Analiza złożoności obliczeniowej przy weryfikacji hipotez

Dla powyższego układu kaskadowego, procedury diagnostyczne będą mogły być

uogólnione na większą liczbę zbiorników. Jak to przedstawiono, procedura diagnostyki, będzie wykorzystywała algorytmy symulacji zachowania się ciągłego systemu rzeczywistego dla weryfikacji hipotez, z wykorzystaniem różnych algorytmów, funkcjonujących na podstawie przesuwnych okien o skończonej pamięci.

Jak pokazano w Rozdziale 5.1, dokładna analiza nakładu obliczeniowego dla układu kaskadowego n-tego rzędu z pełną liczbą sterowań (m) prowadzi do wniosku, że liczba hipotez

wszystkich możliwych zestawów wartości parametrów rzeczywistych wyliczanych z

parametrów zagregowanych (w praktyce liczba koniecznych do rozpatrzenia przypadków) będzie (n-m)! lub mniejsza. Przykładowo dla n=4 i m=0 (brak pochodnych sterowania w równaniu modelu, czyli sytuacja najbardziej niekorzystna dla identyfikacji), maksymalna liczba kombinacji wyniesie 4!=24. Widoczne zmiany, w stosunku do starych wartości mogą być

widoczne na jednym zaworze (sytuacja najprostsza bo wystarcza jedna symulacja), lub dotyczyć

aż wszystkich zmian na n zaworach. Wtedy trzeba przetestować wszystkie (n-m)! możliwości. Radykalny spadek tej liczby pojawia się w przypadku, gdy wszystkie zbiorniki mają tą

samą powierzchnię przekroju, ale występują różne przepływności zaworów wylotowych (przypadek w technologiach, w których w jednakowych zbiornikach należy utrzymać różny poziom). Jak pokazano przy weryfikacji hipotez, w Tabeli 5.1.1, w takim przypadku, gdy jedna przepływność przed-awaryjna uległa zmianie (awaria jednego zaworu), to w testach wykonywanych dla lokalizacji jej miejsca, nie mają znaczenia dodatkowe testy, w których kombinacji zmian położenia ulegają tylko zawory poniżej, albo powyżej testowanej lokalizacji (w takich sytuacjach reakcja systemu jest taka sama). Stąd, może się zdarzyć, że jeżeli kolejność

zaworów przed awarią jest nieznana, to dla takiego przypadku, po awarii można tylko zlokalizować położenie zaworu uszkodzonego i wartość jego nowej przepływności, ale nie położenia pozostałych zaworów.

5. MODELE PROCESÓW I ICH WYKORZYSTANIE DO DIAGNOSTYKI

102 Dla tego przypadku można wyprowadzić wzór analityczny do oceny maksymalnej liczby koniecznych testów V(n), opierając się na wcześniej policzonej maksymalnej liczbie istotnych kombinacji LK(n), teoretycznego usytuowania zaworu awaryjnego, przy założeniu, że analiza diagnostyczna wykaże zmianę tylko jednego zaworu (a przed awarią, lokalizacja zaworów też

była nieznana). Poniżej policzona zostanie ta liczba LK(n), dla rozważanego przypadku jednakowych zbiorników. W tym celu napiszmy najpierw poglądową tablicę dla 4-ch zaworów z poawaryjnymi przepływnościami, gdy tylko jedna uległa zmianie S1=SA (awaryjna), S2, S3, S4

mogą zajmować różne pozycje.

Tabela 5.12. Możliwe kombinacje usytuowania zaworu SA w 24 eksperymentach

1÷6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19÷24

S4 S4 S3 S3 S2 S4 S2 S4 S4 S3 S3 S2 S2 SA

S3 S3 S4 S3 S3 S2 S4 SA SA SA SA SA SA S2

S2 SA SA SA SA SA SA S2 S3 S4 S2 S3 S4 S3

SA S2 S2 S4 S4 S3 S3 S3 S2 S2 S4 S4 S3 S4

W powyższych przypadkach (kolumnach), dla kolumn zielonych i niebieskich wymagana jest

tylko jedna symulacja (np. zamiast 7-ej i 8-mej kolumny wystarczy 7-ma, zamiast 9 i 10, wystarczy 9), bo różne kombinacje przepływności pomiędzy „górnymi” S (ponad zaworem awaryjnym) i „dolnymi” S (poniżej zaworu awaryjnego) nie mają znaczenia dla diagnostyki. Dotyczy to również kolumn białych (pierwszej i ostatniej) gdzie pominięto wszystkie 6 kombinacji powyżej dolnej i poniżej górnej hipotetycznej pozycji zaworu. Wszystkich kolumn jest 4!=24. Z Tabeli 5.12 wynika, że dla n=4 wystarczy wziąć pod uwagę tylko LK(4)=1+3+3+1=8 kombinacji. Korzystając ze wzoru na ilość kombinacji (symbol Newtona)

