§ 104. U m form ungen von G leichungen.
1. W ird a n s ta tt x in einer G leichung y + h ge
setzt, so g eh t dieselbe in die folgende ü b e r;
(y + h)” + a 1(y + h ) « - i + a2(y + h ) n - 2 + . . . = 0 , od er:
yn + ( n h + a I) y n - i + ( ( “ ) h» + ( ^ ) . h a 1 + a2)-yn - 2 + . . . = 0 .
Setzen w ir in dieser le tz te re n G leichung h = — , so w ird d er K oeffizient d er zw eithöchsten P o ten z von y gleich N u ll, un d unsere G leichung nim m t also die F o rm
yn + b 2y n - 2 + b 3y n - 3 + . . . + b n = 0
an. Gleicherweise k a n n durch passende W ahl eines W e rtes fü r h irg en d ein and erer K oeffizient zum V er
schwinden g eb rach t w erden. D ie so erhaltene Gleichung ist deshalb w ichtig, weil von dieser F o rm ausgehend die L ösungen fü r die G leichungen des d ritte n und v ie rten G rades sich am einfachsten ergeben.
2. E rsetzen w ir ebenso x durch p y , so erhalten w ir eine G leichung, deren W urzeln pm al k lein er sind als die d er u rsp rü n g lich en ; näm lich
p n y a + a, p i - i y n - i - f . a 2p n -2yn -2_|_ . . . = 0 oder
■y
3. G anz ebenso finden w ir fü r x = — eine Glei-P
chung, deren "Wurzeln p mal g rö ß er sind als die der g egebenen:
y n + % p .y ” - 1 + a , . p s . yn—2_|_ a3p 8 . yn~ 3 + . . . = 0 . 4. B e i s p i e l . Soll etw a in der Gleichung
x 4 + 8 x + 3 x ä+ 8 x + l 2 = 0
der K oeffizient des zw eiten Gliedes zu N ull gem acht w erden, so haben w ir fü r x den W e rt y — 2 zu setzen u n d erhalten die neue G leichung
y‘ — 2 1 y * + G 0 y — 40 = 0.
D ie W urzeln dieser Gleichung sind um 2 größer als die d er alten.
§ 105. A uflösung d e r G leichung v ie rte n G ra d e s.' Die Methode von E n le r.
1, D ie A u flö su n g der Gleichungen des vierten G rades k an n a u f die verschiedenste W eise dadurch er
halten w erden, d aß w ir eine bestim m te G leichung des d ritte n G rades ableiten, die von der ersteren abhängig ist, und deren W urzeln m it denen der gegebenen G leichung in gewissen B eziehungen stehen. A u f
1 D ie A uflösung d e r G le ic h u n g en d es d r i t t e n G ra d e s i s t b e re its in S a m m lu n g G ö sch en N r. 47, A lg e b ra , b e h a n d e lt u n d w ir m üssen a u f d ie se s B än d ch en v e rw e ise n . D e sg le ic h e n findet sich d o r t a u ch d ie A uflösung d e r re in e n G le ic h u n g en h ö h e rn G ra d e s xn = 1 d u rc h d ie M oivresche F o rm el. W ir h a b e n es d e sh a lb a u c h u n te rla s s e n , a u f d ie le tz te r e F o rm e l w e ite r, a ls w ir m u ß te n , b e i d e r T h e o rie d e r K eihen e in z u g eh e n , u n d m ü ssen a lso a u c h b e tre ffs d ie se r a u f d as B än d c h e n A lg e b ra d e r S a m m lu n g v e rw e ise n .
A u flö su n g d e r G leich u n g v ierten G rades. 161
S p o r e r , N ied ere A n a ly sis. 11
162 Auflösung der Gleichungen höhern Grades.
diesem V erfah ren beruhen auch die A uflösungen von A m pere u n d E uler. B eide gehen von der G leichung x ‘ + a x 2- |- b x - j - c : = 0 a u s , in der also das G lied m it x s fehlt.
