Niedere Analysis : mit 5 Figuren

Sammlung Göschen

Niedere Analysis

iron

Prof. Dr. Benedikt Sporer

Mit 5 Figuren

4

£

a m m f u i t t j ( B ö f c ß e n .

U n se r heutiges ö litle n i n h u r j e n , k l a r e n ,

aU gem ehm rltändlicben 6 i n j e l d a r H e i l u n g e n . Qebe K um m er in elegantem £cimnanb6ait&

<5. 3 - <Söfd?ett’f<ä?« Derlagsfyart&Inng, S etp jig.

d ^ t u e c i unb g ie l ber „ S am m lu n g ©öfchen" ifl, bem gebilbeten

QJ

©ebiete ber tDiffenfdjaft unb (Eedjnif *u geben. 3 n engem H a lm e n , a u f jireng tDiffenfdjaftltdjcr © ru n b lag e unb m it fteter Seriicf- fidjtigung bes neueften S ta n b e s ber vforfd n iu g , aber babei bod? in leidjtperftänblidjer jo r m , bietet fte 3nt>erläf(tge B eleh ru n g . 3 eb es ein3elne © ebiet ift in fid; gefd?loffen bargeftellt, aber bennod; ftetjen alle B än b d jen in innerem gufam m enfyange m iteinanber, fo ba§

b as © anse, tnenn es pollenbet uorliegt, eine einheitliche, f^fte*

matifche D arftellung u n feres gefam ten IDiffeits bilben biirfte.

U erzeicbnis der b is jetzt erschienenen B ände.

l D e r U tfc e lu n g e Xlot in unb ®Httelijocijbeutfdjf © ram m atif m it ïu rje m SBörterbud) bon D r.

SB. © o ltb er, ^ ro fe H o r a n ber Uni*

b e rfität SRoftod.

2 C e fftttg s < £ m ilta © a l o ttt . 3Jiit

© in leitu n g unb SInm crîungen bon O b e rle h re r D r. ® otfdj.

S C e f f tn g s ^ a & e lrt, ne&ii 2Ibbanb*

Iungen m it biefer 2)id)tung8a r t oer*

toanbten I n h a l t s . 3^ © inieitung bon f ta r l ©oebefe.

4 C e f f in g s C a o f o o n . 2ftit ©in*

Ieitung bon R a r! © oebete.

6 C e ffin g s îU it tn a t>. 2 3 arn fy elm . 3 Jü t2 ln m ertu n g en ü.D r. Xomajcbecf.

6 C e ffin g s IZ a tija n b e r tD e ife . 9J2it îln m ertu n g en bon ben ^ ro fefjo ren S)enjel unb £ ra $ .

7 î t î a r t i n C u t t e r , ¡T h o m a s JTCur- n e r u . b .Ä ir d ? e n lie b b . i 6 . 3 a i jr ij . ttuSgeto&blt u. m. 21n m erlungen oer*

feben b. $ ro fe ffo r ©. © e rlir, O ber!, am SRifolaigbmnafiuin ju ß e tp jig .

8 D ie D a m p f tn a f c h in e . $ur*gefa&*

te§ gebtbucb m it S eifp te le n fiir b a s

© elbftftubium unb ben p raitifd jeit

©ebraucb bon ftrieb rid ) SBartb, Ober*

in g é n ieu r in 9îü rn b erg . 2 J 2 it4 8 g ig . 9 D ie D a m p f t e f f e l. Æ urjgefafiteS Be^rbueb m it © eifpielen fü r bas

© elbftftubium unb ben braftifeben

©ebraucb bon iîriebricb S3artb,Ober*

in g é n ieu r in SRürnberg. 5Hit 67 g ig . 10 & u b r u n u n b D ie t r ir h e p e n . 2Jht

© inleitung u nb SBôrterbucb bon D r.

O. S. ftiricà e t, ^Srofeffor an ber U niberfitdt SJJünfter.

1 1 2l f tr o n o m ie . © rose, SBetoegung u . © ntfernung ber i»im m eIêlorper bon 21. ft. Sdidbiuë, neu bearb. bon D r. 9B. ft. SBtSlicenuS, 28rofefîor an ber U n io erfitàt © tra& burg. SJlit 36 2Ibbilb. unb einer © teenfarte.

12 p a b a g o g if im © runbrifc bon $ ro f.

D r 9B. 'Jiein, ÎJ ire fto r beS sBabogog.

© em tn ars an b er U n io eifttât 3 e n a .

^ « m m C u n c j « i f « # « . ^ t S S " 8 0 f f .

13 <5eologie oon ^rofeffor D r. ©bert>.

graaS in S tu ttg a rt. SRit 16 Wbbil*

bunqen unb 4 Safeln mit übet 50 3figuten.

14 p f^ d jo lo g ie u n b £ o g if gut ©in*

fütjrung in bie ^ ilo f o n ^ ie oon Dr.

Zt). ©Ifenban*. 2Rit 13 giguren.

1 5 D e u tfd je tlDgtfeoIogie oon Dr.

grtebricf) ftauffmann, s45rofeffoir an ber Unioerntät fttel.

16 (Briecfeifcfee T llte rtu m s fu n b e o o n 5ßrof. D r. Siidj. SRaifdj, neu be­

arbeit. b. Sieftor D r. gran g s45o^l- bammer. uJiit 9 SBollbitDern.

17 2luffafeentu>iirfe oon Oöerftubien*

r a t Dr. ß . SB. S tra u b , Sieftor beS

@berbarb*ßubroigS=©t)mnafiumS in S tu ttg art.

18 D e r m en fd jlid je i r ö r p e r , fein 23au u n b feine S fe ä tig le ite n , oon (E. Siebmann, ßberrealfcijulbireftor in greiburg i. 58. 2Rit ©efuhbljeitS*

lehre o. Dr. med. ft. Seilec. 9Rit 47 ilbbilbungen unb 1 S a fei.

19K om ifd}e (Befdjicfete, neu bearb.

oon iHealghmuafialüireftor Dr.

3uliuS ftod).

2Q D eutfdje (B ra m m a tif unb rurge

©efchidjte ber beutfdjen Sprache oon Scf)ulr. 23rof.Dr.D.ßt)onin2)reSben.

2 1 $TX ufifalifdje2ttuftif oon D r.ffa rl ß. Schäfer. 9Rit Dielen Wbbilbgn.

22 ¿ ja r t m a n n no n 2 lu e , tD o l f r a m no n (Efcfeettbadj unb (B ottfr. non S tr a f e b u rg . 5&uSioahI aus bem böf. (EpoS mit Tlnmerfungen unb SBörterbuc^ oon D r. ft. üRarolb, 5J3rof. am tgl. griebrichSfoHegium gu ffönigSberg in $ r .

23 XDaltfeer n o n b e r D ogelm eibe mit Sluitoabl aus SRinnefang unb Sprudjbidjtung. 9Rit Sfnmerfungen unb einem SBörterbuch Oon O tto

© üntter, ^profeffor an b. Oberreal*

fdjule unb an ber Sedjn. $ochfchule in S tu ttg art.

24 £}an5 S a d js u . 3o fean n vfifcfeart nebft einem Tlnhang: 58rant unb . $utten . iluSgetoählt unb erläutert

oon 5ßrofeffor D r. g u t. S ahr.

25 D a s b e u tfd je D o l f s ü e b , auSgeto.

unb e rlä u te r t oon ^Jrofejfor D r.

3 u l. S o b r

26 p fe y fifd je (B cc g ra p feie oon D r.

S ieg m u n b © iintber, ^Srofeffor an ber ffgL lecpnifcben ^>oci)fcöuic in SRünchen. SRit 32 2lbbilbungpn.

27 (B rie d jifd je u n b röm ifcfee (B ötter*

u n b ij e lb e n f a g e oon D» fterm . S te u b in g , W rofrffor am ffgt. ©pm*

nafium in ffiur^en.

28 2lltfeocfebeutfd}e C i t e r a t u r m it

© ram tn atif, Ueberfe&ung unb (Er*

lä u teru n g en o. Zf). Schnüffler, 5)3ro*

feffor am W ealgpmnafium in Ulm.

29 i l l i n e r a l o g i e oon D r. St. 58raun3, 5Brofeffor an b. U n io erfität ©iefjen.

9Rit 130 W bbilbungen.

