0 30 HK2f 0.5 D2 t1 40,7 21,1 4,4 64,8 35,2 16,9 Średnia 44,2 22,5 4,8 62,8 32,1 11,3
1-10 w porównaniu do instancji 11-30). Odległość ta (na poziomie 22%) jest istotnie mniejsza od średniej odległości wszystkich rozwiązań (nieko-niecznie dopuszczalnych), która jest równa 50%. Po drugie, średni błąd względny jest znacznie mniejszy dla instancji małych 1-10, niż dla instancji
większych 11-30. Ten sam trend mają minimalne i maksymalne wartości błędu względnego. Po trzecie, wśród instancji o małym rozmiarze znajdują się dwie instancje wyjątkowo łatwe, dotyczy to instancji 7 i 8 ze średnim błędem względnym na poziomie 8, 5%.
Wyniki z tabeli 3.5 mogą być także pośrednio wykorzystane do bardziej zaawansowanej analizy przestrzeni rozwiązań. Przykładowo, czyniąc zało-żenie, iż rozkład odległości H(γi, γj) jest aproksymowalny krzywą Gaussa, można wykorzystać wartości średnie AvH i odchylenia standardowe σH (przy dodatkowej znajomości teoretycznego rozkładu odległości [51] i war-tości teoretycznych hmax, σh z sekcji 3.4.1) do oszacowania górnego ograni-czenia frakcji rozwiązań dopuszczalnych. Ponadto, informacje z tabeli 3.5 mogą być również wykorzystane jako elementy wskaźników „trudności” po-szczególnych instancji.
3.5 Wnioski i uwagi
W tym rozdziale został rozważony elastyczny system produkcyjny, w którym transporty międzystanowiskowe były realizowane przy użyciu zbioru dedykowanych wózków AGV. W modelu matematycznym problemu uwzględniono szczególnie praktyczny tryb pracy wózków „zabierz i zostaw” oraz maszynowo- i zadaniowo-zależne czasy wykonania operacji transporto-wych. Za kryterium optymalizacji przyjęto moment zakończenia wykonywa-nia wszystkich zadań. Posługując się reprezentacją permutacyjno-grafową zaproponowano szereg ogólnych i specyficznych własności problemu. Wła-sności wykryte dla tzw. rozwiązania i grafu częściowego przyczyniły się do powstania tzw. „efektywnej metody wyznaczania najlepszej pozycji”. Me-toda ta znajduje zastosowanie w algorytmach konstrukcyjnych wykorzystu-jących tzw. „technikę wstawień” oraz w efektywnych metodach przeglądu sąsiedztwa generowanego w oparciu o ruchy typu wstaw.
W rozdziale zaproponowano też sąsiedztwo generowane w oparciu o zbiór ruchów typu zamień sąsiednie operacje. Przedstawiony zbiór ru-chów posiada wiele cech analogicznych do niektórych zbiorów wykorzysty-wanych w algorytmach rozwiązywania klasycznego problemu gniazdowego. Po pierwsze, każdy ruch nie należący do zbioru ruchów prowadzi albo do rozwiązania niedopuszczalnego, albo nie może spowodować natychmiasto-wej poprawy wartości funkcji celu. Po drugie, każde rozwiązanie, na pod-stawie którego został wygenerowany pusty zbiór ruchów, jest rozwiązaniem optymalnym. Dla zaproponowanego sąsiedztwa przedstawiono też efektyw-ną metodę jego przeglądu w oparciu o własności analogiczne do własności znanych dla klasycznego problemu gniazdowego.
W niniejszym rozdziale wykazano też istotną dodatnią korelację pomię-dzy wartością funkcji celu rozwiązań a ich odległością wyrażoną w mierze tau Kendalla. Fakt ten niezbicie świadczy o obecności wielkiej doliny w krajobrazie przestrzeni rozwiązań problemu. Zaproponowano również zu-pełnie nową miarę odległości. Odległość dzieląca dwa rozwiązania w tej mierze jest równa długości odcinka łączącego dwa punkty reprezentują-ce owe rozwiązania w n-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej. Wykazano istotną dodatnią korelację pomiędzy odległościami wyrażonymi w mierze geometrycznej i mierze tau Kendalla. Nowo zaproponowana miara odle-głości przyczyniła się do powstania nowego quasi-operatora krzyżowania, opisanego w następnym rozdziale.
