Ib. Berechnung der Vollwandträger
A. Berechnung der einfachen Träger auf zwei Stützen
i . R e c h n e r i s c h e B e s t i m m u n g d e r A u f l a g e r k r ä f t e , Q u e r k r ä f t e u n d M o m e n t e ,
a ) A u flagerk räfte.
N a c h F e s t s t e l l u n g d e r T r ä g e r b e l a s t u n g w e r d e n z u n ä c h s t d ie A u f l a g e r k r ä f t e a m b e s t e n r e c h n e r is c h m i t H ilf e d e r d r e i G le ic h g e w ic h ts b e d in g u n g e n e r m i t t e l t :
1. d ie S u m m e a ll e r s e n k r e c h t e n K r ä f t e m u ß g le ic h N u l l s e i n : „ T.
2 V = o ;
2. d ie S u m m e a lle r w a g e r e c h te n K r ä f t e m u ß g le ic h N u l l s e in :
2 H = o ;
3. d ie S u m m e d e r s t a t i s c h e n M o m e n te a lle r K r ä f t e in b e z u g a u f e in e n b e lie b ig e n P u n k t m u ß g le ic h
2 M = o . N u ll s e in :
(Vgl. h ierzu- d ie B e r e c h n u n g d e r B i n d e r a u f l a g e r k r ä f t e i m B a n d I , z w e it e r A b s c h n i t t. )
D ie 2. G le ic h g e w ic h ts b e d in g u n g (2 H — o) k o m m t b e i T r ä g e r b e r e c h n ü n g e n s e h r s e lte n z u r A n w e n d u n g , d a h i e r m e i s t e n s n u r l o t r e c h t e K r ä f t e V o rk o m m e n .
G le ic h m ä ß ig v e r t e i l t e L a s te n , D r e ie c k s - , T r a p e z la s te n u sw . k ö n n e n f ü r d ie B e r e c h n u n g d e r A u f la g e r k r ä f t e a ls E i n z e ll a s t e n a n g e n o m m e n w e r d e n , d ie in d e n S c h w e r p u n k t e n d e r b e tr e f f e n d e n S tr e c k e n l a s te n a n g r e if e n .
So e r h ä l t m a n z. B . f ü r d e n T r ä g e r n a c h A b b . 15 d ie A u f l a g e r k r a f t A b z w . B a u s d e r 3. G le ic h u n g , i n
-P
---k - (L =*•
- u ,
-a7 >
1
K 01
1Q p
- i n f e r i \
*
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— c— ^
i
Hs--- 1
B
Abb. 15.
d e m d e r B e z u g s p u n k t in d e n A u f l a g e r p u n k t B b z w . A g e le g t w i r d :
B e r e c h n u n g v o n A (Bezugspunkt B) 2 M = + A I — Q b — P 1b 1 — P 2b2 d a r a u s f o l g t:
A
+ B ■ 0 = 0 ;
+ 0 b + P \ &i + P 2 b2 l
B e r e c h n u n g v o n B (Bezugspunkt A) 2 M = — B l -f- Q a + P xa 1 + P 2a 2 d a r a u s f o l g t:
B
V o r z e i c h e n r e g e l : R e c h t s u m d e n B e z u g s p u n k t d r e h e n d e K r ä f t e e r h a l t e n d a s p o s i t iv e u n d lin k s h e r u m d r e h e n d e d a s n e g a t i v e V o rz e ic h e n .
D ie 1. G le ic h g e w ic h ts b e d in g u n g w ir d z w e c k m ä ß ig z u r P r ü f u n g b e n u t z t :
2 V = + A — O — P j — P 2 + B = o . M a n k a n n a u c h so v o r g e h e n , d a ß e in e A u f la g e r k r a f t a u s d e r 3. G le ic h u n g u n d d ie a n d e r e u n m i t t e l b a r a u s d e r 1. G le ic h u n g b e r e c h n e t w i r d :
A = 0 + P i + P 2 - B - B = — A - \ - Q - \ - P 1 - \ - P i .
b) Querkräfte.
N a c h d e n G l e ic h g e w ic h ts b e d in g u n g e n m u ß d ie a n e in e m b e lie b ig e n Q u e r s c h n i t t w ir k e n d e Q u e r k r a f t Q so g r o ß se in , d a ß sie d e r M i t t e l k r a f t a lle r a m a b g e s c h n i t t e n g e d a c h t e n T r ä g e r te i l l o t r e c h t z u r S t a b a c h s e w i r k e n d e n K r ä f t e ( A u f la g e r k r ä f te u n d L a s te n ) d a s G le ic h g e w ic h t h ä lt .
D e n k t m a n s ic h z. B . d e n T r ä g e r n a c h A b b . 1 6 » b e i , , m ' ' d u r c h g e s c h n i t t e n u n d b e t r a c h t e t d e n lin k e n T r ä g e r te i l, so i s t d ie M i t t e l k r a f t d e r a n d ie s e m T e il a n g r e i f e n d e n K r ä f t e u n d s o m i t d ie Q u e r k r a f t
Q m = + A - Q - P 1.
D a s s e l b e . E r g e b n i s e r g ib t s ic h n a t ü r l i c h a u c h b e i B e t r a c h t u n g d e s r e c h t e n T r ä g e r te i le s :
0 m = — B + P 2.
V o r z e i c h e n r e g e l : D ie Q u e r k r a f t w ir d p o s itiv b e z e ic h n e t, w e n n sie a m lin k e n T r ä g e r te i l n a c h o b e n u n d a m r e c h t e n n a c h u n t e n g e r i c h t e t i s t ; n e g a t i v d a g e g e n , w e n n sie a m lin k e n T r ä g e r te i l n a c h u n t e n u n d a m r e c h t e n n a c h o b e n g e r i c h t e t is t.
