4 Wyznaczanie rozkładu temperatury w tkance zaatakowanej
5.3. Identyfikacja położenia i wielkości nowotworu
Zakładamy, że rozkład temperatury w tkance zaatakowanej nowotworem opisuje układ równań i warunków (4.1), (4.2), (4.3), w którym znane są wartości wszystkich parametrów.
W zadaniu płaskim przyjmujemy, że kształt nowotworu można przybliżyć okręgiem o środku w punkcie (^5, ys) i promieniu R - rys. 4.1, natomiast w zadaniu przestrzennym - kształt nowotworu przybliżamy elipsoidą o środku w punkcie {xs, ys, zs) i półosiach R/, R2, R3 - lys. 4.2. Dysponujemy wartościami temperatury na powierzchni tkanki skórnej (por.
rysunki 4.8 i 4.18). N ie znamy położenia, czyli współrzędnych środka okręgu (xs, ys) (zadanie 2D) lub współrzędnych środka elipsoidy (xs, ys, zs) (zadanie 3D) oraz wielkości nowotworu, czyli promienia R (zadanie 2D) lub długości półosi Ri, R2, R3 (zadanie 3D).
Zadanie odwrotne rozwiązano zarówno metodą gradientową jak i z zastosowaniem algorytmu ewolucyjnego [73, 74]. Z formalnego punktu widzenia algorytm gradientowy jest bardzo podobny do opisanego w podrozdziale 5.2 z tym, że wektor z zawierający nieznane parametry (por. wzór (5.5)) ma w tym przypadku postać postać.
(5.18) z = ^2 =
.^3. R
Założono przy tym, że nieznane parametry spełniają następujące ograniczenia 0.012 <0.048
0.012< 7 5 <0.018 0.005 < i? <0.01
(5.19)
N a rysunkach 5.14 - 5.18 pokazano przykładowe wyniki identyfikacji położenia i wielkości podobszaru nowotworowego dla różnych punktów startowych.
J. Identyfikacja parametrów termicznych oraz położenia i wielkości podobszaru nowotworowego
Rys. 5.14. Proces identyfikacji - algorytm gradientowy Xg =0.012,ys® =0.012, =0.006 [m]
Rys. 5.15. Proces identyfikacji - algorytm gradientowy Xs =0.012, =0.018, =0.005 [m]
Rys. 5.16. Proces identyfikacji - algorytm gradientowy Xs =0.048,7/ =0.012, =0.005 [m]
Rys. 5.17. Proces identyfikacji - algorytm gradientowy Xs = 0 .0 4 8 ,= 0 .0 1 8 , =0.005 [m]
5. Identyfikacja parametrów lermicznych oraz położenia i wielkoici podobszaru nowotworowego
Rys. 5.18. Proces identyfikacji - algorytm gradientowy xs =0.048, =0.018, =0.01 [m]
W przypadku algorytmu ewolucyjnego na geny zawierające informacje o identyfikowanych parametrach geometrycznych podobszaru nowotworowego nałożono ograniczenia zgodne ze wzorem (5.19) (zadanie 2D) oraz (5.20) (zadanie 3D). Wartości operatorów ewolucyjnych umieszczono w tabeli 5.1. Wyniki obliczeń dla zadania płaskiego umieszczono w tabeli 5.17 [73], natomiast dla zadania przestrzennego w tabeli 5.18 [74],
-0 .0 4 < jc ^ < 0.04 0.005< Ą <0.04
-0.04 < ^ 5 <0.04 0.005 </?2< 0.04 (5.20) 0.0l < Z j <0.05 0.005 </?3< 0.04
Tabela 5.17. Wyniki obliczeń - algorytm ewolucyjny, zadanie płaskie Identyfikacja parametrów geometrycznych
Dokładne Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 Test 5
0.03 0.02998 0.02999 0.02999 0.03000 0.02997
ys 0.015 0.01502 0.01505 0.01498 0.01501 0.01504
R 0.0075 0.00748 0.00750 0.00749 0.00751 0.00747
Zadanie odwrotne rozwiązano również przy \yykorzystaniu algorytmu hybrydowego.
Wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli 5.18. N a etapie obliczeń algorytmem ewolucyjnym, na geny zawierające informacje o identyfikowanych parametrach geometrycznych podobszaru nowotworowego nałożono ograniczenia zgodne ze wzorem (5.19) - zadanie 2D oraz (5.20) - zadame 3D . Najlepszy chromosom otrzymany w identyfikacji ewolucyjnej jest punktem startowym dla algorytmu gradientowego. Populacja startowa algorytmu ewolu
cyjnego złożona jest z 10 chromosomów, natomiast całkowita liczba generacji wynosi 50.
