Inne miary awersji do ryzyka

Miara bezwzględnej awersji do ryzyka ma szczególne znaczenie wów-czas, kiedy funkcja użyteczności odzwierciedlająca preferencję jednostki jest typu CARA, bowiem niezależnie od zmian stanu posiadania awersja do ryzyka jest niezmienna. Miara względnej awersji do ryzyka jest istotna natomiast wów-czas, kiedy zmiany stanu posiadania decydenta są proporcjonalne do ryzyka.

Przedstawione wcześniej miary względnej i bezwzględnej awersji do ryzyka są stosunkowo proste obliczeniowo i chociaż mają szereg ciekawych własności oraz interpretację zgodną z intuicją, to jednak wielu badaczy zauważa ich niedoskonałość za względu na rzeczywiste zachowania jednostek. Ponadto, ze względu na potrzebę znajomości postaci analitycznej funkcji użyteczności, która musi być dwukrotnie różniczkowalna, możliwości ich stosowania są ograniczone. Miary te w odniesieniu do indywidualnej osoby nie uwzględniają jej zachowania w zależności od jej zamożności czy też zmiennego poziomu awersji do ryzyka wynikającego z możliwości osiągnięcia większego zysku.

R. Zeckhauser i E. Keeler pokazali, że siła awersji do ryzyka może zależeć mię-dzy innymi od aktualnego stanu posiadania, od rozmiaru możliwych strat czy też maksymalnej wielkości możliwej do wygrania⁷.

Podejmujący decyzje może swój stosunek do ryzyka ujawniać poprzez preferencje wyrażone w prostszy sposób. Pierwsze odmienne koncepcje wy-rażania awersji do ryzyka zaproponowali C.F. Menezes i D.L. Hanson⁸. W swo-im podejściu tym różnili się od rozważań prowadzonych przez K. Arrowa i J. Pratta, że nie zakładali nieskończenie małego ryzyka oraz siłę awersji do ryzyka rozpatrywali w stosunku do bieżącego stanu posiadania jednostki.

Do mierzenia awersji do ryzyka wykorzystywali oni miarę częściowej względ-nej awersji do ryzyka (partial risk aversion) określaną w następujący sposób:

)

7 R. Zeckhauser, E. Keeler: Another Type of Risk Aversion. „Econometrica” 1970, Vol. 385, No. 5, s. 661-665.

8 C.F. Menezes, D.L. Hanson: On the Theory of Risk Aversion. „Internatinal Ecomomic Review” 1970, Vol. 11, No. 3, s. 481-487.

Donata Kopańska-Bródka 86

gdzie z jest losową wielkością zmiany stanu posiadania, w₀ oznacza początkowy stan posiadania (bogactwo). Interpretacja tej miary nie odnosi się do lokalnej awersji do ryzyka, jak w przypadku miar Arrowa-Pratta. Dla możliwego do osiągnięcia stanu posiadania w=w₀ + z pomiędzy miarami względnej i bez-względnej awersji do ryzyka a miarą częściowej bez-względnej awersji do ryzyka zachodzi następujący związek:

)

Stosowanie miary częściowej awersji do ryzyka jest zasadne w sytuacji, kiedy początkowy stan posiadania jest zadany, a zysk jest zmienny. Ponadto, jeśli bezwzględna awersja do ryzyka jest funkcją malejącą, to P(w0,z) jest rów-nież funkcją malejącą w odniesieniu do stanu początkowego w₀. Jeśli natomiast względna awersja do ryzyka jest rosnąca, to częściowa awersja w odniesieniu do zysku jest również rosnąca. Inaczej mówiąc, częściowa awersja do ryzyka jest malejącą funkcją stanu posiadania, jeśli jednostka swoje preferencje wyraża poprzez funkcje użyteczności typu DARA, natomiast jest rosnącą funkcją zysku dla funkcji typu IRRA.

Podobnym podejściem do miary awersji do ryzyka zajmowali się R. Zeckhauser i E. Keeler⁹. Analizowali oni zachowanie jednostki wobec ryzy-ka dużej straty, jak i możliwości dużego zysku przy założeniu, że preferencje jednostki są wyrażane funkcjami użyteczności typu SORA (Size-of-Risk Aversion). Mówi się, że funkcja użyteczności jest typu SORA, jeśli charaktery-zuje preferencje decydenta, którego stan posiadania jest określony i jest on skłonny płacić proporcjonalnie większe ubezpieczenie od ryzyka straty, gdy rozmiar jego potencjalnej straty może być większy, natomiast w obliczu możli-wości osiągnięcia zysku jest gotów płacić mniejsze ubezpieczenie proporcjo-nalnie do zysku. Inaczej mówiąc, zachowanie jednostki jest typu SORA, jeśli z tego, że jest skłonny zapłacić 100 zł za ubezpieczenie się przed stratą 1 000 zł z prawdopodobieństwem 0,1 wynika, że może zapłacić co najmniej 500 zł w obliczu możliwości straty 5 000 zł z tym samym prawdopodobieństwem 0,1.

W powyższym sensie przyjmuje się, że podejmujący decyzje ma większą awersję do ryzyka, im większy jest rozmiar potencjalnej straty.

9 R. Zeckhauser, E. Keeler: Another Type..., op. cit.

MIARY AWERSJI RYZYKA… 87 Przykładem funkcji typu SORA jest wykładnicza funkcja użyteczności:

) exp(

)

(w b aw

u =− − (13)

Propozycję dowodu na powyższe stwierdzenie zamieszczono w Dodatku na końcu artykułu.

