ANALIZA ZESPOLONA
IV semestr 2013/14
oprac. Janina Kotus
Spis tre´sci
1. Pojecia podstawowe, str. 5
1.1 Rzut stereograficzny str. 5
1.2 Metryki w C i ¯C str. 6
2. Funkcje zespolone str. 8
2.1 Granica i ciag lo´s´, c str. 9
2.2 Pochodna str. 9
2.3 Pochodne formalne str. 13
2.4 Pochodna kierunkowa funkcji str. 14
2.5 Funkcje holomorficzne str. 15
3. Funkcje elementarne str. 16
3.1 Funkcja wyk ladnicza str. 16
3.2 Funkcje trygonometryczne str. 18
3.3 Funkcje hiperboliczne str. 21
3.4 Funkcja logarytmiczna str. 22
3.5 Funkcja potegowa, str. 22
3.6 Powierzchnie Riemanna funkcji wielowarto´sciowych str. 23
4. Szeregi funkcyjne str. 23
4.1 Szeregi liczbowe str. 23
4.2 Rodzaje zbie˙zno´sci szereg´ow funkcyjnych str. 25
4.3 Szeregi potegowe, str. 26
4.5 Funkcje analityczne str. 30
5. Odwzorowania konforemne str. 32
5.1 Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej str. 32 5.2 Interpretacja geometryczna r´owna´n Cauchy’ego-Riemanna str. 34
5.3 Odwzorowania konforemne str. 35
6. Ca lka z funkcji zespolonej str. 40 6.1 Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej str. 40 6.2 Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej str. 42
7. Twierdzenia i wzory ca lkowe Cauchy’ego str. 50
8. Funkcje holomorficzne w C str. 59
9. Zera funkcji holomorficznej str. 60
10. Szeregi Laurenta str. 61
11. Punkty osobliwe str. 65
11.1 Punkty osobliwe izolowane str. 65
11.2 Zachowanie sie funkcji holomorficznej w punkcie ∞, str. 70 11.3 Klasyfikacja funkcji holomorficznych ze wzgledu na ich punkty osobliwe, str. 72
12. Obliczanie ca lek za pomoca residu´, ow str. 73
13. Geometryczna teoria funkcji str. 81
14. Przed lu˙zenia analityczne str. 86
15. Rodziny normalne funkcji str. 90
16. Funkcje harmoniczne str. 97
.
1 Poj ecia podstawowe
,Zbi´or liczb zespolonych C = {z = x + iy : x, y ∈ R} mo˙zna uto˙zsamia´c z p laszczyzna dwuwy-, miarowa, kt´, ora b, edziemy oznacza´, c symbolem C i nazywa´c p laszczyzna zespolon, a,
otwarta.,
Aby zdefiniowa´c jej domkniecie podamy najpierw definicj, e przekszta lcenia zwanego rzutem, stereograficznym.
1.1 Rzut stereograficzny
W przestrzeni R3 definiujemy sfere x, 2 + y2+ z − 122
= 14 o ´srodku w punkcie (x0, y0, z0) = (0, 0,12) i promieniu r = 12, styczna do p laszczyzny uk ladu OXY w pocz, atku uk ladu wsp´, o lrzednych., Punkt N = (0, 0, 1) ∈ S2 nazywa´c bedziemy biegunem p´, o lnocnym sfery.
Konstrukcja rzutu stereograficznego
Ka˙zdemu punktowi z = x + iy ∈ C przyporzadkujemy punkt Z(ξ, η, ζ) ∈ S, 2\ {N } bed, acy, punktem przeciecia odcinka l, acz, acego punkt z ∈ C z punktem N .,
Definicja 1.1 Odwzorowanie
P : C z =⇒ Z ∈ S2\ {N }, z = x + iy =⇒ Z = (ξ, η, ζ), gdzie
ξ = x
1 + |z2|, η = y
1 + |z2|, ζ = |z|2 1 + |z2|, nazywamy rzutem stereograficznym.
Uwaga 1.1
Rzut stereograficzny posiada przekszta lcenie odwrotne
P−1 : S2\ {N } =⇒ C, Z = (ξ, η, ζ) =⇒ z = x + iy, zdefiniowane wzorem x = 1−ζξ , y = 1−ζη .
Zatem rzut stereograficzny jest bijekcja mi, edzy p laszczyzn, a otwart, a C i sfer, a bez bieguna, p´o lnocnego, kt´oremu nie odpowiada ˙zaden punkt na p laszczy´znie.
Uwaga 1.2
Um´owimy sie, ˙ze punktowi N odpowiada punkt w niesko´, nczono´sci (ozn. ∞).
Definicja 1.2
P laszczyzna domnki, et, a, kt´, ora oznaczamy symbolem ¯C nazywamy sume C∪{∞} i uto˙zsamiamy, ja z dwywymiarow, a sfer, a zwan, a sfer, a Riemanna.,
1.2 Metryki w C i ¯ C
W p laszczy´znie otwartej C wprowadzamy metryke euklidesow, a, d(z1, z2) :=p
(Rez1− Rez2)2+ (Imz1− Imz2)2 = |z1− z2|.
W p laszczy´znie domknietej ¯, C wprowadzamy metryke sferyczn, a, w kt´, orej odleg lo´s´c miedzy, punktami z1, z2 rozumiemy odleg lo´s´c euklidesowa mi, edzy ich obrazami przy rzucie stereogra-, ficznym na sferze tzn.
ρ(z1, z2) := d(P (z1), P (z2)) = |z1− z2|
p1 + |z1|2p1 + |z2|2 z1 6= z2 ∈ C, ρ(z, ∞) := 1
p1 + |z|2, z 6= ∞.