W e r d e n v o n e in e r G r u n d lin ie a u s d ie a n j e d e r S te lle d e s T r ä g e r s e n ts t e h e n d e n Q u e r k r ä f t e Q a ls H ö h e n a u f g e tr a g e n , d a n n e r g i b t s ic h d ie Q u e r k r a f t l in i e g e m ä ß A b b . 16 b. B e i B e la s t u n g m i t E in z e ll a s t e n i s t d ie
Jr Q a J r P i a i Jr P i
Q u e r k r a f t z w is c h e n z w e i b e n a c h b a r t e n E in z e ll a s t e n u n v e r ä n d e r l i c h u n d d ie Q u e r k r a f t l in i e e n ts p r e c h e n d g l e i c h la u f e n d z u r G r u n d lin ie . F ü r e in e g le ic h m ä ß ig v e r t e i l t e L a s t i s t d ie Q u e r k r a f t l in i e e in e g e r a d e L in ie , d ie g e n e i g t z u r G r u n d l i n ie v e r lä u f t . S t r e c k e n l a s t e n k a n n m a n s ic h d u r c h e in e A n z a h l v o n a u f e in a n d e r f o l g e n d e n E in z e ll a s t e n e r s e t z t d e n k e n ; b e t r ä g t z. B . e in e g le ic h m ä ß ig v e r t e i l t e L a s t p = 12 k g /c m , so k ö n n e n d a f ü r a u f d e r b e tr e f f e n d e n S t r e c k e E in z e ll a s t e n v o n 12 k g in A b s t ä n d e n v o n j e 1,0 c m a n g e n o m m e n w e r d e n .
c) M om en te.
D a s B i e g e m o m e n t M m e in e s b e lie b ig e n Q u e r s c h n i t t e s , , m “ e r g i b t s ic h a ls S u m m e d e r s t a t i s c h e n M o m e n te a lle r l in k s o d e r r e c h t s v o n d e m Q u e r s c h n i t t , , m " w i r k e n d e n K r ä f t e in B e z u g a u f d e n S c h w e r p u n k t d e s S c h n i tt e s . M i t a n d e r e n W o r t e n : D e n k t m a n s ic h d e n T r ä g e r b e i , , m " d u r c h g e s c h n i t t e n , so m u ß d ie 3. G le ic h g e w ic h ts b e d in g u n g ( 2 M = o) f ü r d e n lin k e n u n d e b e n s o f ü r d e n r e c h t e n T r ä g e r t e i l e r f ü l l t se in .
So w i r d z. B . f ü r d e n lin k e n T e il d e s T r ä g e r s n a c h A b b . 17 d a s B i e g e m o m e n t M m i m P u n k t e , , m “ w ie
f o lg t b e r e c h n e t :
2 M , = + A x m - Q p - P 1p 1 ~ M m = o ; d a r a u s f o lg t:
M m = + A x m — Q p - P 1p 1.
D a s s e lb e E r g e b n i s e r g i b t s ic h n a t ü r l i c h a u c h b e i B e t r a c h t u n g d e s r e c h t e n T r ä g e r te i le s :
2 M r = + B — P 2p 2 — M m = o ; d a r a u s f o l g t:
M m = 4 -B x!„ — P
2p2-E s i s t a ls o g le ic h g ü ltig , f ü r w e lc h e n T r ä g e r t e i l d a s M o m e n t e r r e c h n e t w i r d ; p r a k t i s c h n i m m t m a n d ie S e ite , a n d e r d ie w e n ig s te n K r ä f t e a n g r e if e n .
V o r z e i c h e n r e g e l : P o s i t i v w i r d d a s M o m e n t, w e n n es in d e r o b e r s t e n F a s e r D r u c k u n d in d e r u n t e r s t e n
t
F a s e r Z u g e r z e u g t (A b b . 18). E s e r h a l t e n a ls o d ie s t a t i s c h e n M o m e n te , d ie a m lin k e n T r ä g e r t e i l r e c h t s h e r u m u n d a m r e c h t e n lin k s h e r u m d r e h e n , d a s p o s i t iv e
V o r z e ic h e n ; d a g e g e n e r h a l t e n d ie M o m e n te , d ie a m l in k e n T r ä g e r t e i l l in k s h e r u m u n d a m r e c h t e n r e c h t s h e r u m d r e h e n , d a s n e g a t i v e V o r z e ic h e n .
D a s g r ö ß t e B i e g e m o m e n t , d a s „ M a x i m a l - m o m e n t " , e n t s t e h t a n d e r S te lle , a n d e r d i e Q u e r k r a f t i h r V o r z e ic h e n w e c h s e l t o d e r g le ic h N u l l w i r d
d ie s e S te lle w i r d „ d e r g e f ä h r l i c h e Q u e r s c h n i t t “ g e n a n n t
W e r d e n v o n e in e r G r u n d l i n ie a u s d i e a n j e d e r S te lle d e s T r ä g e r s e n t s t e h e n d e n B i e g e m o m e n t e M a ls H ö h e n a u f g e t r a g e n , d a n n e n t s t e h t d i e M o m e n te n - lin ie u n d d u r c h s ie b e g r e n z t d i e M o m e n te n f l ä c h e (A b b . 17 b).
