2 Zadania odwrotne w przepływie biociepła - przegląd literatury
2.3. Zadania odwrotne
2.3.1. Metody gradientowe
Dla przykładu, rozpatrywać będziemy równanie Pennesa (2.4) opisujące rozkład temperatury w tkance skórnej traktowanej jako obszar jednowarstwowy (zadanie ID), którego parametiy termofizyczne są średnimi wartościami parametrów naskórka, skóry właściwej i obszaru podskórnego.
Założymy, że na powierzchni skóiy działa strumień ciepła czyli
x ^ 0 : g (0 ,/ ) = ę, (2.14)
natomiast na wewnętrznej powierzchni x = L : ę (x , t) = 0.
Temperatura początkowa tkanki skórnej jest również znana
/ = 0: T (x , 0 ) = T„ (2.15)
Rozwiązanie tak sformułowanego zadania bezpośredniego pod warunkiem, że znane są wartości wszystkich parametrów termofizycznych, pozwala między innymi wyznaczyć temperaturę na powierzchni skóry, a mianowicie
T j = T ( 0 , t f ) , / = 0 ,1 ,2 ,...,F (2.16) Załóżmy teraz, że na podstawie temperatury powierzchni skóry należy odtworzyć stałą wartość składnika metabolicznego Q„ei- W tym celu wprowadzamy kryterium najmniejszych kwadratów (funkcję celu)
S ( Q ^ ) ‘ t ( T ’ - T j ) " (2.17)
/-I
2. Zadania odwrotne w przepływie biociepła - przegląd literatury
W którym T/ oznacza znane wartości temperatury (por. wzór (2.16)) na powierzchni skóry (np. otrzymane z pomiarów), natomiast - wartości temperatury otrzymane z obliczeń dla arbitralnie założonej wartości składnika źródłowego Q„ei- Rozwiązanie tak sformułowanego zadania odwrotnego sprowadza się do znalezienia minimum funkcji S.
W przypadku zastosowania algorytmu gradientowego, funkcję S różniczkujemy względem nieznanej wartości Q„,ei, a następnie stosujemy warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli
/-I
dT^ = 0 (2.18)
gdzie Q°„}est arbitralnie założoną wartością parametru natomiast dla A: > O wynikać będzie z poprzedniego kroku iteracji.
Funkcję 7(0, /^) rozwijamy w szereg Taylora z dokładnością do dwóch składników
dT^ ■ (2.19)
+ - y ^met ^mei}
gdzie oznacza wyznaczone z rozwiązania zadania bezpośredniego wartości
temperatury przy założeniu, że .
Wprowadzając (2.19) do (2.17), po prostych przekształceniach otrzymujemy
E
(
v')‘
e . " = e i F r
(
2.
20)
gdzie
{ u > ) ‘ - dT^
(2.21)
q^,=qL
Wyznaczenie współczynników wrażliwości (2.21) wymaga zróżniczkowania równań tworzących opis matematyczny zadania bezpośredniego względem Q„e,- Różniczkowanie równania (2.4) względem tego parametru prowadzi do zależności (2.6), a różniczkowanie warunków brzegowo-początkowych daje
jc = 0: - 1 dx
dx
( 2 . 22 )
/ = 0: U { x , ( ) = Q
Podsumowując, w każdym kroku iteracji należy rozwiązać zadanie bezpośrednie
2. Zadania odwrotne w przepływie biociepła - przegląd literatury
wyznaczyć nową wartość Q„,e,. Proces iteracyjny prowadzi do osiągnięcia żądanej dokładności lub do zadanej z góry liczby iteracji K.
Nawet tak prosty, przedstawiony wyżej przykład iteracyjnej metody gradientowej poszukiwania minimum uwidacznia kilka charakterystycznych cech tej grupy algorytmów [27, 91], Po pierwsze, rozwiązanie uzyskuje się poprzez wykonanie ciągu kroków (iteracji) wzdłuż odpowiednio wyznaczonych kierunków nazywanych kierunkami poszukiwań.
