Na początku skupimy naszą uwagę na pewnej bardzo ogólnej klasie funkcji wpływu, dla której w dość łatwy sposób można mierzyć minimalne wyma-gania jakościowe, jakim musi sprostać producent, by móc uzyskać zadaną z góry ocenę. Funkcje te posłużą nam potem do konstrukcji przykładowych narzędzi pomocnych w predykcji możliwych wartości S-statystyk, czyli anali-zie ich wrażliwości na wykonywanie operacji (o1)–(o3) względem ustalonych wektorów.
5.3.1 Operatory o mierzalnych kosztach wzrostu
Niech F ∈ P(I1)∩ P(I4)∩ P(I5) będzie pewnym operatorem agregacji. Dla
każ-dego v ∈ img F, niech F−1[v] :={x ∈ I1,2,...: F(x) = v} oznacza odpowiednią Warstwica, F−1
warstwicę. Jako że F jest symetryczna, aby uniknąć niejednoznaczności, za-kładamy, że w F−1[v] znajdują się tylko elementy unikalne względem relacji równoważności co do porządku ∼= (możemy przyjąć, że wektory te są posor-towane nierosnąco).
Określmy klasę funkcji o mierzalnych kosztach wzrostu (ang. effor-measu-rable functions).
Definicja 5.3.1. Powiemy, że F ∈ P(I1) ∩ P(I4) ∩ P(I5) jest funkcją o mie- Własność
P(em)
rzalnych kosztach wzrostu, ozn. F ∈ P(em), jeśli dla każdego v ∈ img F, (F−1[v], E) jest zbiorem częściowo uporządkowanym z elementem najmniej-szym.
Innymi słowy, F ∈ P(em) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego v ∈ img F, (F−1[v], E) jest półkratą dolną (∧-półkratą, ang. meet-semilattice).
Nie wszystkie funkcje wpływu mają mierzalne koszty wzrostu. Dla przy-kładu, wiele nietrywialnych L-statystyk nie należy do P(em), m.in. dla L△
takiej, że L△(x1, . . . , xn) =Pni=1i x(n−i+1) mamy
L−1△ [3] ={(3), (1, 1), (1,5, 0), (1, 0, 0), . . . } ,
który to zbiór nie ma elementu najmniejszego względem E. Przykładem tego typu operatorów agregacji są również indeksy lp omawiane w rozdz. 2.4.5.
Oznaczmy element najmniejszy zbioru F−1[v] przez µv, to znaczy µv :=
Wektor µv
min F−1[v]. Ponadto, niech MFokreśla zbiór elementów najmniejszych
wszyst-Zbiór MF
kich warstwic F−1[v], czyli MF :={min F−1[v] : v ∈ img F}.
Dla ilustracji rozważmy funkcję wpływu Max(x) = x(n). Mamy Max−1[v] = {x ∈ I1,2,...: x(n)= v} oraz µv = (v) i MMax = I1.
Wśród funkcji o mierzalnych kosztach wzrostu wyróżnijmy klasę funkcji o kosztach dominowalnych (ang. effort-dominable functions).
Definicja 5.3.2. Powiemy, że F ∈ P(em) jest funkcją o dominowalnych
Własność P(ed)
kosztach wzrostu, ozn. F∈ P(ed), jeżeli (MF, E)jest łańcuchem.
Każda funkcja F ∈ P(ed) może być określona w następujący intuicyjny sposób. Dla dowolnego x ∈ I1,2,... zachodzi
F(x) = arg max
v∈img F{µv ∈ MF : µv Ex} . (5.4) Jak łatwo się domyślić, skoro F jest funkcją wpływu, a (MF, E)jest zbiorem liniowo uporządkowanym, to dla każdego v, v′ ∈ img F mamy
µv ⊳µv′ ⇐⇒ v < v′.
Z powyższych rozważań i definicji indeksów rp natychmiast wynika, iż dla każdego p 1 mamy rp ∈ P(ed) (por. rozdz. 2.4.4).
Jako że w dalszej części rozdziału do ilustracji naszej idei skorzystamy z klasy S-statystyk, przyjrzyjmy się teraz, które z nich są funkcjami o mie-rzalnych/dominowalnych kosztach wzrostu.
Stwierdzenie 5.3.3. Niech I = [a, b] oraz △ = (ci,n)i∈[n],n∈N, ci,n ¬ cj,n dla i ¬ j, będzie trójkątem współczynników takim, że S△ ∈ EI(I). Wtedy następujące warunki są równoważne:
(a) S△ ∈ P(ed), (b) S△ ∈ P(em),
(c) dla każdego n i kn= min{i : ci,n = cn,n} zachodzi
• (∀i < kn) ci,n+1 = ci,n oraz
• (∀i kn) ci,n+1 ckn,n. Dowód. (a =⇒ b) Z def. 5.3.2.
