Analiza wrażliwości kształtu - zadanie 2 D

w niniejszym podrozdziale zastosowano metody analizy wrażliwości kształtu do oceny wpływu zmian położenia podobszaru nowotworowego (współrzędnych środka okręgu (xs, ys)) oraz jego wymiarów (promienia okręgu R ) na zmiany temperatury w układzie tkanka zdrowa - nowotwór. Zastosowano tutaj metodę niejawnego różniczkowania [15]. Niech b będzie parametrem kształtu (współrzędną jc^ lu b j’,.; środka okręgu albo promieniem R tego okręgu - por. rys. 4.1). Metodę niejawnego różniczkowania wykorzystujemy na etapie modelu numerycznego, czyli po utworzeniu układu równań algebraicznych, przy czym dyskretyzację brzegu obszaru należy przeprowadzić za pomocą liniowych, kwadratowych lub wyższego rzędu elementów brzegowych.

gdzie macierze Gd, Hd, G^2, U d , T, q dotyczą węzłów podwójnych na styku podobszarów.

Stosując metodę niejawnego różniczkowania, układ równań (4.37) należy zróżniczkować względem parametru kształtu b, czyli

DH D T „ DG,

przy czym D(-)/Di jest pochodną materialną związaną z parametrem b [15].

Układ równań (4.38) można zapisać w postaci

4. Wyznaczanie rozkładu temperatury tkance zaatakowanej nowotworem

Rozwiązanie uiiładu (4.39) pozwala wyznaczyć funkcję wrażliwości temperatury względem parametru kształtu i . Jak łatwo zauważyć, macierz główna tego układu jest taka sama jak macierz główna układu (4.36) związanego z zadaniem podstawowym. Układ równań (4.39) jest sprzężony z zadaniem podstawowym, ponieważ wymaga znajomości funkcji T i q, ponadto określenie je go prawej strony wiąże się z koniecznością zróżniczkowania elementów macierzy G, H oraz Z względem parametru i .

Omówimy teraz sposób różniczkowania elementów tych macierzy. Elementy niezerowe są związane z całkami po elementach brzegowych aproksymujących okrąg będący granicą między tkanką zdrową i nowotworową (brzeg F J oraz z całkami po brzegu zewnętrznym, dla których punkt obserwacji należy do okręgu.

Wykorzystując wzory (3.64), (3.65), (3.66), (3.67) oraz (3.34), (3.36) otrzymujemy

4^tcX, ;=^oU

przy czym k =k\, X =A,i dla pierwszego podobszaru, k=k j, X =Xi dla drugiego podobszaru.

Przypominamy, że w powyższych wzorach jest długością elementu brzegowego Tj

(4.44) gdzie

4. Wyznaczanie rozkładu temperatury w tkance zaatakowanej nowotworem

gdzie « 1, «2 sącosinusami kierunkowymi wektora normalnego n do elementu brzegowego T^.

Dla liniowego elementu brzegowego mamy 5»

ij j ’ 0 1 2 2'1 ^(4.50)

czyli wzory (4.42), (4.43) można zapisać następująco 1 * i

W pierwszej kolejności rozpatrzymy całki po wyróżnionym liniowym elemencie brzegowym Tj e T^. Wykorzystując równanie parametryczne okręgu o środku (xs, ys) i promieniu R, współrzędne każdego punktu należącego do elementu można przedstawić jako

(^5 + ^cos(p^) + + R c o s ę i)

^2 = + ^ s i n ( x , + R s \ n < p i )

W tym przypadku wzory (4.47), (4.45) przyjmują postać

(x ,,x2) e r ^ : (4.53)

4. Wyznaczanie rozkładu temperatury w tkance zaalakowanej nowotworem

wzory (4.47) mają postać (por. zależności (4.48))

+ N , x ^ - { x s + R cos cp,)

fi

N,x^2

ę

Różniczkowanie elementów macierzy (4.40), (4.41), (4.51), (4.52) względem parametru kształtu b prowadzi więc do następujących zależności

dGH'j \

4. Wyznaczanie rozkładu temperatury w tkance zaatakowanej nowotworem

Obliczenie występujących w powyższych wzorach pochodnych 5/, dr^'

Tworzenie macierzy dGijIdb, dH^jldb dla każdego z podobszarów przebiega analogicznie jak macierzy G^, (por. wzory (3.73), (3.74)). Wracając do układu równań (4.39) i podobszarów przedstawionych na rys. 4.7, niezerowe elementy macierzy DG/Dft, DH/Di dla pierwszego podobszaru, czyli macierzy [D G n/Di DG^/DZ) DGd/D/)] oraz