Kierunki te są tworzone na podstawie pochodnej (gradientu) funkcji celu, bądź drugiej pochodnej (hesjanu), jeśli uwzględnić większą liczbę składników rozwinięcia funkcji T w szereg Taylora (por. wzór (2.19)). Po drugie, poszukiwanie minimum funkcji celu rozpoczyna się od jednego punktu, który w pierwszej iteracji jest punktem startowym (w rozważanym przykładzie jest to punkt ). I po trzecie, punkt startowy musi leżeć w bliskim położeniu optimum, w przeciwnym razie algorytm może być rozbieżny lub też może zbiegać się do innego rozwiązania (minimum lokalnego).
2.3.2. Metody ewolucyjne
w chwili obecnej do rozwiązywania zadań identyfikacji bardzo często wykorzystywane są metody ewolucyjne, które naśladują procesy zachodzące w świecie organizmów żywych [3, 28, 75]. Metody te polegają na symulowaniu mechanizmów doboru naturalnego oraz dziedziczenia (teoria ewolucji) przez pokolenia potomne pewnych cech wspólnych po swoich rodzicach. Zgodnie z tą teorią największe szanse na przeżycie mają te osobniki, które są najlepiej przystosowane do środowiska. Szybki rozwój metod opartych na podejściu ewolucyjnym doprowadził do powstania nowej dziedziny informatyki, znanej obecnie jako obliczenia ewolucyjne.
W literaturze [75] można spotkać kilka różnych metod ewolucyjnych, jak np. algorytmy genetyczne, algorytmy ewolucyjne, strategie ewolucyjne, programowanie genetyczne i programowanie ewolucyjne. Choć różne metody ewolucyjne powstały niezależnie, obecnie różnice między poszczególnymi metodami wyraźnie się zacierają. Metody te nazywa się więc ogólnie technikami obliczeń ewolucyjnych, algorytmami ewolucyjnymi lub po prostu metodami ewolucyjnymi [91]. Aby podkreślić podobieństwo wszystkich metod czy algorytmów opartych na zasadach ewolucji, używa się wspólnego terminu programy ewolucyjne [75].
Można powiedzieć, że metody ewolucyjne charakteryzują się kilkoma cechami wspólnymi. W każdej z metod w sposób losowy generowana jest startowa populacja osobników, która podczas procesu ewolucji, podlega różnym operatorom ewolucyjnym, najczęściej krzyżowaniu i mutacji oraz procesowi selekcji. Każdy osobnik w populacji
2. Zadania odnrotne w przepływie biociepła- przegląd literatury
określany jest mianem chromosomu i złożony jest z pewnej liczby zmiennych projektowych (genów). Pojedynczy chromosom w populacji jest reprezentantem jednego rozwiązania zadania. Krzyżowanie polega na dowolnym wyborze par chromosomów z populacji oraz tzw. punktu krzyżowania, w którym dokonuje się wymiany materiału genetycznego (genów) pomiędzy wylosowanymi osobnikami. Mutacja polega na dowolnym wyborze chromosomów z całej populacji oraz zmianie wartości pojedynczego lub kilku genów w tych chromosomach. W procesie selekcji największe szanse „na przeżycie” mają osobniki (chromosomy) najlepiej przystosowane. W wyniku modyfikacji populacji osobników oraz procesu selekcji, w kolejnych krokach działania algorytmów ewolucyjnych otrzymuje się zwykle coraz to lepiej przystosowane osobniki, czyli lepsze rozwiązania rozważanego zadania.
Różnice pomiędzy poszczególnymi metodami ewolucyjnymi dotyczą m.in. sposobu reprezentacji i kodowania osobników, sposobu przeprowadzania procesu selekcji, kolejności występowania selekcji i operatorów genetycznych, parametrów algorytmu ewolucyjnego, które mogą być stałe lub zmienne w procesie ewolucji, sposobu uwzględniania ograniczeń w rozwiązywanych zadaniach identyfikacji itp.
W klasycznych algorytmach genetycznych, zwanych w literaturze prostymi algorytmami genetycznymi, do reprezentacji osobników w populacji używa się kodowania binarnego, natomiast jako operatory genetyczne stosuje się proste krzyżowanie i prostą mutację. Najczęściej stosowanym typem selekcji w algorytmach genetycznych jest metoda ruletki. W metodzie tej prawdopodobieństwo znalezienia się w populacji potomnej danego osobnika jest tym większe, im „lepsza” jest wartość jego funkcji przystosowania, przy czym wartość tej funkcji jest wartością optymalizowanej funkcji celu.