30 R a r t e n f u n b e , gefcpid&tlid} bargeft.

oon (5. ©elcicb, D ir e lto r b. I. f. Wau*

tifcben Schule in ßufflnpiccolo unb g. S a u te r , SSrofeffor am Stealgpm*

nafium in Ulm, neu bearb. oon D r.

$ a u l D infe, 5Hfiftent ber ©efeüfcöaft f. (Erbfunbe in © erlin . SRit 70 2lbb.

31 (Befcfeicfete b . beutfcfe. C i t e r a t u r oon D r. SRaj ffocö, ^Srofeffor a. b.

U n io erfität 23reSlau.

32 D ie b e u tf d je i j e lb e n f a g e Oon D r.

O tto ß u itp o lb g iric g e t, 'ßrofeffor an ber U n io erfität SRiinfter.

33 Deutfcfee (Befdjicfete im J H i tte l- a l t e r (b is 1500) oon D r. gf. fturge, O b erleh rer a. ffgl. ßuifenghm nafium in 58erltn.

36 D e r <£ib. ©efcfjtchte beS D o n Wut) D iag, © rafe n oon S io a r . JBon ßf.

B erber. ^ r S g . u. e r lä u te r t oon 58rof. D r. © rnft w au m a n n i. ö e r l in . 37 J ln o rg a n ifc fe e (Cfeemle bon D r.

3 o f. ftlein in ÜBalbbof.

38 (U rganlfcfee (Tfeemie oon D r. ßlof- fflein in SBalbbof.

39 geicfeenfcfeule oon ißrofeifor ft.

ftimmicb in Ulm. SRit 17 S a fe in in S o n -, Sfarben* unb ©olbbrucf u.

135 58oÜ* unb S e itb ilb e rn . 40 D eutfcfee p o e t i t o. D r. ff. SBorinSfi,

© ogent an ber U n io erfität SWüncben.

41 <Zbene (B eo m etrie oon ©. äRabler, 5Brofeffot b er S R atbem atil am ®pm*

nafium in U lm . 2Rit 111 5 ig .

ZDettbett!

^«»fung <EWfcü«>. 80 f f .

42 llrg efd p td ite ö e r STXenfdplKit oon D r. SRorig #oerneS, ©rofeffor a. b.

Unioerfität unb ©uftoSabiunft am f.

unb I. naturhiftor. ftofmufeum in SBien. 5Rit 48 2lbb.

43 (Sefd}id*te b e s a lte n iTZorgen- Ia n b e s oon D r. g r . Rommel. ©ro*

feffor an ber Unioerfttät '•’Ründpen.

«Diit 6 S ilbern unb l ftarte.

44 D ie p f l a n 3e, ihr S a u unb itjr Seben oon Oberlehrer D r. ©. Dennert.

9Rit 96 Slbbilbungen.

45 2 tö m ifd ? e 2 llte rtu m sfu n b e o. Dr.

ßeo ©loch, Dogent a. b. Unioerfität Zürich. 9Rit 8 ©otlbilbern.

46 D a s tD a ltfe a rü ie b , im SerSmafce ber Urfdjrift überfe$t unb erläutert oon ©rofeffor Dr. ft. Sllrhof, Ober*

lebrer a. Wealgpmnafium i. SBeimar.

47 U ritfem etif u n b A lg e b ra oon D r.

f>erm. Schubert, ©rofeffor an ber

©eiehrtenfchule bea gohanneum Sin Hamburg.

48 £ e ifp ie lfa m m lu n g 5.U r itf)m e tif u . Z llg eb ra, 2765 Aufgaben, fpfte*

mntifch georbnet, oon D r. Hermann Schubert,©rofeffor au ber®elehrten*

fcbule bes gopanneumS i. Hamburg.

49 (5ried)ifd)e (Befcpid)te oon Dr.

Heinrich Stooboba, ©rofeffor an b.

bentfchen Untuerfität ©rag.

50 S d j u l p r a ^ i s . SRetpoDif b. Solls*

fcbule oon 9t. Sepfert, Scpulbirettor in ÖlSnit* in S .

61 iU a tlie m a t.^ o rm e lf a m m lu n g u.

Wepetitorium ber 9Ratpematif, entp.

bte roicptigften gorm eln u. ßeprfäpe ber 2lritpm etit, Wlgebra, algebra*

ifcheu SlnaltjfiS, ebenen ©eometrie, Stereom etrie, ebenen u. fppätifchen Drigonometrie, matpem.©eograppie, analpt. ©eometrie ber ©bene unb beS 9taumeS, ber Differential* unb gntegralrechnung 0. 0 . Dh- ©ürflen,

©rofeffor am fgl. 9tealgpmnafium in Scptü.*©münb. 2Rit 18 giguren.

52 (Befdjidjte b er röm ifdpen JTite*

r a t u r oon Dr. Hermann goacpim in Hamburg.

53 ilie b e re Z lttal^ fis bon ©rofeffor D r. ©enebift S p o rer in ©pingen.

m t 5 giguren.

54 M ete o ro lo g ie oon Dr. SB. Drabert, Dogent a. b. Unioerfttät u. S efretär ber f. f. ß e n tralan ftalt für 9Reteoro*

logie in SBien. 9Rit 49 ittbb. u. 7 Daf.

55 D a s ^ r e m b tp o r t im Deutfcfeen o. Dr. Wubolf ffleinpaul.

56 D eu tfd je K u ltttr g e f d jid jte o. D r.

Üteinb. ©üntper.

57 p e r f p e f t i r e nebft einem 2lnpang üb. Scbattenfonftruftion u. parallel*

perfpeftioe Oon Slrcpitelt £ an$ grep*

berget, gacplebrer an ber ffunft»

getoerbeicb. i. 9Rapbebg.2Rit 88 2lbb.

58 <5eom etrifd)es g e id jn e n bon ft.

©ecfer, Slrdpiteft unb ßeprer an ber

©augetoerffcbule i. SWagbeburg. SRit 282 Slbbilbungen.

59 3nbo g erm an ifd > e Spracfetniffen- fcfeaft oon Dr. 9t. 3Reringer. ©ro*

frffor a. b. Unioerfität ©rag. SRit einer Dafel.

60 tC ierfunbe o D r. grang 0. SBagner,

©rofeffor an ber Uniberfität ©iejjeit.

9Rit 78 Wbbilbungen.

61 D eutfd?eH ebelefere bon ft. ©robft,

©pmnafialleprer in ÜRüncpen. 2Rit einer Dafel.

62 C ä n b e rfu n b e uott (E u ro p a o. Dr.

grang peibericp, ©rofeffor am gran*

ciSco*gofeppinum in SRöbling. ÜRit 14 Degtfärtcpen unb Diagrammen u. einet ftarte ber Sllpeneinteilung.

63 £ ä n b e r fu n b e b e r au feereu ro p ä*

ifd jen (E rbteile oon D r. grang fpeibericp, ©rofeffor am granciSco*

goieppiitum in ©töbling. SDiit 11 DfEtfärtcprn unb Profilen.

6 4 D eu tfd ?es XDörterbud? oon D r.

gerbinanb D etter, ©rofeffor an ber Unioerfität ©rag.

65 S lnal^tifcpe (Beom etrie b. (Ebene bon © rofeiior Dr. 3R. Sim on in Strafjburg. SRit 57 giguren.

6 6 H u ffifd je (B ra m m a til oon Dr.

©ricp ©ernefer, ©rofeffor an ber Unioerfität ©rag.

67 K ttffifd jes Cefebud? m it ©loffar Oon D r. ©rieh ©erneler, ©rofeffor an ber Unioerfttät ©rag.

68 H u fftfd ) * beutfefees (B efprädjs*

b u d ) oon Dr. ©rieh ©erneler, ©ro*

feffor an ber Unioerfität ©rag.

^ o rtfe fe u n g a u f b e r u ie r te n Dorfafefeite.

S a m m lu n g G öschen

Niedere A n alysis

von

Prof. Dr. B e n e d i k t S p o r er

/

M it 6 F i g u r e n

l : .

Z w e i t e , v e r b e s s e r t e A u f l a g e

Z w e i t e r A b d r u c k

G. J. G öschen’sche Verlagshandlung

A ^ A

t d e r Ü b e r s e t z u n g V o r b e h a l t e n .

I n h a l t .

E r s te r A bsch n itt.