Uwaga 1.3
Aby otrzyma´c drugi wz´or z pierwszego nale˙zy za z1 podstawi´c z i podzieli´c licznik oraz mianownik przez z2.
ρ(z, z2) = |z − z2|
p1 + |z|2p1 + |z2|2 = |zz
2 − 1|
p1 + |z|2q
1+|z2|2
|z2|2
→ 1
p1 + |z|2 jesli z2 → ∞.
Uwaga 1.4
∀z1, z2 ∈ ¯C, 0 ≤ ρ(z1, z2) ≤ 1.
Uwaga 1.5
P laszczyzna domknieta ¯, C z metryka sferyczn, a jest przestrzeni, a metryczn, a zwart, a., Uwaga 1.6
Na zbiorach ograniczonych, zawartych w C obie metryki euklidesowa i sferyczna sa r´, ownowa˙zne tzn. je´sli A ⊂ {z : |z| ≤ R}, (R < ∞), to
|z1− z2|
1 + R2 ≤ ρ(z1, z2) ≤ |z1− z2| ∀z1, z2 ∈ A.
Definicja 1.3
Zbi´or U (z0, ) = {z ∈ C : d(z, z0) = |z − z0| < } nazywamy -otoczeniem punktu z0 ∈ C w p laszczy´znie C (otwartej).
Definicja 1.4
Zbi´or U (z0, ) = {z ∈ ¯C : ρ(z, z0) < } nazywamy -otoczeniem punktu z0 ∈ ¯C w p laszczy´znie C (domkni¯ etej). Zatem:,
U (∞, ) = {z ∈ ¯C : ρ(z, ∞) < } = {z ∈ C :¯ 1
p1 + |z|2 < } = {z ∈ ¯C : |z| >
r1
2 − 1}, − ma le.
Otoczeniem punktu w ∞ w p laszczy´znie ¯C jest dope lnienie domknietego ko la o ´, srodku w zerze.
Definicja 1.5
- Otoczeniem nak lutym punktu z0 ∈ C w p laszczy´znie C nazywamy zbi´or U(z0, ) \ {z0} = {z ∈ C : 0 < |z − z0| < }.
- Otoczeniem nak lutym punktu z0 ∈ ¯C w p laszczy´znie ¯C nazywamy zbi´or U (z0, ) \ {z0} = {z ∈ C : 0 < ρ(z, z0) < }.
Definicja 1.6
Obszarem D nazywamy zbi´or punkt´ow p laszczyzny ¯C spe lniajacy warunki:,
- (otwarto´s´c) ∀a ∈ D ∃ U (a, )-otoczenie takie, ˙ze U (a, ) ⊂ D,
- ( lukowa sp´ojno´s´c) ∀a, b ∈ D istnieje droga o ko´ncach a,b zawarta w D.
Droga o ko´, ncach a, b nazywamy funkcje ci, ag l, a γ : [t, 0, t1] → ¯C taka, ˙ze γ(t, 0) = a, γ(t1) = b.
Stwierdzenie 1.1
Dla zbior´ow otwartych zawartych w C (odpow. w ¯C) lukowa sp´ojno´s´c pokrywa sie ze spojno´, scia, zbior´ow.
Definicja 1.7*
Obszar D ⊂ C (odpow. D ⊂ ¯C) nazywamy jednosp´ojnym, je´sli jego brzeg jest zbiorem sp´ojnym. W przeciwnym przypadku obszar nazywamy wielosp´ojnym.
(*) P´o´zniej podamy inna definicj, e jednosp´, ojno´sci.
2 Funkcje zespolone
Definicja 2.1 Odwzorowanie
f : D ⇒ ¯C, D ⊂ C z ⇒ w = f (z) nazywamy funkcje zespolon, a zmiennej zespolonej.,
Argument z funkcji f i jej warto´s´c w = f (z) rozk ladamy na cze´s´, c rzeczywista i urojon, a tzn., z = x + iy, w = u + iv. Otrzymujemy w ten spos´ob rozk lad funkcji
w = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
na cze´s´, c rzeczywista Ref (z) := u(x, y) i cz, e´s´, c urojona Imf (z) := v(x, y).,
Cze´s´, c rzeczywista i urojona funkcji zespolonej f jest funkcja rzeczywist, a dw´, och zmiennych x, y.
Przyk lad 2.1
Znale´z´c cze´s´, c rzeczywista i urojon, a funkcji f (z) = iz, 2.
f (z) = iz2 = i(x + iy)2 = i(x2+ 2ixy − y2) = ix2− 2xy − iy2 = −2xy + i(x2 − y2).
Zatem
Ref (z) = u(x, y) = −2xy, Imf (z) = v(x, y) = x2− y2. Przyk lad 2.2
Dane sa cz, e´s´, c rzeczywista u(x, y) = x − y i urojona v(x, y) = 4xy funkcji zespolonej f . Przedstawi´c funkcje f jako funkcj, e zmiennej zespolonej z.,
z = x + iy, z = x − iy¯ ⇒ x = z + ¯z
2 , y = z − ¯z 2i . Podstawiamy
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) = (x − y) + i4xy = z + ¯z 2
− z − ¯z 2i
+ i4 z + ¯z 2
z − ¯z 2i
= z 1 2− 1
2i
+ ¯z 1 2 + 1
2i
− (z2− ¯z2) = z 1 2 + i1
2
+ ¯z 1 2 − i1
2
+ z2− ¯z2.
2.1 Granica i ci ag lo´
,s´ c
Definicja 2.2
z→zlim0
f (z) = g ⇔ ∀ > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ D 0 < d(z, z0) < δ ⇒ d(f (z), g) < .
