W ostatniej części rozdziału poświęconego aksjomatycznej analizie opera-torów agregacji przyjrzymy się warunkom, które trzeba nałożyć na trój-kąty współczynników bądź trójtrój-kąty funkcji, aby uzyskać (quasi-)L-statystyki bądź (quasi-)S-statystyki spełniające wybrane własności.
Na zakończenie porównamy różne konkretne funkcje wpływu. Wygenero-wane przez nas zestawienie może okazać się pomocne w procesie wyboru (lub odrzucania) narzędzia oceniającego jakość producentów.
3.4.1 L-statystyki
Podobnie jak w poprzednim podrozdziale, omawiając L- i quasi-L-statystyki ograniczymy się do przypadku I = [0, ∞]. Kilka z przedstawionych niżej wyników pokazaliśmy (przy silniejszych założeniach) w pracy [83].
Twierdzenie 3.4.1. Dla I = [0,∞] oraz △ = (ci,n)n∈N,i∈[n] takiego, że (∀n) (∀i ∈ [n]) ci,n 0, zachodzi, co następuje.
(i) L△ ∈ P(cont).
(ii) L△ ∈ P(sinc) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) ci,n> 0.
(iii) L△ 6∈ P(sainc).
(iv) L△ ∈ P(idm) ⇐⇒ (∀n) Pni=1ci,n= 1.
(v) L△ ∈ P(idma) ⇐⇒ limn→∞Pni=1ci,n = 1.
(vi) L△ ∈ P(a0) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) ci,n+1= ci,n.
(vii) L△ ∈ P(F0) ⇐⇒ (∃j) (∀n j) cj,n= q ∈ [0, 1] oraz (∀m) (∀i ∈ [m], i 6= j) ci,m = 0.
(viii) L△ ∈ P(F+)∩ P(a0) ⇐⇒ c1,1 > 0, (∀n) (∀i ∈ [n]) ci,n+1 = ci,n oraz jeśli Pni=1ci,n < 1, to cn+1,n+1> 0.
(ix) L△ ∈ P(sat) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) ci,n= 0.
(x) L△ 6∈ P(sat+).
Przypomnijmy (por. s. 62), że
L△ ∈ P(I1)∩ P(I3)∩ P(I4)⇐⇒ (∀n)(∀i ∈ [n]) ci,n 0. (3.27) Co więcej,
L△ ∈ P(I2)⇐⇒ (∀n)(∀i ∈ [n])
Xi
j=1
cj,n+1
Xi
j=1
cj,n (3.28) oraz
L△ ∈ P(I5) ⇐⇒ (∃n)(∃i ∈ [n]) ci,n> 0. (3.29) W punkcie (viii) własność P(F+) podajemy w koniunkcji z P(a0), ponieważ w przeciwnym przypadku postać trójkąta współczynników jest bardzo skom-plikowana.
Dowód. Pomijamy trywialne przypadki.
(iii) Zauważmy tylko, że (∀△) (∀n) L△(n ∗ 0) = L△((n + 1)∗ 0). Zatem P(sainc) nie może zachodzić w tej klasie funkcji.
(vii) Ustalmy n. Rozważmy trzy przypadki.
• Jeśli c·,n = (n∗ 0), to L△(x) = 0 dla każdego x ∈ In i własność P(F0) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy c·,n+1 = (n∗ 0, q) dla pewnego q 0.
• Jeśli c·,n= ((n− 1) ∗ 0, q) (ten przypadek obejmuje także warunek c1,1 = q) dla pewnego q > 0, to L△(x) = qx(1). P(F0) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy q ∈ (0, 1] oraz c·,n+1 = ((n− 1) ∗ 0, q, 0), ponieważ P(F0)∩ P(I1) ⊆ P(I2)∩ P(I1).
• Jeśli c·,n = ((i− 1) ∗ 0, q, (n − i) ∗ 0) dla pewnego q ∈ (0, 1] oraz i∈ [n − 1], to P(F+) jest spełnione tylko, gdy
c·,n+1 = ((i− 1) ∗ 0, q, (n − i + 1) ∗ 0).