B e i d e r B e r e c h n u n g d e r M o m e n te s i n d d i e A b m e s s u n g e n u n d K r ä f t e e in h e i tl i c h z u b e n e n n e n . W e r d e n z. B . d ie A b m e s s u n g e n in c m u n d d i e K r ä f t e i n k g e in g e s e t z t (g le ic h m ä ß ig v e r t e i l t e L a s t e n p in k g f ü r 1 c m L ä n g e ) , d a n n e r h ä l t m a n d i e M o m e n te in c m k g . W e r d e n d ie A b m e s s u n g e n i n c m u n d d ie K r ä f t e in t i n d ie R e c h n u n g e i n g e f ü h r t ( g le ic h m ä ß ig v e r t e i l t e L a s t e n p in t f ü r 1 c m L ä n g e ) , d a n n e r g e b e n s ic h d ie M o m e n te i n c m t . D a m i t j e d o c h n i c h t so g r o ß e Z a h l e n e r s c h e in e n , w e r d e n a m b e s t e n a lle A b m e s s u n g e n in m u n d a lle K r ä f t e in t e i n g e s e t z t ( g le ic h m ä ß i g v e r t e i l t e L a s t e n p in t f ü r 1 m L ä n g e ) ; d ie M o m e n te e r g e b e n s ic h d a m i t i n m t .
2 . Z e i c h n e r i s c h e B e s t i m m u n g
d e r A u f l a g e r k r ä f t e , Q u e r k r ä f t e u n d M o m e n t e . D a s z e ic h n e r is c h e V e r f a h r e n s o ll h i e r n u r k u r z b e h a n d e l t w e r d e n , d a p r a k t i s c h d ie T r ä g e r b e r e c h n u n g a m z w e c k m ä ß i g s t e n a u f r e c h n e r is c h e m W e g e e r f o lg t.
A ls B e is p ie l w i r d n a c h s t e h e n d d e r T r ä g e r n a c h A b b . 19 a z e ic h n e r is c h b e s t i m m t .
a) A u fla g erk rä fte.
D ie A u f l a g e r k r ä f t e w e r d e n z e i c h n e r i s c h m i t t e l s K r a f t - u n d S e ile c k g e f u n d e n :
D ie L a s t e n Q, P 1 u n d P 2 w e r d e n g e m ä ß A b b . 1 9 b z u e in e r K r a f t l i n i e a n e i n a n d e r g e r e i h t . (D ie g l e i c h m ä ß i g v e r t e i l t e S t r e c k e n l a s t Q w i r d f ü r d i e B e s t i m m u n g d e r A u f l a g e r k r ä f t e a ls E i n z e l l a s t a n g e s e h e n , d ie im S c h w e r p u n k t d e r S t r e c k e n l a s t a n g r e i f t .) D a n n z i e h t m a n v o n e in e m b e lie b ig e n P o l e O n a c h d e m A n f a n g s - u n d E n d p u n k t j e d e r e in z e ln e n K r a f t d ie P o l s t r a h l e n 1, 2 , 3 u n d 4 (A b b . 196) u n d g l e i c h l a u f e n d h ie r z u p a s s e n d z w is c h e n d e n e in z e ln e n K r ä f t e n in A b b . 19 d d ie S e i ls tr a h l e n 1, 2, 3 u n d 4. D ie V e r b i n d u n g s l in i e d e s S c h n i t t p u n k t e s m a d e s e r s t e n
S t r a h l e s ( i ) u n d d e r A u f l a g e r k r a f t A m i t d e m S c h n i t t p u n k t m b d e s l e t z t e n S t r a h l e s (4) u n d d e m A u f l a g e r d r u c k B e r g i b t d ie s o g e n a n n t e S c h lu ß lin ie s (A b b . 19 d).
N u n w i r d in A b b . 19 & d u r c h d e n P o l p u n k t g le ic h
l a u f e n d z u r S c h lu ß lin ie s d e r A n f a n g s - u n d E n d p o l- s t r a h l s e in g e z e i c h n e t ; d e r S c h n i t t p u n k t k m i t d e r K r a f t li n i e l e g t d a n n d ie G r ö ß e d e r A u f l a g e r k r ä f te A u n d B e i n d e u t ig fe s t.
b) Querkräfte.
D ie Q u e r k r a f t l in i e w i r d z e ic h n e r is c h d u r c h A u f t r a g u n g d e r K r ä f t e v o n e in e r G e r a d e n a u s g e m ä ß A b b . 19 c g e f u n d e n . M a n f ä n g t a m b e s t e n m i t d e m A u f t r ä g e n d e r A u f l a g e r k r a f t A a n u n d f ü g t d a n n f o r t s c h r e it e n d v o m lin k e n b is z u m r e c h t e n E n d e j e d e w e ite r h i n z u t r e t e n d e K r a f t a n ; a m r e c h t e n E n d e m u ß d a n n d ie A u f l a g e r k r a f t B d ie Q u e r k r a f t f l ä c h e s c h lie ß e n . D ie r i c h t i g e B e s c h lie ß u n g i s t z u g le ic h e in e P r ü f u n g f ü r d ie R i c h t i g k e i t d e r Z e ic h n u n g .
W ie a u s d e r A b b . 19 e r s i c h t l ic h is t, f i n d e t m a n d ie Q u e r k r a f t l in i e a u c h u n m i t t e l b a r d u r c h d a s H i n u n t e r l o te n d e r B e la s t u n g s a b m e s s u n g e n a u s A b b . 19 a u n d d u r c h d a s w a g e r e c h te H i n ü b e r l o t e n d e r K r ä f t e a u s d e m K r a f t e c k A b b . 19 b. D ie S c h n i t t p u n k t e d e r b e t r e f f e n d e n L o t e e r g e b e n d ie E c k p u n k t e d e r Q u e r k r a f tf l ä c h e . D a s g a n z e V e r f a h r e n g e h t a u c h o h n e w e i te r e s a u s d e r A b b i l d u n g s e l b s t h e r v o r .