Stwierdzenie 2.1
z→zlim0
f (z) = g ⇔ lim
(x,y)→(x0,y0)u(x, y) = Reg i lim
(x,y)→(x0,y0)v(x, y) = Img.
Definicja 2.3
Funkcja f jest ciag la w z, 0 ⇔ limz→z0f (z) = f (z0).
Twierdzenie 2.1
Funkcja f (z) = u(x, y) + iv(x, y) jest ciag la w z, 0 ⇔ funkcje u i v sa ciag le w (x, 0, y0).
Definicja 2.4
Funkcja f jest ciag la w ∞, je´, sli funkcja f (1z) jest ciag la w zerze.,
2.2 Pochodna
Definicja 2.5
Granice w la´, sciwa ilorazu r´, o˙znicowego
∆z→0lim
f (z + ∆z) − f (z)
∆z
nazywamy pochodna funkcji f w punkcie z i oznaczamy f, 0(z).
f0(z) := lim
∆z→0
f (z + ∆z) − f (z)
∆z ,
f0(z0) := lim
z→z0
f (z) − f (z0) z − z0 . Je˙zeli funkcje f i g maja pochodn, a w punkcie z, to,
1. (f ± g)0(z) = f0(z) ± g0(z).
2. (f g)0(z) = f0(z)g(z) + f (z)g0(z).
3.
f0
(z) = f0(z)g(z)−f (z)g0(z)
dla z /∈ g−1(0).
Je˙zeli funkcja f ma pochodna w punkcie g(z) i g ma pochodn, a w punkcie z, to, (f ◦ g)0(z) = f0(g(z))g0(z).
Twierdzenie 2.2 (warunek konieczny istnienia pochodnej)
Je˙zeli funkcja f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ma w punkcie z0 = x0+ iy0 pochodna f, 0(z0), to istnieja, w punkcie (x0, y0) pochodne czastkowe, ∂u∂x,∂u∂y,∂v∂x,∂v∂y i spe lniaja w punkcie (x, 0, y0) warunki:
∂u
∂x(x0, y0) = ∂v
∂y(x0, y0), ∂u
∂y(x0, y0) = −∂v
∂x(x0, y0), zwane warunkami Cauchy’ego-Riemanna.
Dow´od. Zak ladamy, ˙ze istnieje
f0(z0) = lim
∆z→0
f (z0+ ∆z) − f (z0)
∆z .
Niech ∆z = ∆x + i∆y (1) ∆y = 0 ⇒ ∆z = ∆x
f0(z0) = lim
∆x→0
u(x0 + ∆x, y0) + iv(x0+ ∆x, y0) − u(x0, y0) − iv(x0, y0)
∆x
= lim
∆x→0
u(x0+ ∆x, y0) − u(x0, y0)
∆x + iv(x0+ ∆x, y0) − v(x0, y0)
∆x
= ∂u
∂x(x0, y0) + i∂v
∂x(x0, y0).
(2) ∆x = 0 ⇒ ∆z = i∆y f0(z0) = lim
∆y→0
u(x0, y0+ ∆y) + iv(x0, y0+ ∆y) − u(x0, y0) − iv(x0, y0) i∆y
= lim
∆y→0
u(x0, y0+ ∆y) − u(x0, y0)
i∆y + v(x0, y0+ ∆y) − v(x0, y0)
∆y
= −i∂u
∂y(x0, y0) + ∂v
∂y(x0, y0).
Zatem
∂u
∂x(x0, y0) + i∂v
∂x(x0, y0) = −i∂u
∂y(x0, y0) + ∂v
∂y(x0, y0).
Stad,
∂u
∂x(x0, y0) = ∂v
∂y(x0, y0) oraz ∂u
∂y(x0, y0) = −∂v
∂x(x0, y0).
Wniosek 2.1
Je˙zeli istnieje pochodna funkcji f w punkcie z0, to:
f0(z0) = ∂u
∂x(x0, y0) + i∂v
∂x(x0, y0) = ∂v
∂y(x0, y0) − i∂u
∂y(x0, y0)
= ∂u
∂x(x0, y0) − i∂u
∂y(x0, y0) = ∂v
∂y(x0, y0) + i∂v
∂x(x0, y0).
Wniosek 2.2
Pochodne czastkowe funkcji f wyra˙zaj, a si, e wzorami,
∂f
∂x(x, y) =∂u
∂x(x, y) + i∂v
∂x(x, y)
∂f
∂y(x, y) =∂u
∂y(x, y) + i∂v
∂y(x, y).
Stad i z wniosku 2.1 otrzymamy nast, epuj, ace wzory na pochodn, a funkcji f w punkcie z, 0. f0(z0) = ∂f
∂x(x0, y0) = −i∂f
∂y(x0, y0).
Twierdzenie 2.3 (warunek dostateczny istnienia pochodnej)
Je˙zeli funkcje u(x, y) i v(x, y) sa r´, ozniczkowalne w punkcie (x0, y0) i spe lniaja w tym punkcie, warunki Cauchy’ego Riemanna, to funkcja f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodna f, 0(z0).
Dow´od. Funkcje u i v sa r´, o˙zniczkowalne w punkcie (x0, y0), wiec, (1) ∆u(x0, y0) = u(x, y) − u(x0, y0) = ∂u
∂x(x0, y0)∆x +∂u
∂y(x0, y0)∆y + o1(|∆z|), gdzie |∆z| = p(∆x)2+ (∆y)2, o1 jest wielko´scia ma lego rz, edu tzn. lim, ∆z→0 o1(|∆z|)∆z = 0.