Część własności i technik prezentowanych w tym rozdziale można sto-sunkowo łatwo poddać modyfikacjom i zastosować w przypadku innych uogólnień klasycznego problemu gniazdowego. Na przykład, dla problemu gniazdowego z przezbrojeniami o dowolnym czasie trwania prawdziwa bę-dzie własność 3.5 prezentowana w sekcji 3.2. Podobnie ma się rzecz z efek-tywną metodą przeglądu sąsiedztwa (sekcja 3.2.1). Jednakże, bezpośrednie zastosowanie efektywnej metody wyznaczania najlepszej pozycji dla wsta-wianej operacji (sekcja 3.3.1) dla wspomnianego problemu z przezbroje-niami zakończy się połowicznym sukcesem. Wstawienie operacji na pozycję wyznaczoną w wyniku działania procedury gwarantuje jedynie acykliczność skonstruowanego w ten sposób grafu.
Algorytmy rozwiązywania
problemu gniazdowego
z ustalonym przydziałem
wózków AGV
Ogólnie, algorytmy przybliżone można podzielić na dwie klasy. W kla-sie pierwszej znajdują się tzw. algorytmy konstrukcyjne, o dużej szybkości działania, ale dające rozwiązania stosunkowo niskiej jakości. Rozwiązania generowane przez algorytmy konstrukcyjne są często traktowane jako po-czątkowe dla drugiej klasy algorytmów – algorytmów popraw, które „stara-ją się” poprawić dane rozwiązanie. Ich zaletą jest to, że produku„stara-ją z reguły istotnie lepsze rozwiązania niż algorytmy konstrukcyjne. Możliwość zakoń-czenia działania w praktycznie dowolnym momencie, poprzez odpowiedni dobór jednego z kryteriów stopu, jest jeszcze jedną ich pozytywną cechą.
Poniżej prezentuje się szereg algorytmów rozwiązywania problemu J, DR|tjkl, t0
kl|Cmax, omawianego w rozdziale 3. Zarówno algorytmy kon-strukcyjne jak i algorytmy popraw zostały zrealizowane przy użyciu zupeł-nie odmiennych technik. Wśród algorytmów konstrukcyjnych można wy-mienić algorytmy priorytetowe i algorytmy wykorzystujące tzw. „technikę wstawień”. Algorytmy popraw zostały zrealizowane przy użyciu różnych technik lokalnych poszukiwań, takich jak technika poszukiwań z zabronie-niami, poszukiwania rozproszonego, symulowane wyżarzanie oraz podejście genetyczne. Pod koniec rozdziału prezentuje się wyniki badań numerycz-nych, przeprowadzonych przy użyciu szeregu własnumerycz-nych, jak i literaturowych instancji testowych. Dostarczone wyniki wykorzystuje się w celu wyłonienia algorytmów najlepszych.
4.1 Algorytmy konstrukcyjne
Opisane poniżej algorytmy konstrukcyjne stanowią pewną modyfikację algorytmów znanych dla klasycznego problemu gniazdowego. Prezentowa-ne są dwa typy algorytmów: algorytmy priorytetowe oraz algorytmy typu wstaw, bazujące na popularnym algorytmie INSA (patrz. np. [36,65,113]). Algorytmy priorytetowe, w przypadku omawianego problemu, są algoryt-mami jednofazowymi; każda operacja wybierana jest według pewnego prio-rytetu i szeregowana za ostatnią dotychczas uszeregowaną operacją na jed-nej z maszyn. Zaletą tych algorytmów jest bardzo duża szybkość działania, natomiast wadą niska jakość generowanych rozwiązań. Z kolei, algorytmy typu wstaw są algorytmami dwufazowymi. W fazie pierwszej tworzona jest lista operacji, w której wszystkie operacje zostają posortowane według pew-nych priorytetów. Następnie, w każdej iteracji fazy drugiej, kolejna operacja z listy wstawiana jest próbnie na wszystkie możliwie pozycje w uszeregowa-niu zbudowanym w poprzednich iteracjach. Ostatecznie, operację wstawia się na najlepszą pozycję, wybraną na podstawie wartości pewnej pomocni-czej funkcji, wyliczanej przy każdym wstawieniu.