(b =⇒ c) Zauważmy, że dla każdej S△ ∈ EI(I)∩ P(em) mamy µv ∼= (k∗ v, (n− k) ∗ a), gdzie n = min {i : ci,i v} i k = min{i : ci,n v}. (∀m n) (∀i < k) ci,m < v, ponieważ w przeciwnym razie S△(i∗ v, (m − i) ∗ a) = v i µv 6E (i ∗ v, (m − i) ∗ a), co prowadzi do sprzeczności.
Z tw. 2.4.22 wynika, że ci,n ¬ ci,m < v ¬ ck,n. Jednakże, rozważając wszystkie v ∈ img S△, otrzymujemy ci,n = ci,m dla i < min{j : cj,n= cn,n}.
(c =⇒ a) Ustalmy v ∈ img S△. Niech n będzie najmniejszą liczbą natu-ralną taką, że cn,n v. Dla każdego m n, przy spełnieniu warunku (c) zachodzi
min{x ∈ Im : S△(x) = v} ∼= (km∗ v, (m − km)∗ a), (5.5) dla pewnego km ∈ [m]; zauważmy bowiem, że minimum w (5.5) wyznaczamy względem relacji E. Warunki ci,m = ci,n dla i < kn i ckn,m ckn,n implikują, że km = kn, zatem
µv = minnx∈ I1,2,...: S△(x) = vo∼= (kn∗ v, (n − kn)∗ a)
jest elementem najmniejszym zbioru S−1△ [v]. Ponadto, dla dowolnego v′ > v takiego, że v′ ∈ img S△, istnieje n′ n takie, że (kn∗ v, (n − kn)∗ a) ⊳ (kn′ ∗ v′, (n′ − kn′)∗ a) ∼= µv′. Z tego wynika, że S△ ∈ P(ed), co kończy dowód.
Ponadto, powyższy rezultat implikuje, że S△ ∈ P(a0) =⇒ S△ ∈ P(ed). Nie wszystkie funkcje o mierzalnych kosztach wzrostu są funkcjami o kosz-tach dominowalnych. Na przykład, dla I = [0, 4] oraz
F(x1, . . . , xn) = 14 · arg max
i=0,...,min{n,4}
ni = 0 lub x(n−i+1) 5 − io,
zachodzi µ0 = (0), µ1 = (4), µ2 = (3, 3), µ3 = (2, 2, 2), µ4 = (1, 1, 1, 1), mamy więc F ∈ P(em), ale F 6∈ P(ed).
5.3.2 Rozkład możliwości wpływu
Do modelowania najprostszych aspektów procesu produkcji/oceniania można użyć metod stochastycznych, czego przykładem były wyniki przedstawione przez nas w rozdz. 4. Mimo to, w przypadku wzrostu złożoności modelu (np. przez uwzględnienie dodatkowych czynników), takie postępowanie staje się nazbyt skomplikowane. Z tego też powodu do próby znalezienia odpowie-dzi na pytanie, dla których ciągów wejściowych barodpowie-dziej możliwe jest uzy-skanie większej wartości funkcji wpływu od innych, posłużymy się teorią posybilistyczną.
Naszym celem jest więc charakteryzacja rozkładów możliwości, które mogą być przydatne do porównań skutków zmiany wartości istniejących czy dołączania nowych elementów (operacje (o1)–(o3)) na wzrost oceny dokona-nej przez rozpatrywany operator agregacji. Oto stosowana definicja.
Definicja 5.3.4. Niech F ∈ P(em). Rozkładem możliwości wpływu dla
Funkcja πF
F nazywamy funkcję πF : I1,2,...× ¯R → [0, 1] taką, że dla każdego x ∈ I1,2,...
spełnione są następujące warunki:
(a) πF(x; F(x)) = 1,
(b) jeśli v < F(x) bądź v6∈ img F, to πF(x; v) = 0, (c) jeśli x E y oraz v F(y), to πF(x; v)¬ πF(y; v),
(d) jeśli v, v′ ∈ img F są takie, że F(x) ¬ v < v′oraz µv ⊳µv′, to πF(x; v) πF(x; v′).
Pierwszy warunek orzeka, iż aktualna ocena ciągu, tj. F(x), jest w pełni możliwa. Po drugie, z powodu omawianej wyżej akumulacyjnej natury pro-cesów produkcji/oceniania, wartości mniejsze niż aktualna nie mogą być już uzyskane. Ostatnie dwa warunki zapewniają (c) monotoniczność ze względu na wektory wejściowe i relację E oraz (d) ze względu na wynikowe wartości funkcji F i zwykłe uporządkowanie zbioru liczb rzeczywistych.
Dalej będziemy dla uproszczenia pisać πF,x(v) zamiast πF(x; v).