K etten b rü ch c . D iophantische G leichungen. S e ite

I. Kapitel. K e t t e n b r ü c h e . . . . . 7

§ 1. B e g riff des K e t t e n b r u c h s ... 7

§ 2. V e rw a n d lu n g e in e s B ru ch s in e in e n K e tte n b ru c h 8

§ 3. V e rw a n d lu n g e in e s K e tte n b ru c h s in e in e n g e w ö h n ­ lic h e n B ru c h . N ä h e r u n g s w e r te . . . . 8

§ 4. E ig e n s c h a fte n d e r N ä h e r u n g s b rü c h e . . . 11

§ 5. V e rw a n d lu n g e in e s K e tte n b ru c h s in e in e R eih e . 13

§ 6. U n e n d lic h e K e tte n b rü c h e . I r r a t i o n a l i t ä t d e rs e lb e n 13

§ 7. V e rw a n d lu n g e in e r Q u a d ra tw u rz e l i n e in en K e tte n ­ b ru c h ... 16

II. Kapitel. D i o p h a n t i s c h e G l e i c h u n g e n . 17

§ 8. D efin itio n d e r d io p h a n tis c h e n G le ic h u n g en . l?

§ 9. D ie A u flö su n g sm eth o d e v o n E u le r . . . . 18 g 10. A u flö s u n g d u rc h K e t t e n h r ü e h e ... 21

§ 11. Z w e i G le ic h u n g e n m it d re i U n b e k a n n te n . . 22 g 12. E in e G le ic h u n g d es e r s te n G ra d e s m it d re i U n­

b e k a n n te n ... . 2 3

§ 13. R a tio n a le p y th . D re ie ck e . x '4 - y * = z ä . . . 24

Zweiter Abschnitt.

K o m binationslehre. D eterm in an ten .

III. Kapitel. K o m b i n a t i o n s l e h r e . . . . 26

§ 14. A u fg a b e d. K o m b in a tio n s le h r e . E lem e n te . G ru p p e n .

E i n te il u n g 26

P e r m n t a t i o n e n ... 26

§ 15. B ild u n g u n d A n z ah l d e r P e r m u ta tio n e n a u s la u te r v e rs c h ie d e n e n E lem e n te n . . . 26

§ 16! P e rm u ta tio n e n a u s te ilw e ise g le ic h e n E lem e n te n 28

§ 17. P e rm u ta tin n e n in le x ib o g r a p b is e h e r A n o rd n u n g 28

§ 18. B ild u n g e in e r b e stim m te n P e r m u ta tio n ln Iexiko- g ra p h ls c h e r A n o rd n u n g . . . . . . 29

§ 19. B estim m u n g d e r S te llu n g e in e r P e rm u ta tio n ln le x ik o g ra p h is c h e r A n o r d n u n g ... 30 K o m b i n a t i o n e n u n d V a r i a t i o n e n 32

§ 20. K o m b in a tio n e n o h n e W ie d erh o lu n g . . . . 32

§ 21. K o m b in a tio n e n m it W ie d e rh o lu n g . . . . 33

§ 22. V a r i a t i o n e n ... 34

§ 23. E ig e n s c h a f te n d e r B in o m ia lk o e ffiz ie n te n . . 35 I V . Kapitel. D e t e r m i n a n t e n ... 37

§ 24. D efin itio n d e r D e t e r m i n a n t e n ... 37

§ 25. B estim m u n g d e s V o rzeich en s e in e s T e ilp ro d u k ts 38

§ 26. B e re c h n u n g d e r D e te rm in a n te d r i t t e r O rd n u n g . 39

§ 27. V e rta u sc h u n g d e r V e rtik a l- u n d H o riz o n ta lre ih e n 40

§ 28. A d d itio n b e so n d e re r D e te rm in a n te n . . . 41

§ 29. S u b d e te r m in a n te n ... 44

§ 30. M u ltip lik a tio n z w e ie r D e te r m in a n te n . . . 45

§ 31. A u flö su n g d e r lin e a re n G le ic h u n g e n m it m e h re re n U n b e k a n n t e n ... 46

Dritter Abschnitt.

A rithm etische R eihen h ö h e re r O rdnung.

F ig u rie rte Z ahlen. In te rp o la tio n . V. Kapitel. A r i t h m e t i s c h e R e i h e n h ö h e r e r

O r d n u n g ...50 g 32. E n ts te h u n g d e r a r ith . R e ih e n . D ifferen z e n re ih en 50

§ 33. B ild u n g d e r a llg e m e in e n G lie d e r a u s e in e r R eih e 51 g 34. A b le itu n g d e r a llg e m e in e n G lied er a n s d en

D if f e r e n z e n r e i h e n ...52 g 35. S u m m ieru n g d e r a r ith . R e i h e ... 54 g 36. Sch lu ssd ifferen z. M u ltip lik a tio n d e r G lied er z w e ie r

R eihen 55

g 37. Sum m en d e r P o te n z e n d e r n a t. Z a h le n . B ern o u l- lisc h e Z a h l e n ... 57 g 88. L im es S ( x ) n : x n + 1 = l : ( x + l) . . . . 60 g 89. M u ltip lik a tio n d e r G lied er e in e r a r ith . R eih e m it

B in o m ia lk o e ffiz ie n te n . E ig e n s c h a f te n d e r le tz te r e n 61

VI. Kapitel. F i g u r i e r t e Z a h l e n . . 63

§ 40. E n ts te h u n g d e r fig u r ie r te n Z a h le n . . . . 63 8 41. P o ly g o n a lz a h le n . B ild u n g v o n F ig u r e n a u s K ugeln 65

In h a lt. 3

Seite

Inhalt.

S e ite

§ *2. P y r a m id a lz a h le n . , . . 67

§ 43. D ie e ig e n tlic h e n flg. Z a h le n - . . . . 67

§ 44. B e re c h n n n g v o n K u g e lh a u fe n . 68

Kapitel. I n t e r p o l a t i o n . . 69

§ 45. V on d en F u n k tio n e n im a llg e m e in e n 69

§ 46. B eg riff d e r I n t e r p o l a t i o n ... 71

§ 47. In te r p o l a tio n b ei a r i t h . R eih en . 72

§ 48. In te rp o la tio n s fo r m e l fü r A rg u m e n te , d ie ein e a r ith . R eih e e r s t e r O rd n u n g b i l d e n ... 74

§ 49. D ie In te rp o la tio n s fo r m e l vo n L a g r a n g e . 76

§ 50. D ie In te rp o la tio n s fo r m e l v o n N ew to n

Vierter Abschnitt.

U nendliche R eihen.

77

Kapitel. S u m m i e r b a r e R e i h e n . K o n v e r - g e n z u n d D i v e r g e n z u n e n d l i c h e r R e i h e n ... 81

§ 5 t. B ild u n g s u m m ie r b a r e r R e i h e n ... 81

§ 52. S u m m ie rb a re u n e n d lic h e R eih en . . . . 85

§ 53. W e ite r e s u m m ie rb a re R e i h e n ... 86

§ 54. E in te ilu n g d e r u n e n d lic h e n R e ih e n in k o n v e rg e n te u n d d iv e rg e n te R e i h e n ... 87

§ 55. B eisp ie le k o n v e r g e n te r u n d d iv e rg e n te r R e ih e n . 88

§ 56. K o n v e rg e n z d e r R eih en , d e re n G lied er ab w ec h seln d p o s itiv u n d n e g a t iv s i n d ... 90

R e i h e n m i t n u r p o s i t i v e n G l i e d e r n ₉₂

§ 57. K e n n ze ic h e n d e r K o n v e r g e n z ... 92

§ 58. K o n v e rg e n z f ü r d e n G re n z fa ll lim — — = jl’n + l 94 8 59. K o n v e rg e n z d e r P o te n z re ih e n m it k o m p lex em Ar*

g u m e n t ... 97

§ 60. A llg em ein e K o n v e rg e n z b e d in g u n g . U n b e d in g te u n d b e d in g te K o n v e r g e n z ... 98

Kapitel. D ie M e t h o d e d e r u n b e s t i m m t e n K o e f f i z i e n t e n . U m k e h r u n g v o n R e i h e n . . . « . ... 99

§ 61. D a rs te llu n g e in e r F u n k tio n d u rc h e in e u n e n d lic h e R e i h e ... 99