N a rys. 4.22 pokazano rozkłada funkcji wrażliwości temperatury względem promienia R oraz współrzędnych xs i ys na powierzchni tkanki skórnej. Jak widać, największe wartości przyjmuje funkcja wrażliwości zw ią^n a z promieniem podobszaru nowotworowego, następnie funkcja związana ze współrzędną ys i na końcu funkcja odpowiadająca współrzędnej xs- Oszacujemy zmianę temperatury spowodowaną zmianą promienia R o wartość A/? =0.1/?, zmianą wartości Xs o wartość Axs =0.1xs oraz wartości ys o wartość Ąys =0.1>’s i zastosujemy wzór Taylora (4.35). Maksymalna zmiana temperatury na

4. Wyznaczanie rozkładu temperatury w tkance zaatakowanej nowotworem

powierzchni tkanki (w centralnym jej punkcie) spowodowana zmianą promienia R wynosi 0.016 °C (przy pozostałych niezmienionych parametrach), maksymalna zmiana temperatury na powierzchni tkanki (również w centralnym jej punkcie) spowodowana zmianą współrzędnej ys wynosi -0.014 °C, natomiast maksymalna zmiana temperatury na tej powierzchni spowodowana zmianą współrzędnej xs pojawia się w punktach X\ =0.018 [m]

i Xi =0.042 [m] i wynosi odpowiednio 0.012 °C oraz -0.012°C.

ROZDZIAŁ 5

Identyfikacja parametrów termicznych oraz położenia

wieiicości podobszaru nowotworowego

5.1. Wstęp

w rozdziale czwartym niniejszej pracy doktorskiej przedstawiono rozwiązania tzw.

zadań bezpośrednich {direct problems), w których zakłada się znajomość równań i warunków brzegowych opisujących analizowany proces jak i wartości parametrów, które w tym modelu występują.

Zadania, w których opis matematyczny jest niekompletny, np. brak jest pełnej informacji o warunkach brzegowych lub też nieznane są wartości liczbowe pewnych parametrów, nazywane są zadaniami odwrotnymi {inverse problems). Zadania odwrotne należą do tzw. problemów źle uwarunkowanych i niejednoznacznych, co powoduje, że metody ich rozwiązywania są znacznie trudniejsze niż w przypadku zadań bezpośrednich, a uzyskanie efektywnych rozwiązań jest możliwe pod warunkiem, że dysponujemy dodatkowymi informacjami związanymi z przebiegiem modelowanego procesu.

W niniejszym rozdziale rozpatrywano dwa typy zadań odwrotnych, a mianowicie odwrotne zadanie parametryczne, które polegało na oszacowaniu nieznanych wartości parametrów termofizycznych nowotworu (k i, h , Qmea) oraz odwrotne zadanie geometry­

czne, w którym poszukiwano położenia i wielkości podobszaru nowotworowego. W końco­

wej części tego rozdziału przedstawiono tzw. odwrotne zadanie mieszane dotyczące równoczesnej identyfikacji parametrów i położenia nowotworu.

Jak wspomniano wcześniej, rozwiązanie zadań odwrotnych wymaga dodatkowych informacji dotyczących analizowanego procesu. Zakładano więc, że znany jest rozkład temperatury na powierzchni tkanki skórnej. Ponieważ nie dysponowano rzeczywistymi pomiarami, wartości temperatury Tdi w wybranych punktach x, na powierzchni tkanki uzyskiwano z rozwiązania zadania bezpośredniego dla założonych parametrów termicznych i geometrycznych nowotworu. Tak otrzymane wartości temperatury nazywamy dokładnymi.

____________ J. Identyfikacja parametrów termicznych oraz położenia i wielkości podobszaru nowotworowego____________

Symulację błędów pomiarowych uzyskuje się zakładając, że przy pomiarze temperatury popełniamy błąd losowy, co sprawia, że jego wynik jest zmienną losową o rozkładzie normalnym (Gaussa) N{Tt, ct), której gęstość wyraża się wzorem

____________ 5. Identyfikacja parametrów termicznych oraz położenia i wielkości podobszaru nowotworowego____________

(5.1)

gdzie Ti odpowiada dokładnej wartości mierzonej temperatury, natomiast parametr a (odchylenie standardowe) związany jest z precyzją wykonanych pomiarów. Do symulacji pomiarów wykorzystano gęstość standardowego rozkładu normalnego Gaussa A^(0, 1), czyli