Tabela 5.18. Wyniki obliczeń - algorytm hybrydowy, zadanie płaskie Identyfikacja parametrów geometrycznych
algorytm ewolucyjny algorytm gradientowy
5. Identyfikacja parametrów tennicznych oraz położenia i wielkości podobszaru nowotworowego
>'s 0.01727 0.01500
R 0.00592 0.00750
Tabela 5.19. Wyniki obliczeń - algorytm ewolucyjny, zadanie przestrzenne Identyfikacja parametrów geometrycznych
Dokładne Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 Test 5
0.02 0.02058 0.02011 0,01987 0.02042 0,01986
Js 0.015 0.01523 0.01496 0.01479 0.01521 0.01489
% 0.04 0.03988 0.03998 0.04074 0.04019 0.03923
Ri 0.025 0.02482 0.02506 0.02507 0.02509 0.02492
R i 0,02 0,02016 0.01999 0.02091 0,01992 0.02019
Rs 0.015 0.01495 0.01499 0.01511 0.01498 0.01508
Na rysunku 5.19 przedstawiono przykładowy proces identyfikacji parametrów geometrycznych (zadanie 2D) podobszaru nowotworowego, przy wykorzystaniu algorytmu ewolucyjnego [13].
po 50 generacji
Rys. 5.19. Proces identyfikacji - algorytm ewolucyjny, tabela 5.17, test 4
Przedstawione wyżej wyniki otrzymano przy założeniu, że dysponujemy dokładnymi wartościami temperatury na powierzchni tkanki skórnej. Podobnie jak poprzednio, przeprowadzono również analizę wpływu zaburzeń pomiarów temperatury na otrzymywane wyniki identyfikacji.
Stosując algorytm gradientowy przyjęto Xs° =0.048, =0.018, R ° =0.005 [m] i prze
prowadzono obliczenia dla zaburzonych danych (10 losowań dla zadania 2D). Wyniki identyfikacji przedstawiono w tabelach 5.20, 5.21. Dla tych samych danych powtórzono obliczenia stosując algorytm ewolucyjny - tabele 5.22, 5.23. Wyniki dla zadania 3D przed
stawiono w tabelach 5.24, 5.25.
____________5. Identyfikacja parametrów termicznych oraz położenia i wielkości podobszaru nowotworowego____________
Tabela 5.20. Wyniki obliczeń - algorytm gradientowy, zadanie płaskie, a =0.1 Identyfikacja parametrów geometrycznych - dane zaburzone
N r testu R
1 0.03191 0.01485 0.00821
2 0.02895 0.01707 0.00783
3 0.02890 0.02541 0.00564
4 0.02877 0.01981 0.00564
5 0.02800 0.01329 0.00897
6 0.02884 0.01276 0.00864
7 0.03005 0.01504 0.00813
8 0.02884 0.01560 0.00778
9 0.02917 0.01787 0.00741
10 0.03100 0.02455 0.00564
Tabela 5.21. Wyniki obliczeń - algoiytm gradientowy, zadanie płaskie, a =0.01 Identyfikacja parametrów geometrycznych - dane zaburzone
N r testu ys R
1 0.02996 0.01633 0.00717
2 0.02990 0.01589 0.00725
3 0.02996 0.01600
o m m
4 0.02997 0.01624 0.00716
5 0.03001 0.01578 0.00728
6 0.03015 0.01483 0.00761
7 0.02994 0.01580 0.00733
8 0.02992 0.01491 0.00763
9 0.02992 0.01591 0.00726
10 0.03013 0.01494 0.00763
5. Identyfikacja parametrów lermicznych oraz położenia i wielkości podobszaru nowotworowego
Tabela 5.22. Wyniki obliczeń - algoiytm ewolucyjny, zadanie płaskie, a =0.1 Identyfikacja parametrów geometrycznych - dane zaburzone
N r testu ys R
1 0.02872 0.01216 0.00772
2 0.02692 0.01526 0.00791
3 0.03214 0.01838 0.00762
4 0.03391 0.01472 0.00774
5 0.03134 0.01865 0.00771
Tabela 5.23. Wyniki obliczeń - algorytm ewolucyjny, zadanie płaskie, a =0.01 Identyfikacja parametrów geometrycznych - dane zaburzone
N r testu ys R
1 0.03081 0.01438 0.00762
2 0.03262 0.01538 0.00761
3 0.02996 0.01572 0.00747
4 0.02952 0.01545 0.00767
5 0.02937 0.01624 0.00731
Tabela 5.24. Wyniki obliczeń - algorytm ewolucyjny, zadanie przestrzenne, a =0.1 Identyfikacja parametrów geometrycznych - dane zaburzone
N r testu xs ys zs R^ R2 R3
1 0.02143 0.01646 0.0425 0.02582 0.01877 0.01510
2 0.01930 0.01651 0.03888 0.02448 0.02159 0.01443
3 0.09120 0.01555 0.03966 0.02471 0.02015 0.01624
4 0.02098 0.01452 0.03873 0.02508 0 .0 2112 0.01565
5 0.02123 0.01612 0.03891 0.02347 0.02128 0.01596
Tabela 5.25. Wyniki obliczeń - algorytm ewolucyjny, zadanie przestrzenne, a =0.01 Identyfikacja parametrów geometrycznych - dane zaburzone
N r testu >^5 2S Ri R i 1 i?3
1 0.01949 0.01458 0.04027 0.02526 0.01985 0.01458
2 0.02022 0.01478 0.03971 0.02502 0.01962 0.01471
3 0.01981 0.01545 0.03973 0.02489 0.01981 0.01521
4 0.01967 0.01522 0.04075 0.02525 0.02034 0.01478
5 0.02024 0.01563 0.04053 0.02534 0.02028 0.01513
5.4. Równoczesna identyfikacja parametrów termicznych i geometrycznych nowotworu
Zakładamy znajomość rozkładu temperatury na powierzchni tkanki skórnej (por. lys.
