I I I . K apitel.
Kombinationslehre.
§ 14. A ufgabe d e r K o m binationslehre. E lem ente.
G ruppen. E in te ilu n g .
1. D ie K om binationslehre b ehandelt die Gesetze, nach denen eine gewisse A n za h l von E inzeldingen oder G rö ß en ohne R ücksicht au f ih re B eschaffenheit sich zusam m ensetzen lassen. D iese Einzeldinge führen die B ezeichnung E l e m e n t e und w erden durch O rdnungs
zahlen (B uchstaben oder Ziffern) bezeichnet.
2. M ehrere zusam m engestellte E lem ente bilden eine G r u p p e oder eine K o m p l e x i o n . So is t a b c eine solche aus den E lem enten a, b u n d c ; ebenso 4132 von 1, 2, 3, 4.
3. D ie K om binationen selbst zerfallen w ieder in P e r m u t a t i o n e n , K o m b i n a t i o n e n i m e n g e r n S i n n e un d V a r i a t i o n e n .
P e r m u t a t i o n e n .
§ 15. B ildung und A nzahl d e r P e rm u ta tio n e n aus la u te r verschiedenen E lem enten.
1 . 2 . 3 . 4 = 41 1 . 2 . 3 . . . n = n 1 P (n) = n ! 1. E in e A nzah l E lem ente p e r m u t i e r e n oder u m s t e l l e n h e iß t, dieselben in alle möglichen R eihen
folgen bringen. So sind die P erm u ta tio n en von
B ild u n g u n d A nzahl d e r P e rm u ta tio n e n . 2 7 a, b, c: a b c a c b b a c b c a c a b c b a 1, 2, 3, 4 : 1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312
1432 2431 3421 4321.
A lle P e rm u ta tio n e n , die m it demselben Eie-m ent beginnen, bilden eine O r d n u n g , die Eie-m it 2 oder 3 oder m ehreren gleichen Elem enten beginnen, eine U n t e r o r d n u n g . F olgen in einer P erm u ta tio n die Elem ente nicht in ih re r natürlichen R eihenfolge, so bilden sie eine I n v e r s i o n . So e n th ält 2413 die I n versionen 21, 41, 43. D ie A nzahl aller möglichen P e r m utationen aus n E lem enten w ird m it P (n) bezeichnet.
3. Um die P erm u ta tio n en der Elem ente 1, 2, 3, 4, 5 zu erhalten, gehen w ir aus von den P erm u tatio n en der Elem ente 1, 2, 3, 4 und setzen das E lem ent 5 sowohl vor als nach den einzelnen P e rm u ta tio n e n , sowie auch zwischen je zwei Elem ente je d e r P erm u tatio n von 1, 2, 3, 4. So erhalten w ir z. B. aus 3214 die P erm u ta tio n en :
53214 35214 32514 32154 32145.
4. A ls A nzahlen d er möglichen P erm u tatio n en er
gibt sich h ie ra u s sofort:
p (0) = 1 = 1! P (4) = 4 . P (3) = 1 . 2 . 3 . 4 = 4!
P (2) = 1 . 2 = 2! P (5) = 5 . P (4) = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 5!
P (3) = 1 . 2 . 3 = 3! P (6) = 6 . P (5) = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 6!
P (n) = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . . . n = n !
D a s a b g e k ü r z t e P r o d u k t n! w i r d n F a k u l t ä t g e l e s e n .
2 8 K o m b in a tio n sleh re .
§ 16. P e rm u ta tio n e n aus te ilw eise gleich en E lem enten.