§ 62. D ie M ethode d e r u n b e stim m te n K o effizienten 100

§ 63. U m k e h ru n g v o n R e i h e n ... 102

X . K a p i t e l . D i e b i n o m i s c h e R e i h e . . . . 103

§ 64. D e r binom . S a tz f ü r g a n z e n e g a tiv e E x p o n e n te n 103 g 65. D e r binom . S a tz f. g e b ro c h e n e p o s itiv e E x p o n en ten 106

§ 66. D e r bin o m . S a tz f ü r g e b ro c h e n e n e g a tiv e E x ­ p o n e n te n ...107 8 67. K o n v e rg e n z un d D iv e rg e n z d e r bin o m . R eih e . 108

§ 68. D ie B in o m ia ire ih e f ü r ( a -J -b )n . . . . 109 8 69. U m w a n d lu n g v o n W u rz e ln in u n e n d l. R e ih e n . 109 X I . K a p i t e l . D i e E x p o n e n t i a l r e i h e . D i e l o g a -

r i t h m i s c h e R e i h e . L o g a r i t h m e n i n 8 70. D ie Z a h l e ... 111

§ 71. D ie E x p o n e n t i a l r e i h e ...112 8 72. D ie R eih e f ü r a x ...114 8 73. D as n a tü r lic h e u n d d a s k ü n s tlic h e L o g a rith m e n ­

s y ste m ... 114 8 74. D ie lo g a rith m is c h e R e i h e ...116

§ 75. W e ite re R eih en z u r B e re c h n u n g d e r L o g a rith m e n 118 X I I . K a p i t e l . D i e t r i g o n o m e t r i s c h e n F u n k ­

t i o n e n . I m a g i n ä r e L o g a r i t h m e n 120

§ 76. D ie R e ih e n f ü r s in x u n d 00s x ... 120 8 77. R e la tio n e n z w isc h e n d en F u n k tio n e n s i n x , c o s x

u n d ei x ... 122

§ 78. D ie R e ih e n f ü r t a n g x u n d c o t x . . . 123 8 79. D ie R e ih e n f ü r co s m x u n d s in m x . . . 124 8 8J. R e ih e n f ü r cosn x u n d s in n x ...125 8 81. D ie R eih en Si = l + x c o sa + x» cos 2a - f . . u n d

S« = x s in a + x* s in 2 a + ...127 8 82. Im a g in ä r e L o g a r i t h m e n ...128 X I I I . K a p i t e l . D i e c y k l o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n 130

§ 8 3 . D ie R eih en f ü r a r c s in x u n d a r c cos x . . . 1 3 0

§ 84 D ie R eih en fü r a r c ta n g x u n d a r c c o t x . 132 XIV. K a p i t e l . D i e B e r e c h n u n g d e r Z a h l /i . . 132

§ 88. B e re c h n u n g d e r Z a h l n a u s d e r R eih e fü r a r c s in x 132

§ 86. B erec h n u n g v o n n a u s d e r R eih e fü r a r c t a n g x D ie l.eib n izsc h e R e i h e ... 133

§ 87. W e ite re F o rm eln f ü r 7 t ...134 XV. K a p i t e l . U n e n d l i c h e P r o d u k t e . . . 1 3 8

§ 88. K o n v e rg e n z u n d D iv e rg e n z d e rs e lb e n . . . 1 3 8

§ 89. U nendl. P ro d u k t f ü r cos x ... 141

§ 9 0 . U nendl. P r o d u k t f ü r s i n x ... 143

In h a lt. 5

Seite

S e ite

§ 91. U nendl. P r o d u k t f ü r n , u n d . . . ' 1 4 4

§ 92. V e rw a n d lu n g e in e r u n e n d lic h e n R eih e in e in u n ­

en d lic h es P r o d u k t ...145

§ 93. V e rw a n d lu n g e in e s u n e n d lic h e n P r o d u k ts i n e in e u n e n d lic h e R e i h e ...146

Fünfter Abschnitt. G leichungen. XVI. Kapitel. A l l g e m e i n e E i g e n s c h a f t e n d e r a l g e b r a i s c h e n G l e i c h u n g e n mi t e i n e r ü n b e k a n n t e n . ■ 147 § 94. D ie g a n z e a lg e b r a is c h e F u n k tio n a ls G le ic h u n g . 147 § 9 5 . D ie G le ic h u n g d u rc h P o te n z e n v. x — a a u s g e d rü c k t 148 § 96. D ie G le ic h u n g a l s s te t ig e F u n k tio n . . . 150

§ 97. F u n k tio n s w e rte m it p o s itiv e m V o rz e ic h e n . . 151

§ 98. F u n k tio n s w e r te m it n e g a tiv e m V o rz e ich e n . . 152

§ 99. K o m p lex e W u rz e ln e in e r G le ic h u n g . . . 1 5 3 XVII. Kapitel. E i g e n s c h a f t e n d e r K o e f f i z i e n t e n e i n e r G l e i c h u n g ...155

§ 100. D ie K o effizien ten a ls K o m b in a tio n e n d e r W u rz e ln 155 § 101. S u m m en v o n P o te n z e n d e r W u rz e ln . . 156

§ 102. W e ite re s y m m e tris c h e F o rm e ln z w is c h e n den W u r z e l n ...157

§ 103. S y m m etrisc h e F u n k tio n e n d e r W u rz eld iffe re n z en 158 XVIII. Kapitel. A u f l ö s u n g d e r G l e i c h u n g h ö ­ h e r e n G r a d e s ... 160

§ 104. U m fo rm u n g en vo n G le ic h u n g e n . . . . 160

§ 105. A u flö s u n g d e r G le ic h u n g v ie r te n G rad es. M ethode v o n E u l e r ...161

§ 106. F o r ts e tz u n g . M ethode v o n A m p ere . . . 164

§ 107. F o r ts e tz u n g . M ethode v o n C a r te s iu s . . . 1 6 6 § 108. A u flö s u n g z w e ie r q u a d r a tis c h e r G le ic h u n g e n m it z w e i U n b e k a n n t e n ...167

§ 109. A u fsu ch e n v o n g a n z z a h lig e n W u rz e ln a lg e b r a ­ is c h e r G l e i c h u n g e n ...168

§ HO. M eh rfach e W u rz e ln . . . . . . 171

XIX. Kapitel. N ä h e r u n g s w e i s e A u f 1 ö s u n g d e r G l e i c h u n g e n . . . . . . . 174

§ 111. A llg e m e in e B em e rk u n g e n . . . . . 174

§ 112. D ie M ethode v o n L a g r a n g e ... 174

§ 11S. D ie N e w to n sc h e M e t h o d e ... 176

§ 114. D ie R e g u la f a l s i ... . 177

' . - i rs fif 1 E r s t e r A b s c h n i t t .

Kettenbrüche. Diophantische Gleichungen.

I. K apitel.

K e t t e n b r ü c h e .

§ 1. B e g riff des K etten b ru ch s. ‘ 1. E in fo rtg esetzter B ru ch von d er F orm

~ 1 1

bj

’ , K 1 ' 1

a3+ ~ r ■ * + —

b l

h eiß t ein K e 11 e n b r u c h. D ie B rüche — und — führen

a a

die Bezeichnung T e i l b r ü c h e , b h e iß t der T e i l - Z ä h l e r , a der T e i l n e n n e r .

2. W i r beschränken uns au f die zweite A r t von K ettenhrüchen, in denen alle T eilzähler gleich der E inheit, alle T eilnenner positiv u n d ganzzahlig sind, und lassen außerdem noch den W e rt a0 weg. D en so er­

haltenen K etten b ru ch schreiben w ir a b g e k ü rz t:

i i

ai + a i _ L i oder (1 : a „ a2, a3, a j .

a3 + •„ ■ I

1 D ie K e tte n b rü c h e finden sic h e r s tm a ls b e i L o rd B ro u n k e r (1620—1684); d ie e rs te e in g e h en d e T h e o rie d e rs e lb e n g a b E u ler (1707—1783).

8 K e tte n b rü c h e .

§ 2. V erw andlung eines B ruches in einen K ettenbrnch.

1. B e i s p i e l . E s soll der B ru ch -157 in einen K e tte n b rn c h verw andelt werdeD.

157 1 1 1 1

283 ~ 283 , , 126 — —

157 157

1

157 126

1 + 31

126

1 + T + J -

126 31

~ ^ + T + 1

, + t + | + i 1+ t + t + .

