Testy identyfikacji parametrów, na skończonym oknie pomiarowym

9. TESTY PROGRAMOWE PODSTAWOWYCH ALGORYTMÓW IDENTYFIKACJI i OBSERWACJI

9.1. Testy identyfikacji parametrów, na skończonym oknie pomiarowym.

Stworzona przez autora numeryczna procedura identyfikacji splotowej metodą EE (wzory z Rozdz. 4.2.1) oparta o przesuwane główne okno identyfikacyjne (Rozdz.4.2.2) może pracować w wersji off-line, lub on-line. Poszukuje ona najlepszego, na chwilę bieżącą t aktualnego modelu ciągłego, spośród wielu otrzymanych w wyniku realizacji obliczeń, dla wielu różnych zestawów parametrów strojących metody, takich jak:

• szerokość okna identyfikacji T, • nośnik funkcji filtrującej φ(t) h,

• wykładniki w funkcji filtrującej M, N, we wzorze (4.6).

Solver, napisany w języku C++, do swoich obliczeń wymaga podania: • dwóch wektorów próbek pomiarowych,

• wielu możliwych wartości dla rzędu lewej strony równania ni (stopień mianownika) i prawej strony równania mj (stopień licznik), (mi≤ni),

• wielu różnych szerokości okna identyfikacji Ti,

• wielu możliwych nośników hi funkcji φ(t), dla transformacji splotowej, • wielu różnych wykładników M i N.

Swoje parametry strojące, procedura identyfikacji splotowej dobiera ostatecznie sama w sposób adaptacyjny. Przebiega to automatycznie, na podstawie wielu eksperymentów obliczeniowych, dla różnych kombinacji parametrów strojących procedury. W ten sposób procedura znajduje różne zestawy parametrów optymalnych modelu (różne modele) w zależności od zestawów parametrów strojących, Następnie wszystkie otrzymane modele dodatkowo testuje, symulując ich zachowanie na zarejestrowany sygnał wejściowy (specjalny własny pakiet symulacyjny metodą Runge-Kutty) i porównuje ich odpowiedzi z odpowiedzią zarejestrowaną (jak we wzorze (7.2)). Model, dla którego wartość błędu wyjścia jest najmniejsza jest przyjmowany do analizy, a parametry strojące jego procedury identyfikacji są do tego modelu przypisywane.

9. TESTY PROGRAMOWE PODSTAWOWYCH ALGORYTMÓW IDENTYFIKACJI i OBSERWACJI

144 Nieraz niektóre zestawy parametrów strojących generują modele, dające w testach podobnie mały średniokwadratowy błąd wyjścia. Wtedy dodatkowo procedura sprawdza czułość tych dwóch modeli na zmianę podstawowego parametru strojącego procedury, jakim jest wielkość nośnika funkcji splotowej h. Wybierany jest model, który wykazuje najmniejszą czułość na zmiany tego nośnika. Z teorii funkcji modulującej wynika, bowiem, że optymalne parametry modelowe nie powinny zależeć od szerokości nośnika funkcji φ. Dla różnych szerokości nośnika zastosowanie splotu do modelu (4.3), daje tylko różny model (4.5), ale parametry modelowe powinny zostać te same. Różnice na obliczanych parametrach mogą pojawić się w sytuacji mocno zaszumionych pomiarów u(t) i y(t), gdy ujawnią się różne własności filtracyjne takich różnych filtrów splotowych. Dla pomiarów idealnych (niezaszumionych), szerokość nośnika h funkcji φ nie ma znaczenia. Procedura, więc sama testuje dodatkowo taką sytuację, pod kątem małych modyfikacji h i sprawdzania odporności tak uzyskanych modeli.

Poniżej przedstawimy kilka testów numerycznych. Test 9.1.

Dany obiekt ciągły, trzeciego rzędu, opisany równaniem różniczkowym lub transmitancją: ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 6 ) (t y t y t y t u t

y&& + && + & + =

& , 1 2 6 2 ) ( _{3 2} + + + = s s s s G (9.1)

Dla celów obliczeń numerycznych, zgromadzono 10000 próbek pomiarowych sygnałów wejścia/wyjścia tego modelu, uzyskanych z pomocą pakietu Simulink. Przebieg tych sygnałów pokazano na Rys.9.1.

Rys.9.1 Przebiegi sygnału wejścia i wyjścia

Własnym pakietem oprogramowania, wykonano różne eksperymenty numeryczne dla modelu (9.1), ze stałymi jego parametrami, dla różnych parametrów strojących procedurę identyfikacji. Otrzymano różne rezultaty identyfikacji, ujęte w Tabeli 9.1.

9. TESTY PROGRAMOWE PODSTAWOWYCH ALGORYTMÓW IDENTYFIKACJI i OBSERWACJI 145 Tabela 9.1. rząd m=0, n=3 M=5, N=6 M=3, N=4 h 4 10 2 4 10 a3=1 1.000 1.002 1.20 1.040 1.036 a2=6 6.006 6.009 8.38 6.110 6.008 a1=2 2.001 2.005 3.17 2.090 2.010 a0=1 1.000 1.000 1.00 1.000 1.000 b0 2.000 2.000 2.84 2.046 2.001 ε 2.48 2.49 14073 49.8 2.550 λmin 8653 2 1011 0.013 20.87 4.5 105

Widać, że metoda splotowa identyfikacji, daje bardzo dobre wyniki identyfikacji. Test. 9.2

Załóżmy, że dla systemu (9.1) zastosowano inny sygnał sterujący u(t) , otrzymując odpowiedź y(t). Sygnały te przedstawiono na Rys.9.2.

