Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja 6.2

Niech < α, β > ⊂ R. Krzywa kawa lkami g ladk, a nazywamy obraz funkcji_, z : < α, β >3 t 7→ z(t) ∈ C,

je´sli z(t) jest klasy C¹ poza sko´nczona ilo´_, scia punkt´_, ow t_i ∈< α, β >, t_i 6= t_j, i, j = 1, . . . n.

Definicja 6.3

Niech dana bedzie krzywa kawa lkami g ladka K = AB parametryzowana funkcj_, a_, z : < α, β >3 t → z(t) ∈ K ⊂ C,

gdzie A = z(α), B = z(β). Niech D ⊂ C obszar, f : D → C funkcja zespolona ograniczona, K ⊂ D. Chcemy zdefiniowa´cR

Kf (z)dz. Okre´slamy kolejno:

- podzia l normalny odcinka < α, β > tzn. α = t₀ < t₁ < t₂. . . , t_n= β, - podzia l luku K na luki z_k−1z_k, k = 1, . . . , n, gdzie z_k = z(t_k),

- na ka˙zdym luku wybieramy dowolny punkt ζ_k ∈ z_k−1z_k, ∆z_k = z_k− z_k−1, - tworzymy sume ca lkow_, a S_, n =Pn

k=1f (ζk)∆zk.

Je˙zeli dla ka˙zdego normalnego ciagu podzia l´_, ow przedzia lu < α, β > ciag sum cz_, e´_,sciowych (S_n) jest zbie˙zny do tej samej granicy, niezale˙znej od wyboru punkt´ow ζk, to granice t_, e nazywamy_, ca lka funkcji f wzd lu˙z luku K i oznaczamy_, R

Kf (z)dz.

Twierdzenie 6.1 (o zamianie ca lki z funkcji zespolonej na ca lke oznaczon_, a)_, Je˙zeli f jest ciag la na krzywej kawa lkami g ladkiej AB parametryzowany funkcj_, a z = z(t),_, t ∈< α, β >, to

Z

AB

f (z)dz = Z β

α

f (z(t))z⁰(t)dt. (6.1)

Dow´od

Niech K = AB. Najpierw zak ladamy, ˙ze AB bedzie krzyw_, a g ladk_, a. Wtedy istnieje pochodna_, z⁰(t) i jest funkcja ci_, ag l_, a na odcinku < α, β >. Zatem ca lka po prawej stronie (6.1) istnieje._, Jej sumy ca lkowe maja posta´_, c

σ_n=

n

X

k=1

f (z(θ_k))z⁰(θ_k)(t_k− t_k−1), θ_k ∈ [t_k−1, t_k], k = 1, . . . , n.

Niech sn oznacza sume ca lkow_, a ca lki_, R

ABf (z)dz, s_n=

n

X

k=1

f (ζ_k)∆z_k, z_k = z(t_k), ζ_k := z(θ_k) ∈ z_k−1z_k, ∆z_k= z_k− z_k−1.

Rozwa˙zmy r´o˙znice s_{, n}− σ_n. s_n− σ_n=

n

X

k=1

[f (ζ_k)∆z_k− f (z(θ_k))z⁰(θ_k)(t_k− t_k−1)]

=

n

X

k=1



f (ζk)z_k− z_k−1

t_k− t_k−1 − f (ζk)z⁰(θk)



(tk− tk−1).

Niech

δ_k := z_k− z_k−1

t_k− t_k−1 − z⁰(θ_k).

Poniewa˙z f jest ciag la na K = AB, to ∃M = sup_{, AB}|f (z)|. Zatem

|s_n− σ_n| ≤

n

X

k=1

M |z⁰(θ_k) + δ_k− z⁰(θ_k)||t_k− t_k−1|.

Poniewa˙z funkcja z⁰(t) jest ciag la na [α, β], to jest tak˙ze jednostajnie ci_, ag la czyli_,

∀ > 0 ∃δ > 0 ∀t, t⁰ |t − t⁰| < δ ⇒ |z⁰(t) − z⁰(t⁰)| < .

Mo˙zemy, za lo˙zy´c, ˙ze dokonujemy takiego podzia lu normalnego aby |t_k− t_k−1| < δ. Wtedy

|δ_k| < . Zatem

|s_n− σ_n| < M (β − α).