4.8 i 4.18). Należy oszacować wartości parametrów termicznych i geometrycznych podobszaru nowotworowego.
Zadanie odwrotne rozwiązano stosując algorytm ewolucyjny. Całkowita liczba generacji algorytmu ewolucyjnego wynosi 300, populacja startowa złożona jest z 50 chromosomów. Na geny zawierające informacje o identyfikowanych parametrach termicznych i geometrycznych podobszaru nowotworowego nałożono ograniczenia zgodne ze wzorem (5.17) i (5.19) (zadanie 2D) oraz (5.17) i (5.20) (zadanie 3D). Wartości operatorów ewolucyjnych przedstawia tabela 5.1. Wyniki obliczeń dla zadania płaskiego umieszczono w tabeli 5.26, natomiast dla zadania przestrzennego w tabeli 5.27.
____________5. Identyfikacja parametrów termicznych oraz położenia i wielkości podobszaru nowot^yorowego____________
Tabela 5.26. Wyniki obliczeń - algorytm ewolucyjny, zadanie płaskie Identyfikacja parametrów termofizycznych i geometrycznych
Dokładne Test 1 Test 2
^2 0.75 0.74899 0.75083
k 2 7992.4 7980.93764 7998.82744
Q m e a 4200 4179.74764 4204.82722
xs
0.03 0.03002 0.03007ys
0.015 0.01498 0.01502R
0.0075 0.00751 0.00750Tabela 5.27. Wyniki obliczeń - algorytm ewolucyjny, zadanie przestrzenne Identyfikacja parametrów termofizycznych i geometrycznych
Dokładne Test 1 Test 2
A-2 0.75 0.75074 0.75116
k i 7992.4 7997.92734 8001.87236
Q m et2 4200 4297.73644 4190.8264
xs
0.02 0.02033 0.019287ys
0.015 0.01509 0.01502Zs
0.04 0.04001 0.03998R ^ 0.025 0.02501 0.02503
R i 0.02 0.02078 0.02034
W tabelach 5.28, 5.29 (zadanie 2D) oraz 5.30, 5.31 (zadanie 3D) przedstawiono wyniki identyfikacji dla zaburzonych wartości temperatur przyjmując a =0.001 oraz o =0.0001. ____________ 5. Identyfikacja parametrów termicznych oraz poloienia i wielkości podobszaru nowoMorowego____________
Tabela 5.28. Wyniki obliczeń - algorytm ewolucyjny, zadanie płaskie, a =0.001 Identyfikacja parametrów termicznych i geometrycznych - dane zaburzone
N r testu ^2 h Q m e t l ys R
1 0.66402 7176.28478 4414.48217 0.03719 0.01732 0,00781
2 0.79573 7618.78672 5046.81408 0.03362 0.01749 0.00736
3 0.75034 8044.21139 4045.57952 0.02744 0.01751 0.00799
4 0.72938 8606.87109 3299.83654 0.03340 0.01601 0.00821
5 0.71692 7669.00369 3946.77560 0.02196 0.01648 0.00580
Tabela 5.29. Wyniki obliczeń - algorytm ewolucyjny, zadanie płaskie, ct =0.0001 Identyfikacja parametrów termicznych i geometrycznych - dane zaburzone
N r testu ^2 h Q m e t l Js R
1 0.67952 7730.83575 4139.94055 0.02962 0.01492 0.00674
2 0.71331 7710.77877 4193.14936 0.02793 0.01409 0.00782
3 0.78955 7679.71177 3995.00966 0.02775 0.01320 0.00693
4 0.72526 7972.79426 3733.80007 0.02739 0.01661 0.00786
5 0.77196 7833.91803 4325.87113 0.03232 0.01307 0.00709
Tabela 5.30. Wyniki obliczeń - algorytm ewolucyjny, zadanie przestrzenne, a =0.001 Identyfikacja parametrów termicznych i geometrycznych - dane zaburzone
Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 Test 5
^2 0.71937 0.74974 0.76256 0.72584 0.75517
k2 7828.78194 7760.17313 8031.22385 7895.68342 8005.45588
Q m e l l 4347.91566 4136.59109 4271.33989 4202.04541 4352.09169
0.01858 0.01869 0.02167 0.02073 0.02017
ys 0.01633 0.01663 0.01704 0.01331 0.01631
0.04494 0.04660 0.03431 0.04367 0.04005
Rx 0.02669 0.02239 0.02402 0.02997 0.02723
R i 0.01664 0.01722 0.02085 0.01715 0.02081
R i 0.01823 0.01829 0.01468 0.01245 0.01157
5. Identyfikacja parametrów termicznych oraz poloienia i wielkości podobszaru ncnvotivorowego
Tabela 5.31. Wyniki obliczeń - algorytm ewolucyjny, zadanie przestrzenne, a =0.0001 Identyfikacja parametrów termicznycii i geometrycznych - dane zaburzone
Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 Test 5
^2 0.74478 0.73237 0.74502 0.74662 0.73908
h 7852.19680 7992.58024 7869.63804 7940.56612 7988.20683
Q m a ll 4110.35495 4040.26621 4104.33834 4187.86199 4167.73206
0.02118 0.02033 0.01837 0.02072 0.02024
y s 0.01526 0.01353 0.01538 0.01570 0.01519
^s 0.03714 0.04040 0.04003 0.03935 0.03943
0.02386 0.02680 0.02592 0.02720 0.02677
R i 0.02118 0.01919 0.02069 0.02143 0.02072
R 3 0.01680 0.01438 0.01553 0.01544 0.01521
6. Uwagi i wnioski końcowe
ROZDZIAŁ 6
Uwagi i wnioski końcowe
Rozważania teoretyczne oraz wyniki obliczeń numeiycznych prezentowane w niniejszej rozprawie doktorskiej pozwalają na sformułowanie następujących uwag i wniosków:
1. Wykorzystanie metody elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności do wyznaczania ustalonych pól temperatury w tkance biologicznej oraz wyznaczania funkcji wrażliwości jest bardzo efektywne. Ten wariant MEB wymaga jedynie dyskretyzacji brzegu obszaru lub podobszarów, co jest niezwykłe istotne
zwłaszcza w zadaniach przestrzennych.
