W PODEJMOWANIU DECYZJI NIEPEWNYCH
2. Dominacje stochastyczne przy niepełnej informacji o rozkładach prawdopodobieństwa
Procedura dominacji stochastycznych polega na porównywaniu parami rozważanych wariantów decyzji i eliminowaniu każdego wariantu zdominowa-nego przez inny, aż do otrzymania zbioru wariantów niezdominowanych.
W niniejszym artykule został przedstawiony problem zawierający jedynie dwa warianty decyzji A i B, co w świetle powyższych rozważań nie zmniejsza ogól-ności prezentowanej procedury.
Rezultatem podjętej decyzji A lub B może być np. uzyskanie określonej wartości wypłaty. Wielkość wypłaty zależy zarówno od wyboru decyzji, jak i przyszłego, nieznanego w chwili podejmowania decyzji jednego z n stanów natury S1,S2,...,Sn. Niech W =[wij] oznacza macierz wypłat, gdzie wij jest rezultatem wynikającym z podjęcia i-tej decyzji (i=1,2), gdy zaistnieje j-ty stan natury (j=1,2,...,n). Prawdopodobieństwo Prob{Sj} zaistnienia j-tego stanu natury oznaczono symbolem pj, gdzie j=1,2,...,n. Tabela 1 przedsta-wia wypłaty dla rozważanych decyzji A i B wraz z odpowiednimi prawdopodo-bieństwami zaistnienia poszczególnych stanów natury.
Tabela 1 Tabela wypłat dla wariantów decyzyjnych A i B
Decyzja Stan natury
S 1 S 2 … S n
A w 11 w 12 … w1n
B w 21 w 22 … w2n
Prob{S j} p 1 p 2 … p n
Ewa Michalska 106
Wszystkie możliwe rozkłady prawdopodobieństwa P=(p1, p2,..., pn) tworzą tzw. simpleks rozkładów. Simpleks rozkładów jest wielościanem wy-pukłym, zatem jeśli kryterium wyboru decyzji optymalnej jest oparte na funkcji liniowej, to wartości ekstremalne są realizowane w wierzchołkach tego simp-leksu dla tzw. rozkładów ekstremalnych5. Jeśli decydent posiada tylko częś-ciową informację na temat prawdopodobieństw p1, p2,..., pn w postaci układ nierówności liniowych.
W dalszej części artykułu została przedstawiona procedura wyznaczania dominacji pierwszego, drugiego i trzeciego stopnia przy niepełnej informacji liniowej o rozkładach prawdopodobieństwa realizacji rozważanych stanów natury6.
Procedura dominacji stochastycznej pierwszego stopnia (FSD) Krok 1. Wyznaczyć zbiór rozkładów ekstremalnych {P(1),P(2),...,P(r)}.
Krok 2. Określić wartość K dla rozważanych decyzji A i B na podstawie wzoru },
Krok 3. Dla każdej z K wartości wypłat ustalić wartości prawdopodobieństw
*Ak
p , p*Bk dla rozważanych decyzji A i B, gdzie k =1,2,...,K.
Krok 4. Dla każdego rozkładu ekstremalnego P(t), gdzie t=1,2,...,r, obliczyć różnice prawdopodobieństw skumulowanych
)
5 E. Kofler: O wartości informacji, op. cit.; Idem: Podejmowanie decyzji..., op. cit.
6 A.D. Pearman, Z.W. Kmietowicz: Stochastic Dominance..., op. cit.
DOMINACJE STOCHASTYCZNE… 107
jest mniejsza od zera, wówczas A dominuje B w sensie dominacji stochastycz-nej pierwszego stopnia (FSD).
Procedura dominacji stochastycznej drugiego stopnia (SSD)
Krok 1. Wyznaczyć zbiór rozkładów ekstremalnych {P(1),P(2),...,P(r)}.
Krok 2. Określić wartość K dla rozważanych decyzji A i B na podstawie wzoru }
Krok 3. Dla każdej z K wartości wypłat ustalić wartości prawdopodobieństw
*Ak
Ewa Michalska
jest mniejsza od zera, wówczas A dominuje B w sensie dominacji stochastycz-nej drugiego stopnia (SSD).
Procedura dominacji stochastycznej trzeciego stopnia (TSD)
Krok 1. Wyznaczyć zbiór rozkładów ekstremalnych {P(1),P(2),...,P(r)}.
Krok 2. Określić wartość K dla rozważanych decyzji A i B na podstawie wzoru },
Krok 3. Dla każdej z K wartości wypłat ustalić wartości prawdopodobieństw
* ,
DOMINACJE STOCHASTYCZNE… 109
(gdzie θ oznacza wektor zerowy) i co najmniej jedna wartość max{VsTSD(t)}
t
jest mniejsza od zera oraz dla wszystkich rozkładów ekstremalnych
)
wówczas A dominuje B w sensie dominacji stochastycznej trzeciego stopnia (TSD). Wielkości E(A), E(B) oznaczają oczekiwane wartości wypłat odpo-wiednio dla decyzji A i B.