D u r c h d ie Q u e r k r a f t l in i e i s t d ie Q u e r k r a f t a n j e d e r S te lle d e s T r ä g e r s f e s t g e l e g t; so i s t z. B . d ie Q u e r k r a f t f ü r d e n Q u e r s c h n i t t „ m ‘‘ g le ic h d e r H ö h e Q m.
I n A b b . 2 0 i s t d ie Q - F lä c h e n o c h f ü r e in e a n d e r e B e l a s t u n g g e z e ic h n e t. H i e r s in d d ie S t r e c k e n l a s te n p 1 b z w . p 2 f ü r d ie L ä n g e n e i n h e it b e s t i m m t . D ie g e s a m t e n
» p r , Stahlhochbau II, a.
S t r e c k e n l a s te n Q x u n d 0 2 s i n d : ö i = Ö2 = P i 0'
c) M o m e n te .
Z u r z e i c h n e r is c h e n B e s t i m m u n g d e r M o m e n te b e n u t z t m a n d a s f ü r d ie E r m i t t l u n g d e r A u f l a g e r k r ä f t e g e z e ic h n e te S e ile c k (A b b . 19 d).
D a m i t d ie M o m e n te n lin ie u n t e r d e r S t r e c k e n l a s t Q g e n a u e r e r s c h e i n t , i s t d i e v e r t e i l t e L a s t in m e h r e r e E in z e ll a s t e n ( p ly p 2 . . .) z e r l e g t ; es s i n d d a d u r c h n o c h d ie P o l- u n d S e ils tr a h le n a b is e h i n z u g e k o m m e n . D ie d u r c h d ie S e il
s t r a h l e n 1, a, b, c, d, e, 2, 3 , 4 u n d d e n S c h lu ß s t r a h l s e in g e s c h lo s s e n e F l ä c h e n e n n t m a n d ie C u lm a n n s c h e M o m e n te n f lä c h e .
W ir d d ie S t r e c k e n l a s t Q in u n e n d li c h v ie le u n d u n e n d li c h n a h e E in z e ll a s t e n e in g e te ilt, d a n n g e h t d a s S e ile c k u n t e r d e r v e r t e i l t e n L a s t Q in e in e k r u m m e L in ie , d ie S eillin ie, ü b e r , d ie d ie S e ile c k s tr a h le n 1, a, b, c, d, e u n d 2 b e r ü h r t ; d ie B e r ü h r u n g s p u n k t e lie g e n je d e s m a l l o t r e c h t u n t e r d e n T r e n n u n g s s t e l l e n d e r v e r t e i l t e n L a s t e n p v p 2, p 3 ■ ■ ■ D ie A b b . 21 z e ig t d e n in B e t r a c h t k o m m e n d e n T r ä g e r te i l d e r A b b . 19 in e in e r g r ö ß e r e n D a r s t e ll u n g . D ie v o r g e n o m m e n e E in t e i l u n g d e r v e r te i lt e n L a s t Q g e n ü g t v o llk o m m e n , d ie S e illin ie f r e i
h ä n d i g o d e r m i t e in e m K u r v e n h o l z e in z u z e ic h n e n . G e m ä ß A b b . 33 k a n n m a n a u c h d ie S e illin ie a ls P a r a b e l m i t l o t r e c h t e r A c h s e a u f t r a g e n ; d ie E i n
t e i l u n g d e r v e r t e i l t e n L a s t , so w ie d a s E in z e ic h n e n d e r b e tr e f f e n d e n P o l - u n d S e i ls tr a h l e n e r ü b r ig t s ic h d a n n .
i8
M a n e r h ä l t n u n d a s z u e in e m b e lie b ig e n Q u e r s c h n i t t g e h ö r ig e B ie g e m o m e n t , i n d e m d i e u n t e r d ie s e m S c h n i t t lie g e n d e H ö h e y d e r C u lm a n n s c h e n M o - m e n t e n f l ä c h e (A b b . 19 d) e r m i t t e l t u n d d a s P r o d u k t a u s H ö h e y u n d d e r P o l w e i te H d e s K r a f t e c k e s (A b b . 19 b) g e b il d e t w ir d . S o i s t z. B . f ü r d e n Q u e r s c h n i t t , , m “ d a s B i e g e m o m e n t
M m = H y m.
H i s t e in i m K r ä f t e m a ß s t a b g e m e s s e n e r u n v e r ä n d e r l i c h e r W e r t ; d e r W e r t y e in e im L ä n g e n m a ß s t a b g e m e s s e n e H ö h e d e r C u l m a n n s c h e n M o m e n te n f lä c h e .
ea b z w . eu d ie E n t f e r n u n g d e r ä u ß e r s t e n o b e r e n b z w . u n t e r e n F a s e r ( R a n d f a s e r ) v o n d e r S c h w e r a c h s e ;
e a llg e m e in d i e g r ö ß e r e d i e s e r b e i d e n E n t f e r n u n g e n ;
W 0 = — b z w . W u = — d a s W i d e r s t a n d s m o m e n t d e s Q u e r s c h n i t t e s b e z o g e n a u f d ie o b e r s t e b z w . u n t e r s t e F a s e r ;
W = — a llg e m e in d e n k l e i n e r e n d e r b e i d e n W e r t e ß
W 0 u n d W u ;
özui d i e z u lä s s ig e B i e g e b e a n s p r u c h u n g ;
d a n n i s t d a s e r f o r d e r l i c h e W i d e r s t a n d s m o m e n t :
W = — .