Rys.9.2. Przebiegi sygnału wejścia i wyjścia

Załóżmy dodatkowo, że dla systemu (9.1), wystąpią wielokrotne (jednoczesne i niejednoczesne) skokowe zmiany jego dwóch parametrów, pokazane na Rys. 9.3. i Rys.9.4.

Adaptacyjna procedura identyfikacji znalazła najlepsze swoje parametry strojące, dla rzędu n=3 i dla poniższych innych parametrów strojących:

• szerokość okna identyfikacji T=5, • nośnik funkcji filtrującej φ(t) h=1,

9. TESTY PROGRAMOWE PODSTAWOWYCH ALGORYTMÓW IDENTYFIKACJI i OBSERWACJI

146

Rys.9.3.Skokowe zmiany parametru a2. Rys.9.4 Skokowe zmiany parametru a1.

Na powyższych rysunkach zaprezentowano również dynamikę identyfikacji i odtwarzania skoków w parametrach przez procedurę numeryczną. Widać wyraźnie, że odtworzenie nowej wartości po jej zmianie, zabiera czas h+T, w tym przypadku h+T=6. Oprócz dużej dokładności odtwarzania wartości parametrów, na rysunkach widać też wyraźnie, gwałtowne reakcje występujące w obliczeniach obu parametrów, wskazujące na fakt awarii i jednocześnie precyzyjnie wskazujące jej moment. Takich gwałtownych reakcji nie wykazują klasyczne rekurencyjne procedury identyfikacji (Recursive Least Square Error RLSE), pracujące w oparciu o rozwiązywanie równania różnicowego i dające przebiegi asymptotyczne o charakterze filtracji dolnoprzepustowej. Stąd mogą one nie zawsze wyraźnie i szybko zareagować na fakt awarii. Na komputerze klasy PC (i7) znalezienie modelu najlepszego opisaną metodą splotową, zabiera procedurze niemierzalny ułamek sekundy.

Test 9.3.

W tym teście, dla tego samego modelu (9.1), wykonano inny eksperyment. Przebiegi sygnału sterującego (suma kilku sinusów) i sygnału wyjścia pokazano na Rys.9.5 i Rys.9.6.

9. TESTY PROGRAMOWE PODSTAWOWYCH ALGORYTMÓW IDENTYFIKACJI i OBSERWACJI

147

Rys. 9.6 Przebieg sygnału wyjścia

Tak jak poprzednio, cały przedział identyfikacji przyjęto TID=100 s. Próbkowanie Δ=0.01 daje 10000 próbek. Przyjęto jednoczesną (w tym samym momencie) zmianę jego dwóch parametrów (awaria parametru rzeczywistego daje skoki na wszystkich parametrach zagregowanych w tych samych chwilach). Na Rys. 9.7. pokazano przebieg zmian parametru a1, a na Rys.9.8 procedurę jego odtwarzania.

Rys. 9.7 Przebieg zmiany parametru a1.

9. TESTY PROGRAMOWE PODSTAWOWYCH ALGORYTMÓW IDENTYFIKACJI i OBSERWACJI

148 Fakt awarii dwóch parametrów w chwili tA=30 i tA=60, wydaje się być nie zauważalny w przebiegu odpowiedzi systemu y(t), Rys.9.6. Jednak adaptacyjna procedura identyfikacji znalazła rozwiązanie optymalne na parametry systemu i najlepsze swoje parametry strojące dla rzędu n=3 i dla:

• szerokości okna identyfikacji T=3, • nośnika funkcji filtrującej φ(t) h=8,

• wykładników w funkcji filtrującej M=4, N=5.

To samo dotyczy przebiegu zmian parametru a2 i procedury jego odtwarzania.

Rys. 9.9 Przebieg zmian parametru a2 i procedury jego odtwarzania.

Ponownie widać gwałtowne reakcje procedury w obszarze awarii. Widać, też wyraźnie prawie deterministyczne opóźnienie w odtwarzaniu parametrów, równe zawsze h+T. W tym przykładzie h+T=11.

9. TESTY PROGRAMOWE PODSTAWOWYCH ALGORYTMÓW IDENTYFIKACJI i OBSERWACJI

149 W chwili obecnej, badania autora pozwoliły opracować dodatkową modyfikację tych procedur identyfikacji, która radykalnie zmniejsza ten „martwy” czas odtwarzania. Polega ona na modyfikacji procedury filtru splotowego działającego on-line w oknie [t-h, t] w okolicy awarii tA i rozbiciu akcji splatania w tym oknie, na dwa zmieniające się on-line przedziały – jeden w oknie [t-h, tA], a drugi w oknie [tA, t]. Splot wewnątrz ruchomego okna [t-h, t] musi uwzględniać bowiem dwa różne przebiegi odpowiedzi y(t) – przed awarią (stare parametry) i po awarii (nowe parametry). Szczegóły tej modyfikacji autor nie uwzględnił w treści niniejszej dysertacji, aby dodatkowo nie poszerzać wielości omawianych w niej algorytmów. Pierwsze współautorskie publikacje na ten temat ukazały się w 2012 roku [9BYB]. Będą one przedmiotem przyszłych badań i wykorzystania w systemach diagnostyki.

9.2. Testy dokładnej obserwacji stanu końcowego, na skończonym oknie pomiarowym.