2. Na podstawie łatwo mierzalnego rozkładu temperatury na powierzchni tkanki skórnej można olcreślić położenie i wielkość podobszaru nowotworowego oraz parametry termiczne tego podobszaru.
3. Algorytmy gradientowe zastosowane w identyfikacji wymagają właściwego doboru wartości początkowych poszukiwanych parametrów i wówczas proces iteracyjny jest zbieżny do właściwego rozwią^nia.
4. Algorytmy ewolucyjne umożliwiają poprawne rozwiązanie problemu identyfikacji.
Są jednak bardzo czasochłonne, a otrzymywane wyniki są obarczone większym błędem niż w przypadku zastosowania algorytmów gradientowych.
5. Algorytmy hybrydowe polegające na połączeniu metod ewolucyjnych i gradiento
wych są najbardziej skutecznym narzędziem rozwiązywania zadań identyfikacji.
6. Przedstawione w pracy doktorskiej metody identyfikacji mogą znaleźć zastosowanie w diagnostyce medycznej (termografia), przy czym poprawność wnioskowania o obecności, położeniu i wielkości nowotworu jest uwarunkowana bardzo dokładnymi pomiarami temperatury na powierzchni tkanki skórnej (co na obecnym etapie rozwoju technik termowizyjnych jest w pełni możliwe).
Literatura
LITERATURA
[1] O.M. Alifanov, Obratnyje zadaci teploobmiena, Maszynostrojenie, Moskva, 1988.
[2] O.M. Alifanov, Inverse heat transfer problems, Springer-Verlag, 1994.
[3] J. Arabas, Wykłady z algorytmów ewolucyjnych, W NT, Warszawa, 2001.
[4] P.K. Banerjee, Boundary element methods in engineering, McGraw-Hill Company, London 1994.
[5] P.K. Banerjee, R. Butterfield, Boundary element methods in engineering science, McGraw-Hill Book Company, London 1981.
[6] J.V. Beck, K.J. Arnold, Parameter estimation in engineering and science, Wiley, New Computational Mechanics Publications, Elsevier Applied Science, London, New York
1992.
[10] Boundary element methods in mechanics, eds. D.E. Beskos, Mechanics and Mathematical Methods, A series o f handbooks, Elsevier Sciences Publishers, North- Holland, Amsterdam, N ew York, Oxford, Tokyo 1987.
[11] C.A. Brebbia, The boundary element method for engineers, Pentech Press, London, Plymouth, 1978.
[12] C.A. Brebbia, J. Dominguez, Boundary elements. An introductory course. Computational Mechanics Publications, McGraw-Hill Book Company, London, 1992.
[13] C.A. Brebbia, A.J. Nowak, Solving heat transfer problems by the dual reciprocity BEM.
Boundary Element Method for Heat Transfer, Chapter 1, s. 1-32, Comp. Mech.
Publications and Elsevier Applied Science, Southampton 1992.
[14] C.A. Brebbia, J.C.F. Telles, L.C. Wrobel, Boundary element techniques, Springer- Verlag, Berlin, N ew York, 1984.
[15] T. Burczynski, Metoda elementów brzegowych w mechanice, W NT, Warszawa 1995.
[16] T. Burc:;^ński, Sensitivity analysis, optimization and inverse problems, in; Boundary element advances in solid mechanics, Eds. D. Beskos, G. Maier, Springer Verlag, Wien and N ew York, 2003.
[17] T. Burczynski, E. Majchrzak, Evolutionary computation in inverse problems o f mechanics and biomechanics, lU T A M Symposium on Evolutionary Methods in Mechanics, Abstracts, Cracow, Poland, 2002,7-8.