Ozul
I s t d a s e r f o r d e r l ic h e W i d e r s t a n d s m o m e n t e r m i t t e l t , so w i r d a u s d e n Q u e r s c h n i t t s t a f e l n e in e n t s p r e c h e n d e r T r ä g e r g e w ä h lt , d e r m i n d e s t e n s d a s e r f o r d e r l ic h e W i d e r s t a n d s m o m e n t a u f z u w e i s e n h a t .
N a c h d e m d a s e r f o r d e r l ic h e W i d e r s t a n d s m o m e n t b e r e c h n e t u n d e in p a s s e n d e r Q u e r s c h n i t t g e w ä h l t i s t , e r h ä l t m a n d ie g r ö ß t e v o r h a n d e n e B i e g e b e a n
s p r u c h u n g : j y
-~ W '
O max — ■
Abb. 21.
I m B e is p ie l (A b b . 19) i s t d e r K r ä f t e m a ß s t a b 1 c m
= 3 t u n d d e r L ä n g e n m a ß s t a b 1 c m = 1,5 m . D ie P o l w e i te H b e t r ä g t n a c h A b b . 1 9 6 2 ,0 c m u n d d ie H ö h e y m = 1,05 c m . M i t d ie s e n W e r t e n w ir d d a n n
M m = ( H . 3 ) ( y . i , 5 )
= (2,0 • 3) (1,05 • 1,5) = 9 ,4 5 m t.
3 . B e s t i m m u n g d e r Q u e r s c h n i t t e , a ) U n te r s u c h u n g der Träger a u f B ieg efestig k eit.
1x ) D i e K r a f t e b e n e g e h t d u r c h d i e l o t r e c h t e S y m m e t r i e a c h s e d e s Q u e r s c h n i t t e s . U n t e r d e r V o r a u s s e t z u n g , d a ß a lle ä u ß e r e n K r ä f t e w i n k e l r e c h t z u r S c h w e r a c h s e d e s s t a b f ö r m i g e n K ö r p e r s a n g r e if e n , l a u t e t d i e G r u n d g l e i c h u n g f ü r d i e B i e g e f e s t i g k e i t :
M h i e r i n b e d e u t e t 0
J d a s T r ä g h e i t s m o m e n t d e s Q u e r s c h n i tt e s a u f d ie S c h w e r a c h s e b z w . N u llin ie b e z o g e n ;
M d a s a u f t r e t e n d e B i e g e m o m e n t ; a d ie N o r m a l s p a n n u n g in e in e r F a s e r ;
y d ie E n t f e r n u n g d e r F a s e r v o n d e r S c h w e r a c h s e . I n d e r S c h w e r a c h s e s in d n a c h o b ig e r G r u n d g le ic h u n g d ie B ie g e s p a n n u n g e n g le ic h N u ll, d a h e r a u c h d ie B e z e i c h n u n g : N u l l i n i e .
B e z e i c h n e t w e i te r
D ie S p a n n u n g e n s t e h e n i m V e r h ä l t n i s z u i h r e n A b s t ä n d e n v o n d e r N u llin ie , sie v e r t e i l e n s ic h s o m i t g e r a d l i n ig ü b e r d ie Q u e r s c h n i t t s h ö h e (A b b . 22 ) :
M
°1 = T yi'
F ü r u n g le ic h e Q u e r s c h n i t t e (A b b . 22 b) w e r d e n d i e B e a n s p r u c h u n g e n i n d e n R a n d f a s e r n 0 u n d u v e r
s c h i e d e n : M _ M
ln = W \ . ’
°°max W„ u n d
es e r g i b t s ic h a ls o e in e g r ö ß t e B i e g e b e a n s p r u c h u n g f ü r D r u c k u n d e in e s o lc h e f ü r Z u g .
N a c h s t e h e n d so ll n o c h d ie B i e g e g l e i c h u n g n ä h e r e r k l ä r t w e r d e n :
N a c h d e m G e s e tz d e s G le ic h g e w ic h te s m u ß d e m d u r c h d ie ä u ß e r e n K r ä f t e e r z e u g t e n B i e g e m o m e n t e in i n n e r e s W i d e r s t a n d s m o m e n t d a s G l e ic h g e w i c h t h a l t e n , d a s i n n e r e W i d e r s t a n d s m o m e n t e in e s K ö r p e r s i s t n u n d a s P r o d u k t a u s F l ä c h e n m o m e n t x S p a n n u n g . N i m m t m a n z. B . a ls Q u e r s c h n i t t e in e n R e c h t
-e c k b a l k -e n a n , d a n n -e n t s t -e h -e n in d -e r o b -e r -e n H ä l f t -e d e s B a lk e n s D r u c k - u n d in d e r u n t e r e n H ä l f t e Z u g k r ä f t e (A b b . 23). D ie K r ä f t e i n d e r o b e r e n u n d u n t e r e n Q u e r s c h n i t t s h ä l f t e w e r d e n (A b b . 23 b ) :
D = Z = o - 1- b = .
2 2 4
D a e s D r e i e c k s l a s te n - s in d , g r e if e n d ie M i t t e l k r ä f t e im f o lg e n d e n A b s t a n d e v o n d e r N u llin ie a n :
2 h 3 2
D a s in n e r e W i d e r s t a n d s m o m e n t w ir d n u n :
a h b h b h 2
(D + Z ) e = 2 --- = 0 —— .