2. M e t h o d e v o n E u l e r . E s seien x ,, x2, x3, x 4 die W urzeln d er Gleichung.
W ir haben d ann allem al die R elation xi + x2 + xä + x4 = 0 -Setzen w ir je tz t
x, + x2 = a = — 2 / y l xi + x3 = 'J== — x 1 + x 4 = y = — 2 j/y 3J so erh a lten w ir:
« 2 + ß* + y 2 = (« + ß + /)* — 2 ( a ß + a 7 + ß y)
= (3 x, + xa + x3 + XJ* — 2 (xi + xa) (x , + xa) _ 2 (Xj + x2) (Xj + x4) — 2 (x, + xs) (x4 + x4)
= ( 2 x 1+ x 1+ x s + x 3+ x 4 ) 2 — 2 ( x 1 2+ x , x 3+ x 1x 3+ x 1x 4)
—
2
( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4) — 4 x , 2.N u n ist aber nach § 100
XlX2 + Xl X3 + Xl X4 + X2X3 + X2X4 + X3X* = a’
un d da
Xj ”j“ X2 *4" x3 4~ 0 (2x 1 + x1+ x 2 + x3 + x4)2 = 4 x 12
x ,'2 + X, x2 + X, X3 + x, x4= x, (x, + x2 + x3 + x4) = 0, also a 2 + /32 + / = — 2 a .
W e ite r is t:
Auflösung der Gleichung vierten Grades. 163
“ ß V = (x i + x2) (x, + x8) (x i + XJ
= X 1 2 ( X 1 + X a + X 3 + X J + X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 1
• + X I X 3 X 4 + X 2 X 8 X *
oder da
X 1 X 2 X 3 + X 1 X 3 X 4 + X 1 X 2 X 4 + X 2 X 3 X 4 = — b
a ß y = — b.
E benso ist
“ ßS= X, ' + X 1 X 3 + X 1 X 2 + X2 X 3
= X, (xt + X2 + X3 + x j + x 2X 3 — X 1X4
= X 2 X 3 _ X ! X 4> U I l d
a2 ß *+ a V + ß* y2 = (xs x3 — x, x4) 2 - f (x2 x4 — x, x3) 2
-|-(x3x4 — Xj x2) 2 oder nach einigen U m form ungen
= ( X 1 X 2 + X 1 X 3 + X 1 X 4 + X 2 X 3 + X 2 X 4 + X 3 X 4 ) 2 — 4 X 1 X 2 X 3 * * !
oder da
XjX
2
x3
x4
= cist, ct2 /32 + a2 y2 + ß 1 y2 = a2 — 4 c,k2,/?2 und 7 2 sind aber die W urzeln d er Gleichung z3- ( a s+ ^ + y2) z2 + (a2^2+ a2y2 + /S2j/2) z - „2/32/ = 0, oder d er G leichung
z 3 + 2 a z 2+ ( a ‘ — 4c ) z — b 2 = 0, oder a, ß, y selbst sind die W u rzeln d er G leichung
u ' + 2 a u * + ( a 2— 4 c ) u 2 — b 2 = 0.
Um an S telle d er W erte a, ß, y die W erte 2 / y i;
2 /y jn 2 Y y 7 zu erhalten, haben w ir n u r noch z = 4 y zu setzen und erhalten nach D ivision m it 64 die R esolvente:
y3 + ^ a y 2+ ¿- ( a 2- 4 c ) y - ¿ b 2 = 0.
3. D ie W urzeln der gegebenen Gleichung sind dann gegeben durch die obigen Gleichungen (I.), und es wird
x i = — \ j 1 — Vy¡
x 2 = — l/y ^ + } /yL+ V y ,
x 3 = + yy, - y'y* + Vys x4 = + Vyi + j/y , ~ V y,\
fü r positive b
164 Auflösung der Gleichungen höhern Grades, und
fü r negative b . X, = + Y 7 i + Vy^ + Y 7 3
^2 = + ^ — ^
x 3 = — V y + Vy* — Vy?
x4 = — l'y , — Vy, + Vys
D ie V orzeichen von j/y,, }'y2, | y^ sind dadurch
be-— 1 1*
stim m t, d a ß } ^ •l/y 3= g - “ .3)'= — g~b se' n m uß.