(viii) (=⇒) Zauważmy, że w przypadku spełnienia P(a0), zachodzi L△(x) =
Pn
i=1ci,ix(n−i+1).
Mamy L△(0) = 0. Załóżmy, że c1,1 = 0 i L△ ∈ P(F+). Wtedy dla każdego ε > 0 zachodzi L△(ε, 0) = 06> L△(0), sprzeczność, więc c1,1 > 0.
Ustalmy n. Rozważmy dwa przypadki.
• NiechPni=1ci,i < 1 oraz x = (n∗d) dla d ∈ (0, ∞). Wtedy L△(x) <
d. Zatem konieczne jest, by cn+1,n+1> 0. Ponadto, przez indukcję, (∀i ¬ n) ci,i > 0.
• Niech Pni=1ci,i 1 oraz j = min{j : Pji=1ci,i}. Mamy (∀k ∈ [j]) ck > 0. Weźmy dowolne x ∈ In, ε > 0 oraz y = (x(n), . . . , x(2), L△(x) + ε). Jako że L△(x) + ε > x(n−j+1), to L△(x) < L△(y) ¬ L△(x, L△(x) + ε) dla każdego cn+1,n+1 0.
(⇐=) Łatwe do pokazania.
3.4.2 Quasi L-statystyki
Przeprowadźmy analizę porównawczą quasi-L-statystyk.
Twierdzenie 3.4.2. Niech I = [0, b] i △ = (fi,n)n∈N,i∈[n] będzie dowolnym trójkątem funkcji takim, że (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n(0) = 0 oraz fi,n jest niemale-jąca.
(i) qL△ ∈ P(cont) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n jest funkcją ciągłą.
(ii) qL△ ∈ P(sinc) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n jest funkcją rosnącą.
(iii) L△ 6∈ P(sainc).
(iv) qL△ ∈ P(idm) ⇐⇒ (∀n) Pni=1fi,n= id.
(v) qL△ ∈ P(idma) ⇐⇒ limn→∞Pn
i=1fi,n= id.
(vi) qL△ ∈ P(a0) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n+1 = fi,n.
(vii) qL△ ∈ P(F0) ∩ P(cont) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]), fi,n+1 = fi,n, fn,n jest ciągła, Pnj=1fj,j id oraz
jeśli (∃j) fj,j(∞) = ∞, to (∀k > j) fk,k = 0.
(viii) qL△ ∈ P(F+)∩ P(a0) taka, że (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n= 0 lub fi,n jest rosnąca
⇐⇒ f1,1 jest rosnąca, (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n+1= fi,n oraz jeśli Pni=1fi,i ≺ id, to fn+1,n+1 jest także rosnąca.
(ix) qL△ ∈ P(sat) ⇐⇒ (∀n) Pni=1fi,n(b) < b oraz (∃j ∈ [n]) (∃y < b) fj,n(y) = fj,n(b).
(x) qL△ ∈ P(sat+) ⇐⇒ (∀n) Pni=1fi,n(b) <Pn+1i=1 fi,n+1(b) < b oraz (∃j ∈ [n]) (∃y < b) fj,n(y) = fj,n(b).
Przywołajmy dla porządku dwa fakty z rozdziału 2. Mamy qL△ ∈ P(I1)
wtedy i tylko wtedy, gdy każda z funkcji fi,njest niemalejąca oraz qL△ ∈ P(I2), jeśli Pij=1fj,n+1Pij=1fj,n.
W punkcie (vii) P(F0) rozpatrujemy razem z ciągłością, w przeciwnym razie postać △ staje się zbyt skomplikowana i, tym samym, nieczytelna.
Z podobnych powodów nakładamy kilka dodatkowych warunków dla P(F+)
w punkcie (viii). Dopuszczając funkcje fi,nkawałkami stałe (prócz przypadku fi,n = 0), musielibyśmy rozpatrywać wiele zagnieżdżonych warunków (szcze-gólnie problematyczną jest sytuacja fi,n′ (x) = 0).