πF(x; v)
Dodatkowo łatwo zauważyć, że dla F ∈ P(ed), funkcja πF,x jest nierosnąca na zbiorze supp πF,x={v : πF,x(v) > 0}, ponieważ, zgodnie z definicją, mamy v < v′ =⇒ µv ⊳µv′ =⇒ πF,x(v) πF,x(v′).
Jak łatwo się domyślić, można zaproponować nieprzeliczalnie wiele przy-kładowych rozkładów możliwości wpływu. Ich wybór jest zależny od wielu czynników związanych z cechami rozważanej dziedziny. Tutaj rozważymy
tylko dwie ogólne metody konstrukcji takich funkcji, których zaletą jest pro-stota obliczeń i intuicyjność interpretacji.
5.3.3 Predykcja oparta na metrykach kosztu wpływu
Pierwsza z metod może być stosowana dla wszystkich funkcji o mierzalnych kosztach wzrostu. Oparta jest ona na obliczeniach quasi-odległości (oryg. ef-fort metrics) między ciągiem wejściowym x a elementami najmniejszymi zbiorów F−1[v] dla v∈ img F, tj. wektorów z MF.
Definicja 5.3.5. Powiemy, że funkcja d : I1,2,...× I1,2,... → ¯R jest metryką Metryka kosztu wpływu
kosztu wpływu, jeżeli dla dowolnych x, y, z∈ I1,2,... zachodzi (a) d(x, y) 0 (warunek brzegowy),
(b) jeśli z D y, to d(z, y) = 0 (przepływ od-lewej-do-prawej), (c) d(x, y)¬ d(x, z) + d(z, y) (nierówność trójkąta).
Metryki kosztu wpływu mogą być używane do numerycznego wyrażania intuicyjnej idei „nakładu pracy” wymaganego do zwiększenia wartości oceny ciągu x za pomocą operacji (o1)–(o3).
Każda metryka kosztu wpływu d jest quasi-metryką, ponieważ jest nie-ujemna, spełnia warunek trójkąta oraz (∀x) d(x, x) = 0.
Stwierdzenie 5.3.6. Niech dana będzie metryka kosztu wpływu d, funkcja F ∈ P(ed) i nierosnąca funkcja g : R0 → [0, 1] taka, że g(0) = 1. Wtedy funkcja
πF,x(v) =
g(d(x, µv)) dla v F(x) i v ∈ img F, 0 w przeciwnym przypadku, jest rozkładem możliwości wpływu dla F.
Dowód. Warunki (a) i (b) z def. 5.3.4 oczywiście zachodzą.
Rozważmy x E y i dowolne v ∈ img F takie, że v F(y). Z def. 5.3.5 mamy d(y, µv)¬ d(y, x) + d(x, µv) = d(x, µv), więc πF,x(v)¬ πF,y(v).
Teraz niech v, v′ ∈ img F będą takie, że F(x) ¬ v < v′ oraz µv ⊳ µv′. Zatem d(µv′, µv) = 0 i z nierówności trójkąta mamy πF,x(v) πF,x(v′), co należało pokazać.
Ilustrację zastosowania tej metody przedstawimy w następnym podroz-dziale.
5.3.4 Predykcja oparta na funkcjach odkrywających
Drugie podejście korzysta z parametryzowanej liczbą q ∈ [0, 1] klasy funkcji o dominowalnych kosztach wpływu. Tego typu ogólna metoda jest polecana do analizy zachowań operatorów agregacji, które ignorują pełną informację o wartościach elementów z x, np. funkcji nasycalnych.
Definicja 5.3.7. Niech F∈ P(ed). Rodzinę funkcji o dominowalnych kosztach
Zbiór funkcji odkrywających
wzrostu DF =nDq∈ P(ed) : q∈ [0, 1]o nazywamy zbiorem funkcji odkry-wających (oryg. exploring set) dla F, jeżeli
(a) F∈ DF,
(b) (∀q ∈ [0, 1]) img Dq= img F,
(c) (∀v ∈ img F) (∀q ¬ q′) min D−1q [v] E min D−1q′ [v] E F−1[v].
Intuicyjnie rzecz biorąc, funkcje odkrywające, by uzyskać ustaloną ocenę v, wymagają co najwyżej takiego „nakładu pracy” jak funkcja F. Zauważmy, że jeśli q ¬ q′, to Dq(x) Dq′(x). Ten fakt może być wprost wykorzystany do udowodnienia następującego stwierdzenia.
Stwierdzenie 5.3.8. Jeśli DF ={Dq : q∈ [0, 1]} jest zbiorem funkcji odkry-wających dla F∈ P(ed), to funkcja
πF,x(v) =
sup{q ∈ [0, 1] : Dq(x) v} dla v ∈ img F ∩ [D1(x), D0(x)] ,
0 w przeciwnym przypadku,
jest rozkładem możliwości wpływu dla F.