)! ( ! ! i N i N V_Nⁱ − = ,

można zauważyć, że wykorzystując go w przypadku Tabeli 5.12 (jak również tabeli 5.1.1), należy przyjąć N = n-1. Wtedy liczba kombinacji LK(n), istotnych dla identyfikacji położenia zaworu awaryjnego, czyli liczba ważnych do rozważań zestawów kolumn, ogólnie jest dana jako suma, poniższym wzorem:

1 1 0 1 0 ¹ 2 )! 0 ( )! 1 ( )! 1 ( .... )! 3 1 ( ! 3 )! 1 ( )! 2 1 ( ! 2 )! 1 ( ) 1 ( 1 )! 1 ( ! )! 1 ( ) LK(n ⁻ − = − = − = − − + + − − − + − − − + − + = − − − = =

∑ ∑

5. MODELE PROCESÓW I ICH WYKORZYSTANIE DO DIAGNOSTYKI

103 Tabela 5.13. Liczba LK(n) możliwych kombinacji usytuowania zaworu SA

n 1 2 3 4 5 6 7

n! 1 2 6 24 120 720 5040

LK(n) 1 2 4 8 16 32 64

Dla n>2, liczba kombinacji LK(n) jest dużo mniejsza niż liczba n!, która pokazuje liczbę

wszystkich kombinacji zestawów poawaryjnych. Dla n=3, LK(3)=4 (jak w Tabeli 5.1.1), a dla n=4, LK(4)=8 jak w Tabeli 5.12. Będzie to miało wpływ na liczbę V(n), koniecznych wykonań

wszystkich symulacji komputerowych sytuacji awaryjnych.

Poniżej w Tabeli 5.14 pokażemy maksymalną liczbę symulacji V(n), jakie wystarczą, do identyfikacji pozycji zaworu awaryjnego, gdy przed awarią wartości przepływności są znane (zostały już zidentyfikowane), ale położenia nie są znane. Wtedy po awarii, analiza

diagnostyczna wymaga wykonania różnej liczby kombinacji symulacyjnych, które

maksymalnie (w najgorszym przypadku przy analizie wszystkich możliwości każdy z każdym) mogą sięgać liczby (n!)2, ale które w tym wypadku można zmniejszyć do liczby V(n)=LK2:

V(n)=LK(n)* LK(n) = [2n-1]2 = [22n-2] = 4n-1

Tabela 5.14. Maksymalna liczba koniecznych symulacji, gdy nieznana lokalizacja zaworów przed awarią

n 2 3 4 5 6 7 n! 2 6 24 120 720 5040 LK(n) 2 4 8 16 32 64 V(n) 4 16 64 256 1024 4096 (n!)2 4 36 576 14400 518400 25401600 (n!)2/V(n) 1 2 9 56 506 6201

Widać z Tabeli prawie 10 krotnie mniejszą liczbę symulacji dla n=4 i ponad 50 krotną dla n=5. Poniżej przedstawimy ogólny algorytm dla weryfikacji hipotez.

Ogólny algorytm zmniejszający konieczną sumaryczną liczbę testów dla weryfikacji hipotez 1. Po wykryciu awarii (zmiany przepływności) zakłada się pierwszą hipotezę, że awaria

nastąpiła w najniżej położonym zaworze i sprawdza się symulacyjnie wiarygodność

takiego założenia bez względu na kolejność wyżej położonych zaworów (występuje tylko jedno sprawdzenie).

5. MODELE PROCESÓW I ICH WYKORZYSTANIE DO DIAGNOSTYKI

104 2. Jeśli nie otrzymuje się pozytywnej odpowiedzi, zakłada się, że awaria wystąpiła na

drugim wyższej położonym zaworze, a w miejsce najniższego zaworu podstawia się

jedną z pozostałych Si (n-1 sprawdzeń).

3. Jeśli dalej nie otrzymuje się pozytywnych testów, zakłada się awarię trzeciego zaworu i sprawdza się poniżej niego wszystkie dwójkowe kombinacje pozostałych n-1 zaworów, (czyli (n-1)!/(n-1-2)!/2! = 3 sprawdzeń, np. kolumny 7, 9, 11 dla n=4 w Tab.512). Tą metodologię należy kontynuować n razy.