Literatura
[18] T. Burczyński, W. Kuś, E. Majchrzak, P. Orantek, M. Dziewoński, Evolutionary computation based on biological tissue surface temperatures in identification o f a tumor, Proceedings o f the Second International Conference on Philosophy and Computer Science Processes o f Evolution in Real and Virtual Systems, PERVS’ Ol, Kraków, Poland, 10-11 January 2002, 75-79.
[19] T. Burczyński, E. Majchrzak, W. Kuś, P. Orantek, M. Dziewoński, Identyfikacja zmian nowotworowych w tkance z zastosowaniem algorytmów ewolucyjnych. Krajowe Sympozjum “ Modelowanie i symulacja komputerowa w technice” , Wyższa Szkoła Informatyki w Łodzi, 2002, 85-88.
[20] H. Brinck, J. Werner, Estimation o f the thermal effect o f blood flow in a branching countercurrent network using a three dimensional vascular model. Journal o f Biomechanical Engineering 1994, 116,324-330.
[21] C.R. Davies, G.M. Saidel, H. Harasaki, Sensitivity analysis o f one-dimensional heat transfer in tissue with temperature-dependent perfusion. Journal o f Biomechanical Engineering, Transactions o f the ASME, 1997,119, 77-80.
[22] K. Dems, Sensitivity analysis in thermal problems-I: variation o f material parameters within fixed domain. Journal o f Thermal Stresses, 9, 1986, 303-324.
[23] K. Dems, Sensitivity analysis in thermal problems-II: structure shape variation. Journal o f Thermal Stresses, 10, 1987,1-16.
[24] K. Dems, B. Rousselet, Sensitivity analysis for transient heat conduction in a solid body - Part I: External boundary modification. Structural Optimization, 17, 1999,36-45.
[25] K. Dems, B. Rousselet, Sensitivity analysis for transient heat conduction in a solid body - Part II; Interface modification. Structural Optimization, 17, 1999,46-54.
[26] J. Drozdek, Modelowanie źródłowych pól temperatury w zagadnieniach przepływu biociepła. Politechnika Częstochowska, Częstochowa, 2003.
[27] W. Findeisen, J. Szymanowski, A. Wierzbicki, Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji, PW N, Warszawa, 1977.
[28] D.E. Goldberg, Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, W N T, Warszawa, 1995.
[29] J. Haug, K.K. Choi, V. Komkov, Design sensitivity analysis o f structural systems.
Academic Press, Inc., Orlando, 1986
[30] H.W. Huang, C.L. Chan, R.B. Roemer, Analytical solutions o f Pennes bioheat transfer equation with a blood vessel. Journal o f Biomechanical Engineering 1994, 116,208-212.
[31] H.W. Huang, Z.P. Chen, R.B. Roemer, A counter current vascular network model o f heat transfer in tissues. Journal o f Biomechanical Engineering 1996, 118,120-129.
[32] D.B. Ingham, Y . Yuan, The boundary element method for solving improperly posed problems, Computational Mechanics Publications, 1994.
[33] D. Janisz, Zadania odwrotne w nieustalonym przepływie ciepła. Politechnika Sl^ka, Gliwice, 2004.
[34] J. i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych, Cz. 1, W NT, Warszawa, 1981.
Literatura
[35] M. Jasiński, Modelowanie procesu nagrzewania tkanki biologicznej. Politechnika Śląska, Gliwice, 2001.
[36] G. Kałuża, Zastosowanie metod analizy wrażliwości w przepływie biociepła.
Politechnika Śląska, Gliwice, 2005.
[37] E. Kącki, Termokinetyka, W NT, Warszawa, 1966.
[38] E. Kącki, Równania różniczkowe cząstkowe w zagadnieniach fizyki i techniki, W NT, Warszawa, 1995.
[39] M. Kleiber, Parameter sensitivity in nonlinear mechanics, J.Willey & Sons Ltd., London, 1997.
[40] K. Kurpisz, A.J. Nowak, Inverse thermal problems, Computational Mechanics Publications, Southhampton, Boston, 1995,259-298.
[41] W. Kuś, E. Majchrzak, P. Orantek, M. Dziewoński. T. Burczynski, Position and shape identification o f tissue anomalies based on tissue surface temperature with use o f evolutionary algorithms. Methods o f Artificial Intelligence in Mechanics and Mechanical Engineering, AI-Mech 2001, 113-116.
[42] J. Liu, L.X. Xu, Boundary information based diagnostics on the thermal states o f biological bodies. Int. Journal o f Heat and Mass Transfer 2000,43,2827-2839.
[43] W.Q. Lu, J. Liu, Y . Zeng, Simulation o f thermal wave propagation in biological tissues by the dual reciprocity boundary element method. Engineering Analysis with Boundary Elements 1998,167-174.
[44] E. Majchrzak, Numerical modelling o f bio-heat transfer using the boundaiy element method. Journal o f Theoretical and Applied Mechanics, 1998,2,36,437-455.
[45] E. Majchrzak, Metoda elementów brzegowych w przepływie ciepła, Wyd. Pol.
Częstochowskiej, Częstochowa, 2001.
