Efektywna metoda wyznaczania najlepszej pozycji . 56

po-stępując podobnie jak w monografii [65] (dla problemu gniazdowego z prze-zbrojeniami o dowolnym czasie trwania) poniżej zostanie naszkicowana me-toda wyznaczania najlepszej pozycji dla wstawianej operacji i ∈ Ot\U . Bez straty ogólności, dalsze rozważania mogą być ograniczone do ustalonego zbioru operacji uszeregowanych U ⊂ O, permutacji częściowej β ∈ ΠU, acy-klicznego grafu G(β), nie uszeregowanej operacji transportowej i ∈ Ot\ U

Procedura rozpoczyna działanie z permutacją częściową β, acyklicz-nym grafem G(β) i nie uszeregowaną operacją transportową i. Pro-cedura zwraca najlepszą pozycję z∗ dla wstawianej operacji i.

1. wyznacz zbiory ZB_j(β), ZA_k(β) dla j = bT

i , k = a^T_i , 2. wyznacz pozycje e ∈ ZE, f ∈ ZF , gdzie zbiory ZE,

ZF dane są odpowiednimi równaniami (3.50), (3.51), 3. wyznacz wartości er_z, eq_z, 1 ¬ z ¬ |βl| oraz r^β_i, q_i^β, 4. oblicz wartości ed_z, e < z ¬ f i wśród nich znajdź wartość najmniejszą ed_z∗. Zwróć pozycję z^∗ i STOP. Rysunek 3.6: Metoda wyznaczania najlepszej pozycji dla wstawianej ope-racji i

i maszyny l = m_i. Niech er_z = rβ

x, eq_z = qβ

x, ep_z = p_x oznacza odpowied-nio długość najdłuższej ścieżki dochodzącej i wychodzącej z wierzchołka x = β_l(z), 1 ¬ z ¬ |β_l|, oraz jego obciążenie w grafie G(β). Przyjmuje się, że er₀ = ep₀ = ep_|βl|+1 = eq_|βl|+1 = 0. Wprowadza się też nieco bardziej „wygodną” definicję miary długości dla poniższych rozważań. Niech

ed_z = dαz

i = max{rβ

i, er_z−1+ epz−1+ s(y, i)} + pi

+ max{qβ

i, eq_z+ ep_z+ s(i, x)}, ^(3.66) będzie miarą długości najdłuższej ścieżki przechodzącej przez wierzchołek i w grafie G(αz), αz ∈ {α ∈ Z(β, i) : αl(z) = i}, 1 ¬ z ¬ |βl| + 1, gdzie y = β_l(z − 1), x = β_l(z), zaś zbiór Z(β, i) dany jest równaniem (3.43). Jak już wspominano, każde rozwiązanie αz takie, że e < z ¬ f, e ∈ ZE, f ∈ ZF , jest rozwiązaniem dopuszczalnym, gdzie zbiory ZE, ZF dane są odpowiednimi równaniami (3.50), (3.51). Metoda wyznaczenia najlep-szej pozycji dla wstawianej operacji i sprowadza się do wyznaczenia takiej pozycji z∗z przedziału e+1, . . . , f, że edz∗ = mine<z¬fed_z. Pozycję z∗ speł-niającą powyższe założenia wyznacza procedura przedstawiona na rys. 3.6, składająca się z czterech kroków.

Oczywiście, jak już wspominano, stosowanie powyższej procedury ma sens jedynie w sytuacji, gdy |ZD(β, i)| > 1. Wyznaczona pozycja z∗ jest najlepszą pozycją dla wstawianej operacji i, zaś odpowiadające jej rozwiąza-nie αz∗

jest najlepszym rozwiązaniem w zbiorze Z(β, i). Wartość Cmax(αz∗

) można wyznaczyć z równania (3.46). Kolejne kroki procedury wymagają odpowiednio O(n), O(|β_l|), O(n) oraz O(|β_l|) czasu. Zatem, cała procedura ma złożoność obliczeniową O(n). Wykorzystując oryginalnie zaproponowa-ne, opisane poniżej własności można jednak pokazać, że w celu wyznaczenia