Programy ewolucyjne lub algorytmy ewolucyjne są uogólnieniem klasycznych algorytmów genetycznych. W algorytmach tych wykorzystuje się zwykle bardziej złożone struktury danych do reprezentacji populacji osobników. Nie mówi się tutaj o kodowaniu parametrów zadania, gdyż używana jest zazwyczaj reprezentacja zmiennoprzecinkowa lub całkowitoliczbowa, w której zmienne projektowe przetwarzane są w bezpośredni sposób. Stosuje się też nowe operatory genetyczne, tworzone np. na potrzeby rozwiązywanego zadania, które nazywa się operatorami ewolucyjnymi. Stosowanym typem selekcji w algorytmach ewolucyjnych jest wspomniana metoda ruletki lub inne rodzaje selekcji, jak np. selekcja turniejowa.
Algorytm ewolucyjny to inaczej program komputerowy, wykorzystujący pewną strukturę danych do reprezentacji chromosomów w populacji i przetwarzający tę populację w celu uzyskania lepszych rozwią^ń w czasie procesu optymalizacji.
W każdej iteracji takiego algorytmu przeprowadza się działania na populacji osobników
2. Zadania odwrotne w przepływie biociepła — przegląd literatury
P = cl\ ch2 ... ch^ , gdzie chi, dla i = 1, 2, m oznacza /-ty chromosom w populacji P o liczebności osobników m. Dowolny chromosom c/j, składa się z n genów geny, dla j = 1, 2, n, czyli chf = \genn gen^^ ... N a wartości poszczególnych genów geriij nałożone są dolne i górne ograniczenia genP < gen.j < g e n ° . Schemat blokowy algorytmu ewolucyjnego przedstawiono na rys. 2.1.
Rys. 2.1. Schemat blokowy algorytmu ewolucyjnego
W pierwszym etapie obliczeń tworzona jest populacja startowa chromosomów (zazwyczaj losowo), przy czym każdy chromosom chi reprezentuje jedno z możliwych rozwiązań problemu. Liczba osobników w populacji może być dowolna, natomiast liczba genów w chromosomie jest równa liczbie zmiennych projektowych.
Następnym etapem jest ocena wszystkich chromosomów w populacji, poprzez obliczenie wartości funkcji przystosowania dla każdego osobnika. Wartość tej funkcji zwana jest też przystosowaniem osobnika. W przypadku zadania identyfikacji, im większe przystosowanie osobnika, tym ma on większe szanse na „przetrwanie” w procesie selekcji, w którym eliminowane są zwykle osobniki najsłabsze. W zadaniach identyfikacji etap obliczania funkcji przystosowania jest etapem najdłuższym, gdyż dla każdego chromosomu w populacji należy rozwiązać jedno zadanie bezpośrednie.
Kolejny etap, po obliczeniu wartości funkcji przystosowania dla wszy'stkich osobników w populacji, to sprawdzenie warunku zatrzymania obliczeń. Warunek ten może mieć różną postać, w zależności od rozwiązywanego problemu. Zazwyczaj zatrzymanie algorytmu
2. Zadania odwrotne przepływie biociepła - przegląd literatury
następuje po zadanej z góry liczbie generacji, otrzymaniu satysfakcjonującego wyniku lub, gdy jego dalsze działanie nie poprawia wartości funkcji przystosowania.
W przypadku, gdy warunek zatrzymania obliczeń jest spełniony, następuje analiza parametrów najlepszego chromosomu z ostatniej populacji, którego geny zawierają dane dotyczące np. kształtu, bądź parametrów termofizycznych. W wyniku działania operatorów ewolucyjnych, które modyfikują poszczególne chromosomy i ich geny, najlepszy chromosom z ostatniej populacji nie musi być najlepszym osobnikiem w całym procesie ewolucji.