Analogicznie
(2) ∆v(x0, y0) = v(x, y) − v(x0, y0) = ∂v
∂x(x0, y0)∆x + ∂v
∂y(x0, y0)∆y + o2(|∆z|), o2 jest wielko´scia ma lego rz, edu tzn. lim, ∆z→0 o2(|∆z|)
∆z = 0.
(3) ∆f (z0) = f (z) − f (z0) = ∆u(x0, y0) + i∆v(x0, y0).
Podstawiajac (1) i (2) do (3) otrzymamy:,
∆f
∆z(z0) = ∆u
∆z(x0, y0) + i∆v
∆z(x0, y0) =
∂u
∂x(x0, y0)∆x
∆z +∂u
∂y(x0, y0)∆y
∆z
+ o1(|∆z|)
∆z + i ∂v
∂x(x0, y0)∆x
∆z + ∂v
∂y(x0, y0)∆y
∆z
+ io2(|∆z|)
∆z =
∂u
∂x(x0, y0) + i∂v
∂x(x0, y0) ∆x
∆z + ∂u
∂y(x0, y0) + i∂v
∂y(x0, y0) ∆y
∆z + o1(|∆z|)
∆z + io2(|∆z|)
∆z . Korzystajac z za lo˙zenia, ˙ze funkcje u(x, y) i v(x, y) spe lniaj, a warunki Cauchy’ego-Riemanna,
∂u
∂x(x0, y0) = ∂v
∂y(x0, y0) i ∂u
∂y(x0, y0) = −∂v
∂x(x0, y0) otrzymamy, ˙ze
∆f
∆z(z0) = ∂u
∂x(x0, y0) + i∂v
∂x(x0, y0) ∆x + i∆y
∆z
+o1(|∆z|)
∆z + io2(|∆z|)
∆z . Zatem
lim
∆z→0
∆f
∆z(z0) = lim
∆z→0
∂u
∂x(x0, y0) + i∂v
∂x(x0, y0)
+o1(|∆z|)
∆z + io2(|∆z|)
∆z .
Stad wynika, ˙ze istnieje granica w la´sciwa ilorazu r´, o˙znicowego w punkcie z0, czyli istnieje po- chodna f0(z0).
Przyk lad 2.3
Dla jakich punkt´ow z ∈ C funkcja f (z) = z¯z = |z|2 = x2+ y2 ma pochodna?,
Ref (z) = u(x, y) = x2 + y2, Imf (z) = v(x, y) ≡ 0. Funkcje u i v sa r´, o˙zniczkowalne dla
∀(x, y) ∈ R2. Sprawdzamy warunki C-R.
u0x = 2x, u0y = 2y, vx0 = v0y = 0.
Stad,
u0x = vy0 ⇔ x = 0, u0y = −v0x ⇔ y = 0.
Zatem warunki Cauche’go Riemanna sa spe lnione tylko w punkcie z, 0 = 0. Z Twierdzenia 2.2 wynika, ˙ze tylko w tym punkcie spe lniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej. Z twierdzenia 2.3 za´s wynika, ˙ze w punkcie z0 = 0 spe lnione sa r´ownie˙z warunki dostateczne istnienia pochodnej funkcji f . Pochodna funkcji policzymy z definicji.,
f0(0) = lim
z→0
f (z) − f (0)
z − 0 = lim
z→0
z ¯z z = lim
z→0z = 0.¯
2.3 Pochodne formalne
Niech f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Za l´o˙zmy, ˙ze funkcje u(x, y) i v(x, y) sa r´, o˙zniczkowalne w punkcie z0 = (x0, y0). Wyprowadzimy wzory na pochodne formalne f (z).
df = du + idv =(u0xdx + u0ydy) + i(v0xdx + v0ydy)
=(u0xdx + iv0xdx) + (u0ydy + iv0ydy)
=∂f
∂xdx + ∂f
∂ydy.
(2.1)
Poniewa˙z dz = dx + idy i d¯z = dx − idy, to dx = 1
2(dz + d¯z), dy = 1
2i(dz − d¯z). (2.2)
Wstawiajac (2.2) do (2.1) otrzymamy, df =∂f
∂x 1
2(dz + d¯z) + ∂f
∂y 1
2i(dz − d¯z)
=1 2
∂f
∂x − i∂f
∂y
dz +1 2
∂f
∂x + i∂f
∂y
d¯z
=∂f
∂zdz +∂f
∂ ¯zd¯z.
(2.3)
Definicja 2.6.
Pochodne formalne funkcji f (z) definiujemy nastepuj, aco:,
∂f
∂z := 1 2
∂f
∂x − i∂f
∂y
, ∂f
∂ ¯z := 1 2
∂f
∂x + i∂f
∂y
.
Twierdzenie 2.4 (warunek r´o ˙zniczkowalno´sci funkcji w postaci zespolonej)
Niech f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Zak ladamy, ˙ze funkcje u(x, y) i v(x, y) sa r´, o˙zniczkowalne w punkcie z0 = (x0, y0). Wtedy funkcja f (z) ma pochodna w punkcie z, 0 = x0+ iy0 wtedy i tylko wtedy gdy ∂f∂ ¯z(z0) = 0.