P '( n ) = - , n j .
w a \ ß \ y l
U m die A nzah l d e r P erm u tatio n en aus Elem enten zu bilden, die n ic h t alle verschieden sin d , z. B. aus 1. 1, 1, 2, 3, 4, versehen w ir die gleichen. Elem ente zu
nächst m it Indices 1, 2, 3 u n d denken uns je tz t aus 1,, 12, 18, 2, 3, 4 die P erm u ta tio n en gebildet. D eren A n za h l ist 61 G reifen w ir u n te r diesen P erm utationen irg en d eine heraus, etw a 12 4 3 1, 5 18, so sin d u n te r den übrig en noch fü n f an d e re, 1, 4 3 12 5 18, 1, 4 3 18 5 12, 12 4 3 1 85 1,, l 84 3 l , 5 1 2 un d 184 3 1 25 1 „ die sich von d e r ersten n u r d urch die S tellung der Indices u n te r
scheiden, o der sehen w ir von diesen Indices w ieder ab, so sind u n te r den 6! P erm u ta tio n en je 31 u n te r sich gleich. D ie Z a h l 6! ist also durch 3 ! zu dividieren un d w ir erhalten, w enn w ir d ie A n za h l d er möglichen P erm u ta tio n en d er obigen E lem ente m it P '( 6 ) bezeich-
6 !
n e n ,P '(6 ) = un d allgem ein, w enn u n te r n E lem enten a gleiche sind, P '( n ) = —p. S in d noch ß andere E le!
m ente un d ebenso y w eitere E lem ente je u n te r sich
. n !
gleich, so folgt ganz ebenso allgem ein P '( n ) = ^
§ 17. P e rm u ta tio n e n in le x ik o g rap h isc h er A nordnung.
1. S in d die E lem ente B uchstaben un d sind die P e r m utationen wie die W ö rte r eines L exikons (oder wenn die E lem ente Z ahlen sind ihrem W e rte nach) geordnet, so h e iß t die A n o rd n u n g l e x i k o g r a p h i s c h .
2. U m die P erm u ta tio n en in dieser A no rd n u n g zu bilden, können w ir von d er P e rm u ta tio n 12345 (z. B .
Bildung einer bestimmten Permutation. 29
3 0 K o m b in a tio n sle h re .
nung 5! oder 120 P erm utationen e n th ä lt und 120 zwei
m al in 329 enthalten ist. D as erste E lem ent ist also 3.
U nsere A ufgabe ist je tz t die, von den P erm u ta tio n en d er E lem ente 1, 2 , 4 , 5, 6 die 89. zu suchen. Yon dieser erh alten w ir w ieder als erstes E lem ent 5 u. s. w.
F ü h r t die D ivision au f eine ganze Z ahl ohne R est, so ist die nächst kleinere Z ah l zu nehmen.
•
2. B e i s p i e l . D ie 367. P erm u ta tio n von a b b b c c d zu bestim m en.
3 6 7
E lem en te Z a h l d e r P e rm u ta tio n e n ln d en O rd n u n g e n
H ie rv o n g e h en P e rm u ta tio n e n
v o ra n
I
tea00r*a b b b c c d 6 0 + 1 8 0 + 1 2 0 + 6 0 6 0 + 1 8 0 + 1 2 0 = 3 6 0 d 7
a b b b c c 1 0 + 3 0 + 20 0 a 7
b b b c c 6 + 4 6 c 1
b b b c 3 + 1 0 b 1
b b c 2 + 1 0 b 1
b c 1 + 1 0 b 1
D ie 367. P e rm u ta tio n ist d a c b b b c .
E s g ilt h ie r gleichfalls das bei B eispiel 1 B em erkte, n u r enthalten die einzelnen O rdnungen nicht m ehr gleich
viel P erm utationen.
§ 19. B estim m ung d e r S te llu n g e in e r P e rm u ta tio n in le x ik o g ra p h isc h e r A nordnung.
i . B e i s p i e l . Z u bestim m en, die wievielte P e r
m utation d a f b e c von a b c d e f ist.