Celem przedstawionego dalej przykładu numerycznego jest ilustracja prezentowanych procedur wyznaczania dominacji stochastycznych.
Przykład
W tabeli 2 zawarto wartości wypłat dla czterech przykładowych warian-tów decyzyjnych A, B, C oraz D. Wynik działania decydenta zależy zarówno od wyboru wariantu decyzyjnego, jak i przyszłego, nieznanego w chwili podej-mowania decyzji, jednego z trzech stanów natury S1,S2,S3. Przyjęto, że de-cydent dysponuje dodatkową informacją na temat prawdopodobieństw zaistnie-nia rozważanych stanów natury w postaci warunku: 0,25≤ p1≤ p2≤ p3, gdzie Wartości wypłat czterech wariantów decyzyjnych
Decyzja Stan natury
S 1 S 2 S 3
Ewa Michalska 110
Aby wskazać decyzje zdominowane w sensie dominacji stochastycznych, w pierwszej kolejności wyznaczono zbiór rozkładów ekstremalnych:
(I) ⎟
Następnie ustalono wartość parametru K (K = 6) i prawdopodobieństwa p*Ak,
*Bk
p (k=1,2,...,K) wystąpienia wartości wypłat rozważanych dla decyzji A i B (tabela 3).
Tabela 3 Prawdopodobieństwa wystąpienia wypłat dla decyzji A i B
k 1 2 3 4 5 6
Podobnie postępowano w przypadku pozostałych par wariantów decyzyjnych i zgodnie z procedurami wyznaczania dominacji pierwszego, drugiego oraz trzeciego stopnia ustalono zależności pomiędzy wariantami decyzyjnymi A, B, C i D. Wyniki zestawiono w tabeli 4.
Tabela 4 Dominacje stochastyczne dla rozkładów ekstremalnych (I)
Decyzja A B C D
A × − − −
B SSD × SSD SSD
C − − × −
D − − SSD ×
Decyzja B dominuje decyzje A, C oraz D w sensie dominacji stopnia drugiego. Również decyzja D dominuje decyzję C w sensie dominacji stopnia drugiego. Pomiędzy pozostałymi parami wariantów decyzyjnych nie stwier-dzono dominacji.
Rozważając jednocześnie inną zależność liniową dla prawdopodobieństw
3
j otrzymano następujące rozkłady ekstremalne:
DOMINACJE STOCHASTYCZNE… 111
Przy niezmienionej tabeli wypłat (tabela 2), dla poszczególnych wa-riantów decyzyjnych wyznaczono zależności w sensie dominacji stochastycz-nych. Otrzymane wyniki zostały zestawione w tabeli 5. Decyzja A dominuje decyzję C w sensie dominacji stopnia pierwszego. Decyzja B dominuje decyzję C w sensie dominacji stopnia drugiego i decyzję D w sensie dominacji stopnia pierwszego. Zaś decyzja D dominuje decyzję C w sensie dominacji stopnia drugiego. Pomiędzy pozostałymi parami decyzji nie stwierdzono dominacji.
Tabela 5 Dominacje stochastyczne dla rozkładów ekstremalnych (II)
Decyzja A B C D
A × − FSD −
B − × SSD FSD
C − − × −
D − − SSD ×
Prezentowany w pracy algorytm wyznaczania dominacji stochastycznych znajduje zastosowanie, gdy elementy macierzy wypłat przyjmują wartości cał-kowite. W przypadku innych wartości wystarczy zastosować odpowiednie prze-skalowanie.
Podsumowanie
W teorii decyzji, w sytuacji gdy znane są rozkłady prawdopodobieństwa (np. w postaci rozkładów ekstremalnych), zaleca się wybór decyzji zgodnie z dwukryterialną oceną uwzględniającą oczekiwaną wartość wypłat i wariancję jako miarę ryzyka danego wariantu decyzji. Decydent, którego charakteryzuje awersja do ryzyka, wybierze wówczas spośród dwóch wariantów decyzyjnych ten z większą średnią i mniejszą wariancją. Często jednak taki wybór nie jest możliwy, jeśli jednemu z porównywanych wariantów decyzyjnych odpowiada większa średnia, zaś drugiemu mniejsza wariancja7.
7 Pomocne w tej sytuacji może być zastosowanie reguł wyboru łączących wspomniane miary lub wykorzysta-nie reguł dominacji stochastycznych − prezentowanych w pracy: E. Michalska, E. Pośpiech: Gry z naturą a niepełna informacja liniowa. Organizacja i Zarządzanie, z. 54. Politechnika Śląska, Gliwice 2010, s. 209-220.
Ewa Michalska 112
STOCHASTIC DOMINANCE AND UNCERTAIN DECISION MAKING
Summary
The results of many decisions depend on states of nature. The article discusses decision making under a situation that the probabilities of states of nature are not precisely known but linear constraints on the probabilities are known. Moreover, the paper presents algorithms for three levels of stochastic dominance, first, second and third degree stochastic dominance under conditions of linear partial information.
Magdalena Chromik Maciej Nowak