[46] E. Majchrzak, J. Drozdek, M. Paruch, Multiple reciprocity BEM for numerical analysis o f thermal processes in the system tissue - tumor region, 15th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMMi-2003, GliwiceAVisIa, June 3-6, 2003, Short Papers, ISBN-83-914632-5-7,235-236.
[47] E. Majchrzak, J. Drozdek, M. Paruch, Multiple reciprocity BEM for numerical analysis o f thermal processes in the system tissue - tumor region, 15th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM-2003, Gliwice/Wisła, June 3-6, 2003, CD- ROM Proceedings, ISBN-83-914632-4-9,1-8.
[48] E. Majchrzak, D. Janisz, B. Mochancki, Identification o f external heat flux on the basis o f temperature distribution in domain o f skin tissue, 15th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM-2003, Gliwice/Wisła, June 3-6,2003, CD-ROM Proceedings, ISBN-83-914632-4-9, 1-6.
[49] E. Majchrzak, M. Jasiński, Evaluation o f bums with regard to variations o f thermophysical parameters o f skin tissue, Annales Academiae Medicae Silesiensis, Supl.32, 2001,127-134.
Literatura
[50] E Majchrzak, M. Jasiński, Sensitivity study o f bum predictions to variations in thermophysical properties o f skin, Advances in Boundaiy Element Techniques II, Hoggar, Geneva, 2001,273-336.
[51] E. Majchrzak, M. Jasiński, Sensitivity analysis o f bioheat transfer in 2D tissue domain subjected to an external heat source, Acta o f Bioengineering and Biomechanics, Vol. 3, Suppl.2,2001,329-336.
[52] E. Majchrzak, M. Jasiński, Numerical estimation o f bum degree o f skin tissue using the sensitivity analysis methods, Acta o f Bioengineering and Biomechanics, Vol. 4, Suppl. 1, 2002,464-465.
[53] E. Majchrzak, M. Jaisński, Numerical analysis o f bioheat transfer processes in tissue domain subjected to a strong external heat source. Proceedings o f the Third International Conference on Boundary Element Techniques, Eds. Z. Yao, M.H. Aliabadi, Tsinghua University Press, Springer, 2002,377-382.
[54] E. Majchrzak, M. Jasiński, Sensitivity analysis o f bums integrals, Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, Vol. 11, N o 2/3,2004, 125-136.
[55] E. Majchrzak, M. Jasiński, D. Janisz, Identification o f thermal parameters o f biological tissue, Acta o f Bioengineering and Biomechanics, Vol. 6, Suppl. 1,2004,467-470.
[56] E. Majchrzak, M. Jasiński, G. Kahiża, Sensitivity analysis o f bums integrals with respect to the geometrical parameters o f skin, 15th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM-2003, GliwiceAVisla, June 3-6, 2003, CD-ROM Proceedings, ISBN-83-914632-4-9, 1-6.
[57] E. Majchrzak, B. Mochnacki, Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algoiytmy, Wyd. IV, Wydawnictwa Politechniki Śląskiej, Gliwice 2004.
[58] E. Majchrzak, B. Mochnacki, Analysis o f bioheat transfer in the system o f blood vessel- biological tissue,
KLUWER
Academic Publishers, 2001,201-211.[59] E. Majchrzak, B. Mochnacki, Numerical model o f heat transfer between blood vessel and biological tissue. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, 6, 1999, 439-447.
[60] E. Majchrzak, B. Mochnacki, Analysisof thermal processes occurring in tissue widi a tumor region using the BEM, Joumal o f Theoretical and Applied Mechanics, 1,40,2002,
101
-112
.[61] E. Majchrzak, B. Mochancki, R. Szopa, Numerical analysis o f temperature distribution in the skin tissue with a tumor, Annales Academiae Medicae Silesiensis, Supl. 32, 2001, Mechanics, Proceedings o f the Extended Abstracts, Zilina, 9-12 September, 2003,94-96.
91
Literatura
[64] E. Majchrzak, M. Paruch, J. Drozdek, 3d boundary element model o f thermal processes in the tissue with a tumor, 9th Int. Conf. on Numerical Methods in Continuum Mechanics, CD-ROM Proceedings, ISBN 80-968823-4-1, Zilina, 9-12 September, 2003,
1-12.
[65] E. Majchrzak, M. Paruch, J. Drozdek, Modelling o f thermal processes occurring in the tissue with a tumor with regard to parameter sensitivity analysis. Scientific Research o f the Institute o f Mathematics and Computer Science, 1(3), 2004, 133-142.
[66] E. Majchrzak, M. Paruch, Identification o f the tumor region on the basis o f skin surface temperature, 4th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS, July 24-28, 2004, Jyvaskyla, Finland, Book o f Abstracts, Vol. I, 332-332.
[67] E. Majchrzak, M. Paruch, Identification o f the tumor region on the basis o f skin surface temperature, 4th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS, July 24-28, 2004, Jyvaskyla, Finland, CD-ROM Proceedings, Vol. I, 1-14.