Załóżmy dalej, że w₀ jest bogactwem początkowym, czyli stanem po-siadania jednostki w chwili możliwości zmiany tego stanu ze względu na ry-zykowne działanie oraz π jest ubezpieczeniem, jakie jednostka jest gotowa zapłacić za ryzyko straty o rozmiarze λ z prawdopodobieństwem p. Prawdo-podobieństwo, że stan posiadania nie ulegnie zmianie, wynosi odpowiednio (1 − p). Wobec tego, jeśli preferencje jednostki charakteryzuje funkcja użytecz-ności u(w), to zachodzi następująca równość:

p Oznaczmy przez funkcję h(λ) iloraz ,_λ^π czyli ubezpieczenie od ryzyka przy-padające na jednostkę możliwej straty λ. Funkcja użyteczności u(w) jest typu SORA dla strat, jeśli funkcja h(λ)=_λ^π jest rosnącą funkcją dla λ>0.

Analogiczne rozumowanie przeprowadźmy dla możliwości osiągnięcia zysku γ z prawdopodobieństwem p lub zachowania niezmienionego stanu po-siadania z prawdopodobieństwem (1 − p). Jeśli π oznacza teraz premię, którą jednostka jest skłonna zaakceptować w zamian za podjęcie szansy uzyskania zysku γ z prawdopodobieństwem p, wówczas dla funkcji użyteczności u(w) zachodzi równość: Funkcja użyteczności u(w) jest typu SORA dla zysków, jeśli funkcja

πγ

γ ) = (

h jest malejącą funkcją γ. R. Zeckhauser i E. Keeler wykazali po-wyższe związki oraz zależność pomiędzy funkcją użyteczności typu SORA a miarą częściowej względnej awersji do ryzyka P(w₀, z)¹⁰.

10 Ibid.

Donata Kopańska-Bródka 88

Podsumowanie

Miary awersji do ryzyka należą do jednych z ważniejszych zagadnień teorii podejmowania decyzji. Definiowane rodzaje stosunku do ryzyka, jak i standardowe miary awersji wypracowane na gruncie normatywnej teorii oczekiwanej użyteczności w konfrontacji z rzeczywistymi zachowaniami jed-nostek w sytuacji podejmowania decyzji nie zawsze odzwierciedlają istotę zagadnienia. Obserwuje się ustawiczne poszukiwanie coraz lepszych, w sensie zgodności z rzeczywistymi zachowaniami, miar ryzyka. W artykule pokazano, w jaki sposób na podstawie klasycznych miar lokalnej awersji do ryzyka można konstruować miary, które uwzględniają stan posiadania jednostki oraz są wraż-liwe na rozmiary możliwych strat.

Dodatek: Dowód, że wykładnicza funkcja użyteczności jest typu SORA Załóżmy, że w0 jest bogactwem początkowym jednostki, która stoi w ob-liczu ryzyka zmniejszenia swojego stanu posiadania do poziomu (w₀ − λ) z prawdopodobieństwem p lub z prawdopodobieństwem (1 − p) zachowania bogactwa na poziomie początkowym w₀. Przyjmijmy dalej, że jednostka jest skłonna zapłacić ubezpieczenie w wysokości π, aby zabezpieczyć się przed możliwą stratą o rozmiarze λ. Dla funkcji użyteczności charakteryzującej pre-ferencje jednostki zachodzi zatem równość:

)

Na podstawie powyższego równania twierdzimy, że użyteczność po-mniejszonego stanu posiadania o wielkość ubezpieczenia jest równa oczeki-wanej użyteczności bogactwa w obliczu możliwości straty, a jeśli jednostka wykazuje awersję do ryzyka, to zdecyduje się na ubezpieczenie w wysokości π.

Wstawiając odpowiednio postać wykładniczej funkcji użyteczności )

co daje zależność:

) 1

( p

pe

e^aπ = ^aλ + − (D.2)

MIARY AWERSJI RYZYKA… 89

Jeśli funkcja użyteczności u(w) jest typu SORA, to z równania (D.1) dla k > 1 powinna wynikać prawdziwość nierówności:

p W celu wykazania powyższej nierówności posłużymy się metodą do-wodzenia nie wprost, czyli zaprzeczenia tezy. Załóżmy, że przy warunku (D.1) zachodzi nierówność przeciwna:

p Zapisując powyższe dla zadanej wykładniczej funkcji użyteczności, mamy:

Po dokonaniu przekształceń otrzymujemy:

) co daje nierówność:

k a

a pe p e

e ^π < ^λ +(1− ) ⁻

Lewa strona powyższej nierówności zgodnie z (D.2) jest równa pe^aλ+(1−p), zatem otrzymujemy następującą nierówność:

e k

p p< − ⁻

− (1 )

1

Z powyższej zależności otrzymujemy dla k > 1 fałszywą nierówność e^k<1, zatem przyjęcie hipotezy (D.4) prowadzi do sprzeczności, a stąd nierówność (D.3) jest prawdziwa, czyli wykładnicza funkcja użyteczności jest typu SORA, co kończy dowód.

Donata Kopańska-Bródka 90

RISK AVERSION MEASURE BASED ON DECISION THEORY

Summary

The decisions maker attitude towards the risk has the fundamental importance in the de-cision process. Three types of behaviors in the risky situations are considered: risk preference, aversion to risk and neutrality (indifference) in the face of the risk. Several various conceptions of the definition of the risk aversion (preference) are presented in the literature but most of them are based on the utility function in the sense of von Neumann-Morgenstern. The properties of the utility function characterizing the preferences of the individual reflect the attitude towards risk and the curvature of this function contains all information about the risk attitude. In this paper the possibility of the extension of existing Arrow-Pratt measures will be considered. The si-tuation, when the initial wealth of the individual and the size of the possible loss have the in-fluence on the strength of the aversion to the risk is discussed.

Jerzy Michnik