Dow´od Korzystajac z definicji pochodnej formalnej mamy, ˙ze,
∂f
∂ ¯z = 1 2
∂f
∂x + i∂f
∂y
= 1
2 u0x+ iv0x+ i(u0y+ iv0y) = 1
2 u0x− v0y+ i(u0x+ ivy0) . Zauwa˙zmy, ˙ze warunek ∂f∂ ¯z(z0) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy u0x(x0, y0) = vy0(x0, y0) i u0(x , y ) = −v0(x , y ), czyli gdy spe lnione sa warunki Cauchy’ego-Riemanna w punkcie
Uwaga 2.1 f0(z0) = ∂f∂z(z0) Dow´od
Z wniosku 2.1 wynika, ˙ze f0(z0) = ∂u∂x(x0, y0) + i∂v∂x(x0, y0). Natomiast ∂f∂z = 12
∂f
∂x − i∂f∂y
=
1
2 u0x+ iv0x− i(u0y + iv0y) = 21 (u0x+ vy0) + i(v0x− u0y) . Korzystajac z faktu, ˙ze je´sli istnieje, f0(z0) to f spe lnia w punkcie z0 warunki Cauchy’ego-Riemanna otrzymamy, ˙ze
∂f
∂z(z0) = 1
2u0x(x0, y0) + vy0(x0, y0) + i(v0x(x0, y0) − u0y(x0, y0))
= 1
2[2u0x(x0, y0) + i2vx0(x0, y0)] = f0(z0)
2.4 Pochodna kierunkowa funkcji
Niech D ⊂ C, f : D → C, z0 ∈ D. Wtedy
∆f = f (z) − f (z0), ∆z = z − z0, ∆¯z = ¯z − ¯z0. Zatem
∆f = ∂f
∂z∆z + ∂f
∂ ¯z∆¯z + o(∆z),
gdzie o(∆z) oznacza ma la wy˙zszego rz, edu wzgl, edem ∆ tzn. lim, ∆z→0 o(∆z)∆z = 0. Zapiszemy
∆z = |∆z|eiθ, wtedy ∆¯z = |∆z|e−iθ.
∆f
∆z = ∂f
∂z +∂f
∂ ¯ze−2iθ+ η(∆z), gdzie η(∆z) = o(∆z)∆z → dla ∆z → 0.
Do istnienia granicy ilorazu ∆f∆z dla ∆z → 0 potrzeba i wystarcza, aby przy da˙zeniu ∆z → 0, kat θ = arg(∆z) d, a˙zy l do pewnej granicy φ. Granic, a ilorazu, ∆f∆z gdy arg(∆z) da˙zy do k, ata φ, nazywamy pochodna funkcji f w kierunku k, ata φ w punkcie z, 0 i oznaczamy symbolem ∂z∂f
φ.
∂f
∂zφ = ∂f
∂z +∂f
∂ ¯ze−2iφ. Uwaga 2.2
Je˙zeli ∂f∂ ¯z(z0) 6= 0, to pochodne kierunkowe w tym punkcie zale˙za od od kierunku.,
Uwaga 2.3
Funkcja ma pochodna w punkcie z, 0 ⇔ ∂f∂ ¯z(z0) = 0 ⇔ gdy pochodna funkcji f nie zale˙zy od od kierunku φ w punkcie z0.
2.5 Funkcje holomorficzne
Definicja 2.7
Funkcje f (z) nazywamy holomorficzn, a (r´, o˙zniczkowalna w sensie zespolonym) w obszarze D, je´sli w ka˙zdym punkcie z ∈ D istnieje pochodna f0(z).
Ozn. f ∈ H(D).
Definicja 2.8
Funkcje f (z) nazywamy holomorficzn, a (r´, o˙zniczkowalna w sensie zespolonym) w punkcie, z0 ∈ D je´sli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego punktu.
Przyk lad 2.4
Zbada´c holomorficzno´s´c funkcji f (z) = |z|2 = z ¯z.
Wiadomomo, ˙ze f0(z0) istnieje wtedy i tylko wtedy gdy ∂f∂ ¯z(z0) = 0. Policzymy ∂f∂ ¯z(z) = z.
Stad, ∂f∂ ¯z(z) = 0 ⇔ z = 0. Zatem f ma pochodna tylko w z, 0 = 0. Policzymy ja z definicji, f0(z0) = lim
z→0
f (z) − f (z0) z − z0
= lim
z→0
z ¯z − 0 z − 0 = lim
z→0z = 0.¯
- f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z, 0 = 0, ani w ca lej p laszczy´znie C.
Przyk lad 2.5
Zbada´c holomorficzno´s´c funkcji f (z) = z2z.¯
Policzymy ∂f∂ ¯z(z) = z2. Stad, ∂f∂ ¯z(z) = 0 ⇔ z = 0. Zatem f ma pochodna tylko w z, 0 = 0.
Policzymy ja z definicji,
f0(z0) = lim
z→0
f (z) − f (z0)
z − z0 = lim
z→0
z2z − 0¯ z − 0 = lim
z→0z ¯z = 0
- f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z, 0 = 0, ani w ca lej p laszczy´znie C. Jest to kolejny przyk lad funkcji, kt´ora ma pochodna w punkcie ale nie, jest w nim holomorficzna.
W lasno´sci funkcji holomorficznych:
1. Je´sli f, g ∈ H(D), to (f ± g) ∈ H(D) oraz f g ∈ H(D).
2. Je´sli f, g ∈ H(D), to fg ∈ H(D \ (g−1(0)).
3. Je´sli g ∈ H(D), f ∈ H(f (D)), to (f ◦ g) ∈ H(D).
3 Funkcje elementarne
3.1 Funkcja wyk ladnicza
Funkcje wyk ladnicz, a w dziedzinie zespolonej zdefiniujemy tak samo jak w analizie rzeczywistej, tzn.
exp(z) := lim
n→∞
1 + z
n
n
. Wyka˙zemy istnienie tej granicy dla ka˙zdego z ∈ C.