4 3 6
©
D a i m P u n k t e m G le ic h g e w ic h t h e r r s c h e n m u ß , e r g i b t s ic h d ie G le ic h u n g
b h 2 M = o —- — ;
o b h 2
h ie r in i s t d e r A u s d r u c k —— g le ic h d e m W e r t f ü r d a s W i d e r s t a n d s m o m e n t d e s R e c h t e c k b a lk e n s , u n d es e r g i b t s ic h w ie d e r d ie G r u n d g l e ic h u n g f ü r d ie B ie g e f e s t ig k e i t :
u n d d a
M = 0 W ; O = M
W
W =
J_.
y ' 0 — M
J y
ßmax — j yM
z u e r m i t t e l n . N u r b e i K r a g t r ä g e r n u n d b e i T r ä g e r n m i t k l e in e r S t ü t z w e i t e u n d v e r h ä l t n i s m ä ß i g g r o ß e r B e l a s t u n g i s t e in e N a c h r e c h n u n g m i t B e r ü c k s ic h t i g u n g d e r S c h u b k r a f t v o r z u n e h m e n (vgl. d e n fo l
g e n d e n T e il c ) ; in s o lc h e n F ä l l e n i s t d a n n u n t e r U m s t ä n d e n n a c h z u w e is e n , d a ß b e i W a l z t r ä g e r n a n d e n Ü b e r g a n g s s t e l l e n d e r F l a n s c h e n z u m S te g e , b z w . b e i N i e t t r ä g e r n a n d e n Ü b e r g a n g s s t e l l e n d e r G u r t u n g e n z u m S te g d ie a u s d e r h i e r a u f t r e t e n d e n B ie g e - u n d S c h u b s p a n n u n g s ic h e r g e b e n d e H a u p t s p a n n u n g u n t e r d e r z u lä s s ig e n G r e n z e b le ib t.
ß ) Q u e r s c h n i t t e o h n e l o t r e c h t e S y m m e t r i e a c h s e .
F ü r Q u e r s c h n i t t e o h n e l o t r e c h t e S y m m e tr ie a c h s e , z. B . C -T räg e r, g i lt d ie G r u n d g le ic h u n g n i c h t ; s e l b s t w e n n d ie K r a f t e b e n e d u r c h d ie l o t r e c h t e H a u p t a c h s e n e b e n e d e s Q u e r s c h n i tt e s g e h t.
In f o lg e d e r l o t r e c h t e n D u r c h b i e g u n g d e s S te g e s w i r k t b e i d e m C- Q u e r s c h n i t t d e r S te g a u f d e n o b e r e n F l a n s c h d r ü c k e n d u n d a u f d e n u n t e r e n F l a n s c h z ie h e n d . B e id e K r a f t w i r k u n g e n e rfo lg e n a b e r a u ß e r m i t t i g z u d e n F l a n s c h e n ; d ie S p a n n u n g e n v e r te i le n s ic h a ls o in d ie s e n u n g l e i c h m ä ß i g . D e r S te g b i e g t s ic h o b e n n a c h r e c h t s u n d u n t e n n a c h lin k s (A b b . 24 a), e r e r f ä h r t d a h e r e in e V e r d r e h u n g , d u r c h d ie a u c h d ie F l a n s c h e b e e i n f l u ß t w e r d e n .
D ie u n g le ic h m ä ß ig e V e r te ilu n g d e r B ie g e s p a n n u n g e n a u f d ie F l a n s c h e v o n C - Q u e r s c h n i tt e n h a t e in e E r h ö h u n g v o n omax z u r F o lg e . D ie V e r s u c h e e r g a b e n b e i e in e m C 30 g e g e n ü b e r d e r r e c h n u n g s g e m ä ß e n S p a n n u n g („mal = M : W ) :
1. w e n n d ie K r a f t e b e n e m i t d e r s e n k r e c h t e n H a u p t a c h s e n e b e n e d e s S t a b e s z u s a m m e n f ä l l t (A b b . 24 a), i m P u n k t e 1 e in e u m 9 0 % h ö h e r e D r u c k b e a n s p r u c h u n g , i m P u n k t e 3 e in e u m 6 7 % h ö h e r e Z u g s p a n n u n g ;
2. w e n n d ie K r a f t e b e n e m i t d e r S t e g m i t t e l e b e n e z u s a m m e n f ä l l t (A b b . 2 4 6 ), in 1 : E r h ö h u n g d e r D r u c k s p a n n u n g u m 5 3 % , in 3 : E r h ö h u n g d e r Z u g s p a n n u n g u m 3 6 % .
Abb. 24.
I n s i n n g e m ä ß e r W e is e e r g i b t s ic h n a t ü r l i c h a u c h d ie G r u n d g l e ic h u n g b e i B e t r a c h t u n g e in e s I - o d e r a n d e r e n Q u e r s c h n i tt e s .
B e i T r ä g e r b e r e c h n u n g e n g e n ü g t e s i m a llg e m e in e n , d ie S p a n n u n g n a c h d e r G r u n d g le ic h u n g
D ie B e a n s p r u c h u n g 2. i s t h i e r n a c h e r h e b l i c h g ü n s t i g e r a ls 1 .; e s e m p f i e h lt s ic h d a h e r , C -T rä g e r a u f d e m S te g z u b e la s te n .
N a c h C. v . B a c h s i n d d ie in d e n Q u e r s c h n i t t s t a f e l n a n g e g e b e n e n W i d e r s t a n d s m o m e n t e w ie f o lg t z u v e r k le i n e r n :
3*
2 0
-21
s c h u b s p a n n u n g e n rw u n d d ie s e n k r e c h t e n Q u e r s c h u b s p a n n u n g e n t s s in d in j e d e m Q u e r s c h n i t t s p u n k t e e in a n d e r g l e i c h .
