Do not worry about your difficulties in Mathematics.
I can assure you mine are still greater.
/ A. Einstein /
3.1
Wprowadzenie
W tej części rozprawy przedyskutujemy zbiór własności, które mogą być wy- Własność korzystane do opisu zachowania się m.in. różnych klas funkcji wpływu. Niech
I = [a, b]. Formalnie rzecz ujmując, aż do końca niniejszego rozdziału wła-snością P funkcji ze zbioru E(I) nazywać będziemy dowolny zbiór operato-rów agregacji w I1,2,.... Innymi słowy, P ⊆ E(I).
Oznaczmy przez P(I1),P(A1),P(I2),P(A2), . . . własności, które pojawiają Własności
P(I1), P(A1), P(I2), . . .
się w definicjach 2.1.1 i 2.2.1, tj. wszystkie funkcje ze zbioru E(I) spełnia-jące, odpowiednio, warunki (I1), (A1), (I2), (A2) itd. Mamy więc np. EI(I) = P(I1)∩ P(I2)∩ P(I3)∩ P(I4)∩ P(I5) oraz EA(I) =P(A1)∩ P(A2)∩ P(A3). W tym sensie funkcje wpływu i funkcje agregujące są także własnościami operatorów agregacji.
Zanotujmy, iż mówiąc o własności P dla uproszczenia zapisu zakładamy implicité jej określenie na zbiorze I1,2,... dla pewnego zależnego od kontekstu przedziału I.
Do oznaczania działań na własnościach używamy języka teorii mnogości.
Dzięki temu zyskujemy na czytelności i zwięzłości notacji. Tę konwencję za-początkowaliśmy w pracy [83]. I tak na przykład, dzięki temu zamiast pisać
„rozważmy operator agregacji F niemalejący ze względu na każdą zmienną i niemalejący ze względu na długość ciągu wejściowego” piszemy „niech F ∈ P(I1) ∩ P(I2)” itp. Nadto zauważmy, że P(I1) = P(A1), P(A2) ⊂ P(I4)
(co oznacza, iż dla każdego F ∈ E(I) zachodzi F ∈ P(A2) ⇒ F ∈ P(I4)) oraz P(A3) ⊂ P(I5).
Jak widzimy, w rozdziale 2 rozważyliśmy już kilka prostych własności operatorów agregacji i wykazaliśmy, w których przypadkach zaproponowane funkcje bądź klasy funkcji je posiadają. Przyjrzymy się teraz trzem najczę-ściej stosowanym podejściom w tzw. modelowaniu aksjomatycznym. Co więcej, wyróżnimy dwie bardzo ogólne rodziny podzbiorów E(I), które po-mogą nam sklasyfikować omawiane własności. Te wstępne rozważania będą punktem wyjścia do próby przeprowadzenia pogłębionej analizy różnych ope-ratorów agregacji z użyciem zaproponowanej metodologii.
3.1.1 Modelowanie aksjomatyczne
Idea modelowania aksjomatycznego w teorii podejmowania decyzji sięga aż do prac de Finettiego [52], von Neumanna i Morgensterna [185], Arrowa [8]
(problem porządkowania stanów w grupowym podejmowaniu decyzji) oraz May’a [139] (opis tzw. funkcji decyzyjnych).
Można tu wyróżnić trzy dość ogólne podejścia [por. 5, 6, 152], które będą podjęte w kolejnych podrozdziałach.
1. W pierwszym podejściu, zwanym perspektywą normatywną,
roz-Podejście
normatywne ważamy własność bądź rodzinę własności, których spełnienie jest po-żądane z określonego punktu widzenia, np. praktycznych zastosowań.
Następnie staramy się określić wszystkie funkcje, które jako jedyne są elementami tak wyróżnionego podzbioru operatorów agregacji bądź też wskazać relacje między nimi.
Niestety, bardzo często okazuje się, że pewien zbiór własności, na przy-kład P1, . . . ,Pk ⊆ E(I) jest sprzeczny, tj. P1 ∩ · · · ∩ Pk = ∅. W ta-kim przypadku stwierdzamy, że nie istnieje operator agregacji mający wszystkie istotnie (w danym kontekście) własności.
Podejściem tym zajmiemy się w rozdz. 3.2.