1. Najpierw poka˙zemy zbie˙zno´s´c modu l´ow tzn.
n→∞lim
1 + z
n
n
= ex. (3.1)
Skorzystamy z w lasno´sci, ˙ze |zn| = |z|n. Zatem
1 + z
n
n =
1 + x
n
2
+ y2 n2
n/2
=
1 + 2x
n +x2+ y2 n2
n/2
. Przechodzac do granicy otrzymamy, ˙ze,
n→∞lim
1 + z
n
n = ex, czyli zachodzi (3.1).
2. Niech Argz oznacza argument g l´owny liczby z. Poka˙zemy, ˙ze
n→∞lim Arg 1 + z
n
n
= y. (3.2)
Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze
Arg 1 + z
n
= arctg
y n
1 + nx. Poniewa˙z Arg(zn) = nArg(z), to
Arg 1 + z
n
n
= narctg
y n
1 + xn
.
Przechodzac do granicy otrzymamy, ˙ze,
n→∞lim
narctg
y n
1 + xn
= y, czyli zachodzi (3.2).
Z jednoznaczno´sci zapisu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej otrzymamy, ˙ze modu l liczby ez czyli |ez| = limn→∞
1 + nzn
= ex, za´s Arg(ez) = limn→∞Arg 1 + znn
= y. Stad, exp(z) = ez = ex+iy= ex(cosy + isiny). (3.3) Podstawiajac za z = 0 + iy otrzymamy wz´, or Eulera tzn.
∀y ∈ IR eiy = cosy + isiny (3.4)
Wracajac do definicji funkcji wyk ladniczej e, z (znowu korzystajac z jednoznaczno´sci zapisu, liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej) otrzymamy, ˙ze
ez = ex+iy = exeiy = ex(cosy + isiny).
W lasno´sci
a) Cze´s´, c rzeczywista i urojona funkcji f (z) = ez wynosza odpowiednio, u(x, y) = excosy, v(x, y) = exsiny.
b) |ez| = ex.
c) funkcja ez jest holomorficzna w C oraz (ez)0 = ez.
Jest oczywiste, ˙ze cze´s´, c rzeczywista i urojona funkcji sa klasy C, 1(R2). Poka˙zemy, ˙ze spe lniaja r´, ownania Cauchy’ego-Riemanna:
u0x(x, y) = excosy, u0y(x, y) = −exsiny, v0x(x, y) = exsiny, v0y(x, y) = excosy, u0x(x, y) = vy0(x, y), u0y(x, y) = −vx0(x, y).
f0(z) = ∂f
∂z = u0x+ iv0x= excosy + iexsiny = ex(cosy + isiny) = ez. d) ∀z1, z2 ∈ C, ez1+z2 = ez1ez2.
ez1ez2 = ex1(cosy1+ isiny1)ex2(cosy2 + isiny2) = ex1+x2(cos(y1+ y2) + isin(y1+ y2)) .
e) ∀z ∈ C, ez 6= 0.
Przypu´s´cmy, ˙ze
ez = 0 ⇐⇒ ex(cosy + isiny) = 0 ⇐⇒ excosy = 0 ∧ exsiny = 0.
Poniewa˙z ex 6= 0 to cosy = 0 i siny = 0. Pierwsza r´owno´s´c zachodzi dla y = π2 + kπ, druga za´s dla y = kπ, gdzie k ∈ Z. Poniewa˙z obie r´owno´sci nie moga zachodzi´, c jednocze´snie, otrzymana sprzeczno´s´c dowodzi, ˙ze ez 6= 0 dla ka˙zdego z ∈ C.
f) funkcja ez jest okresowa o okresie podstawowym T = 2πi.
Dla k ∈ Z korzystajac z okresowo´sci funkcji trygonometrycznych sinx i cosx mamy, ez+2kπi= eze2kπi = ez(cos(2kπ) + isin(2kπ)) = ez(1 + i0) = ez.
g) funkcja ez jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wyk ladniczej ex. Niech z = x + i0 ∈ R. Wtedy ez = ex(cos0 + isin0) = ex(1 + i0) = ex.
Uwaga 3.1
Zostanie p´o´zniej udowodnione, ˙ze funkcja wyk ladnicza ez rozwinie sie w szereg Maclaurina, tzn.
ez =
∞
X
k=1
zk
k! dla ka˙zdego z ∈ C.
3.2 Funkcje trygonometryczne
Funkcje cosz i sinz w dziedzinie zespolonej definiujemy nastepuj, aco:, cosz := eiz+ e−iz
2 , sinz := eiz− e−iz 2i , tgz = sinz
cosz = eiz − e−iz
i(eiz + e−iz), ctgz = cosz
sinz = i(eiz + e−iz) (eiz − e−iz). W lasno´sci
a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. sinz i cosz dla z ∈ C,,
tgz dla z ∈ {z ∈ C : z 6= kπ + π2, k ∈ Z}, ctgz dla z ∈ {z ∈ C : z 6= kπ, k ∈ Z}.
Korzystamy z faktu, ˙ze funkcja wyk ladnicza ezjest funkcja holomorficzn, a oraz z w lasno´sci, dzia la´n na tych funkcjach. Stad mo˙zna wyprowadzi´, c wzory na pochodna:,
(cosz)0 = 1
2(ieiz− ie−iz) = i
2(eiz− e−iz) = − 1
2i(eiz − e−iz) = −sinz.
(sinz)0 = 1
2i(ieiz+ ie−iz) = i
2i(eiz + e−iz) = 1
2(eiz+ e−iz) = cosz.