B e stim m u n g d e r S te llu n g e in e r P e rm u ta tio n . 31
d a f b e c
E lem en te E lem ent V o ra n g eh en d e E lem en te
V o ran g eh en d e F e rm n ta tio n e n
a b c d e f d 3 3 5! = 360
a b c e f a 0 0 4! = 0
b c e f f 3 3 3! = 18
b c e b 0 0 2! = 0
c e e 1 1 1! = 1
c c 0 0 0! = 0
zusammen 379.
d a f b e c ist die 380. P erm u tatio n von a b c d e f . (Es gehen ih r voran 379.)
2. B e i s p i e l . D ie S tellung der P erm utation 321421 von 112234 zu bestimmen.
3 2 1 4 2 1
E lem en te E lem en t Z a h l d e r P e rm u ta tio n e n in den O rd n u n g en
H ie rv o n g eh en v o ra n
1 1 2 2 3 4 3 6 0 + CO + 30 + 30 6 0 + 6 0 = 1 2 0
1 1 2 2 4 2 1 2 + 1 2 + 6 12 = 12
1 1 2 4 1 6 + 3 + 3 0 = 0
1 2 4 4 2 + 2 + 2 2 + 2 = 4
12 2 1 + 1 1 = 1
1 1 1 0 = 0
zusammen 137.
321421 ist also die 138. P erm u tatio n von 112234.
D as angew andte Schema b ed a rf in beiden Fällen kaum einer E rk läru n g . B ei einiger Ü b ung k ann das.
selbe bedeutend v e rk ü rz t w erden.
32 K o m b in a tio n sleh re .
Sollen von irg en d einem W o rt, z. B . am or, die P erm u tatio n en bestim m t w erden, so ersetzt man am ein
fachsten jed en B uchstaben des W ortes durch eine Ziffer, also a d urch 1, m durch 2, o durch 3, r d urch 4 u n d löst die betreffende A ufgabe an den Ziffern 1, 2, 3, 4 und erse tzt diese am Schlüsse w ieder durch die entsprechen
den B uchstaben.
•
K o m b in a tio n e n u n d V a r ia tio n e n .
§ 20. K om binationen ohne W iederholung.
c P(n)
__n
• (” — 1) (n — 2 ) . . . ( n — p + 1)_
/ n \ 1 . 2 . 3 . 4 . . . p \ P / 1. K o m b i n i e r e n o d e r Z u s a m m e n s t e i l e n h eiß t, eine bestim m te A nzahl p von gegebenen n E lem enten, o h n e R ü c k s i c h t a u f d i e R e i h e n f o l g e , zu verbinden. D ie K om binationen aus p Elem enten bilden hierbei die p t e K l a s s e und ih re A nzahl be
zeichnet man durch Cp(n). So sind fü r die Elem ente a, b, c, d die K om binationen der
1. K lasse (U nionen): a, b, c, d,
2. K lasse (Am ben) : a b a c a d b c b d cd, 3. K lasse (T e rn en ): a b c a b d a c d b c d , 4. K lasse (Q uaterne): a b cd.
2. U m die A nzahl der K om binationen z. B . aus sechs E lem enten zu bestim m en, g eh t man von den U n i
onen, also den K om binationen d er ersten K lasse, etwa 1, 2, 3, 4, 5, 6 aus. J e d e dieser K om binationen v er
bin d et m an m it den übrigen fü n f Elem enten und erhält daraus 6 . 5 = 30 G ruppen zu je zwei E lem enten. V er
b indet man auch h ie r jed e G ruppe m it jedem der vier fehlenden Elem ente, so ergeben sich 6 . 5 , 4 G ruppen zu d rei E lem enten, ebenso 6 . 5 . 4 . 3 G ruppen zu vier Elem enten u. s. w. A lle diese G ruppen treten ab e r in
K o m b in atio n en m it W ied erh o lu n g . 33 ih ren säm tlichen P erm u tatio n en auf, d. h. man erh ä lt die betreffende K om binationszahl, indem man durch die entsprechenden P erm utationszahlen die obigen Z ahlen dividiert. M an findet also:
c'<6>=T = (i) = 6 0‘<6> = lix H S )=15
= «’• < « > = o x r H ) = *
= © - •
Allgem ein i , t C T ( . ) = ° - (° P + 1 ) -= (“) D e r a b g e k ü r z t e Q u o t i e n t w i r d n ü b e r p g e l e s e n .