pozycji z∗ nie jest konieczne wyznaczanie pozycji e, f, a zatem i zbiorów ZB_j(β), ZA_k(β). Wiąże się to z dalszą redukcją praktycznej złożoności obliczeniowej procedury. W tym celu należy zauważyć, że prawdziwość nie-równości (3.61) oznacza prawdziwość poniższych nienie-równości

ed_z ­ ede+1, z = 1, . . . , e, (3.67) ed_z­ edf, z = f + 1, . . . , |β_l| + 1. (3.68) Istotną rolę w dalszych rozważaniach będą też pełniły dwie pozycje

a = min{1 ¬ z ¬ |β_l| + 1 : edz = dmin}, (3.69) b = max{1 ¬ z ¬ |β_l| + 1 : edz = d_min}, (3.70) gdzie wielkość dmin dana jest równaniem (3.47). Warto również zauważyć, że d_min = min_{1¬z¬|βl|+1}ed_z, gdzie wartości ed_z dane są równaniem (3.66). Z nierówności (3.67), (3.68) i definicji pozycji a, b dodatkowo wynika praw-dziwość nierówności

a ¬ f, (3.71)

e < b. (3.72)

Prawdziwa jest także następująca własność.

Własność 3.12 Dany jest zbiór operacji uszeregowanych U ⊂ O, permu-tacja częściowa β ∈ ΠU, acykliczny graf G(β), nieuszeregowana operacja transportowa i ∈ O^t\ U i maszyna l = mi. Niech

c = max{1 ¬ z ¬ |β_l| + 1 : erz−1+ ep_z−1¬ r^β_i}. (3.73) Wtedy e < c ¬ f , czyli graf G(α^c) jest acykliczny.

Dowód. Z równania (3.50) wynika, że β_l(e) ∈ ZB_i(β), co implikuje nie-równość er_e+ ep_e ¬ r^β_i, która dowodzi, że e < c. Podobnie, z równania (3.51) wynika, że β_l(z − 1) ∈ ZA_i(β) dla f ¬ z − 1 ¬ |β_l|, co implikuje nie-równości er_z−1+ ep_z−1­ erf+ ep_f > er_f > r^β_i, która dowodzi nierówności c ¬ f i kończy dowód

Z powyższych rozważań oraz nierówności (3.67), (3.68) wynika, że praw-dziwe jest następujące twierdzenie, które stanowi podstawę przy formuło-waniu ostatecznej postaci procedury wyznaczającej najlepsze rozwiązanie w zbiorze Z(β, i).

Procedura rozpoczyna działanie z ustaloną dopuszczalną permutacją częściową β, nie uszeregowaną operacją transportową i oraz maszy-ną l. Procedura zwraca najlepszą pozycję z∗dla wstawianej operacji i.

1. wyznacz wartości r_i^β, q^β_i oraz wartości er_z, qr_z, 1 ¬ z ¬ |β_l|,

2. wyznacz wartości ed_z, 1 ¬ z ¬ |β_l| + 1, pozycje a, b, c, dane odpowiednimi równaniami (3.69),

(3.70), (3.73) oraz określ pozycję z^∗ wykorzystując równanie (3.74). Zwróć pozycję z∗ i STOP.

Rysunek 3.7: Schemat procedury P W NP 1

Twierdzenie 3.2 Dany jest zbiór operacji uszeregowanych U ⊂ O, per-mutacja częściowa β ∈ Π^U, acykliczny graf G(β), nieuszeregowana operacja transportowa i ∈ O^t\ U i maszyna l = mi. Niech

z^∗=      min{c ¬ z ¬ b : ed_z= d_min}, a < c < b, b, b ¬ c, a, c ¬ a. (3.74) Wtedy graf G(α^z∗), αz∗

∈ {α ∈ Z(β, i) : α_l(z∗) = i}, jest acykliczny oraz ed_z∗ = d_min.

Dowód. Dowód sprowadza się do wykazania, że e < z∗ ¬ f ; wtedy rów-ność ed_z∗ = d_min jest oczywista. Poniżej będą rozpatrywane następujące przypadki:

1. a < c < b, 2. b ¬ c, 3. c ¬ a.