W przypadku nie spełnienia warunku zatrzymania, kolejnym krokiem jest stworzenie nowej populacji w wyniku selekcji chromosomów i działania operatorów ewolucyjnych.
Selekcja polega na wybraniu do następnego pokolenia chromosomów na podstawie obliczonych wartości funkcji przystosowania, przy czym największe szanse na utworzenie nowego pokolenia mają osobniki najsilniejsze, gdyż prawdopodobieństwo ich wyboru jest największe. Operatory ewolucyjne w postaci różnych odmian krzyżowań i mutacji modyfikują niektóre chromosomy oraz pojedyncze geny. O wyborze chromosomów do krzyżowania oraz genów do mutacji decydują wartości prawdopodobieństw odpowiednio krzyżowania i mutacji. Po utworzeniu nowej populacji następuje ocena wszystkich osobników tej populacji i cały proces ewolucji się powtarza, dopóki nie zostanie spełniony warunek zatrzymania obliczeń.
Poniżej przedstawiono i omówiono stosowane w pracy doktorskiej operatory ewolucyjne, a mianowicie:
• krzyżowanie proste,
• krzyżowanie arytmetyczne,
• mutacja równomierna,
• mutacja z rozkładem Gaussa,
• klonowanie.
Krzyżowanie proste polega na losowej zmianie dowolnie wybranej pary chromosomów (2.23). W tym celu losowany jest punkt krzyżowania z przedziału [1, w-l], gdzie n jest liczbą genów, w którym następuje zamiana genów pomiędzy wybranymi rodzicami
c\ = genu sen,,.
2. Zadania odwrotne w przepływie biociepła - przegląd literatury
CHROM OSOM 2
“I---r
J _________________
punkt krzyżowania i
C H R O M O S O M /
Rys. 2.2. Krzyżowanie proste
Krzytowanie arytmetycuie polega na utworzeniu dwóch osobników potomnych ch[
oraz c!^ (2.25), których geny są liniową kombinacją wartości genów dwóch chromosomów rodzicielskich (rys. 2.3)
ch^ = a*ci\ + { \ - a ) * ch^
= a * c } \
+(l-a)*c/^
gdzie ch\ oraz chi to osobniki rodzicielskie, natomiast a jest parametrem krzyżowania arytmetycznego, dobieranym w sposób losowy z przedziahi (O, 1). Operator ten ma charakter eksploracyjny i umożliwia szerokie przeszukiwanie przestrzeni rozwiązań.
(2.25)
C H R O M O SO M i
CH RO M O SO M 2
1
tt=0,33
C H R O M O S O M i'
CH RO M O SO M 2'
Rys. 2.3. Krzyżowanie arytmetyczne
M utacja równomierna polega na zmianie wartości jednego lub kilku genów w chromosomie (rys. 2.4). Każdy gen gen^ w chromosomie chi ma równe szanse na to, by ulec procesowi mutacji, zgodnie z prawdopodobieństwem jej wystąpienia. W celu dokonania mutacji dla każdego genu gentj losuje się liczbę z przedziahi (O, 1) i jeśli wylosowana liczba jest mniejsza lub rówTtia prawdopodobieństwu mutacji, to wartość danego genu
2. Zadania odwrotne w przepływie biociepła - przegląd literatury
zmieniana jest na wartość losową gen'^, spełniającą ograniczenia nałożone na gen [gen^ < geriy < g e n f) , czyli
ch^Ągen,, gen,^ gen,, gen,^
c/?; = [ge«i, geni2 gen,3 gen,, gen[^ (2.26)
C H R O M O S O M1
C H R O M O S O M i '
mutaqi podlega gen 2 oraz 5
j
Rys. 2.4. Mutacja równomierna
Mutacja z rozhtadem Gaussa polega na zmianie wartości jednego lub kilku genów w chromosomie, podobnie jak w mutacji równomiernej, z tym, że wartości genów zmieniane są z wykorzystaniem rozkładu Gaussa.
Klonowanie polega na migracji najlepszego osobnika z poprzedniej populacji, z określonym prawdopodobieństwem, do następnej, bez konieczności uczestnictwa w procesie selekcji. Operator klonowania może powodować pewne niebezpieczeństwo, które wiąże się z tym, że program ewolucyjny utknie w minimum lokalnym.