31 ^

2

= ( 1 : 1 , 1, 4, 15, 2).

4 + 1 5 + 4

2. D ie h ie r angew andte B estim m ung d er T eil­

n en n e r is t dieselbe wie d ie , die z u r A ufsuchung des gem einschaftlichen T eilers der Z ahlen 157 und 283 fü h rt, u n d w ir erhalten dieselben rascher durch fortgesetzte

2

1

fo lg t:

1 1 4

283 157 126 31

157 126 124 30

126 31 2 1

§ 3. V erw andlung eines K elten b ru ch es in einen gew öhnlichen B ru ch . N äh eru n g sw erte.

1. B erücksichtigt m an b ei einem K etten b ru ch n u r len ersten N enner, also n u r den B ru ch -— - u n d lä ß t

a i

ille folgenden B rü ch e weg, so e rh ä lt m an den ersten

Verwandlung eines Kettenbruches in einen gewöhnl. Bruch. 9

z 1

N äherungsw ert — = — • B erücksichtigt m an ebenso n, a,

n u r den T e il— , 1 des K ettenbruches, so erhält man

‘■ + V

den zweiten N äherungsw ert —— = --- *. • Ebenso n2 a, a3 + 1

findet man den d ritten N äherungsw ert

za 1 a a + 1

— = 1 = --- — *--- ;--- U. 8. f.

n3 a,--1----1 a , a 2a3 + a8 + a1

a » + — 3

2. Von diesen N äherungsw erten ist der erste zu groß, da d er N enner a, zu klein is t; d er zw eite da­

gegen ist zu klein, da -— > — . 1 i also der

8 8 a 2 a, + —

8 I- • • •

N enner des B ruches a. -) , den w ir in R echnung ziehen, g rö ß e r als sein w irklicher W e rt ist. D er d ritte N äherungsw ert ist w ieder zu groß, der vierte zu klein u. s. w. D i e N ä h e r u n g s w e r t e e i n e s K e t t e n ­ b r u c h s s i n d a l s o a b w e c h s l u n g s w e i s e k l e i n e r u n d g r ö ß e r a l s d e r w i r k l i c h e W e r t d e s ­ s e l b e n .

„ . z, 1 z, 1 a„

3. E s ist — - — , — = — 1 = --- j ——

n, a, n a, a, a2 + 1

a 2

= _aLv + 0 _ ^ = i _ 1 h + ^ ) Zl + ° aa n , + 1 n„ a, + — 1 / , 1 \

r + ~ d n , + 1 aa a„ z, + z, _ a, z2 + z,

a 3 K n> + 1) + Hj a3 n 2 + n, ’

n .

10 K e tte n b rü c k e .

+ Z1

a4 (a8Z» + Zl ) + ZI _ a<Z3 + Z, ( aa + A ) n a + n i a1 (as n2 + n 1) + n 2 a4n , + n , '

I s t allgem ein bis zu einem bestim m ten W e rte k : so erhält m an den folgenden a zI: k

-, + Z

n, a . n , . 4 - n, „

k k k —1 i k —2

N äh eru n g sw ert, indem m an a durch * 4 - er­

setzt, oder: ^{» k + l}

k + i

k+i + nk-2

a k - f i ( a k z k - i + z k - ä ) + V - i _ V k z k a k + i n k + n k _ i '

ak + l( ak n k - i + n k -2 ) + nk - l '

D ie R egel g ilt also auch fü r den (k + l) te n N ähe­

rungsbruch, wenn sie bis zum kten gilt. Sie g ilt aber, wie d ire k t gezeigt w urde, fü r den vierten, also g ilt sie fü r den fü n fte n , sechsten u. s. f., d. h. allgem ein für ein beliebiges k (Schluß von k au f k -f- 1).

F ü h rt m an noch die uneigentlichen N äherungsw erte

1 , 0 .

-Q- un d — e i n , so erh ä lt m an z u r B erechnung eines K ettenbruchs, etw a des K etten b ru ch s ( 1 : 2 , 3, 1, 4, 5, 3, 2), das folgende Schem a:

a — 1 - 2 | S | 1 | 4 | 5 | 3 | 2 z i 0 1 | 3 | 4 | 19 | 99 |316| 731 n 0 1 2 | 7 | 9 43|224|715|1654

E ig e n sc h afte n d e r N äh eru n g sw e rte . 11 z ; 1 = 2 . 0 + 1 , 3 = 3 . 1 4 0 , 4 = 1 . 3 + 1, 19 = 4 . 4 + 3, . . .

n ; 2 = 2 . 1 + 0 , 7 = 3 . 2 + 1, 9 = 1 . 7 + 2, 43 = 4 . 9 + 7, . . .

A . , 1 3 4 19 99

D ie N äherungsw erte sind: — , - y , - g - ,

316 , 731

715 1 6 5 4 '

§ 4. E igenschaften d e r N äherungsw erte.

1. E s is t z2n ,— n , z , = — 1, za n2 — z2na = + l , z4 n3— z3n a= — 1. N im m t man a n , die R egel gelte bis zu einem bestim m ten k, d. h. es sei

N un gilt aber die R egel fü r k = 4, d. h. sie g ilt für k = 5, 6, 7 u n d also auch fü r ein beliebiges k.

D e r U n t e r s c h i e d z w e i e r a u f e i n a n d e r f o l g e n ­ d e r N ä h e r u n g s w e r t e i s t e i n s , d i v i d i e r t d u r c h d a s P r o d u k t d e r N e n n e r d e r s e l b e n .

3. W ie m an in § 3 fa n d , lie g t d er W e rt z eines K etten b ru ch s zwischen zwei aufeinanderfolgenden N ähe­

rungsw erten desselben. Bezeichnet m an also den w irk ­ lichen W e r t des K ettenbruchs m it q , so is t entw eder

if» J 2. H ieraus fo lgt d ir e k t :--- -- --- n k k—l

1

o d er:

n.

z,

4 Ü 0(j er < q < - Ü i - . D e r F ehler, den

‘k + l “ k “ k + l

12 K e tte n b rü c h e .

m an begeht, w enn a n s ta tt des K etten b ru ch s der k te N äherungsw ert gesetzt w ird, ist also jedenfalls kleiner als d er U nterschied des k te n u n d k — 1 te n N äherungs-

< — oder :

n k

D e r F e h l e r , d e n m a n b e g e h t , w e n n m a n a n S t e l l e e i n e s K e t t e n b r u c h s e i n e n N ä h e ­ r u n g s w e r t s e t z t , i s t k l e i n e r a l s e i n s , d i v i ­ d i e r t d u r c h d a s Q u a d r a t d e s N e n n e r s d e s N ä h e r u n g s b r u c h e s . D i e N ä h e r u n g s w e r t e s c h l i e ß e n a l s o d e n w i r k l i c h e n " We r t d e s K e t t e n b r u c h s i n i m m e r e n g e r e G r e n z e n e i n .

4. L ie g t d er W e rt eines B ruches r zwischen zwei N äherungsw erten eines K ettenbruchs, so müssen die Zahlen r un d s g rö ß e r sein als die Z äh ler u n d N enner dieser letzten B rü ch e , denn w ir haben z. B . fü r un­

gerade k :

d. h. d er Z äh ler des letzten B ruches ist entw eder > 1 und s o m it "> — . I s t dies aber der F all, so m uß w ertes, also k leiner als ¹ u n d som it um so m ehr

1

U nendliche K e tte n b rü ch e . I r r a tio n a litä t derselben. 13

r Zk4-1

s > n. s e in , u n d da — > — i s t , so ist auch

k+i s

r > z k + r .

I s t k gerade, so erleid et der Beweis unw esentliche Ä nderungen. D u r c h d i e N ä h e r u n g s w e r t e i s t a l s o d e r K e t t e n b r u c h d u r c h k l e i n s t e Z a h l e n s o g e n a u a l s m ö g l i c h a u s g e d r ü c k t u n d n a ­ m e n t l i c h k a n n e i n N ä h e r u n g s w e r t n i c h t v e r e i n f a c h t w e r d e n .

§ 5. V erw andlung eines K etten b rn ch s in eine Reihe.

E s ist:

z, 1 _________ — 1 Z3 £*_ _ I *

n 7 ’ nT n. n. n. ’ n . n2 n , n 8 ’

n i n , “j

z k Zk - i . = + 1

n k n k - i “ V n k - 1

I s t aber — d er le tzte N äherungsw ert des K ettenbruchs, n k

d. h. der W e rt q desselben, so folgt durch A d d itio n dieser G leichungen:

= J _ L + J L + + i

.