Przypadek 1. Z równania (3.70) wynika, że ed_f ­ ed_b = dmin. Jeże-li ed_f > d_min, to z nierówności (3.68) wynika, że spełniona jest nierów-ność b < f. W tej sytuacji, z własności 3.12 i równania (3.74) wynika, że e < c ¬ z∗¬ b < f . Natomiast, jeżeli ed_f = dmin, to z nierówności (3.68) wynika, że spełniona jest nierówność f ¬ b i ostatecznie e < c ¬ z∗ ¬ f ¬ b, co kończy dowód tego przypadku.

Przypadek 2. Z równania (3.70) wynika, że ed_e+1 ­ edb = d_min. Z nie-równości (3.72) wynika, że e < b. Z kolei, z własności 3.12 wynika, że c ¬ f, zatem e < z∗= b ¬ c ¬ f, co kończy dowód tego przypadku.

Przypadek 3. Ze względu na symetrię do przypadku 2 dowód tego przy-padku zostanie pominięty

Procedurę przyspieszonego wyznaczania najlepszej pozycji (P W NP 1), wykorzystującą powyższe twierdzenie, przedstawiono na rys. 3.7. W celu wyznaczenia najlepszej pozycji dla operacji i, procedurę należy zastosować do permutacji β, operacji i oraz maszyny m_i. Krok 1 procedury wykony-wany jest w czasie O(n), krok 2 wymaga O(|β_l| + 1) czasu. Wyznaczona pozycja z∗ jest najlepszą pozycją dla wstawianej operacji i, zaś odpowia-dające jej rozwiązanie αz∗

jest najlepszym rozwiązaniem w zbiorze Z(β, i). Wartość C_max(αz∗

) można wyznaczyć z równania (3.46). Nie trudno zauwa-żyć, że w powyższej procedurze – jak już podkreślano – nie ma potrzeby wyznaczania pozycji e ∈ ZE, f ∈ ZF (wymagałoby to kolejnych O(n) jednostek czasu), co znacznie przyspiesza ogólną metodę z pracy [65].

3.4 Własności przestrzeni rozwiązań

W ostatnich latach, w literaturze coraz więcej uwagi poświęca się bada-niom własności przestrzeni rozwiązań różnych problemów kombinatorycz-nych. W badaniach tych można wyspecyfikować dwa kierunki. Pierwszy kierunek dotyczy badań mających na celu znalezienie ewentualnej, istotnie dodatniej korelacji pomiędzy odległościami dzielącymi poszczególne rozwią-zania w przestrzeni (wykorzystując odpowiednie miary) a ich wartościami funkcji celu. Istnienie takiej korelacji dla danego problemu (świadczącej o obecności tzw. „Wielkiej Doliny”) pozwala, między innymi, na modyfika-cję i rozbudowę istniejących algorytmów heurystycznych w celu zwiększenia jakości dostarczanych przez nie rozwiązań. Obecność wielkiej doliny zosta-ła już wykazana dla takich problemów jak, np. problem komiwojażera [11], problem przepływowy [85], czy problem gniazdowy [73].

W większości problemów kombinatorycznych liczba wszystkich rozwią-zań dowolnej jego instancji rośnie wykładniczo w zależności od jej rozmiaru. Jednak, tylko niewielką część rozwiązań stanowią rozwiązania dopuszczal-ne, czyli rozwiązania spełniające wszystkie narzucone ograniczenia techno-logiczne. Nie oznacza to jednak, że liczba tych ostatnich jest mała, ze wzglę-du na ogromną liczbę wszystkich rozwiązań. Jest rzeczą oczywistą, że ana-lityczne próby oszacowania frakcji rozwiązań dopuszczalnych lub innych własności dotyczących „kształtu” przestrzeni rozwiązań dopuszczalnych są z góry skazane na niepowodzenie. Możliwe jest jednak przeprowadzenie ba-dań statystycznych, które dostarczają pewnych parametrów, na których podstawie można wnioskować o kształcie i rozmiarze przestrzeni rozwiązań dopuszczalnych. Znajomość wspomnianych parametrów dla danej instancji pozwala również na określenie stopnia oraz przyczyn jej „trudności” i może się również okazać pomocna przy konstrukcji algorytmów heurystycznych.