Selekcja turniejowa działa dwuetapowo, np. wykorzystując cieka\vy i efektowny pomysł uporządkowania [75], W metodzie tej wybiera się pewną liczbę k osobników i selekcjonuje najlepszego z tego ¿-elementowego zbioru do następnego pokolenia na podstawie funkcji przystosowania każdego z osobników. Proces ten powtarza się n razy, aż do uzyskania nowego pokolenia, gdzie n jest liczebnością populacji. Duża wartość k, tzw.
rozmiar turnieju, zwiększa napór selekcyjny tej metody.
Przykładową selekcję turniejową przedstawiono na rys. 2.5, dla ^ = 4.
© © 0
Rys. 2.5. Selekcja turniejowa
Dobór wszystkich parametrów algorytmu ewolucyjnego, jak liczba cłuomosomów
2. Zadania odwrotne w przepływie biociepła przegląd literatury
liczba osobników w turnieju), spoczywa na użytkowniku. Dobór optymalnych wartości tych parametrów nie jest łatwy i zależy zazwyczaj od konkretnego zadania oraz postaci optymalizowanej funkcji przystosowania.
Ideę algorytmu ewolucyjnego przedstawimy na przykładzie omówionym w poprzednim podrozdziale. Funkcję przystosowania można zdefiniować tak samo, jak w algorytmie gradientowym, czyli wzorem (2.17). Genem będzie tutaj składnik źródłowy spełniający ograniczenia <Q „„ ■ Ponieważ mamy tylko jedną niewiadomą do odtworzenia, więc w tym przypadku każdy chromosom ch, będzie składał się tylko z jednego genu, czyli
ch, = [gew,.], przy czym gen, =
Populację startową chromosomów można utworzyć losowo, czyli wylosować np. 100 różnych wartości parametru Qmeu, / = 1, 2, ...,100 (spełniających narzucone ograniczenia), co oznacza, że założymy liczbę osobników w populacji równą 100. Dla każdej wartości należy rozwiązać zadanie bezpośrednie i wyznaczyć wartość funkcji przystosowania (2.17), innymi słowy ocenić przystosowanie osobnika Q„eti- Najlepszym osobnikiem w populacji startowej jest ten, dla którego wartość funkcji (2.17) jest najmniejsza.
Następną populację chromosomów tworzymy stosując selekcję oraz operatory ewolucyjne. Oczywiście w rozważanym zadaniu, gdy chromosom składa się tylko z jednego genu krzyżowanie proste nie znajduje zastosowania. Załóżmy, że wprowadzimy mutację równomierną z prawdopodobieństwem 0.2. Dla każdego genu (chromosomu) losujemy liczbę z przedziahi (O, 1). Jeżeli wylosowana liczba jest mniejsza lub równa 0.2, wówczas zmieniamy wartość genu na nowo wylosowaną wartość spełniającą zadane ograniczenia. Jeśli wprowadzimy operator klonowania, to po wylosowaniu liczby z przedziału (O, 1), przy założeniu, że prawdopodobieństwo klonowania wynosi 0.3, naj
lepszy osobnik (o najmniejszej wartości funkcji przystosowania) zostanie wprowadzony do nowej populacji pod warunkiem, że wartość wylosowanej liczby jest mniejsza lub równa 0.3.
Do stworzenia nowej populacji możemy zastosować np. selekcję turniejową.
Wybieramy w sposób losowy 4 osobników, a następnie na podstawie wartości funkcji przystosowania każdego z nich selekcjonujemy najlepszego osobnika do następnego pokolenia. W rozważanym zadaniu proces ten należy powtórzyć 100 razy po to, aby w kolejnym pokoleniu zachować liczebność populacji.
Opisany proces iteracyjny powtarzamy dla nowej populacji, tworząc w ten sposób kolejną. Jeśli spełniony zostanie warunek zatrzymania obliczeń, najlepszy chromosom końcowej populacji {Q„et) stanowi rozwiązanie omawianego zadania odwrotnego.