[68] E. Majchrzak, M. Paruch, estimation o f internal heat source in a tumor region on the basis o f skin surface temperature, Acta o f Bioengineering and Biomechanics, Vol. 6, Suppl. 1,2004,471-475.
[69] E. Majchrzak, M. Paruch, T. Burczyński, A comparison o f different techniques o f inverse problem solution for identification o f tumor thermal parameters, 16th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM-2005, Częstochowa, June 21-24, 2005, Short Papers, ISBN-83-921605-2-5, 135-136.
[70] E. Majchrzak, M. Paruch, T. Burczyński, A comparison o f different techniques o f inverse problem solution for identification o f tumor thermal parameters, 16th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM-2005, Częstochowa, June 21-24, 2005, CD-ROM Proceedings, ISBN-83-921605-7-6, 1-7.
[71] E. Majchrzak, M. Paruch, Identification o f tumor thermal parameters using techniques o f inverse problem solution, 10th Conf. on Numerical Methods in Continuum Mechanics, Book o f Abstracts, Zilina, Slovak Republic, 23-26.08.2005, 83-84.
[72] E. Majchrzak, M. Paruch, Identification o f tumor thermal parameters using techniques o f inverse problem solution, 10th C on f on Numerical Methods in Continuum Mechanics, CD-ROM Proceedings, Zilina, Slovak Republic, 23-26.08.2005, 1-13.
[73] E. Majchrzak, M. Paruch, Localization o f tumor region using the information concerning skin surface temperature. Int. Conference on Computational Bioengineering, H.
Rodrigues et al. (Eds.), Lisbon, Portugal, September 14-16,2005, 1077-1087.
[74] E. Majchrzak, M. Paruch, Identification o f tumor shape and position in 3D domain using evolutionary algorithm, AI-M ETH — Artificial Intelligence Methods, Short Papers, Gliwice, 2005.
[75] Z. Michalewicz, Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne, W NT, Warszawa, 1996.
Literatura
[76] B. Mochnacki, E. Majchrzak, Sensitivity o f tlie skin tissue on the activity o f external heat sources. Computer Modeling in Engineering and Sciences, Vol. 4, N o 3-4, 2003, 431-438.
[77] B. Mochnacki, E. Majchrzak, G. Kahjża, Modelling o f biological tissue freezing process with regard to sensitivity analysis, Acta o f Bioengineering and Biomechanics, Vol. 6, Suppl. 1,2004,480-484.
[78] V .A. Morozov, Methods for solving incorrectly posed problems, Springer-Verlag, New York, 1984.
[79] A.J. Nowak, BEM approach to inverse thermal problems, Chapter 10 in: Boundary integral formulations for inverse analysis, Eds. D.B. Ingham, L.C. Wrobel, Computational Mechanics Publications, Southanpton, Boston, 1997,259-298.
[80] A.J. Nowak, Solving linear heat conduction problems by the multiple reciprocity method.
Chapter 3 in: Boundary element methods in heat transfer, eds. L.C. Wrobel and C.A. Brebbia, Computational Mechanics Publications, Southampton, Boston, 1992, 63-132.
[81] A.J. Nowak, Metoda elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności, ZN Pol. Ś l, Energetyka 116, Gliwice 1993.
[82] A.J. Nowak, C.A. Brebbia, The multiple reciprocity method - a new approach for transforming BEM domain integrals to the boundary, Engineering Analysis with Boundary Elements 1989, 6,3, 164-167.
[83] A.J. Nowak, C.A. Brebbia, Numerical verification o f the multiple reciprocity method for linear potential problems with body forces, Engineering Analysis with Boundary Elements, 10,3, 1992,259-266.
[84] A.J. Nowak, A.C. Neves, Fundamentals o f the multiple reciprocity method. Chapter 2 in:
The multiple reciprocity boundary element method, eds. A.J. Nowak and A.C. Neves, Computational Mechanics Publications, Southampton, Boston, 1994,25-43.
[85] A.J. Nowak, P.W. Partridge, Comparison o f the dual reciprocity and multiple reciprocity methods. Engineering Analysis with Boundary Elements, 10,2, 1992, 155-160.
[86] P. Orantek, Zastosowanie algorytmów hybrydowych w zagadnieniach optymalizacji i identyfikacji dynamicznych układów mechanicznych, Politechnika Śląska, Gliwice, 2002.
[87] M.N. Ozisik, H.R.B. Orlande, Inverse heat transfer: fundamentals and applications, Taylor and Francis, Pennsylvania, 1999.
[88] M. Paruch, M. Dziewoński, G. Kokot, Temperature determination in the tissue with a tumor using M RBEM and FEM, Scientific Research o f the Institute o f Mathematics and Computer Science, 1(4), 2005.
[89] H.H. Pennes, Analysis o f tissue and arterial blood temperatures in the resting human forearm, Journal o f Applied Physiology, 1948, 1, 93-122.
[90] A. Piskorek, Równania całkowe, W NT, Warszawa, 1971.
[91] D. Rutkowska, M. Piliński, L. Rutkowski, Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte. Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa4.ódź, 1997.
_ —
Literatura
[92] J. Seidel, A. Badach, W. Molisz, Metody r o z w ią z a n ia zadań optymalizacji, W NT, Warszawa, 1980.