§ 21. K om binationen m it W iederholung.
wC>»(n)=(n + J - 1).
D a rf bei der B ild u n g einer K om bination ein E le
m ent m ehr als einm al verw andt w erden, so entstehen die K om binationen m it W iederholung. D ie aus der d ritte n K lasse aus den Elem enten 1234 sind so z. B .:
111 112 113 114 122 123 124 133 134 144 222 223 224 233 234 244
333 334 344 4 4 4 .
A d d ie rt man zu den Ziffern dieser K om binationen die Ziffern 0, 1, 2, so gehen dieselben über in die Kom
binationen d ritte r K lasse ohne W iederholung aus 6 E le
menten, näm lich in :
c ’<6> = T n H 6 c,<6> = n r l
S p o r e r , N ie d ere A n a ly sis. B
3 4 K o m b in atio n sleh re .
123 124 125 126 134 135 136 145 146 156 234 235 236 245 246 256
345 346 356 456.
D ie A nzah l d er K o m binationen d er d ritte n K lasse m it W iederholung aus 4 E lem enten is t also
=
20
.G anz ebenso e rh ä lt m an aus den K om binationen m it W ied erh o lu n g d er p ten K lasse durch A d d itio n der Z iffern 0, 1, 2 . . . , p — 1 zu den einzelnen Elem enten derselben dieK om binationen d er pten K lasse ohne W ied er
holung aus (n + p — 1) E lem enten. D ie A nzah l der K om binationen p te r K lasse m it W ied erh o lu n g aus n E le m enten ist also wC p(n) = ^ p ^
§ 22. T a ria tio n e n .
YP( n ) = n . ( n — 1) (n — 2 ) . . . ( n — p + 1 ) und wVP(n) — n P.
1. B ild e t m an aus den einzelnen K om binationen säm tliche P erm u tatio n en , so entstehen die Y ariationen.
U n te r diesen unterscheiden w ir w ieder zwischen Y a
riatio n en ohne W ied erh o lu n g un d Y ariatio n en m it W iederholung.
2. D ie A nzahl d e r V ariatio n en ohne W iederholung erg ib t sich sofort aus der A nzahl der K om binationen ohne W iederholung, es is t die A n za h l d er Y ariationen p te r K lasse aus n E lem enten
V(n)P = n . ( n — l ) ( n — 2 ) ( n - 3 ) . . . ( n — p + l ) = ^ ^ [ 3. U m d ie A n za h l d er V ariatio n en m it W ie d e r
h o lung zu erh a lten , geh t m an von den V ariationen der ersten K lasse aus. D eren A n za h l is t n. J e d e dieser
Eigenschaften des Binomialkoeffizienten. 35 V ariationen v erbindet m an m it jedem d er n E lem ente und erhält dadurch die V ariationen der zw eiten Klassei, deren A nzah l = n a ist.
J e d e dieser V ariatio n en verbindet m an m it jedem der n E lem ente und erh ä lt dadurch die A nzahl der V a
riationen der 3. K lasse — n 8. Ebenso findet man ganz allgemein wV p(n) —
np-§ 23. E igenschaften des B inom ialkoeffizienten.
1. E s is t:
(a + b)"
=*’+ ( ; ) . - v + © . . - v + f t ) . . - v . „ + » \
(Vergl. Sammlung Göschen, Algebra, § 30.)
D ie K om binationszahlen sind also nichts anderes als Binom ial-Koeifizienten.