2. Z kolei w tzw. perspektywie opisowej punktem wyjścia jest
okre-Podejście
opisowe ślona rodzina operatorów agregacji F∗, na przykład klasa składająca się z pewnych S-statystyk bądź jednoelementowy zbiór zawierający tylko indeks h. Następnie staramy się określić charakteryzację F∗, to jest wskazać skończony zbiór własności P1, . . . ,Pk ⊆ E(I) takich, że F∗ =Tki=1Pi. Dodatkowo, istotne jest pokazanie, że zbiór taki jest minimalny, czyli (∀j ∈ [k]) Tki=1,i6=jPi 6= F∗.
Rzecz jasna, dobór zbioru własności charakteryzujących daną klasę funkcji jest dowolny. Perspektywa taka interesuje nas jednak m.in. ze
względu na możliwość podania alternatywnej (za pomocą własności be-hawioralnych) definicji różnych klas funkcji. Będziemy ją rozpatrywać w rozdz. 3.3.
3. Na koniec, w perspektywie porównawczej zestawiamy ze sobą funk- Podejście
porównawcze
cje bądź klasy funkcji i różne własności. Dyskutujemy, które operatory agregacji spełniają każdą z rozpatrywanych własności, a które nie. To podejście może pomóc w ocenie zalet i wad narzędzi wspomagających podejmowanie szeroko pojętych decyzji i tym samym w świadomym wyborze danego narzędzia do konkretnych zastosowań praktycznych (zob. rozdz. 3.4).
Zauważmy, że wszystkie trzy podejścia do analizy aksjomatycznej operato-rów agregacji są dość podobne do siebie. Spowodowane jest to tym, iż rodziny operatorów agregacji oraz własności są — wedle przyjętej przez nas definicji
— tożsamymi obiektami matematycznymi. Różnią się jednak nieformalnie sposobem dokonywania ich opisu. Takie rozróżnienie pozwala na lepsze zro-zumienie badanych aspektów interesujących nas funkcji.
Przywołajmy najpierw dwie ważne definicje, dzięki którym będziemy mo-gli klasyfikować rozpatrywane własności [por. 83]. Będzie to zbiór własności zależnych i niezależnych od arności oraz własności odnoszących się do po-rządku.
3.1.2 Własności niezależne od arności
Jak zauważyliśmy w rozdz. 2.1, dwa dowolne zawężenia F|In i F|Im operatora agregacji F ∈ E(I) (dla n 6= m, tj. zawężenia o różnych arnościach, ang. ari-ties) nie muszą być ze sobą koniecznie związane. Było tak np. w przypadku funkcji agregujących określonych w def. 2.1.1. Sformalizujmy zatem tę ideę.
Definicja 3.1.1. Powiemy, że P ⊆ E(I) jest własnością o niezależnych Własność
o niezależnych arnościach
arnościach (ang. arity-free property), jeśli
(∀n, m; n 6= m) (∀f(n)∈ P|In) nF|Im : F∈ P, F|In = f(n)o=P|Im. Nietrudno pokazać, iż P(A1),P(A2),P(A3),P(I3),P(I4),P(I5)są własnościami tego typu.
Lemat 3.1.2. Jeśli P, P′ są własnościami o niezależnych arnościach, to także P ∩ P′ jest własnością o niezależnych arnościach.
Dowód. Zauważmy, że dowolny operator agregacji F ∈ E(I) można traktować jako nieskończony ciąg funkcji (f(1), f(2), . . . ), gdzie f(n) = F|In. Z przedsta-wionej wyżej definicji wynika, iż P jest własnością o niezależnych arnościach wtedy i tylko wtedy, gdy P = {(f(1), f(2), . . . ) : (∀n) f(n) ∈ P|In}. Skoro dla każdego n zachodzi (P ∩ P′)|In =P|In∩ P′|In, to
P ∩ P′ =n(f(1), f(2), . . . ) : (∀n) f(n)∈ (P ∩ P′)|Ino, co należało pokazać.
Zatem, zgodnie ze wstępną intuicją, także EA(I) jest klasą operatorów agregacji o niezależnych arnościach.
Podkreślmy jeszcze, iż większość wyników z dziedziny teorii agregacji do-tyczy właśnie własności o niezależnych arnościach [por. 96]. Jednym z nie-licznych wyjątków jest np. praca Mayora i Calvo [140] proponująca inną niż przyjmowana najczęściej (w tym u nas) definicję klasy funkcji agregujących.
Dowolna własność P może być rozszerzona do klasy operatorów agrega-cji o niezależnych arnościach poprzez włączenie do niej wszystkich funkagrega-cji (f(1), f(2), . . . ) takich, że (∀n) f(n)∈ P|In.