4. B e i s p i e l , x 4 — 2 5 x 2-}-60x— 3 6 = 0 .
^ , 25 , , 769 225
D ie R esolvente w ird y 4--- y + y r - y — "~4_=U -D ie W u rz e ln dieser le tz te m G leichung sind aber
9 25 3____________ __ 5
~ f , 4, -J-, also ist yÿ7 = -g-» VyT = 2, Vy3 = y und die W u rzeln d er u rsprünglichen G leichung sind dem nach 1, 2, 3 und — 6.
g 106. F o rtse tz u n g . Methode von A mpère.
1. D ie A uflösung von A m père ist d er von E u ler nahe verw andt.
E s sei
z z
= 2 ~ 2 a '
S etzen w ir diese W e rte in die G leichung ein, so erh a lten w ir
+ + a (~|" + a) + b ^ 2 " + a ] + c = 0 oder:
z 2
z 2-(- 2 a 3z a 4 + a . y + a a z + a a*
1 6
-}- b "g- b oc -f- c — 0.
Ebenso ist fü r x = - ^ a 2 2
z4 zs . a 3 a 2z 2 z*
~ö 1 ö 2 a 3z + a 4 + a — — a a z - f a a 2 F o rts e tz u n g . M ethode v o n A m père. 1 6 5
16
+ b y — b a + c = 0.
D u rc h S u b tra k tio n der letzten G leichung von der vorletzten und D ivision m it 2 a fo lgt a b e r:
z3
y + 2 a 2z - f a z - f - b = 0, also:
a 2 = - y - y ( a + y ) , oder
x ' J = T Z ± T ) / z i 2 ( a + ^ ) -2. H ierb ei ist w eiter x 1-(-x2 = z, also w enn z = 2 f /y^j
z 2
so ist yl ==y . Setzen w ir diesen W e rt in die E ulersche R esolvente ein, so erh alten w ir zu r B estim m ung von z die G leichung
z 64-2a z 4-j-(a*— 4c) z*— b ’ = 0 .
3. D ie übrigen W urzeln der G leichung sind dann:
: ; } = - h ± i y - ^ + v }
4. B e i s p i e l , x 4 — 9 = 0 gibt z 6- |- 3 6 z 2 = 0, som it z 2 = 0 oder z 4 = — 36, z = ^ — 36,
D e r A usdruck in der K lam m er ist aber, wie durch
Q uadrieren sich sofort ergibt, }/+ 2 , u n d w ir erhalten also:
* 1 = — f s , x2 = — i x3 = + j/3, X4 = — i f 3 .
§ 107. F o rtse tz u n g . M ethode des C artesius.
1. A u ch diese M ethode is t den obigen nahestehend.
G ehen w ir w ieder von den G leichungen x 4 -|- ax 2 bx -|- c—0 aus u n d setzen
x ‘ 4 - a x ’- l-b x + c = ( x s4 - x y + t) ( x , - x y + z ) , so erh alten w ir d u rch G leichsetzung d er K oeffizienten
a = t - | - z — y 2, oder t- f - z = a -)-y 2, b = y ( z — t), z _ t = y ,
c = t z , t z = c und h ie ra u s;
2 z = a + y 2+ y ,
2 t = a - |- y 2--- —, also:
(» + r ' + y ) ( . + r , - f ) = 4 . oder w ieder wie oben:
y 6- f - 2 a y 4 + ( a2- 4 c ) y 2_ b 2 = 0.
A u s dem W e rte f ü r y finden w ir w eiter die W erte fü r t u n d z, u n d w ir h aben dann n u r noch x aus den beid en quadratischen G leichungen
x 2+ x y + t = o x 2— x y + z = 0 z u bestim m en.
2. B e i s p i e l , x 4— 7 x 2 — 1 2 x - )- 1 8 = 0 . y 6 — 1 4 y 4— 2 3 y 2— 1 4 4 = 0 , y = 4 . 2 z — 7 16 — - j - , z = 3,12
1 6 6 A uflösung d e r G leich u n g en h ö h e rn G rades.