Dowód. Pomijamy przypadki oczywiste.
(iii) Wystarczy zauważyć, że zgodnie z przyjętymi założeniami zachodzi (∀△) (∀n) qL△(n∗ 0) = qL△((n + 1)∗ 0).
(vii) Przypomnijmy, że P(F0) ∩ P(nd) ⊆ P(a0) ∩ P(nd), zatem (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n+1 = fi,n. Dodatkowo, qL△ ∈ P(cont) wtedy i tylko wtedy, gdy każda z funkcji fn,n jest ciągła.
Weźmy najmniejsze n takie, że fn,n 6= 0, tj. n := min{n : fn,n(∞) > 0}.
Wtedy dla każdego x ∈ In zachodzi qL△(x) = fn,n(x(1)). Zauważmy, iż P(F0) może być spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy fn,n id. Rozpa-trzmy więc dwa przypadki.
• Niech fn,n(∞) = ∞. Weźmy najmniejsze m > n takie, że fm,m6= 0.
Z ciągłości, istnieje y < ∞, że zachodzi fm,m(y) > 0. Niech z będzie takie, iż fn,n(z) = y (jako że fn,n jest ciągła, mamy ran fn,n = I).
Ale wtedy qL△((m−1)∗z) = y < qL△((m−1)∗z, y), sprzeczność.
Zatem (∀m > n) fm,m = 0.
• Niech fn,n(∞) = z < ∞. Wtedy zachodzić musi fn+1,n+1(z) = 0 oraz fn,n+ fn+1,n+1 id.
Stosując podobne rozumowanie dla kolejnych k = n+2, n+3, . . . , otrzy-mujemy warunek (∀m) Pmj=1fj,j id. Co więcej, jeśli (∃i) fi,i(∞) = ∞, to (∀j > i) fj,j = 0.
(viii) Z P(a0) mamy (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n+1 = fi,n. Zauważmy, że (∀ε > 0) musi zachodzić f1,1(ε) > 0, bo inaczej P(F+) nie byłoby spełnione przy podaniu na wejściu wektora (0, . . . , 0).
Ustalmy n. Rozważmy dwa przypadki.
• Jeśli Pni=1fi,i id, wtedy dla każdego x ∈ In i ε > 0 zachodzi qL△(x) + ε > x(1). Ponadto, z monotoniczności, mamy qL△(x) <
qL△(x, qL△(x) + ε). Z tego wynika, że fn+1,n+1może być dowolne.
• W przeciwnym przypadku, (∀ε > 0) fn+1,n+1(ε) > 0.
Jako że powyższe warunki są także wystarczające, dowód uznajemy za zakończony.
3.4.3 S-statystyki
Uogólnijmy i rozszerzmy wyniki podane przez nas w pracy [87].
Twierdzenie 3.4.3. Dla każdego I = [a, b] i dowolnego trójkąta współczynni-ków △ = (ci,n)i∈[n],n∈N, ci,n∈ I takiego, że (∀n) a ¬ ci,n ¬ cj,n¬ b dla i ¬ j, zachodzi, co następuje.
(i) S△ ∈ P(cont). (ii) S△ 6∈ P(sinc). (iii) S△ 6∈ P(sainc).
(iv) S△ ∈ P(idm)⇐⇒ (∀n) cn,n = b.
(v) S△ ∈ P(idma) ⇐⇒ (∀n) limn→∞cn,n = b.
(vi) S△ ∈ P(a0) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) ci,n+1= ci,n. (vii) S△ ∈ P(F0) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) ci,n+1= ci,n.
(viii) S△ ∈ P(F+)⇐⇒ (∀n) jeśli c1,n < b, to c1,n+1 >Wi∈[n],ci,n<bci,n; w przeciwnym przypadku c1,n+1= b.
(ix) S△ ∈ P(sat) ⇐⇒ (∀n) cn,n < b.
(x) S△ ∈ P(sat+)⇐⇒ (∀n) cn,n < cn+1,n+1< b.