[93] M. Stańczyk, J.J. Telega, Modeling o f heat transfer in biomechanics - a review. Part I;
Soft tissues, Acta o f Bioengineering and Biomechanics, Vol. 4, N o 1,2002,31-61.
[94] J. Taler, P. Duda, Rozwiązywanie prostych i odwrotnych zagadnień przewodzenia ciepła, W NT, Warszawa, 2003.
[95] A.N. Tiklionov, Ob ustojczivosti obratnych zadać, Doklady Akademii Nauk SSSR, Tom X X X IX , N o 5, 1943, 195-198.
[96] A.N. Tikhonov, V .Y . Arsenin, Solutions o f ill-posed problems, Winston & Sons, Washington D.C., 1977.
[97] S. Weinbaum, L.M. Jiji, A new simplified bioheat equation for the effect o f blood flow on local average tissue temperature, Joumal o f Biomechanical Engineering, Vol. 107,
1985,131-139.
[98] S. Weinbaum, L.X. Xu, L. Zhu, A. Ekspene, A new fiindamental bioheat equation for muscle tissue: Part I - blood perfusion term, Joumal o f Biomechanical Engineering, 119,
1997,278-288.
[99] Y.L. Wu, S. Weinbaum, L.M. Jiji, A new analytic technique for 2-D heat transfer fi-om a cylinder with two or more axially interacting eccentrically embedded vessels with application to countercurrent blood flow. International Joumal o f Heat and Mass Transfer, Vol. 36, N o 4,1993, 1073-1083.
[100] W. Wulff, The energy conservation equation for living tissue, ASM E Joumal o f Biomechanical Engineering, Vol. 21, 1974,494-495.
[101] L. Zhu, S. Weinbaum, A model for heat transfer from embedded blood vessels in two- dimensional tissue preparations, Joumal o f Biomechanical Engineering 1995, 117, 64-73.
[102] M. Zhu, S. Weinbaum, L.M. Jiji, Heat exchange between unequal countercurrent vessels assymmetrically embedded in a cylinder with surface convection. Int. Joumal o f Heat and Mass Transfer, Vol. 33, N o 10, 1990,2275-2284.
ZASTOSOWANIE METOD IDENTYFIKAOI
W WYBRANYCH ZAGADNIENIACH PRZEPŁYWU BIOCIEPŁA
Streszczenie
Praca dotyczy wykorzystania metod rozwiązywania zadań odwrotnych w zagadnieniach przepływu biociepła w organizmach żywych. Z matematycznego punktu widzenia problem należy do grupy zadań brzegowych opisanych równaniami eliptycznymi oraz odpowiednimi warunkami geometrycznymi, fizycznymi i brzegowymi. Na podstawie znajomości rozkładu temperatury na powierzchni tkanki skórnej identyfikowano parametry termiczne, położenie oraz wielkość podobszaru nowotworowego. Rozpatrywano zarówno zadania płaskie jak i przestrzenne. Na etapie poszukiwania minimum funkcjonału (odpowiadającego kryterium metody najmniejszych kwadratów) wykorzystano metody gradientowe, algorytmy ewolucyjne i hybrydowe. Zadanie bezpośrednie oraz dodatkowe związane z analizą wrażliwości rozwiązano wykorzystując metodę elementów brzegowych z zastosowaniem wielokrotnej zasady wzajemności. Przedstawione wyniki obliczeń w pełni potwierdziły poprawność i efektywność opracowanych algorytmów.
95
APPLICATION OF IDENTIFICATION METHODS IN SELECTED BIO-HEAT TRANSFER PROBLEMS
Summary
The application o f methods o f inverse problems numerical solution in the scope o f bioheat transfer is discussed. From the mathematical point o f view the problems belong to the group o f boundary ones and they are described by the elliptic equations and the adequate geometrical, physical and boundary conditions. On the basis o f knowledge o f skin surface temperature the thermophysical parameters and also the shape and position o f tumor region located inside the healthy tissue have been identified. The 2D and 3D problems have been considered. On the stage o f functional minimum searching (it corresponds to the least square criterion) the gradient methods, evolutionary and hybrid algorithms have been used. The direct problems and the additional ones (connected with the sensitivity analysis) have been solved using the algorithms resulting from the multiple reciprocity boundary element method. The results obtained confirmed the correctness and effectiveness o f the algorithms
The application o f methods o f inverse problems numerical solution in the scope o f bioheat transfer is discussed. From the mathematical point o f view the problems belong to the group o f boundary ones and they are described by the elliptic equations and the adequate geometrical, physical and boundary conditions. On the basis o f knowledge o f skin surface temperature the thermophysical parameters and also the shape and position o f tumor region located inside the healthy tissue have been identified. The 2D and 3D problems have been considered. On the stage o f functional minimum searching (it corresponds to the least square criterion) the gradient methods, evolutionary and hybrid algorithms have been used. The direct problems and the additional ones (connected with the sensitivity analysis) have been solved using the algorithms resulting from the multiple reciprocity boundary element method. The results obtained confirmed the correctness and effectiveness o f the algorithms