A u flö su n g zw eier q u a d ra tis c h e r G leichungen. 167
2 t = — 7 + 16 + 12 t = 6,
x 2 + 4 x + 6 = 0 , x , u n d x 2 = 2 + V— 2,
x 2— 4 x + 3 = 0 , x 3 u n d x 4 = 2 + 1, a ls o = 3 u n d = 1.
A n m e r k u n g . A u ß e r den a n g e fü h rte n d re i M ethoden, d ie re d u z ie rte G leich u n g des v ie rte n G ra d es a u fzu lö sen , g ib t es no ch eine ziem lich g ro ß e Z ah l a n d e re r so lc h er M ethoden. W ir m ü ssen a b e r u n s b eg n ü g en , dies e rw ä h n t z u h ab en .
§ 108. A uflösung zw eier q u ad ra tisc h er Gleichungen m it zwei U n b ek a n n ten .1
1. Seien
a x 2 + ( b y + c ) x + ( d y 2 + y + f 1) = 0, a, x 2 + (b1y + c l ) x + ( d , y 2 + e, y + f,) = 0 zwei G leichungen des zw eiten G rades u n d denken w ir uns dieselben abgekürzt geschrieben
A x 2 + B x + C = 0 A 1x 2 + B ,x + C1= 0 , so erhalten w ir daraus die v ier G leichungen:
A x 3 + B x 2 + C x = 0 , A x 2 + B x + C = 0, A , x 3 + B 1x 2 + C ,x = 0 , A 1x 2+ B , x + C l = 0.
Sehen w ir in diesen x 3, x 2 und x als U nbekannte an, so ist die B ed in g u n g fü r das gleichzeitige Bestehen dieser Gleichungen (vergl. § 31)
A B 0 0 0 A B C A , B , C, 0 0 A , B, Gi
A = = 0,
1 V e rg l. h ie r z u z. I) S a lm o n - F 'ie d le r , A l g e b r a d. l i n T r a n e io r m
womit zugleich die E lim ination von x aus obigen G lei
chungen vollzogen ist.
2. B e i s p i e l .
1 6 8 A u flö su n g d e r G le ic h u n g en h ö h e rn G rad es.
3 y ‘ — 2 y 3 — 1 2 y 2 — 2 3 y — 1 2 = 0.
§ 109. Aufsuchen von g an zzah lig en W urzeln a lg e b ra isc h e r
1. S ind die K oeffizienten einer G leichung la u ter ganze Z a h le n , so k an n die G leichung keine W urzel
haben, die ein ratio n a le r B ru ch ist. H ierb ei ist aber d er K oeffizient von x11 gleich E in s vorausgesetzt.
D u rc h M ultiplikation m it sn-> w ürde sich hieraus aber die Sum m e
— + a , . s . r n—1 rn aa . s2. r “—2 - f - . . . = 0
erg eb en , u n d es w äre also ein B ru ch u n d eine ganze Z ah l zusam m en gleich N ull, was unm öglich ist.
2. H ierau s erg ib t sich a b e r: H a t e i n e a l g e b r a i s c h e G l e i c h u n g e i n e g a n z z a h l i g e W u r
-x 2 — 2 -x y + 3 -x - ) - 2 = 0, 2 x y — y 2 + x — y — 2 = 0 g ib t:
1 — 2 y + 3
0 1
2
— 2 y + 3
0
2 = 0
J 0 2 y + l
0 0
— (y2 + y + 2) o 2 y + i - - ( y 2+ y + 2 ) o d er:
G leichungen.
H ä tte näm lich eine W u rz el die F o rm — , so w äre s
A ufsuchen von g an zz ah lig en W urzeln. 1 6 9 z o l , s o m u ß d i e s e l b e n o t w e n d i g e i n F a k t o r d e s A b s o l u t g l i e d e s s e i n .