Przypomnijmy, że dla dowolnego △ zachodzi S△ ∈ P(I1) ∩ P(I3) ∩ P(I4). Mamy S△ ∈ P(I2) wtedy i tylko wtedy, gdy (∀i ∈ [n]) ci,n+1 ci,n a oraz S△ ∈ P(I2)∩ P(I5) jedynie, gdy limn→∞cn,n = b.
Dowód. Pomijamy trywialne przypadki.
(vi) (=⇒) Zauważmy, że (∀i ∈ [n]) S△(i∗ di,n, (n − i) ∗ a) = ci,n, gdzie di,n= (ci,n+δ)∧b dla każdego δ 0. Aby S△(i∗di,n, (n−i)∗a, a) = ci,n, to ci,n+1 musi być równe ci,n.
(⇐=) Łatwo pokazać, że jest to także warunek dostateczny. Dla każ-dego bowiem x ∈ In niech j będzie takie, że S△(x) = cj,n∧ x(n−j+1). Mamy S△(x)¬ x(n−j+1). Implikuje to, iżWn+1i=j+1S△(x)∧ci,n+1¬ S△(x).
(viii) (=⇒) Ustalmy n. Jeśli c1,n = b, to P(F+) implikuje, iż c1,n+1 = b.
W przeciwnym przypadku niech j = arg max{j : cj,n < b}. Weźmy x = (n∗ cj,n). Mamy S△(x) = cj,n. Jeśli S△ ∈ P(F+), to dla każdego ε > 0 zachodzi S△(x, cj,n+ ε) > cj,n. Zatem c1,n+1> cj,n.
(⇐=) Aby pokazać, że jest to warunek dostateczny, weźmy dowolne y ∈ In. Mamy S△(y) = ck,n ∧ y(n−k+1) dla pewnego k. Wtedy ck,n ∧ y(n−k+1) < ci,n+1∧((ck,n∧y(n−k+1))+ε) dla każdego i, ponieważ zgodnie z założeniem c1,n+1¬ · · · ¬ cn+1,n+1.
3.4.4 Quasi S-statystyki
Kolejne twierdzenie dotyczy analizy porównawczej klasy quasi-S-statystyk.
Twierdzenie 3.4.4. Niech I = [a, b] i △ = (fi,n)n∈N,i∈[n] będzie dowolnym trójkątem funkcji takim, że (∀n) a fn,n(a) f1,n f2,n · · · fn,n b, oraz (∀i ∈ [n]) fi,n jest niemalejąca. Wtedy zachodzi, co następuje.
(i) qS△ ∈ P(cont) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n jest funkcją ciągłą.
(ii) qS△ 6∈ P(sinc).
(iii) qS△ ∈ P(sainc) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n≺ fi,n+1. (iv) qS△ ∈ P(idm) ⇐⇒ (∀n) fn,n = id.
(v) qS△ ∈ P(idma) ⇐⇒ (∀n) limn→∞fn,n = id.
(vi) qS△ ∈ P(a0) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n+1 = fi,n.
(vii) qS△ ∈ P(F0)∩ P(cont) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n+1= fi,n i są ciągłe, (∃d ∈ I) (∀x ¬ d) fn,n(x) = d oraz
(∀y > d) fn,n(y)¬ y.
(viii) qS△ ∈ P(F+) ⇐⇒ (∀n) (∀i ∈ [n]) (∀y ∈ I) zachodzi
• fi,n(y) y =⇒
fi,n(y) < fi+1,n+1(y) lub (∀ε > 0) fi,n(y) < f1,n+1(fi,n(y) + ε),
• fi,n(y) < y =⇒
fi,n(y) < fi,n+1(y) lub
(∀ε > 0) fi,n(y) < fi+1,n+1(fi,n(y) + ε).
(ix) qS△ ∈ P(sat) ⇐⇒ (∀n) fn,n(b) < b.
(x) qS△ ∈ P(sat+) ⇐⇒ (∀n) fn,n(b) < fn+1,n+1(b) < b.
Pamiętamy, że S△ ∈ P(I1), jeśli każda z fi,n jest funkcją niemalejącą, a S△ ∈ P(I1)∩ P(I2), gdy dodatkowo fi,n+1 fi,n.