(tgz)0 = 1
cos2z (ctgz)0 = −1 sin2z. b) cos2z + sin2z = 1.
cos2z + sin2z = eiz+ e−iz 2
2
+ eiz − e−iz 2i
2
=1
4 e2iz+ 2eize−iz+ e−2iz − 1
4 e2iz− 2eize−iz + e−2iz
=4eize−2iz 4 = 1.
c) Cze´sci rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynosz, a odpowiednio:, sinz = sinxchy + icosxshy
cosz = cosxchy − isinxshy tgz = sin2x
cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y Dow´od podamy dla funkcji sinz
sinz = eiz − e−iz
2i = ei(x+iy)− e−i(x+iy)
2i = e−y+ix− ey−ix 2i
= e−y(cosx + isinx) − ey(cosx − isinx) 2i
= cosx e−y− ey 2i
+ isinx e−y+ ey 2i
= sinxchy + icosxshy.
d) Funkcje trygonometryczne sinz, cosz, tgz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funk-, cji sinx, cosx, tgx.
Niech z = x + i0 ∈ IR. Wtedy
sinz = sinxch0 + icos0sh0 = sinx + i0 = sinx.
cosz = cosxch0 − icosxsh0 = cosx − i0 = cosx.
tgz = sin2x
cos2x + ch0 + i sh0
cos2x + ch0 = 2sinxcosx
1 + (2cos2x − 1) = tgx.
e) Funkcje trygonometryczne sa okresowe tzn., – sinz i cosz o okresie podstawowym T = 2π.
– tgz i ctgz o okresie podstawowym T = π.
sin(z + 2π) =sin(x + iy + 2π) = sin(x + 2π)chy + icos(x + 2π)shy
=sin(x)chy + icos(x)shy = sinz.
Dow´od dla cosz jest analogiczny.
tg(z + π) = sin2(x + π)
cos2(x + π) + ch2y + i sh2y
cos2(x + π) + ch2y
= sin2x
cos2x + ch2y + i sh2y
cos2x + ch2y = tgz.
f) |sinz| =psin2x + sh2y oraz |cosz| =pcos2x + sh2y.
Poniewa˙z funkcja hiperboliczna shy jest nieograniczona, wynika sta, ˙ze w przeciwie´, nstwie do funkcji rzeczywistych funkcje sinz i cosz sa nieograniczone.,
g) sinz, tgz, ctz to funkcje nieparzyste, natomiast cosz jest funkcja parzyst, a, tzn. sin(−z) = −sinz, coz(−z) = cosz.
h) sin(¯z) = sinz, cos(¯z) = cosz tg(¯z) = tgz ctg(¯z) = ctgz.
i) sin(z1± z2) = sinz1cosz2± cosz1sinz2. cos(z1+ z2) = cosz1cosz2− sinz1sinz2. cos(z1− z2) = cosz1cosz2+ sinz1sinz2.
j) Funkcje sinz oraz cosz przyjmuja wszystkie warto´sci z p laszczyzny otwartej C.,
Funkcje tgz i ctgz omijaja dwie warto´sci i, −i, natomiast przyjmuj, a warto´s´, c ∞, tgz w punktach zk= π2 + kπ, ctgz w punktach zk = kπ, k ∈ Z.
3.3 Funkcje hiperboliczne
Funkcje chz i shz w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak w dziedzinie rzeczywistej tzn.
chz := ez+ e−z
2 , shz := ez− e−z
2 ,
thz := shz
chz = ez− e−z
ez+ e−z, cthz := chz
shz = ez+ e−z ez− e−z. W lasno´sci
a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. shz i chz dla z ∈ C,,
thz dla z ∈ {z ∈ C : z 6= i(kπ + π2), k ∈ Z}, cthz dla z ∈ {z ∈ C : z 6= ikπ, k ∈ Z}.
(chz)0 = shz, (shz)0 = chz, (thz)0 = 1
ch2z, (cthz)0 = −1 sh2z. b) ch2z − sh2z = 1 dla ∀z ∈ C.
c) Cze´sci rzeczywiste i urojone funkcji hiperbolicznych wynosz, a odpowiednio:, shz = shxcosy + ichxsiny,
chz = chxcosy + ishxsiny, thz = sh2x
ch2x + cos2y + i sin2y ch2x + cos2y.
d) Funkcje hiperboliczne shz, chz, thz, cthz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funk-, cji shx, chx, thx, cthx.
e) Funkcje hiperboliczne sa okresowe tzn.,
– shz i chz o okresie podstawowym T = 2πi.
– thz i cthz o okresie podstawowym T = πi.
f) |shz| =psh2x + sin2y oraz |chz| =psh2x + cos2y.
g) cosiz = chz, siniz = ish(z).
3.4 Funkcja logarytmiczna
Niech z ∈ C \ {0}. Ka˙zda liczb, e zespolon, a w spe lniaj, ac, a r´, ownanie ew = z
nazywamy logarytmem liczby z i oznaczamy lnz. Niech
z = x + iy = ew = eu+iv = eu(cosv + isinv). (3.5) Zatem |z| = eu czyli u = ln|z| = lnpx2+ y2. Z (3.5) wynika, ˙ze v = Argz + 2kπ dla pewnego k ∈ Z, gdzie Argz oznacza argument g l´owny liczby z.
Ka˙zda liczba zespolona z ∈ C \ {0} ma niesko´nczenie wiele logarytm´ow wyra˙zonych wzorem w = u + iv = ln|z| + i(Argz + 2kπ), k ∈ Z.
Funkcja zdefiniowa wzorem
lnz = ln|z| + iargz (3.6)
dla z 6= 0 nazywamy funkcja logarytmiczn, a. Funkcja lnz jest niesko´, nczenie wielowarto´sciowa.
Funkcje,
Lnz = ln|z| + iArgz, −π < Argz ≤ π (3.7) nazywamy ga lezia g l´, owna logarytmu. Z (3.6) i (3.7) wynika, ˙ze,
lnz = Lnz + i2kπ, k ∈ Z.