3. W ie w ir sahen, können w ir fü r irg en d einen W e rt « je d e Gleichung in die F o rm
(x — a)n + R n (x — a)n—1 + Rn - 1 (x — a)n—2 + . • + R i = 0 bringen (§ 95). U m den W e rt von R , zu erhalten, haben w ir also n u r in der G leichung fü r x den W e rt a zu setzen un d w erden alsdann als F u n k tio n sw ert der G leichung
R , = an -f- a, an—1 -f- . . . -f- an erhalten.
Z iehen w ir diesen W e rt von einem zw eiten solchen W e rt R / ab, fü r den w ir erhalten
R , ' = /3n + a, /J“- 1 + as + . . . + a n,
so folgt aber, d aß R ,— R , ' stets durch « — ß te ilb a r ist, indem jedes G lied der F u n k tio n
( « n _ p n ) a i ( a n - l _ ¿jn-1) - f ^ ( „ n - 2 _
durch diese D ifferenz te ilb a r ist. F ü r i r g e n d z w e i g a n z z a h l i g e W e r t e a u n d ß i s t a l s o s t e t s
, Ri — R i ' 17 Ul
a u c h ---
2
— e i n e g a n z e Z a h l . a — ßI s t i n s b e s o n d e r e ß e i n e W u r z e l d e r G l e i c h u n g u n d i s t a l s o R , < = 0 , s o i s t n o t w e n d i g a u c h R , d u r c h a — ß o d e r a u c h ß — a o h n e R e s t t e i l b a r .
4. Nachdem w ir dies vorausgeschickt haben, wollen w ir z u r B estim m ung d er ganzzahligen W urzeln einer Gleichung gehen un d h ie rfü r das Beispiel
x 1— 1 4 x 3 + 7 1 x a — 1 5 4 x + 120 = 0 wählen. N ach A bsatz 2 k an n n u r eine der Zahlen
1 7 0 A u flö su n g d e r G leich u n g en h ö h e rn G rades.
M eh rfach e W u rzeln e in e r G leichung. 171 H aben w ir h ierbei einm al die W urzel x, = 2 ge
funden, so benützen w ir zu r w eitern E ntw icklung nicht m ehr die ursprüngliche G leichung, sondern die G lei
chung x 3 — 1 2 x 2-|-4 7 x — 60 = 0 , deren K oeffizienten die v ie rte R eihe des Schemas bilden. H ie ra u f u n te r
suchen w ir zuerst, ob nicht die W urzel + 2 nochmals eine solche ist.
H ab e n w ir die 2te W urzel xa = 3 gefunden, so brauchen w ir — 3 nicht m ehr in B etracht zu ziehen, da das A bsolutglied den F a k to r 9 nicht enthält.
Nachdem die 2te W u rzel x2 = 3 gefunden, h ätten w ir, a n s ta tt zu r w eitern R echnung x 3— 9 x -J- 20 = 0 zu benützen, auch letztere G leichung direk t auflösen können.
D ie G leichung h a t also die W u rzeln 2 , 3, 4, 5.
5. M anchm al is t es von V o rte il, w enn w ir auch fü r x = — 1 den zugehörigen W e rt von R zu r A u s
scheidung ganzzahliger F ak to re n des A bsolutgliedes hinzunehm en. I n obigem B eispiel h ätte dies k einer N utzen gebracht, da d er R e st 360 uns nich t g estattet, w eitere F a k to re n von der U ntersuchung auszuscheiden.
I s t der erste K oeffizient nich t gleich E ins, so kann die Gleichung in eine andere tra n sfo rm ie rt w erd en , in d er dies der F a ll ist. W ill man das n ic h t, dann er
leidet das Schem a entsprechende Ä nderungen.
§ 110. M ehrfache W urzeln e in e r G leichung.