Zwróćmy uwagę, iż qS△(n∗ a) = fn,n(a). Co więcej, (∀n) i dowolnego x ∈ In, niech qS△(x) = fj,n(x(n−j+1)) dla pewnego j. Wtedy qS△(x) = qS△(j∗ x(n−j+1), (n− j) ∗ a), bo f1,n(x(n))¬ · · · ¬ fj,n(x(n−j+1)) oraz fj+1,n(a) =· · · = fn,n(a) ¬ fj,n(x(n−j+1)). Jeśli dla pewnego i oraz x zachodzi qS△(i∗ x, (n − i)∗ a) = qS△((i− 1) ∗ x, (n − i + 1) ∗ a), to fi,n(x) = fi−1,n(x).
W punkcie (vii) własność P(F0) rozważamy w koniunkcji z ciągłością, ina-czej postać trójkąta funkcji staje się zbyt skomplikowana.
Dowód. Tak jak wyżej pomijamy przypadki oczywiste.
(ii) Załóżmy, że istnieje qS△ ∈ P(sinc). Weźmy n = 2. Aby (∀x < x′) qS△(x, a) < qS△(x′, a), f1,2 musi być ściśle rosnąca na I.
Ustalmy teraz x ∈ I. By (∀y < y′) qS△(x, y) < qS△(x′, y′), musi zacho-dzić f1,2(z) < f2,2(z) dla z > a i ściśle rosnącej f2,2. Ale wtedy (∃x < x′) (∃y) takie, że qS△(x, y)6< qS△(x′, y), sprzeczność.
(iii) (=⇒) Mamy P(sainc) ⊆ P(I2). Ustalmy n. Aby qS△(n∗a) < qS△((n+1)∗ a), musi zachodzić a ¬ fn,n(a) < f1,n+1(a) = · · · = fn+1,n+1(a). Weźmy dowolne x > a oraz i ∈ [n]. Mamy qS△(i ∗ x, (n − i) ∗ a) = fi,n(x) oraz qS△(i ∗ x, (n − i + 1) ∗ a) = fi,n+1(x). Zatem (z P(I2)) qS△ ∈ P(sainc) wtedy, gdy fi,n ≺ fi,n+1. Zauważmy, że warunek ten implikuje, iż fn,n(a) < fn+1,n+1(a).
(⇐=) Oczywiste.
(vi) (=⇒) Przypomnijmy, iż qS△ ∈ P(I1)∩ P(a0) ⇒ qS△ ∈ P(I2). Aby (∀n) qS△(n∗a) = qS△((n + 1)∗a), musi zachodzić (∀m) (∀i ∈ [m]) fi,m(a) = f1,1(a).
Ustalmy n i rozpatrzmy dowolne x > a oraz i ∈ [n]. Jako, że qS△(i∗ x, (n− i) ∗ a) = fi,n(x) oraz qS△(i∗ x, (n − i + 1) ∗ a) = fi,n+1(x), to by zachodziło P(a0), musimy mieć fi,n = fi,n+1. Warunek ten implikuje ponadto, iż fn,n(a) = fn+1,n+1(a).
(⇐=) Nietrudno pokazać, że warunek powyższy jest dostateczny.
(vii) (=⇒) Jeśli qS△ ∈ P(I1)∩ P(F0), to qS△ ∈ P(a0). Wobec tego, (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n+1= fi,n.
Niech d = f1,1(a). Mamy oczywiście (∀n) (∀i ∈ [n]) fi,n(a) = d. Weźmy dowolne x ∈ [a, d]n. Zachodzi (z P(I1)) qS△(x) d. Z drugiej strony,
jeśli qS△ ∈ P(F0), to (∀y ¬ d) qS△(x, y) = d. Jako że qS△ ∈ P(I1)∩P(a0) implikuje qS△ ∈ P(I2), więc qS△(x) = d. Wobec tego musi zachodzić fi,n(y) = d.