Z dowolno´sci  wynika, lim_n→∞s_n= lim_n→∞σ_n. Zatem istnieje ca lka R

ABf (z)dz i r´owna sie_, ca lce Rβ

α f (z(t))z⁰(t)dt. Gdy AB jest krzywa kawa lkami g ladk_, a, to ca lka_, R

ABf (z)dz jest suma_, sko´nczonej ilo´sci ca lek wd lu˙z g ladkich krzywych.

Wniosek 6.1

1. Je˙zeli funkcje f, g sa ca lkowalne wzd lu˙z K = AB, liczby a, b ∈ C, to kombinacja liniowa_, af + bg jest ca lkowalna wzd lu˙z K oraz R

K[af (z) + bg(z)]dz = aR

Kf (z)dz + bR

Kg(z)dz (liniowo´s´c)

2. R

BAf (z)dz = −R

ABf (z)dz.

Dow´od

Je´sli funkcja z(t), t ∈< α, β > opisuje parametryzacje krzywej AB, to zamiana zmien-_, nych z₁ : t 7→ z₁(t) = z(α + β − t) wyznacza orientacje przeciwn_, a krzywej K od punktu_, B do punktu A. Wtedy

Z Z β

0 Z β

0 Z

3. je´sli C ∈ AB to R

dla pewnej liczby Φ ∈ R. Poniewa˙z powy˙zsza ca lka jest liczba rzeczywista nieujemn, a,_, to Poniewa˙z dla funkcji rzeczywistych |Rβ

α g(t)dt| ≤ Rβ

Przyk lad 6.6 (podstawowy) Obliczy´c

Dla n 6= −1 Z

K

(z − z₀)ⁿdz = rⁿ⁺¹i e^i(n+1)t i(n + 1)

^2π

0

= rⁿ⁺¹

n + 1 e^i(n+1)2π− e⁰
= 0.

Definicja 6.4

Niech D ⊂ C obszar, f : D → C funkcja zespolona. Funkcje holomorficzn_, a F : D → C_, nazywamy funkcja pierwotn_, a funkcji f w obszarze D wtedy i tylko wtedy, gdy dla ∀z ∈ D,_, F⁰(z) = f (z).

Uwaga 6.2

Je´sli F₁ i F₂ sa funkcjami pierwotnymi funkcji f , to F_{, 1}− F₂=const.

Twierdzenie 6.2 (o istnieniu funkcji pierwotnej)

Je˙zeli f jest ciag la w kole D = D(z_{, 0}, r) i dla ka˙zdego tr´ojkata ∆ ⊂ D_, Z

∂∆⁺

f (z)dz = 0, to funkcja F (z) =Rz

z0f (ζ)dζ jest funkcja pierwotn_, a funkcji f w D._,

Wa˙zne: w powy˙zszym twierdzeniu ca lkujemy po podcinku lacz_, acym punkty z_{, 0} i z. W dal-szych wyk ladach symbol F (z) =Rz

z0f (ζ)dζ bedzie oznacza´_, c, ˙ze ca lkujmy po dowolnej krzywej lacz_, acej oba punkty._,

Dow´od

Niech z bedzie dowolnym punktem z obszaru D = D(z_{, 0}, r). Definiujemy funkcje_, F (z) :=

Z z zo

f (ζ)dζ,

ca lkujemy wzd lu˙z odcinka lacz_, acego z_, 0 i z zawartego w D. Niech h bedzie tak ma le aby_, odcinek lacz_, acy z i z + h by l zawarty ca lkowicie w D. Suma odcink´_, ow laczacych z_{, 0} i z + h, z + h i z oraz z i z₀ tworzy krzywa g ladk_, a poza sko´_, nczona ilo´sci_, a punkt´_, ow. Z za lo˙zenia wynika, ˙ze

Z z+h z0

f (ζ)dζ + Z z

z+h

f (ζ)dζ + Z z0

z

f (ζ)dζ = 0.

Stad_,

Wstawiajac to oszacowanie do poprzedniej nier´_, owno´sci otrzymamy, ˙ze  jest r´owna h). Zatem



Przechodzac do granicy otrzymamy, ˙ze_, F⁰(z) = lim

h→0

F (z + h) − F (z)

h = f (z).

Stad F_, ⁰(z) = f (z).

Twierdzenie 6.3 (lemat podstawowy rachunku ca lkowego)

D ⊂ C, D-obszar, K = ∂D jest suma sko´, nczonej ilo´sci odcink´ow i luk´ow okreg´_, ow, f ∈ H( ¯D).