\ q n , n i D* D« n 3 n 3 n * ” _ n k - l , n k

§ 6. U nendliche K etten b rü ch e. I rr a tio n a litä t d erselb en . 1. S etzen sich die T eilbrüche eines K ettenbruchs unbegrenzt fort, so h e iß t d er K etten h ru ch ein u n e n d . l i e h e r . B ilden die N enner d er Teilbrüche von einem bestim m ten ab P erioden, so ist d er K etten b ru ch ein p e r i o d i s c h e r . E s h e iß t r e i n p e r i o d i s c h , wenn

14 K e tte n b rü c h e .

die erste P e rio d e m it dem ersten T eilnenner, u n r e i n ­ p e r i o d i s c h , w enn sie sp ä te r b eg in n t. Solche K e tte n ­ brüche sind z. B .:

(1 : 1, 2, 3, 5, 7, 3, 1, 4 ,. . . . ) unendl. nichtperiodischer K ettenbruch, (1 : 4, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 3, . . . . ) unendl. unreinperiodischer

K etten b ru ch , ( 1 : 2, 3, 5, 2, 3, 5, 2, 3, 5 , . . . .) unendl. reinperiodischer

K ettenbruch.

2. V on jedem periodischen K etten b ru ch können w ir stets den W e rt berechnen. U m z. B . den W e rt des K etten b ru ch s ( 1 : 1, 2, 1, 2 . . .) zu fin d en , setzen w ir diesen W e rt = x u n d erhalten die G leichung

1 . •, 2 + x ' r -

X=T + J-

oder 3+T = X’ X =

I s t der K etten b ru ch unreinperiodisch, so berechnen w ir zu e rst den W e rt des K etten b ru ch s von der ersten P erio d e ab und entw ickeln dann die N äherungsw erte.

So w ird z. B .:

1 l 1 1

4 + T , i _ . 4 + p - i 3 + y 3

2 + — l

1 + — , 2 + . . .

= ^ ( 3 - ^ 3 ) .

3. D e r W e rt eines K etten b ru ch s in u n te r den in

§• 1> 2 gegebenen B eschränkungen stets k leiner als eins.

S etzen w ir n u n :

U nendliche K e tte n b rü c h e . I r r a tio n a litä t derselben. 15

u

v a

r

V* a r + 2 “ . .

so haben w ir

r+3

u l

u.

+ V‘ ^ a ... + . . .

r + l i • • • r + 8 ~

1 1

v a d —

1 v.

f , oder da beide B rüche nich t vereinfacht w erden können, v, — u und

, also v2 = u, etc. W ir können also

r. v i - u . - a r+ 1

" i

U U, U, 11, die R eihe T — — — ersetzen durch die andere Reihe

u u, U, u,

N un müssen aber die B rüche — nach obigem echte B rüche sein, d. h. w ir haben

v > u > u , > u 2> u 3 ---

oder die Z äh ler un d N enner d er obigen B rüche bilden eine R eih e von W erten , die abnehm en. W ä re nu n der W e rt eines unendlichen K etten b ru ch s von einem be­

stim m ten T eilbruch abgenommen ra tio n a l, d. h. also u und v endliche rationale Z ahlen, so m üßten die fol­

genden W e rte u, n, u3 . . . der G renze N ull sich n ähern;

somit aber w äre der K etten b ru ch kein unendlicher m ehr, oder m it anderen W orten ein unendlicher K etten b ru ch k an n von einem bestim m ten T eilb ru ch ab nicht durch einen rationalen B ruch dargestellt w erden, und d am it ist dies auch fü r den K etten b ru ch selbst nicht möglich.

16 K e tte n b rü c h e .

J e d e r u n e n d l i c h e K e t t e n b r u c h i s t a l s o i r r a ­ t i o n a l .

4. A us § 56 folgt ferner, daß ein solcher u n ­ endlicher K e tte n b ru c h stets einen endlichen W e r t h at, d. h. kon v erg en t ist.

§ 7. V erw andlung e in e r Q u ad ratw u rzel in einen K etten b ru cli.

1. D as h ierbei in A nw endung kom m ende V erfahren möge ein B eispiel zeigen. E s sei }/3 l in einen K e tte n ­ bruch zu verw andeln.

X = V 3 T = 5 + - |/- 11~ 5 ^:

D ie 1^31 liegt zwischen 5 und 6, k an n also durch 5 u n d einen echten B ruch dargestellt w erden. I n diesem m ultiplizieren w ir Z ä h le r u n d N en n er m it y 31 —|- 5 und erhalten daraus jTrT . _ ■

V 3 1 + 5

x - 1 . 8 1 + 5 - 1 + y » r - i _ _5_______ _1..

(j/31 + 5 liegt zwischen 10 un d 1 1 ; 6 ist also einmal in dem Z ähler enthalten.)

/ 3 l — 4

= 3 + 7 3 T + l = 3 + V

Definition d e r d io p h a n tisc h e n G leichungen. 17 ' f t f i + 4 _ « , y a i - 1 . , _ 6 . , 1

« — 5 + 5 / 3 l + 1 x , ’

_ y 3 i + i n i 1 + j _

6 6 / 3 l + 5 ~ * x8 ’

_ m + 5 _ , „ , V3T — 5 «_ , 6 — 1 x8 = — 3— 1° + — 3— = 1 0+ — p g = i ° + - . E s ist also ^ 3 T = 5 + (1:1, 1 ,3 ,5 , 3 ,1 ,1 ,1 0 ,1 ,1 ,3 ,5 ,3 ,...) .

2. Z erle g t m an den T eiln en n e r 10 in 5 + 5, so nimm t der A usdruck f ü r )/31 die E orm 5 + 1 : 1 , 1, 3, 5, 1, 1, 5 + 5, 1, 1, 3, 5, 3 . . . . an.

D ie so erhaltenen T eilnenner bilden symm etrische Perioden, u n d zw ar ist d er letzte T eilnenner d er P eriode (10 in obigem B eispiel) stets gleich der doppelten ganzen Z ahl, die vor dem K etten b ru ch steht.

J e d e Q uadratw urzel in einen K etten b ru ch ver­

w andelt lie fert einen solchen periodischen K ettenbruch.

Diese K etten b rü ch e sind fü r die A u flö su n g d er sogen.

Pellschen Gleichung x 2— A y 2 = l in ganzen Z ahlen von B edeutung, doch können w ir h ie ra u f n ich t eingehen.

I I . K ap itel.

Diophantische Gleichungen. 1

§ 8. D efinition d e r diophantischen G leichungen.

1. I s t irg en d eine G leichung, etw a 3 x + 2 y = 7 , m it zwei U nbekannten gegeben, so genügt diese nicht zur B estim m ung der U nbekannten x u n d y. W ir

> D io p h a n to s v o n A le x an d rie n (ca. 360 n . Chr.), n a c h dem diese G le ic h u n g en b e n a n n t s i n d , g a b e in W e r k ü b e r u n b e st. G le ic h u n g en z w e ite n u n d h ö h e re n G rad es h e ra u s .

S p o r e r , N ied ere A n aly sis. j

l y D io p h a n tisc h e G leich u n g en .

können vielm ehr fü r die eine dieser U nbekannten einen beliebigen W e rt ansetzen u n d erh alten dann im m er für die andere U n b ek a n n te einen zw eiten W e rt. So erfüllen z. B . die obigen G leichungen die W ertep aare

x = 0, ~

2

1 3 1

y = 3 - ! p 2 x > 2> T ’ ~ 1 u> B- w ’

U n te r den unendlich vielen W e rtep a aren von x und y , die w ir a u f diese A r t e rh a lte n , können nun auch solche se in , fü r die sowohl x als auch y ganze Zahlen sind, u n d es ist g erade unsere A ufgabe, au3 den obigen W e rtep a aren diese ganzzahligen un d u n te r diesen insbesondere w ieder diejenigen auszuscheiden, die so­

wohl fü r x als auch f ü r y positiv sind. E in solches W e rte p a a r fü r die obige G leichung ist z. B. x = 1, y = 2.