D ie S c h u b s p a n n u n g k a n n n u n m i t H ilf e d e r f o lg e n d e n F o r m e l a n j e d e r Q u e r s c h n i tt s s te l le b e r e c h n e t w e r d e n :
J b ' h ie r in i s t (A b b . 27)
Q d ie S c h u b - o d e r Q u e r k r a f t in d e m z u u n t e r s u c h e n d e n Q u e r s c h n i t t ;
S d a s s t a t i s c h e M o m e n t d e s a u f d ie S t a b s c h w e r a c h s e x — x b e z o g e n e n Q u e r s c h n i tt s t e il e s , d e r v o n d e r ä u ß e r e n F a s e r e b is z u d e m F l ä c h e n t e i l im A b s t a n d y r e i c h t ( S = F x y t ; v g l. A b b . 27) ; J d a s T r ä g h e i t s m o m e n t d e s g a n z e n Q u e r s c h n i tt e s
in b e z u g a u f d ie S c h w e r a c h s e ;
b d ie i m A b s t a n d y v o r h a n d e n e Q u e r s c h n i t t s b r e ite .
I m R e c h t e c k q u e r s c h n i t t (A b b . 2 8 a ) v e r te i le n sic h d ie S c h u b s p a n n u n g e n n a c h e in e r P a r a b e l , d e r e n
S c h e ite l in Q u e r s c h n i t t - M i t t e lie g t
130 ---X
©
IP30
Abb. 28.
3 0
- ( ¥ ) ! •
F ü r e in X 30 i s t d ie V e r t e i l u n g d e r S c h u b s p a n n u n g e n i n A b b . 28 b u n d f ü r e in X P 3 0 in A b b . 28 c d a r g e s te l lt .
W ie a u s d e r A b b . 28 e r s ic h tlic h , i s t b e i I - Q u e r s c h n i t t e n d ie S c h u b s p a n n u n g x a n d e n Ü b e r g a n g s s t e ll e n d e r F l a n s c h e z u m S te g e z ie m lic h so g r o ß w ie d ie i n d e r S c h w e r a c h s e a u f t r e t e n d e g r ö ß t e S c h u b s p a n n u n g Tmax- D a n u n a n d e n Ü b e r g a n g s s t e l l e n d ie B i e g e s p a n n u n g a (A b b . 29) e b e n f a lls n i c h t v ie l g e r i n g e r a ls d ie in d e r ä u ß e r s t e n F a s e r a u f t r e t e n d e g r ö ß t e n B i e g e s p a n n u n g a is t, so m u ß b e i T r ä g e r n m i t g le ic h z e itig in e in e m Q u e r s c h n i t t w i r k e n d e r g r o ß e r B i e g e s p a n n u n g c u n d g r o ß e r S c h u b s p a n n u n g t (z. B.
b e i K r a g t r ä g e r n ) d ie d a r a u s e n t s t e h e n d e H a u p t s p a n n u n g n a c h g e w ie s e n w e r d e n .
D ie H a u p t s p a n n u n g e n ( g r ö ß te n B e a n s p r u c h u n g e n e rg e b e n ) s ic h zu
}'o2 + 4 ( a 0r)2;
M it R ü c k s i c h t a u f d a s d o p p e lt e V o r z e ic h e n i s t ömax s t e t s e in e Z u g - u n d amln s t e t s e in e D r u c k s p a n n u n g .
I n v o r s t e h e n d e r F o r m e l b e d e u t e t
s D e h n u n g
e1 Q u e r z u s a m m e n z i e h u n g
d e r W e r t i s t v o m B a u s t o f f d e s S t a b e s a b h ä n g i g u n d b e t r ä g t f ü r g l e ic h a r tig e (is o tro p e ) K ö r p e r 3 b is 4 ; f ü r M e ta lle 10/ 3 ;
o d ie B ie g e - b z w . N o r m a l s p a n n u n g ; x d ie S c h u b s p a n n u n g ;
WZ “I“ I •
<x0 = k z : ---k s, d a s B e a n s p r u c h u n g s v e r h ä lt n i s
f ü r Z u g b z w . 1
«n = k d m f ü r D r u c k .
F ü r m = — (M e talle) w ir d
k s, d a s B e a n s p r u c h u n g s v e r h ä lt n i s
w o r i n
= °>35 0 + °>65 1 ö 2 + 4 («0 * ) 2 ,
k . , k d
1.3
b z w .
i ,3 k > ‘ (kz = z u lä s s ig e Z u g s p a n n u n g ,
k a = z u lä s s ig e D r u c k s p a n n u n g , k s = z u lä s s ig e S c h u b s p a n n u n g ) .
2 2
D e r I n h a l t d e r M o m e n te n f l ä c h e
' S - Ö * 2 / = — Q l 2 kg • cm 2, 12 w
D e n k t m a n s ic h d ie M o m e n te n f l ä c h e a ls B e la s t u n g , s o e r g e b e n s ic h f o lg e n d e W e r t e :
A u f l a g e r d r ü c k e : 21 = 33 = — 0 l 2 kg • cm “.
2 4
m i t h i n 3 L - 1 . /
8 2 1 6
— Q i 2 \ l
24 l 6
= --- O P kg • cm 2 • cm.
3 8 4 ^
: 5 Q l 3 kg cm 2 • cm _
$max —
E J 384 E J
F ü r d ie S p a n n w e i te n / = 100 b is 15 0 0 c m s in d in d e r T a f e l 1 d ie W e r t e d e s A u s d r u c k e s
5 j 3 384 E z u s a m m e n g e s te l lt .