Powyższa procedura zmniejszająca nakład obliczeniowy będzie prawdziwa dla

dowolnych warunków początkowych panujących na zbiornikach, dowolnego sterowania i dla

dowolnego wyjścia (odpowiadającego temu sterowaniu). Przy różnych hipotetycznych kolejnościach zbiorników (czyli różnych macierzach stanu Ai, Bi, Ci) dla zmierzonego

sterowania i wyjścia, odpowiedni obserwator zwróci odpowiedni hipotetyczny stan

początkowy zbiorników, co umożliwi symulatorowi rozpoczęcie symulacji wyjścia. Umożliwi to wyznaczenie residuów błędu.

W niektórych technologiach przemysłowych mogą się zdarzyć układy z 4-ma i więcej jednakowymi zbiornikami. Wtedy dla n=4, jak już wspomniano, największa liczba symulacji V(4)=64, i jest ona wtedy 9-krotnie mniejsza niż (4!)2 = 576 (Tabela 5.14). Dla systemu kaskadowego, dla znalezienia 4-ch różnych przepływności Si należy znaleźć pierwiastki łatwo otrzymywanego równania charakterystycznego 4 stopnia (jak w 5.7):

0 ) / ( ) / ( ) / ( ) / (S P ⁴−a₃ S P ³+a₂ S P ²−a₁ S P +a₀ = .

Dla systemu szeregowego, wysiłek włożony w ręczne znalezienie, odpowiedniego

równania wielomianowego 24-go stopnia z uwikłanych równań parametrycznych, nie wydaje

się już opłacalny (jakkolwiek z wykorzystaniem Matlab Symbolic Toolbox – możliwy). Dla jeszcze większych wymiarów układu kaskadowego, np. n=5, największa ilość

kombinacji testowych wynosi V(5)=256, a dla zbiorników o różnych przekrojach

maxV(5)=14400. Stąd taka „dedykowana” metodologia diagnostyki dla n≥ 5, może nie być

wystarczająco szybka dla rozwiązań on_line.

Powyższe rozważania dotyczą sytuacji, gdy do symulacji stosuje się podejście metodą

siłową (brute force), czyli gdy przeglądane są wszystkie możliwości. Wsparcie systemami eksperckimi (regułowe metody inteligentne) zmniejszy tą maksymalną liczbę koniecznych porównań. W praktyce obliczeniowej nie muszą się też zdarzać najgorsze przypadki konfiguracji awarii i prawidłowy zestaw może być znaleziony już po pierwszej symulacji.

5. MODELE PROCESÓW I ICH WYKORZYSTANIE DO DIAGNOSTYKI

105

Można, jednak postawić nowy problem naukowy, znalezienia metody badawczej, która pozwoli tylko na podstawie obserwacji wejścia i wyjścia systemu dynamicznego n-tego rzędu (bez pomiaru zmiennych stanu, czyli poziomów), jednoznacznie zlokalizować zawór, który uległ awarii.

W związku z tym, następnym tematem badawczym przedstawionym w pracy, będzie

uniwersalny algorytm diagnostyczny przeznaczony dla sytemu SISO o dowolnej ilości zbiorników połączonych kaskadowo lub szeregowo, opisany w Rozdziale 7.3. Nie będzie on

wymagał wyprowadzania dokładnych równań wielomianowych dla parametrów, lecz

wykorzysta uniwersalną strukturą równania charakterystycznego (ze zidentyfikowanymi parametrami zagregowanymi) i odpowiadającą mu po specjalnej transformacji, uniwersalną

strukturą macierzową równania różniczkowego stanu z tzw. naturalnymi zmiennymi stanu i z macierzą stanu typu Frobeniusa. Dla m=1, naturalne zmienne stanu reprezentują kolejne pochodne sygnału wyjściowego y(t).

Zostanie wykazane, że zachowanie się naturalnych zmiennych stanu będzie też

precyzyjnie pokazywało pozycję zaworu, który uległ awarii. Związane jest to z faktem, że oryginalne zmienne stanu są powiązane specjalnym przekształceniem liniowym z naturalnymi zmiennymi stanu. Po transformacji systemu oryginalnego, otrzymana macierz stanu F (Frobeniusa) i nowe macierze sterowania BF oraz wyjścia CF są znane, stąd można stosować

teorię dokładnej obserwacji naturalnych zmiennych stanu. Również w tym przypadku zostaną

wykorzystane algorytmy identyfikacji i obserwacji o skończonej pamięci. Cały algorytm będzie opierał się o model naturalnych zmiennych stanu, stąd oryginalne modele i równania stanu rzeczywistego (5.5) i (5.10) nie będą potrzebne. W omawianym uniwersalnym algorytmie diagnostycznym nie będą wykrywane wartości przepływności Si, a tylko poprzez obserwację

zachowania się pochodnych wyjścia y(i)(t) będzie podlegał detekcji numer zaworu, który uległ awarii. Szczegóły metodologii zostaną omówione dokładniej w Rozdziale 6 i 7.