Z drugiej strony, w Problemie Oceny Producentów interesują nas
szcze-Nie-niezależne
arności gólnie własności, które dotyczą relacji pomiędzy zawężeniami funkcji wpływu do zbiorów In dla różnych n. Jednak samo stwierdzenie braku niezależności między arnościami nie musi prowadzić do ciekawych przypadków. Dla przy-kładu, trywialne rozszerzenie klasy EA(I) o funkcję H sprawia, że nie będzie już spełniony warunek z def. 3.1.1.
Zwróćmy uwagę na (dość luźną) ideową analogię pomiędzy funkcjami o niezależnych arnościach a niezależnymi zmiennymi losowymi w rachunku prawdopodobieństwa. Można by więc w naszym przypadku starać się wpro-wadzić szereg różnego typu „zależności”, lecz z pewnością nie wyczerpią one wszystkich możliwych i, tym samym, ciekawych przypadków. Z tego powodu rezygnujemy z wprowadzania dodatkowych definicji. Interesować nas będzie jedynie, czy dana własność spełnia wspomniane kryterium, czy po prostu nie ma niezależnych arności.
Dla przykładu, rodzina funkcji (globalnie) stałych {C : (∃c ∈ I) (∀x ∈ I1,2,...) C(x) = c} nie ma niezależnych arności. Z kolei {D : (∀n) (∃dn ∈ I) (∀x ∈ In) D(x) = dn} spełnia warunek w def. 3.1.1, ponieważ, intuicyjnie, wybierając dowolne zawężenie D|In nie możemy określić jeszcze, jaką wartość przyjmuje D|Im, co było prawdziwe w poprzednim przypadku.
Co więcej, tylko jeden spośród warunków pojawiających się w definicjach 2.1.1 i 2.2.1 określa własność nie mającą niezależnych arności. Dla I = [a, b]
takiego, że a 6= b, jest nią w ogólności P(I2).
Zwróćmy także uwagę na dwa zagadnienia, które być może są sprzeczne z intuicją. Po pierwsze, zgodnie z podaną definicją, własność składająca się tylko z jednego operatora agregacji jest niezależna od arności.
Po drugie, niezależność od arności nie implikuje, że operatory agregacji nie biorą wcale pod uwagę długości ciągu wejściowego. Dla przykładu, niech I= [0, 1]. Wtedy{E : (∀n) (∃en ∈ [0, 1)) E(x1, . . . , xn) = n + ennPni=1xi} jest klasą operatorów o niezależnych arnościach.
3.1.3 Własności odnoszące się do porządku
Dowolny operator agregacji F ∈ E(I) jest funkcją w ¯R. Generuje zatem liniowe uporządkowanie zbioru dopuszczalnych wektorów wejściowych (tzw. ran-king). W pewnych przypadkach nie chcemy jednak narzucać interpretacji konkretnym wartościom liczbowym. Na przykład, może nie interesować nas, że dla pewnych x, y ∈ I1,2,... zachodzi F(x) = 5 oraz F(y) = 7, lecz jedynie to, iż F(x) < F(y). Zatem wydaje się stosownym wyróżnienie klasy własno-ści, które, nieformalnie rzecz ujmując, determinują jedynie relację porządku między elementami.
Określmy następującą relację binarną między operatorami agregacji.
Definicja 3.1.3. Powiemy, że ≍ ⊆ E(I) × E(I) jest relacją równoważności Relacja ≍ co do porządku, jeżeli dla F, F′ ∈ E(I) zachodzi
F≍ F′ ⇐⇒ (∃ψ ∈ Ψ(I)) F′ = ψ◦ F. (3.1)
Definicja 3.1.4. Dowolna rodzina operatorów agregacjiP ⊆ E(I) jest wła- Własność
odnosząca się do porządku
snością odnoszącą się do porządku (ang. ordering property), jeżeli (∀F ∈ P) (∀F′ ∈ E(I)) F′ ≍ F =⇒ F′ ∈ P.
Na przykład, do porządku odnoszą się własności P(I1),P(I2),P(I3), lecz nie własności P(A2),P(A3),P(I4),P(I5).
Zauważmy, że żaden operator agregacji nie może być scharakteryzowany (por. podejście opisowe do analizy aksjomatycznej) za pomocą li tylko wła-sności odnoszących się do porządku.