I n d e r T a f e l 2 s in d f ü r d e n g l e i c h m ä ß i g m i t Q = 1,0 t b e l a s t e t e n T r ä g e r a u f z w e i S t ü t z e n d ie e r f o r d e r lic h e n T r ä g h e i t s m o m e n t e f ü r e in e g r ö ß t e z u lä s s ig e D u r c h b i e g u n g v o n
a - - L
O max — a n g e g e b e n .
F ü r d ie T r ä g e r v o n 65 b is 1400 m m H ö h e s in d b e i v o lle r A u s n u t z u n g d e r T r ä g e r u n d <5mar = l in D a s g r ö ß t e M o m e n t e r g i b t s i c h in T r ä g e r m i t t e , d a d o r t
d i e Q u e r k r a f t d a s V o r z e ic h e n w e c h s e lt. D e r S c h w e r p u n k t s a b s t a n d (A b b . 31) i s t g le ic h
5 0 0 T a f e l 3 d ie S p a n n w e i te n l z u s a m m e n g e s te llt.
2) Zweites Beispiel.
F ü r d e n T r ä g e r n a c h A b b . 32 i s t d ie g r ö ß t e D u r c h b ie g u n g z u b e r e c h n e n . N a c h B e s t im m u n g d e r M o m e n t e n f lä c h e u n d E i n t e i l u n g d e r s e lb e n in e in z e ln e S t r e if e n e r g e b e n s ic h d ie a ls E i n z e l k r ä f t e g e d a c h t e n F l ä c h e n i n h a l t e g 2 . . . d e r S tr e if e n , so w ie d e r d a z u g e h ö r ig e A u f l a g e r d r u c k 21 w ie f o lg t (vgl. A b b . 32).
T a f e l 1.
G r ö ß t e D u r c h b i e g u n g d e s g l e i c h m ä ß i g b e l a s t e t e n T r ä g e r s a u f 2 S t ü t z e n f ü r Q = 1 t u n d J = 1 c m 4.
l j <5max
cm 1 cm
l cm
<5max cm
1 cm
<5max cm
i cm
<5max cm
1 cm
<5max cm
l cm
<5max cm
100 6,200 300 167,40 j 500 775,oo 750 2615,6 1000 6200,0 1250 12 109,4
110 ¡ 8,252 310 184,70 510 822,44 760 2721,7 1010 6 387,9 1260 14402,3
120 1 10,714 320 203,16 520 871,77 77 0 2830,5 1020 6 579,5 1270 12 700,0
130 j 13,621 330 222,81 530 923,04 780 2942,2 1030 6 774,9 1280 13002,3
140 I7,0 I 3 340 243,68 540 976,28 790 3056,8 1040 6974,2 1290 13 309,5
150 20,925 350 265,83 550 1031,5 800 3174,4 1050 7177,3 1300 13621,4
160 25,395 360 289,27 560 1088,8 810 3294,9 1060 7384 3 • 1310 13 938,2
170 : 30,761 370 314,05 570 1148,2 820 34i 8,5 1070 7595,3 1320 14 259,8
180 ¡ 36,158 380 340,21 580 1209,7 830 3545 1 1080 7810,2 1330 14586,3
190 42,526 390 367,78 590 1273,3 840 3674,8 1090 8029,2 1340 14917,8
200 49,600 400 396,80 600 1339,2 850 3807,6 1100 8252,2 1350 15 254,3
210 57,4 i8 410 427,31 610 1407,3 860 3943,5 1110 8 479,3 1360 15 595,8
220 66,018 420 459,35 620 1477,6 870 4082,7 1120 8 710,6 1370 15 942,4
230 75,435 430 492,94 630 1550,3 880 4225,1 1130 8 946,0 1380 16294,0
240 85,709 440 528,14 640 1625,3 890 4370,8 1140 9185,6 1390 16650,8
250 96,875 450 564,98 650 1702,7 900 4519,8 1150 9429,4 1400 17012,8
260 108,97 460 603,48 660 1782,5 910 4672,1 1160 9677,6 1410 17380,0
270 1 122,03 470 643,70 670 1864,7 920 4827,9 1170 9 9 3 0 ,o 1420 17752,4
280 136,10 480 685,67 680 1949,5 930 4987,0 1180 10186,8 1430 18 130,1
290 151,21 490 729,42 690 2036,8 940 5149,6 1190 10448,0 1440 18513,1
300 167,40 500 775,oo 700 2126,6 950 5315,7 1200 10713,6 1450 18901,5
710 2219,0 960 5485,4 1210 10983,7 1460 19295,2
he--- ---- ---E»H 720 2314,1 970 5658,6 1220 11258,3 1470 19694,4
730 2411,9 980 5835,4 1230 1 1 537,4 1480 20099,1
x mp 740 2512,4 990 6015,9 1240 11821,1 1490 20509,3
H I | I | | r
750 2615,6 1000 6200,0 1250 12 109,4 1500 20925,0
I3 (cm3) Q (t) t J { cm4) 2IOO
Tafel wert = 0 , 0 0 0 0 0 6 2 / 3
A n w e n d u n g s b e i s p i e l : Für einen Träger von der Stützweite l = 8 8 0 cm, einer gleichmäßig verteilten Last Q = 4 , 6 t, einem Trägheitsmoment J = 7 5 8 7 cm3 ist die Durchbiegung
<5m a x = 4 2 2 5 , 1 = 2 , 5 6 cm.
7587
T a f e l 2 .
D a s g r ö ß t e M o m e n t e r g i b t s ic h a n d e r S te lle , a n