Jeszcze raz zwraca się uwagę na fakt, że opisana w niniejszym rozdziale koncepcja i metodologia diagnostyki w oparciu o model, dotyczy inaczej sformułowanego problemu naukowego, niż spotyka się to w najczęściej badanych zadaniach diagnostycznych. Przykładowo, w pracy [5KOR] przedstawiono obszernie działanie pakietu programistycznego DiaSter, który zawiera w sobie symulator modelowy różnych typów awarii, jakie mogą wystąpić

w rzeczywistych systemach technologicznych, takich jak uszkodzenia torów pomiarowych, siłowników, zaworów, wystąpienie przecieków oraz przytkania odpływów grawitacyjnych.

5. MODELE PROCESÓW I ICH WYKORZYSTANIE DO DIAGNOSTYKI

106 Działanie pakietu pokazano na modelu instalacji złożonej z 3 zbiorników połączonych

szeregowo i wyposażonych w zdublowane czujniki wszystkich 3-ch poziomów.

Testy metod diagnostyki dla trzech zbiorników są również przeprowadzane przez zespół Politechniki Warszawskiej przy pomocy systemu AMandD [5SYF2], [5SYF3], (odmiana systemu DiaSter).

W większości wspomnianych publikacji, autorzy założyli obecność wszystkich

standardowych czujników pomiarowych w układzie zbiorników (np. poziomów). Umożliwia to

identyfikację współczynników przepływności Si i przeprowadzenie symulacji stanów

dynamicznych procesu. Porównanie wyników symulacji z rzeczywistymi pomiarami, umożliwia

ocenę wiarygodności tych pomiarów, czyli diagnostyka dotyczy problemu awarii czujników i torów pomiarowych. Jest to sytuacja odmienna, od tej postawionej w niniejszej pracy.

Jak to było anonsowane na pierwszej stronie Wstępu, w pracy założono brak czujników poziomu, a procedury diagnostyki awarii zaworów oparto o informację pozyskiwaną z kształtu pomiarów dynamicznych zmian wyjścia procesu (czujnik przepływu), zwłaszcza w trakcie awarii. W zależności od miejsca awarii, powstają w chwili awarii inne przebiegi dynamiczne wyjścia y(t), które z biegiem czasu dążą do wspólnego poziomu ustalonego (Rys.5.4). Ma to miejsce niezależnie od tego, czy przebieg samego wyjścia y(t) był wcześniej już ustalony, czy z powodu sterowania, odbywał się proces przejściowy na y(t). Oczywiście, wielkość

zmienności y(t) w zależności od miejsca awarii i dynamiki samego procesu będzie różna (zarejestrowane zbocze). Stąd dla systemów n-tego rzędu, ale o bardzo małych poszczególnych stałych czasowych, może to wymagać bardziej dokładniejszego pomiaru wyjścia. W wolniejszych procesach technologicznych (chemia) może wystarczyć standardowa aparatura pomiarowa.

Działanie takiego systemu, wymaga tylko obecności podsystemu ciągłego nadzoru i ciągłej akwizycji danych. Może on być prowadzony na zasadzie buforu krążącego na jakimś

odcinku czasu, np. będą rejestrowane sygnały wyjścia i wejścia, zawsze, przez co najmniej ostatnich 5 minut (w zależności od szybkości dynamiki procesu) analogicznie jak czarna skrzynka w rejestratorze lotu samolotu. Musi być, bowiem zarejestrowany kształt sygnałów przed i po awarii, dla później (off-line) lub na bieżąco (on-line) wykonywanej diagnostyki.

Autor nie spotkał w literaturze przedmiotu, badań dotyczących dokładniejszej analizy przebiegów dynamiki systemu w przypadku takich awarii, jak również nie znalazł dla różnych struktur układów zbiorników, przeprowadzonej pełnej analizy parametryczno-identyfikacyjnej i wyprowadzonych wzorów, jakie zawarto w niniejszym Rozdziale 5.

107

6. TRANSFORMACJA DO POSTACI NATURALNYCH ZMIENNYCH STANU