F ü h re n w ir fü r a” und b" noch die Koeffizienten UI,d (n j e'ni) so erhalten w ir, da = = l ist:
(a + b)p = ( “) . a ' 1 + ( “) a > '- 1 b + ( “ ) a " - V + . . . + ( “ ).b "
"»b» ö = ( „ d p }
2. Setzen w ir a = b = ]
S M ! 0 + (;)+ (;;
3. Setzen w ir dagegen
0 :
(;)+ © - f t )
4. E s is t
3 6 K o m b in atio n sle h re .
( - r ) =
(n + 1) n ■ (n — 1 ) . . . ( a — p + 2) 1 . 2 . 3 . . . p
_ n ( n — l ) . . . ( n — p + 1 ) n ( n — l ) ( n — 2) . (n — p + 2'
p ! + ( p - l ) l
H iera u s durch A d d itio n :
c, i 1H - i ) + c = 3 + ( ; - 5 + - + f c &
5. A ua ( l + * ) “ - l + ( g , + ( “ )*■ + ■•• + (“ ) * “ un d (x + i f — ( f j J - 1 -f- ((?) J - 2 + . . . + ( i folgt d urch M u ltip lik a tio n :
( 1 + ^ = 1 + (“ + '* ) .+ ( “ t - (’)*, + - + (ü + ®
4 +Q‘+©‘-"')(*'+(?y-i+©
S etzen w ir in diesen beiden A usdrücken die Koeffi
zienten d er P o ten z en von x einander gleich, so erhalten w ir z. B .:
(ai')-*+ 0 ©+
( a < ß ).0 ®+ö®+-+ö ö
H ie ra u s:IV . K apitel.
D e t e r m i n a n t e n .
§ 24. D eiinition d e r D eterm in an ten . 1. S ind uns etw a die folgenden 16 G rößen ai a« as a4 b, b. bs b« ci c» Ca °4 d2 d3 d4 gegeben u n d bilden w ir aus diesen G rö ß en P ro d u k te , welche v ier F a k to re n enthalten, un d kom m t in jedem dieser P ro d u k te je d e d er G rößen a, b, c, d u n d je d e r der vier In d ices 1, 2, 3 , 4 vor, so erh a lten w ir im ganzen 24 solcher T eilp ro d u k te.
D iese T eilprodukte lassen sich alle aus dem P ro d ukt a, ba ca d4 dadurch ableiten, d aß w ir die P e r m utationen der Indices 1, 2, 3, 4 bilden. D ies ge
schieht, indem w ir j e einen der Indices m it einem an
deren vertauschen. Ä n d ern w ir noch bei je d e r dieser V ertauschungen das V orzeichen, so erhalten w ir:
a. b 2 cs d4 — ai b» c4 d3 - f a, b s c4 d2
— ai bs C2 d4 + a, b4 c2 d3 — a, b4 c3 ds + ft2 b 4 Ca d l — a 2 b * °1 d 3 + a2 b 8 C1 d 4
— a2 ba c4 d, - f a2 b, c4 da — a2 b, ca d4 + aa b, c2 d4 — a3 b, c4 d2 + a3 b, c4 d,
— a3 b2 c, d4 + a3 b4 c, d2 — a3 b4 c2 d, + a* b8 c 2 di — a4 b3 o, d 2 + a4 ba c, d3
— a4 b„ c3 d, -j- a4 b, ca d2 — a4 b, c2 da .
3 8 D e term in a n ten .
2. B ilden w ir aus dem P ro d u k te a, b, c3 einer D eterm in an te 3 te r O rdnung durch cyklische Ver
tauschung die neuen P ro d u k te a, b3 cs, a3 b 2 c,, so sind, um jedes P ro d u k t in das vorangehende überzuführen, 2 V ertauschungen nötig, also haben alle drei P ro d u k te dasselbe V orzeichen un d zw ar das V orzeichen — .
D u r c h c y k l i s c h e V e r t a u s c h u n g d e r I n - d i c e s ä n d e r t s i c h a l s o d a s V o r z e i c h e n d e r T e i l p r o d u k t e e i n e r D e t e r m i n a n t e d e s 3 t e n G r a d e s , o d e r a l l g e m e i n e r : u n g e r a d e n G r a d e s »
n i c h t .