Badania tego typu stanowią, wspomniany wcześniej, drugi kierunek badań przestrzeni rozwiązań.

3.4.1 Miary odległości

Istnieje wiele miar odległości pomiędzy rozwiązaniami reprezentowany-mi przez permutacje. Wśród nich można wyreprezentowany-mienić reprezentowany-miarę stopową (ang. footrule), stopień korelacji Spearmana (ang. Spearman’s rank correlation), miarę Hamminga, Cayleya czy Ulama. Jedną z najbardziej interesujących, ze względu na związek z metodami lokalnego poszukiwania, jest miara tau Kendalla (ang. Kendall’s tau). Odległość pomiędzy dwoma rozwiązaniami π, δ ∈ Π0 wyrażona w tej mierze jest równa minimalnej liczbie ruchów typu zamień sąsiednie operacje, jaką należy wykonać, by przejść z rozwiązania π do rozwiązania δ. Formalnie, miarę tą można zapisać w postaci

h(π, δ) = ^X l∈M |h_l(π_l, δ_l)|, (3.75) gdzie h_l(π_l, δ_l) = {(π_l(j), π_l(k)) : δ−1(πl(j)) > δ−1(πl(k)), 1 ¬ j < k ¬ ol}, (3.76) zaś symbol π−1 oznacza permutację odwrotną do permutacji π, tj. spełnia równanie π_mi(π−1(i)) = i dla każdej operacji i ∈ O. Łatwo zauważyć, że odległość maksymalna jest równa

hmax= X

l∈M

o_l(o_l− 1)

2 ^{. (3.77)}

Rozkład odległości h(π, δ) dla ustalonej permutacji π i równomiernego roz-kładu δ na przestrzeni rozwiązań Π0 można wyznaczyć wykorzystując for-mułę rekurencyjną, opisaną w pracy [51]. Wartość średnia rozkładu odle-głości jest równa hmax/2, zaś odchylenie standardowe wynosi

σh = s

P

l∈M(o_l(o_l− 1))(2ol+ 5)

72 ^{. (3.78)}

Poniżej proponuje się zupełnie inną miarę odległości, opracowaną przez autora tej rozprawy, bazującą na reprezentacji permutacji w n-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej. Mianowicie, dla dowolnej permutacji π ∈ Π moż-na określić punkt A = (a1, a₂, . . . , a_n) ∈ Rn taki, że a_φ(i) = π−1(i), i ∈ O,

gdzie φ : O → {1, 2, . . . , n} jest dowolną funkcją odwzorowującą zbiór ope-racji w podzbiór zbioru liczb naturalnych. Możliwe jest zatem zdefiniowanie miary odległości eu(π, δ) = ||AB|| = v u u t n X i=1 (a_i− b_i)2, (3.79)

pomiędzy permutacjami π, δ ∈ Π0, równej odległości Euklidesowej pomię-dzy punktami A = (a1, a2, . . . , an), B = (b1, b2, . . . , bn), reprezentującymi owe permutacje w przestrzeni Rn.

Wiele własności nowo zaproponowanej miary pozostaje nieznane. Tym niemniej, faktem jest istnienie istotnej dodatniej korelacji pomiędzy, pre-zentowaną powyżej, miarą geometryczną i miarą tau Kendalla. Istnie-nie tej korelacji zostało wykazane doświadczalIstnie-nie przy użyciu 80 instan-cji testowych Taillarda [104], zaproponowanych dla klasycznego proble-mu gniazdowego. Dla każdej instancji zostało wygenerowane g = 2000 (dopuszczalnych) permutacji π1, π2, . . . , πg. Dla każdego zestawu par (h(πi, πi+g/2), eu(πi, πi+g/2)), i = 1, 2, . . . , g/2, został wyznaczony współ-czynnik korelacji. Wartość tego współwspół-czynnika w każdym przypadku prze-kraczała 0.99. Można zatem się spodziewać, że wiele rezultatów prawdzi-wych dla miary tau Kendalla będzie również prawdziwe dla miary geome-trycznej.