W przypadku, gdy warunkiem zatrzymania obliczeń jest z góry założona liczba pokoleń, wówczas najlepszy chromosom nie musi należeć do ostatniej populacji.
2. Zadania odwrotne w przepływie biociepła - przegląd literatury
Niewątpliwą zaletą algorytmów ewolucyjnych jest równoczesne przeszukiwanie całej dziedziny rozwiązań oraz duże prawdopodobieństwo osiągnięcia minimum globalnego.
Wadą natomiast - długi czas obliczeń związany między iimymi z wielokrotnym rozwiązywaniem zadania bezpośredniego. Ponadto, zastosowanie metod ewolucyjnych w wielu zadaniach (zwłaszcza 3D) jest znacznie prostsze niż wykorzystanie metod gradientowych.
2.3.3. Metody hybrydowe
Opisane powyżej metody identyfikacji posiadają pewne ograniczenia i wady, które mogą się nasilać zwłaszcza wraz ze wzrostem poziomu trudności zadania. Metody bazujące na znajomości gradientu mogą zmierzać do optimów lokalnych, trudniejsze może okazać się także wyznaczenie gradientu. Metody identyfikacji ewolucyjnej oka2oiją się natomiast bardzo czasochłonne [69, 70, 71, 72, 73], Alternatywą mogą być metody hybrydowe rozumiane jako algorytmy stanowiące różnego rodzaju połączenia między powyższymi metodami.
Celem połączenia obydwu algorytmów było stworzenie metody, która łączyłaby zalety obydwu algorytmów. Powinna ona zapewnić globalny charakter poszukiwań, co cechuje metody ewolucyjne, oraz powiima dość szybko i precyzyjnie dążyć do optimum, co ma miejsce w metodach gradientowych.
W niniejszej pracy doktorskiej zastosowano tzw. model strategii dwufazowej [86] - rys. 2.6
Rys. 2.6. Model strategii dwufazowej
Model strategii dwufazowej jest najprostszym przypadkiem metod hybrydowych.
Algorytm ewolucyjny stanowiący etap pierwszy ma za zadanie wygenerować „mocny”
punkt w pobliżu optimum globalnego, następnie algorytm gradientowy, stanowiący etap drugi, w kolejnych krokach szybko „prowadzi” do dokładnego rozwiązania. Jeżeli algorytm
2. Zadania odwrotne przepływie biociepła - przegląd Uteratury
ewolucyjny jest „odporny” na wpadanie w minima lokalne, to jest w stanie wygenerować punkt w pobliżu optimum globalnego. Algorytm gradientowy wykorzystuje swą zaletę szybkiego dojścia do optimum.
Problemom zastosowania algorytmów gradientowych, ewolucyjnych oraz metod hybrydowych do identyfikacji parametrów termicznych i geometrycznych podobszaru nowotworowego tkanki poświęcono rozdział 5 pracy doktorskiej.
3. Metoda elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności
ROZDZIAŁ 3
Metoda elementów brzegowych z zastosowa
niem wielokrotnej zasady wzajemności
3.1. Wstęp
Metoda elementów brzegowych, obok metody elementów skończonych i metody różnic skończonych, jest coraz powszechniej stosowaną metodą rozwiązywania zadań brzegowych i brzegowo-początkowych [4, 5, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 34, 45, 57]. Do najważniejszych jej zalet należy przede wszystkim duża dokładność aproksymacji warunków brzegowych, możliwość dokładnego odtworzenia rzeczywistej geometrii obszaru oraz stosunkowo niewielka liczba niewiadomych w tcw. układzie rozwiązującym (końcowym układzie równań), które są związane jedynie z brzegiem obszaru. W wielu zagadnieniach, np. przy wyznaczaniu bezźródłowych pól temperatury, dyskretyzacji podlega jedynie brzeg rozpatrywanego obszaru i dlatego często mówi się o tej metodzie, że zmniejsza wymiar zagadnienia o 1. Istnieje jednak duża grupa problemów brzegowych i brzegowo- początkowych, rozwiązanie któiych za pomocą klasycznego algorytmu MEB wiąże się z koniecznością dyskretyzacji zarówno brzegu jak i wnętrza obszaru. Aby „ocalić”
najcenniejszą zaletę MEB, czyli ograniczyć się jedynie do dyskretyzacji brzegu, rozwijane są takie jej warianty które, ogólnie rzecz biorąc, całkę po obszarze sprowadzają do całki brzegowej [13, 43, 80, 81, 82, 83, 84, 85]. Jedną z takich odmian jest MEB z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności, która zostanie omówiona w niniejszym rozdziale.