1. E s sei irgend welche ganze F u n k tio n y = f ( x ) = Xn + a i X a - 1 + aJ X,1- 2+ . ... + a a gegeben. W ie w ir in § 94 sa h en , ist dann im m er f ( x) _ f ( z ) durch x — z teilbar. S etzen w ir in dem sc
1 7 2 A u flö su n g d e r G le ic h u n g en h ö h e rn Grades»
erhaltenen Q uotienten — — nach der ausgeführten D ivision z = x, so w erden w ir einen Q uotienten erhalten, d er im allgem einen n ic h t gleich N ull ist. D iesen W e rt h eißen w i r d i e e r s t e A b t e i l u n g v o n f(x ) n a c h (x) u n d b e z e i c h n e n d i e s e l b e d u r c h y' , f' (x) o d e r D f(x ). So is t z. B.
x n — zn
D x n = --- = xn—1 + xn_1 z -f- • • • + zn
X — z
u n d fü r
z = x, D x n = n . x n - 1| D a x n — n . a . xn—
D (xn -f- a, x11 ~ 1 -j- a2 xu~2 -f-. . . ) = n . xn~ 1 -j- (n — 1) a, xn _ 2 + ( n — 2) . a2 xn~3 + . . . + an—l ,
D (x — a)n = D ^xn — ( j) . xn_1 . a -j- (g) . xn—2 a — . . J n . n — 1 „ . n . ( n — l ) ( n — 2) „
= n . xn --- j- x n _ 2 . a - |--- j —g---xn _ 3 a — .
= n . (x — a)n—1.
2. D ie A bleitung der A b le itu n g bezeichnen wir ebenso als die zw eite A b le itu n g u n d bezeichnen die
selbe m it y " , f" (x) oder D 2f(x ). D esgleichen erhalten w ir die d ritte A b leitu n g y '" , f '" (x ) oder D 3f(x).
3. I s t insbesondere a eine D oppelw urzel der G lei
chung, so w erden w ir die Gleichung stets au f die F o rm b rin g en können
(x — a)n + R n (x — a)n—1 -f~ • . . + R 3 (x — a)2 = 0, da j a ( x — a )2 ein F a k to r d er G leichung ist. F ü r die A b leitu n g dieser G leichung, die linke Seite als F u n k tio n angesehen, nach x müssen w ir, wie aus d er D efinition u n m ittelb ar folgt, denselben A usdruck erhalten, ob wir die letztere F o rm der G leichung benützen oder die
M ehrfache W u rzeln e in e r G leichung. 1 7 3 ursprüngliche, d. h. w ir finden, d aß die beiden A us
drücke
n . (x — a ) n—1 - j- ( n — 1) R n (x — o)n—2+ R n —l (x — a ) n~ 3 + . . + 2 R , ( x — a) und
n . x n + ( n — l j . a j X " “ 1- ^ - ^ — 2) a2 xn~ 2 + . . . + an - i identisch sind. D e r erstere A usd ru ck verschwindet a b e r , w enn w ir fü r x den "Wert a setzen, und wir finden: H a t e i n e G l e i c h u n g e i n e D o p p e l -w u r z e l « , s o i s t a a u c h e i n e W u r z e l d e r g l e i c h N u l l g e s e t z t e n e r s t e n A b l e i t u n g d e r G l e i c h u n g .
I s t a von d er ursprünglichen G leichung eine d rei
fache W u rz e l, so ist a von d er ersten A b leitung eine zweifache u n d von der zw eiten A bleitung eine einfache W urzel. W ie d er S atz allgem ein la u te t, ist leicht er
sichtlich.
4. W issen w ir so z. B ., d aß die Gleichung x 3 — 4 x 2 -f- 5 x — 2 = 0
eine zweifache W urzel h at, so m uß diese auch eine W urzel der A bteilung 3 x 2 — 8 x - |- 5 = 0 sein. U m diese W u rz el zu bestim m en, haben w ir n u r noch den gemein
samen T eiler dieser beiden algebraischen Gleichungen aufzusuchen (vergl. Sam m lung Göschen N r. 47, A lgebra,
§ 11). D ieser F a k to r is t x — 1. I n der T a t sind 1, 1, 2 die W urzeln d er gegebenen Gleichung.
1 7 4 N äh eru n g sw eise A u flö su n g d e r G leichungen.
X I X . K ap itel.