3. Ganz ebenso findet man, d a ß d u r c h c y k l i s c h e V e r t a u s c h u n g d e r I n d i c e s b e i d e n T e i l p r o d u k t e n e i n e r D e t e r m i n a n t e g e r a d e r O r d n u n g d a s V o r z e i c h e n s i c h b e i j e d e r V e r t a u s c h u n g ä n d e r t . So entstehen also z. B . aus -f- a, b2 c3 d4 die T e ilp ro d u k te :
— as b3 c4 d, + a3 b4 c, d2 — a4 b, c, d, auf diese A rt.
§ 26. B erechnung d e r D eterm in an te d r itte r O rdnung.
1. A u s dem Obigen e rg ib t sich fü r die B erechnung d er D ete rm in an te 3 te r O rdnung die folgende R egel:
B e rec h n u n g d e r D e te rm in a n te d r itte r O rd n u n g . 39
al a2 a3 8. a3 a3
b. b2 b, b, b» b,
Cl C2 C3 ci C2 cs
W i r s c h r e i b e n d i e D e t e r m i n a n t e z w e i m a l n e b e n e i n a n d e r , b e g i n n e n m i t d e n W e r t e n a d e r e r s t e n D e t e r m i n a n t e u n d l e s e n i n d e r R i c h t u n g d e r D i a g o n a l e n a c h r e c h t s
4 0 D e term in a n ten .
a b w ä r t s . D i e s e P r o d u k t e h a b e n d a s V o r z e i c h e n + , a l s o :
a, b 2 ca + aa ba c, + as b, ca.
H i e r a u f g e h e n w i r a n s v o n d e n " W e rte n a d e r 2 t e n D e t e r m i n a n t e u n d l e s e n w i e d e r i n d e r R i c h t u n g d e r D i a g o n a l e , d i e s m a l a b e r n a c h l i n k s a b w ä r t s u n d e r h a l t e n :
— a, b a ca — aa b, ca — aa ba c,.
2. B e i s p i e l :
1 4 9 1 4 9
4 9 16 4 9 16
9 16 25 9 16 25
4 = + 1 . 9 . 25 + 4 . 16. 9 + 9 . 4 . 16 — 1 . 16.16 — 4 . 4. 25 — 9 . 9 . 9 = — 8.
§ 27. V ertauschung von H orizo n tal- und V e rtik a lre ih e n . 1. A us d er D efinition d e r D ete rm in an te folgt un
m itte lb a r:
D e r W e r t e i n e r D e t e r m i n a n t e ä n d e r t s i c h n i c h t , w e n n m a n a l l e H o r i z o n t a l r e i h e n m i t a l l e n V e r t i k a l r e i h e n v e r t a u s c h t , d. h.
d i e D e t e r m i n a n t e u m e i n e D i a g o n a l e d r e h t . E s is t also z. B . :
ai &2 a3 a. b, Cl
b, b, b , = r ba c2
ci C2 C» a3 b a C3
2. E benso erhalten w ir:
E i n e D e t e r m i n a n t e ä n d e r t i h r V o r z e i c h e n , w e n n e i n e H o r i z o n t a l r e i h e ( o d e r
A d d ition b e so n d e re r D e term in a n ten . 4 1 V e r t i k a l r e i h e ) m i t e i n e r a n d e r e n H o r i z o n t a l r e i h e ( V e r t i k a l r e i h e ) v e r t a u s c h t w i r d .
B e i s p i e l :
1 2 3 7 4 12
7 4 12 =
—
1 2 35 3 1 5 3 1
3. S i n d i n e i n e r D e t e r m i n a n t e a l s o z w e i g l e i c h e H o r i z o n t a l r e i h e n o d e r V e r t i k a l r e i h e n e n t h a l t e n , s o i s t i h r W e r t s t e t s N u l l , d a d u r c h e i n e V e r t a u s c h u n g k e i n e Ä n d e r u n g i n i h r e m W e r t e e i n t r i t t .