2. S in d m ehr als zwei U nbekannte gegeben, so können w ir zwei F älle unterscheiden. E s können näm ­ lich zu deren B estim m ung eine oder m ehrere Glei­

chungen dienen. U nsere A ufgabe ist ab e r auch je tz t noch w esentlich dieselbe.

§ 9. Die A uflösnngsm ethode von E u le r.

1. I s t irg en d eine G leichung des ersten G rades ax + by = c gegeben, so ist klar, d a ß w ir zunächst an­

nehm en dürfen, d a ß a, b u n d c ganze Z ahlen sind und d a ß a, b und c keinen gem einschaftlichen T eiler besitzen. W ä re letzteres der F all, so könnten w ir durch D ivision diesen T e ile r ausscheiden. E s m üssen aber auch die K oeffizienten a un d b u n te r sich rela tiv p rim sein, indem sonst auch c m it a und b einen T eile r ge­

meinsam haben m üßte, wenn die G leichung durch ganze Zahlen auflösbar sein soll.

2. U m die von E u le r angew andte M ethode klarer zu m achen, wollen w ir dieselbe an einem bestim m ten Beispiel in A nw endung bringen.

E s sei die Gleichung 7 x - f - l l y = 47 aufzulösen.

W ir haben : x = — - = 6 — y + ^ ^ . W ir haben also die D ivision durchgeführt und einen B e st 5 — 4 y

— ^— erhalten. Soll x eine ganze Z ah l sein, so m uß aber notw endig auch dieser R e st eine solche sein, d. h.

setzen w ir denselben = z, so erhalten w ir eine neue diophantische G leichung 5 — 4 y = 7 z oder 4 y + 7 z = 5, in der die K oeffizienten von z und y kleinere Zahlen sind. A us dieser G leichung erhalten w ir w ieder:

5 — 7 z _ , l — 3 z

y -

falls eine ganze Z ah l sein m uß. D ie neue diophan-

1 3 z

tische G leichung u = ---- --- liefert w ieder

q l a , 1 — 4 u 1 1 — u

3 z + 4 u = l , z ==--- — = — uH — .

ö O

Setzen w ir in letzterem B ruch fü r u den W e rt 1, so erhalten w ir z = — 1 u n d hieraus y = l — z -f-u = 3, x = 6 — y -(-z = 2.

U nsere M ethode bezw eckte also, a u s d e r g e ­ g e b e n e n G l e i c h u n g e i n e a n d e r e a b z u l e i t e n , d i e k l e i n e r e K o e f f i z i e n t e n h a t t e , a u s d i e s e r w i e d e r e i n e m i t n o c h k l e i n e r n K o e f f i z i e n t e n , b i s w i r z u l e t z t a u f e i n e n B r u c h — k a m e n ,

3

Die A u flö su n g sm e th o d e von E u le r. 19

20 D io p h an tisch e G leich u n g en .

d e r f ü r u = l e i n e g a n z e Z a h l w u r d e . W ir h ätten hierbei natü rlich fü r u auch z. B . den W e rt 4 wählen können. W ir w ären auch etwas rascher zum Z iele ge-

1 __ 3 z

kommen, w enn w ir z. B . i n ; fü r z den W e rt 4

5 — 7 z

— 1 genom men hätten . A u ch h ätten w ir y = —----

1 4 " z

= 1 — 2 z-j--- —— setzen können. L etzte re s w äre eine ganze Z ah l gew orden fü r z = 3 oder z = 7 u. s. f.

H ab e n w ir in d er abgeleiteten Gleichung eine W u rz el g efu n d e n , so finden w ir rückw ärts die L ösung

d er gegebenen Gleichung, ,

3. S ind a u f diese A r t fü r x u n d y zwei zusamm en­

gehörige W e rte a u n d ß bestim m t w o rd en , so is t es leicht, aus diesen unendlich viele andere solche W erte­

paare ab zu leiten , die alle die G leichung a x - ) - b y = c befriedigen. Solche W e rte sind allgemein

x = <x + b k , y = ß — a k ,

wo k eine beliebige ganze Z ah l i s t , w ie w ir sofort durch E insetzen dieser W e rte in die gegebene Gleichung sehen. G eben w ir k alle möglichen W erte von — oo bis + co, so erhalten w ir alle ganzzahligen W urzel­

paare, w elche die G leichung befriedigen.

So erh a lten w ir f ü r obige G leichung x = 2 + l l k , y = 3 — 7k.

Soll hierbei x un d y positiv sein, so m uß k notw endig N ull se in , d. h. x = 2, y = 3 ist das einzige P a a r po­

sitiver W u rz eln d er Gleichung. A n d e re ganzzahlige W u rzeln sind z. B . in folgendem Schem a enthalten.

A uflösung d u rc h K e tte n b rü ch e . 21

k = | _ 4 | _ 3

- 2 I - 1 1 ° 1 1

2

X = j — 4 2 | - 3 1 — 2 0 1 — 9 | + 2 + 13 | + 24 35 46 | 57 | 68 y = | + 3 l | 24 17 | 10 | 3 — 4 | — 11 — 18 — 25 — 32 - 3 9

§ 10. A uflösung d urch K ettenbrüche.

1. U m die G leichung a x — b y = l fü r a < b aufzu- lösen, verw andelt m an den B ruch a in einen K etten-

b

bruch un d sucht den vorletzten N äherungsw ert desselben, der — sein möge. D e r letzte N äherungsw ert ist dann

selbst. D a n n ist im m er: a n — b z — + 1, un d w ir

b —

haben offenbar fü r x und y entw eder die W urzeln x = -)-n, y = -(-z oder x = — n, y = — z.

Sei z. B . 2 3 x — 37 y = — 1 aufzulösen, so findet m a n g y = ( l : 1, 1, 1, 1, 1, 4). 23 D ara u s die N äherungs-

l 1 2 3 5 23 , 5

w erte — , -g -, -g-, - j - , -g -, g y . D e r vorletzte -g- g ib t das W e rtep a ar x = 8, y = 5 oder allgem einer

x = 8 + 3 7 k , y = 5 + 2 3 k .

2. I s t die G leichung a x + b y = l gegeben, so er­

halten w ir fü r a < b , ebenso x = - j-n , y = — z oder x = — n, y = + z-

3. W enn endlich die G leichung a x + b y = c auf­

zulösen ist, fo lg t, abgesehen vom V orzeichen, x = nc, y = zc.

4. I s t a > b , so verw andelt man ---- in einen a

K etten b ru ch un d v erfäh rt ebenso.

2 2 D io p k an tisch e G leichungen.

5. D iese A uflö su n g lä ß t sich noch wie folgt ab- ändern. E s sei 1 3 x + 5 y = 41 aufzulösen. D e r vor-

5 . 2

le tzte N äherungsw ert von y y ist - g - . Setzen w ir 5 x + 2 y = k, so liefert die A uflösung der Gleichungen nach x u n d y sofort:

x = 82 — 5 k y = - 2 0 5 + 13 k.

§ 11. Zw ei G leichungen m it d re i U nbekannten.

1. E s seien z. B. die Gleichungen

a x + b y + c z = d un d a1x + b ,y + c1z = d1 gegeben. M an kann aus diesen eine U nbekannte aus- scheiden u n d erhält dadurch eine Gleichung des ersten G rades, die n u r noch zwei U nbekannte enthält. Scheidet m an etw a z au s, u n d findet x = a + o1k, y = /? + /?1k, so setzt man diese W erte in die eine der gegebenen G leichungen ein un d erh ä lt dadurch eine neue G leichung zwischen k u n d z. D iese, nach k un d z aufgelöst, g ib t die Lösung.

2. B e i s p i e l .

4 x + 3 y + 2 z = 16, 5 x + 6 y + 7 z = 38.

y elim iniert, g ib t 3 x — 3 z = — 6 oder x — z = — 2.

H ieraus durch E rr a te n x = 0 , z = 2 oder allgemein x = k, z = 2 + k. S e tz t man diese W e rte in die erste gegebene G leichung e in , so findet m a n : 6 k + 3 y = 1 2 oder 2 k + y = 4, k = l + u, y = 2 — 2u, und hieraus x = l + u, z = 3 + u.

G ib t m an u alle möglichen ganzen W erte, so er­

hält m an z. B . :

E ine G leich u n g des e rs te n G rad es m it d re i U n b ek an n ten . 23

u = — 3 — 2 — 1

0 1 2 3 4 5 6

X = — 2 — 1 0 1 2 3 4 5 6 7

y = 8 ^{6 4 2} 0 ^{— 2} — 4 — 6 — 8 — 10

z = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ⁹

Sollen x, y und z positiv sein, so g ib t es n u r die W e rteg ru p p en , die zu u = — 1, u = 0 und u = 1 ge­

hören.