Wtedy

Dwie pierwsze ca lki po prawej stronie r´owne sa zeru (korzystamy z przyk ladu 6.6 (podsta-_, wowy) dobierajac odpowiednio n=0 i n=1), za´s_,



Za lo ˙zmy, ˙ze K jest suma bok´_, ow wielokata zorientowanego dodatnio. Dzielimy wielok_, at_, na tr´ojkaty przek_, atnymi. Wtedy ca lka po brzegu wielok_, ata jest sum_, a ca lek wzd lu˙z brzeg´_, ow tr´ojkat´_, ow. Zatem z poprzedniego kroku ca lka bedzie r´_, owna zeru.

Og´olny przypadek. Sprowadzimy go do przypadku poprzedniego. W n-tym kroku wy-bierzmy na konturze K punkty z_k oraz dyski D_k = {z : |z − z_k| < r}, k = 1, . . . , n dla pewnego r tak aby funkcja f by la holomorficzna na D_r := D₀ ∪ Sn

k=1D_k, gdzie D₀ to obszar t.˙ze ∂D₀ = K. Tworzymy ciag sum ca lkowych I_{, n} = Pn

k=1f (ζ_k)(z_k − z_k−1), gdzie ζ_k ∈ z_k−1z_k, n ∈ N. Wtedy In→R

Kf (z)dz. Wybierzmy n takie, ˙ze 

   Z

K

f (z)dz − I_n    

< 1

2. (6.2)

Gdy n jest dostatecznie du˙ze, to d lugo´sci odcink´ow zkzk+1 sa dowolnie ma le i lamana Γ_, n o wierzcho lkach w punktach z₁, . . . , z_n le˙zy ca lkowiecie w obszarze D_r.

Mo˙zemy przy tym za lo˙zy´c, ˙ze zachodzi nier´owno´s´c |f (z)−f (ζ_k)| < _2d^, gdzie d oznacza d lugo´s´c konturu K tzn. d = |K|. Policzymy ca lke z f wzd lu˙z lamanej Γ_{, n}.

Z

Γn

f (z)dz =

n

X

k=1

Z zk

zk−1

f (z)dz

Niech η_k(z) := f (z) − f (ζ_k). Wtedy z jednostajnej ciag lo´sci f wynika, ˙ze dla du˙zych n,_,

|η_k(z)| <  2d. Wtedy

Z

Γn

f dz =

n

X

k=1

Z zk

zk−1

f (z)dz =

n

X

k=1

Z zk

zk−1

[f (ζ_k) + η_k]dz = I_n+

n

X

k=1

Z zk

zk−1

η_k.

Zatem

Z Twierdzenia 6.2 i Twierdzenia 6.3 wynika nastepuj_, acy wniosek._, Twierdzenie 6.4

Poniewa˙z zak ladamy, ˙ze pochodna funkcji F⁰ jest funkcja ci_, ag l_, a, to mo˙zemy skorzysta´_, c z twierdzenia o zamianie ca lki z funkcji zespolonej na ca lke oznaczon_, a. Zatem_,

Z

1. Przy za lo˙zeniach powy˙zszego twierdzenia R

Kf (z)dz = 0, gdzie K krzywa zamknieta._, 2. Przy za lo˙zeniach powy˙zszego twierdzenia ca lkaR

Kf (z)dz nie zale˙zy od drogi ca lkowania w obszarze D.

Dow´od pierwszego wniosku jest oczywisty.

Aby dowie´sc drugi po laczmy punkty z_{, 1}, z₂ krzywymi K₁, K₂ i obierzmy na nich zwrot od z₁ do z2. Wtedy

Z Z Z Z Z

Stad_,

Z

K1

f (z)dz = Z

K2

f (z)dz.

Uwaga 6.3

Za lo˙zenie holomorficzno´sci funkcji F w obszarze D jest istotne.

Przyk lad 6.7

Niech f (z) = ¹_z. Jej funkcja pierwotn_, a jest funkcja F (z) = Lnz._,

Niech D1 bedzie ograniczonym obszarem takim, ˙ze 0 /_, ∈ D1, K1 = ∂D1. Wtedy f ∈ H(D) za´s f (z) = F⁰(z) jest funkcja ci_, ag la w D. Zatem_, R

K1f (z)dz = 0. Je´sli natomiast D₂ = {z : |z| < 1}, to F (z) nie jest zdefinowana w zerze czyli F /∈ H(D₂), za´s ca lka R

|z|=1 1

zdz =R2π

0 e^−ite^itidt = iR2π

0 dt = 2πi.

W dokumencie ANALIZA ZESPOLONA (Stron 42-50)