Bez straty ogólności możemy dalej przyjąć, że d = a. W przeciwnym przypadku dokonujemy przekształcenia qS△(x) := qS△(x∨ d) i rozpa-trujemy I = [d, b].
Załóżmy, że istnieją n oraz y, z takie, że fn,n(y) = z > y. Wtedy qS△(n∗ y) = z > y. Z P(F0) mamy qS△(z, n∗ y) = qS△(2∗ z, n ∗ y) = · · · = qS△(n∗z, n∗y) = z. Zatem fn,n(y′) = z dla każdego y′ ∈ [y, z], tzn. jest to funkcja stała na tym przedziale. Musi mieć zatem punkt nieciągłości dla y′′ ¬ y, sprzeczność.
(⇐=) Teraz powinniśmy pokazać, że jeśli (∀n) (∀y) fn,n(y)¬ y, to speł-niona jest własność P(F0) dla I = [d, b] (patrz powyższe uproszczenie).
Weźmy dowolne x ∈ In. Niech y = qS△(x) = fi,i(x(n−i+1)) dla pew-nego i. Jako że fj,j(y)¬ y dla każdego j, to qS△(x, y) = y, co należało pokazać.
(viii) (=⇒) Rozpatrzmy dowolne n, i ∈ [n] i y ∈ I. Mamy qS△(i∗ y, (n − i) ∗ a) = fi,i(y). Rozważmy (n + 1)-elementowy ciąg x′ = (i ∗ y, (n − i) ∗ a, fi,i(y)+ε) dla dowolnego ε > 0. Jeśli fi,i(y) y, to dodawany element będzie największym elementem w x′. Aby więc qS△(x′) > qS△(x), to musi zachodzić (a) f1,n+1(fi,n(y) + ε) > fi,n(y) lub (b) fj+1,n+1(y) >
fi,n(y) dla pewnego j ∈ [i] bądź (c) fk+1,n+1(a) > fi,n(y) dla pewnego k > i. Zauważmy jednak, że zajście przypadku (b) lub (c) implikuje, że fi+1,n+1(y) > fi,n(y), a ten warunek w tym przypadku wystarcza.
Z drugiej strony, gdy fi,i(y) < y, to dodawany element będzie (n + 1− (i + 1)− 1) = (n − i + 1)-tą statystyką pozycyjną w x′, tzn. znajdzie się po n elementach równych y. Zetem w tym przypadku musi koniecznie zachodzić (a) fi+1,n+1(fi,n(y) + ε) > fi,n(y) lub (b) fi,n+1(y) > fi,n(y) (inne przypadki sprowadzają się do tych dwóch).
(⇐=) Nietrudno pokazać, że w świetle przyjętych założeń podany wa-runek jest także wystarczający dla P(F+).
3.4.5 Inne funkcje wpływu
Na zakończenie niniejszego rozdziału, dokonajmy analizy porównawczej kilku najbardziej interesujących funkcji wpływu zdefiniowanych w rozdziale 2.
Niech
Prod∗(x) = |x| − 1 (3.30)
oraz (por. tw. 2.4.23)
SN=
_n
i=1
i∧ x(n−i+1). (3.31)
W tablicy 3.2 wymieniamy, które z wybranych operatorów agregacji spełniają omawiane w rozdz. 3 własności. Ograniczamy się do przypadku I = [0, ∞], jako najczęściej pojawiającego się w zastosowaniach praktycznych.
Tablica 3.2: Analiza porównawcza wybranych funkcji wpływu dla I = [0, ∞].
Własność Prod∗ Max Sum H G r1 l(g)∞ SN
P(cont) X X X X X
P(sinc) X
P(sainc) X
P(idm) X
P(idma) X X X
P(a0) X X X X X X
P(F0) X X X
P(F+) X X X X
P(sat) X X X X X
P(sat+) X X X X X
Obserwujemy między innymi, że żadna z powyższych funkcji nie spełnia wszystkich przedstawionych własności na raz (wiemy, że taka funkcja nie istnieje).
W następnym rozdziale przeprowadzimy m.in. analizę własności stocha-stycznych S-statystyk.