§ 12. Eine G leichung des e rs te n G rades m it d re i Un­

b e k a n n te n . a x + b y + c z = d.

1. Soll eine solche aufgelöst w erden, so dürfen auch in dieser die W erte a, b, c keinen gem einschaftlichen T eiler besitzen, der nicht auch in d enthalten ist. D ie Lösung selbst en th ält in den A usdrücken fü r x, y und z zwei U nbestim m te. E in Beispiel w ird auch h ie r den G ang der L ösung am besten zeigen.

5 x + 9 y — 2 z = 17, 17 + 2 z — 9 y

x _ 5

5 p = 2 + 2 z — 4 y ,

2 z + 2 — 5 p

y = =

2 + 2 z — 4 V

3 — yH k — = 3 — y + p

2 + 2 z — p 4

P

- p + q . 4 q = 2 + 2 z — p, z = 2 q — 1 + — , p = 2r , z = 2 q + r — 1, y = q — 2 r , x = 4 r — q + 3.

H ierbei sind r und q beliebige ganze Z ah len . S etzt man z. B . q = l , r == 2, so e rh ä lt m an x = 10, y = — 3, z = 3.

2. Sollen n u r ganze positive W e rte fü r die U n­

bekannten bestim m t w erd en , so b ed a rf dies beinahe

2 4 D io p h an tisch e G leichungen.

im m er einer besondern U ntersuchung. W ählen w ir zu­

nächst q negativ, so m üßte, d am it y p o sitiv ist, auch r negativ sein. F ü r q = 0 gehen die W u rz eln ü b er in x = 4 r + 3 , y = — 2 r , z = r — 1, d . h . es m ü ß te auch r w ieder n eg ativ sein, da sonst y negativ w ürde, q kann also n ic h t n egativ u n d auch nicht = 0 sein. I n beiden F ällen w äre sonst z negativ. I s t dagegen q > 0, so g ib t es f ü r jeden W e r t q im m er ganze positive W e rte fü r die U n b ek a n n ten x, y un d z , die die G leichung befriedigen. So haben w ir z. B . fü r q = 2, fü r x, y u n d z die W e rte x = 4 r + l , y = 2 — 2 r , z = 3 + r, es m uß dann also r = 0 oder = + 1 sein, dam it die d rei W e rte der U n b ek an n ten positiv sind. F ü r die W urzeln selbst erhalten w ir z. B . so die W e rteg ru p p en :

q = 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7

r = 0 0 1 0 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2

x = 2 1 5 0 4 3 7 2 6 1 5 3 0 4

y = 1 2 0 3 1 2 0 3 1 4 2 0 5 3

z = 1 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 13 11

§ 13. R a tio n a le p y th a g o r. D reieck e. x 2 + y a = z".

1. E s ist x ’ = z s — y s = (z + y ) ( z — y). S e tz t man

m . n m s -f-n 8

z 4- y = — .x , z — y = — . x, so is t z = — x,

J n J m 2 m . n ’

m 2 ^ 2

y = — —— x. H ieraus erh ä lt m an die ganzzahligen L ösungen x = 2 m n, y = m ’ — n*, z = m s + n*.

Solche ratio n ale ganzzahlige W u rz eln d er G lei­

chung x* + y* = zs sind z. B. gegeben d u rc h :

R a tio n a le p y th a g o r. D reiecke. 25

m = 1 1 1 1 1 2 2 2 3

n = 2 4 6 8 10 3 5 7 4

x = 4 8 12 16 20 12 20 28 24

y = ³ 15 35 63 99 5 19 45 7

z = 5 17 37 65 101 13 29 53 25

W ir haben h ierbei m und n nicht beide ungerade oder gerade un d rela tiv p rim angenommen. A us jed er L ösung gehen deren unzählige h erv o r (durch M ulti­

p likation m it einer beliebigen ganzen Zahl). Irg e n d drei W urzeln x, y, z der obigen Gleichung können als Seiten eines rechtw inkligen D reiecks au fg efaß t w erden.

A n m e r k u n g . Ein weiteres Eingehen auf die Glei­

chungen des zweiten und höheren Grades müssen wir uns hier versagen, da dieselben doch mehr ins Gebiet der Zahlen­

theorie fallen. Im übrigen verweisen wir auf E u l e r s A l g e b r a (und zwar hauptsächlich auf die s p ä t e r e n f r a n z ö s i s c h e n A u s g a b e n ) , in der eine Menge von Beispielen solcher Gleichungen des zweiten und höheren Grades behandelt sind.

2 6 K o m b in atio n sleh re.

I I . A b s c h n i t t .

Kombinationslehre. Determinanten

I I I . K apitel.

Kombinationslehre.

§ 14. A ufgabe d e r K o m binationslehre. E lem ente.

G ruppen. E in te ilu n g .

1. D ie K om binationslehre b ehandelt die Gesetze, nach denen eine gewisse A n za h l von E inzeldingen oder G rö ß en ohne R ücksicht au f ih re B eschaffenheit sich zusam m ensetzen lassen. D iese Einzeldinge führen die B ezeichnung E l e m e n t e und w erden durch O rdnungs­

zahlen (B uchstaben oder Ziffern) bezeichnet.

2. M ehrere zusam m engestellte E lem ente bilden eine G r u p p e oder eine K o m p l e x i o n . So is t a b c eine solche aus den E lem enten a, b u n d c ; ebenso 4132 von 1, 2, 3, 4.

3. D ie K om binationen selbst zerfallen w ieder in P e r m u t a t i o n e n , K o m b i n a t i o n e n i m e n g e r n S i n n e un d V a r i a t i o n e n .

P e r m u t a t i o n e n .

§ 15. B ildung und A nzahl d e r P e rm u ta tio n e n aus la u te r verschiedenen E lem enten.

1 . 2 . 3 . 4 = 41 1 . 2 . 3 . . . n = n 1 P (n) = n ! 1. E in e A nzah l E lem ente p e r m u t i e r e n oder u m s t e l l e n h e iß t, dieselben in alle möglichen R eihen­

folgen bringen. So sind die P erm u ta tio n en von

B ild u n g u n d A nzahl d e r P e rm u ta tio n e n . 2 7 a, b, c: a b c a c b b a c b c a c a b c b a 1, 2, 3, 4 : 1234 2134 3124 4123

1243 2143 3142 4132

1324 2314 3214 4213

1342 2341 3241 4231

1423 2413 3412 4312

1432 2431 3421 4321.

A lle P e rm u ta tio n e n , die m it demselben Eie- m ent beginnen, bilden eine O r d n u n g , die m it 2 oder 3 oder m ehreren gleichen Elem enten beginnen, eine U n t e r o r d n u n g . F olgen in einer P erm u ta tio n die Elem ente nicht in ih re r natürlichen R eihenfolge, so bilden sie eine I n v e r s i o n . So e n th ält 2413 die I n ­ versionen 21, 41, 43. D ie A nzahl aller möglichen P e r ­ m utationen aus n E lem enten w ird m it P (n) bezeichnet.

3. Um die P erm u ta tio n en der Elem ente 1, 2, 3, 4, 5 zu erhalten, gehen w ir aus von den P erm u tatio n en der Elem ente 1, 2, 3, 4 und setzen das E lem ent 5 sowohl vor als nach den einzelnen P e rm u ta tio n e n , sowie auch zwischen je zwei Elem ente je d e r P erm u tatio n von 1, 2, 3, 4. So erhalten w ir z. B. aus 3214 die P erm u ta tio n en :

53214 35214 32514 32154 32145.

4. A ls A nzahlen d er möglichen P erm u tatio n en er­

gibt sich h ie ra u s sofort:

p (0) = 1 = 1! P (4) = 4 . P (3) = 1 . 2 . 3 . 4 = 4!

P (2) = 1 . 2 = 2! P (5) = 5 . P (4) = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 5!

P (3) = 1 . 2 . 3 = 3! P (6) = 6 . P (5) = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 6!

P (n) = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . . . n = n !

D a s a b g e k ü r z t e P r o d u k t n! w i r d n F a k u l t ä t g e l e s e n .