B e i s p i e l :
1 2 3 2
4 3 7 3
5 6 11 6 7 3 0 3
4. U n t e r s c h e i d e n s i c h z w e i H o r i z o n t a l r e i h e n ( o d e r V e r t i k a l r e i h e n ) n u r d u r c h e i n e n b e s o n d e r e n F a k t o r , s o v e r s c h w i n d e t d i e D e t e r m i n a n t e g l e i c h f a l l s . D ieser F a k to r ist offenbar auch ein F a k to r der ganzen D eterm inante und kann als solcher ausgeschieden w erd en , w odurch die D eterm inante zw ei gleiche R eihen erhält.
§ 28. A ddition b eso n d e re r D eterm in an ten .
1. H a b e n z w e i D e t e r m i n a n t e n d e r s e l b e n O r d n u n g a l l e H o r i z o n t a l r e i h e n o d e r V e r t i k a l r e i h e n b i s a u f e i n e g l e i c h , s o w i r d i h r e S u m m e e r h a l t e n , i n d e m m a n d i e E l e m e n t e d e r u n g l e i c h e n H o r i z o n t a l r e i h e n ( r e s p . V e r
-4 2 D eterm in a n te n .
t i k a l r e i h e n ) a d d i e r t u n d d i e ü b r i g e n R e i b e n u n v e r ä n d e r t l ä ß t .
a, b, c, ßt r. ai + “ i b i + ^ , ° i + y ,
a2 bs c2 + a2 b * = a8 b8 c2
b3 C3 a3 b3 C3 a3 b3 C3
A naloges g ilt bezüglich der S ubtraktion.
2. I n V erb in d u n g m it dem in N um m er 3 und 4 des vorigen P a ra g ra p h e n G efundenen folgt daraus w ieder:
E in e D e t e r m i n a n t e w i r d n i c h t g e ä n d e r t , w e n n m a n z u j e d e m E l e m e n t e i n e r R e i h e d i e m i t k o n s t a n t e n F a k t o r e n m u l t i p l i z i e r t e n E l e m e n t e e i n e r a n d e r e n o d e r a u c h m e h r e r e r s o l c h e r a n d e r e r R e i h e n h i n z u f ü g t .
B e i s p i e l :
1 2 3 1 2 3
1 4 9 == 2 6 12
1 8 27 1 8 27
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 4 9 + 1 2 3 = 1 4 9
1 8 27 1 8 27 1 8 27
3. Ebenso finden w ir:
W e n n d i e E l e m e n t e e i n e r R e i h e g l e i c h s i n d d e n S u m m e n d e r m i t k o n s t a n t e n F a k t o r e n m u l t i p l i z i e r t e n e n t s p r e c h e n d e n E l e m e n t e a n d e r e r R e i h e n , s o i s t d e r W e r t d e r D e t e r m i n a n t e N u l l .
A d d itions b e jo n d e re r D eterm in an ten . 43 B e i s p i e l :
yla2 + f t a 3
A b 2 + i t b 3
A ° 2 “ f " I 1 C 3
I
4. D a m it is t die M ö g l i c h k e i t g e g e b e n , a l l e G l i e d e r e i n e r R e i h e b i s a u f e i n e s z u m V e r s c h w i n d e n z u b r i n g e n . A lsdann geh t die D ete r
m inante in eine andere ü b e r, die um einen G rad n iedriger ist.
B e i s p i e l ;
a -2 a 3 ¿ a 2 a 2 » 3
b , b 3 = ¿ b 2 b 2 b 8
C 2 C 3 / l c 2
C 2 c 3
a2 a 3 I
b . b 3 = 0.