3.2. Metoda elementów brzegowych
Algorytm metody elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności przedstawimy dla następującego równania
X S / ^ T { x ) - k T { x ) ^ Q = ^ (3.1) gdzie X [W/mK] jest współczynnikiem przewodzenia ciepła, T oznacza temperaturę, k [W/m^K] jest stałym współczynnikiem, a Q [W/m^] stałym składnikiem źródłowym.
3. Metoda elementów brzegoiyych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności
X - (jci, ^2) dla zadania płaskiego, x = (ati, X2, x%) dla zadania przestrzennego, natomiast
= (3-2)
i-i CWj gdzie w jest wymiarem zagadnienia.
Z matematycznego punktu widzenia, równanie (3.1) jest równaniem Poissona, w którym składnik źródłowy zależy od temperatury.
Porównując równanie (3.1) z równaniem Pennesa (wzór (2.1)) można zauważyć, że k^G^Ca, natomiast Q = kTg+Q^^i. Tak więc, równanie Pennesa jest szczególnym przypadkiem równania Poissona.
Równanie (3.1) uzupełniają następujące warunki brzegowe [36, 37]
* s r , : r ( * ) = r . pocłiodną w kierunku normalnym do brzegu
d T ( x ) ^ d T ( x )
= 2^ . - cosa. (3.4)
dn dx^
przy czym cos«^ sącosinusami kierunkowymi wersora normalnego do brzegu, zorientowa
nego na zewnątrz obszaru.
W klasycznym wariancie metody elementów brzegowych [11, 14, 15, 45] równanie całkowe będące odpowiednikiem równania (3.1) jest następujące
B ( ^ ) T ( ^ ) + ¡ q ( x ) r ( ^ , ^ )d r =
(3-5) r ( x ) q ‘
(^, ;c)dr + J[-^r(:c) + e ] r (^, ;c)dQ
r n
gdzie ^ jest punktem obserwacji (punktem, w którym przyłożono skupione źródło ciepła), dla ^ G r : e (0 ,l) jest współczynnikiem zależnym od kształtu brzegu w pobliżu punktu dla 4 ^ Q : 5 ( ^ ) = 1, z kolei jest rozwiązaniem fundamentalnym (podstawowym), natomiast
(3.6)
Znajomość rozwiązania fundamentalnego jest niezbędna przy konstrukcji algorytmu MEB i dla omawianego zadania funkcja T* { i , x ) musi być rozwiązaniem równania
XV^7’- (ą ,x ) = -8(ą,;c) (3.7)
gdzie 8 {^ ,x) jest funkcją delta Diraca.
Postulat ten spełnia następująca funkcja [10, 13, 14, 44]
3. Metoda elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności
^ In -, zadanie 2D
(3.8) zadanie 3D
^%kr
gdzie r jest odległością między punktem obserwacji ^ a rozpatrywanym punktem x
e=i
Strumień ciepła (por. wzór (3.6)) wynikający z rozwiązania fundamentalnego można obliczyć analitycznie
gdzie
zadanie 2D
(3.10) zadanie 3D
47cr'
i^ = Z ( ^ e - ^ . ) c o s a , (3.11)
e=l
Jak można zauważyć, w brzegowym równaniu całkowym (3.5) występuje całka związana z wnętrzem obszaru co oznacza, że dla źródłowych pól temperatury, na etapie obliczeń numerycznych należy dyskretyzować zarówno brzeg F jak i wnętrze Q.
3.3. MEB z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności
w metodzie elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności występującą po prawej stronie równania (3.5) całkę po wnętrzu obszaru zastępuje się sumą całek po jego brzegu [80, 81, 82, 83, 84, 85].