(“ C 3 c s C 3
1 4 8 12 1 0 0 0
2 0 1 3 2 — 8 1 2
5 2 1 2 5 — 18 — 3 — 1
3 1 4 3 3 — 11 2 — 2
D ie 2te V ertik alreih e en tsteh t durch S ubtraktion der G lieder der m it 4 m ultiplizierten ersten, die d ritte ebenso durch S u b tra k tio n der m it 2 m ultiplizierten Glieder der 2ten V ertikalreihe und die vierte endlich durch S u b tra k tio n der G lieder der 2ten und 3ten V er.
tikalreihe. Setzen w ir noch den F a k to r 1 vor die D eterm inante, so folgt d ara u s:
8 1 2
ü = — 18 — 3 — 1
11 2 — 2
41 D e term in a n ten .
M u ltip lik atio n zw eier D e te rm in a n ten . 4 5
b,
b„ + b 3
+
C3 b,= 0 .
B ei diesen U nterd eterm in an ten ist zu beachten, d aß die R eihenfolge d er B uchstaben und Indices genau eingehalten w ird. D iese Reihenfolge ist abc febc, so d aß a u f b also c u n d dann e rst a folgt. Ebenso folgt au f 2 die Z ahl 3 und a u f diese die Z ah l 1 bei der dreireihigen D eterm inante.
§ 30. M u ltip lik atio n zw eier D eterm in an ten .
1. J e d e D eterm inante k an n au f einfache A r t in eine solche h ö h erer O rdnung verw andelt w erden; wie, zeigt am einfachsten ein B eispiel:
b d
b d 0 0
2. W erden zwei D eterm inanten d er d ritte n O rd
a l b , ci “ i ßi n
b 2 C8 u n d «3 ß3 7 ,
a 3 b 3 C3 «8 ß3 7s
nung
neue D eterm in an te d argestellt w erden u n d zw ar ist dasselbe:
a, <x,+ b, /? ,+ c, y ,, a, «2+ b , ßt + c, y2, a, a 3+ b , /? ,+ c, y3 a2“ i-t- b2/3, + c2 71, a2a2+ b2 02+ c2j<2, a2 o8+ b2/?8+ c2 y3
a3“i + b3/91+ c3y1, a3a2+ b8/J2+ c3y „ a3a3+ b3ß3+ o a y.s Z erlegen w ir näm lich diese D eterm in an te nach
§ 28 in 27 andere D eterm inanten, so verschw inden von
46 D eterm in an ten .
A u flö su n g d e r lin e a re n G leichungen. 4 7
4 8 D e te rm in a n te n .
A uflösung d e r lin e a re n G leich u n g en . 4 9 H ieraus folgt, d aß die fü r drei U nbekannte an
gegebene H egel auch für v ier U nbekannte und über
hau p t allgem ein gilt.
5. B e i s p i e l .
3 x + 5 y — 13 = 0 2 x + 3 z — 18 = 0 2 y — z — 1 = 0
: _ 8: — 8 = 1
— 13 5 0 3 5 0
X = --- — 11 0 3 2 0 3
— 1 2 — 1 0 2 — 1
3 — 13 0 3 5 0
y = — 2 — 11 3 2 0 3
0 — 1 — 1 0 2 — 1
3 5 — 13 3 5 0
z = --- 2 0 — 11 : 2 0 3
0 2 — 1 0 2 — 1
= — 16: — 8 = 2
= — 24: — 8 = 3 '
1 Ü b e r e in g e h e n d e re U n te rs u c h u n g e n v e rg l. e tw a H esse, D e te rm in a n te n , o d e r S alm o n -F le d ler, A lg e b ra d e r lin e a r e n T r a n s fo rm a tio n , o d e r B a ltz e r, D e te r m in a n te n .
S p o r e r , N ie d ere A n a ly sis . t
5 0 A rith m e tis c h e R e ih e n h ö h e re r O rd n u n g .
I I I . A bschnitt.