Sposób postępowania jest następujący [26, 46, 47]. Oznaczymy przez / całkę po rozpatrywanym obszarze Q
I = \ [ Q ~ k { x ) ] r { ^ , x ) ń ę i (3.12)
3. Metoda elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności
i zapiszemy ją jako
I = \ [ Q - k T { x ) Y v : { ^ ^
czyli zakładamy znajomość funkcji takiej, że
r { ^ , x ) = v X { ^ , x ) Stosując drugą fonnułę Greena [45, 90] otrzymujemy
I = ^ V ^ [ Q - k T { x ) \ v ' { ^ , x ) d Q +
dr
lub
I = - k \ v ^ T { x ) v ; { ^ , x ) d n +
^ d v : { ą , x ) , . , J T { x ) [ Q - k T { x ) Y - ^ ^ - V : { ^ , x ) k dn
dr
Po wprowadzeniu zależności
oraz wyznaczeniu z równania (3.1)
mamy
' Q k T { x ) ] v ; { i „ x ) d a
-I i[[■^^ W - 2 ] 2 ,'( i x ) - V ; { ^ , x )A g'(jc )]d r
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
czyli
/ z z _ Q - k T { x ) ] v ; { i „ x ) d
Q-^ \ A { Q-^ Q-^ x ) T { x ) d Y - Q-^ \ z \ { Q-^ , x ) ń Y - Q-^ \ v ; ( ą , x ) q ( x
)dP
(3.20)W podobny sposób przekształcamy pierwszą z całek występującą po prawej stronie zależności (3.20). Tak więc
/ , = ^ i [ Q - k T ( x ) ] v ; ( ą , x ) d n = ^ j [ Q - k T ( x ) ] v % ' ( ą , x ) d n (3.21)
gdzie
v ; ( ą , x ) = v % ' ( ą , x ) (3.22)
Z drugiej formuły Greena otrzymujemy
/ , = 7 f v ^ [ e - A : r ( ; c ) ] K ; ( ą , x ) d Q +
________________ 3. Metoda elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności
czyli Wprowadzając wzór (3.24) do (3.20) mamy
I = ^ \ [ Q k T { x ) \ v ; { i „ x ) A ę i ^ \ z ; { ^ , x ) ń T
Podobnie jak poprzednio, należy przekształcić pierwszą całkę po prawej stronie zależności (3.26). Postępując w ten sposób nieskończenie wiele razy uzyskuje się
' k ' '
Jz;( 4 ,i)dr+
^ /-I \ ^J r fk^
/»I p ; „ i V^A.y p
Po wykorzystaniu wzoru Q.27), równanie (3.5) przyjmuje postać
S ( y T-(ę) + Jq (x )T - (?, * ) d r + ¿ i i i v; (ą, *)dF =
3. Metoda elementów brzegowych z zasiosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności Funiccje V,' (^, ;c) są rozwią^niami następujących równań
V X i ^ , x ) = T ' { ^ , x )
Oczywiście, otrzymanie efektywnego algorytmu jest możliwe jedynie pod warunkiem, że znana jest postać r o z w i^ ń F/ (^, ;c).
Odpowiedniki strumieni ciepła dla tych rozwiązań wyznacza się analitycznie i są one równe
(3.36)
d 2 1 - 2
z ; ( 4 - ) = - ^ r 1 '' A , - 21 A¡\n— + B¡
\ r
W zadaniach przestrzennych wykorzystujemy zależność [26, 84]
gdzie
3. Metoda elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności
oraz
z ; (ą, x ) = - — {21 - \ y - % , I = 0,1,2,...
471 (3.39)
Dodatkowym problemem związanym z wykorzystaniem równania (3.28) jest zbieżność występujących w nim szeregów oraz oszacowanie popełnianych błędów przy zastąpieniu ich sumami skończonymi, co jest niezbędne w realizacji komputerowej metody.
Dodatkowym problemem związanym z wykorzystaniem równania (3.28) jest zbieżność występujących w nim szeregów oraz oszacowanie popełnianych błędów przy zastąpieniu ich sumami skończonymi, co jest niezbędne w realizacji komputerowej metody.