W ka˙zdym obszarze jednosp´ojnym nie zawierajacym 0 i ∞ istnieje jednoznaczna ga l, a´,z logarytmu. Takim obszarem jest np. p laszczyzna rozcieta wzd lu˙z osi ujemnej tzn.,
E = C \ {x ∈ R : x ≤ 0}.
3.5 Funkcja pot egowa
,Niech µ bedzie dowoln, a liczb, a zespolon, a, E obszarem sp´, ojnym w kt´orym istnieje jedno- znaczna ga la´,z logarytmu zmiennej z. Funkcje potegow, a o wyk ladniku µ nazywamy funkcj, e, zdefiniowana wzorem,
zµ = eµlnz. (3.8)
Jest to tak˙ze fukcja wielowarto´sciowa. Ga lezi, a g l´, owna tej funkcji nazywamy ga l, a´,z zdefiniowana za pomoc, a ga l, ezi g l´, ownej logarytmu tzn.
eµLnz.
Szczeg´olnym przyk ladem funkcji potegowej jest funkcja, √n
z = e(1/n)lnz zwana pierwiastkiem n-stopnia z liczby z ∈ C \ {0}. W ka˙zdym obszarze jednosp´ojnym nie zawierajacym zera i ∞,
istnieje dok ladnie n ga lezi r´, o˙zniacych si, e czynnikiem e, 2kπi/n, k = 0, 1, . . . n − 1.
3.6 Powierzchnie Riemanna funkcji wielowarto´ sciowych
Funkcja lnz zdefiniowana dla z ∈ C \ {0} jest niesko´nczenie wielowarto´sciowa. Na p laszczy´znie rozcietej wzd lu˙z p´, o losi rzeczywistej ujemnej istnieje niesko´nczenie wiele ga lezi, jednoznacznych logarytmu Lnz + 2kπi, k ∈ Z. Utw´orzmy niesko´nczony ciag tak rozci, etych, p laszczyzn i ponumerujmy je liczbami k ∈ Z. Z ka˙zdej p laszczyzny usuwamy punkt 0.
Laczymy g´, orny brzeg rozciecia ka˙zdej z nich z dolnym brzegiem rozci, ecia nast, epnej tak, aby punkty brzegowe o tych samych wsp´o lrzednych tworzy ly jeden punkt. Otrzymamy nie-, sko´nczenie wielolistna powierzchni, e z lo˙zon, a z plaszczyzn zwanych li´sciami. Taka powierzch-, nia przedstawia powierzchnie Riemanna pe lnej funkcji lnz. Punktom p laszczyzny oznaczonej, liczba 0 przyporzadkujemy warto´sci ga l, ezi g lownej Lnz. Og´, olnie, punktowi z n-p laszczyzny przyporzadkowujemy warto´sci Lnz + i2nπ. W ten spos´, ob ka˙zdej warto´sci funkcji lnz zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i na odwr´, ot. Na tej powierzchni lnz jest funkcja jednoznaczn, a. Startuj, ac z pewnego punktu z i okr, a˙zaj, ac punkt 0 dojdziemy, po jednym okra˙zeniu do punktu z ± 2πi zale˙znie od tego czy okr, a˙zamy punkt 0 w dodatniej, czy ujemnej orientacji.
Funkcja √n
z ma n ga lezi jednoznacznych na ca lej p lasczy´, znie rozcietej wzd lu ˙z, p´o losi rzeczywistej ujemnej. Gdy okra˙zamy raz punkt 0 wzd lu˙z pewnej krzywej za-, mknietej w kierunku dodatnim na p laszczy´, znie nierozcietej, w´, owczas ka˙zda ga la´,z przechodzi w nastepn, a. Warto´s´, c funkcji zostaje pomno˙zona przez e2πi/n. Po n-krotnym okra˙zeniu punktu, 0 warto´s´c funkcji wraca do swej poczatkowej warto´sci bo zmieni sie o czynnik e, 2πi/n = 1.
Aby skonstruowa´c powierzchnie Riemanna funkcji, √n
z umieszczamy n rozcietych p laszczyzn, wzdlu˙z osi rzeczywistej ujemnej i laczymy g´, orny brzeg rozciecia ka˙zdej p laszczyzny z dolnym, brzegiem rozciecia nast, epnej. Tak samo po l, aczymy g´, orny brzeg ostatniej p laszczyzny z dol- nym brzegiem pierwszej. Zawsze laczymy punkty o tych samych wsp´, o lrzednych. Otrzymana, w ten spos´ob n-listna powierzchnia przedstawia powierzchni, e Riemanna pe lnej funkcji, √n
z.
Na jednym li´sciu tej powierzchni rozmie´s´cmy warto´sci jednoznacznej ga lezi naszej funkcji,, a na ka˙zdym nastepnym li´sciu warto´sci tej ga l, ezi pomno˙zonej przez e, 2πi/n. W ten spos´ob ka˙zdej warto´sci funkcji √n
z zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i, na odwr´ot. Na tej powierzchni √n
z jest funkcja jednoznaczn, a.,
4 Szeregi funkcyjne
4.1 Szeregi liczbowe
Definicja 4.1
Szereg a0 + a1+ a2 + . . . =P∞
n=0an o dowolnych wyrazach zespolonych nazywamy zbie˙znym do sumy s, gdy ciag sum czastkowych s =Pn
a , n ∈ N, jest zbie˙zny do granicy s.
Definicja 4.2 Szereg P∞
n=0an nazywamy:
i) bezwzglednie zbie˙znym je´, sli P∞
n=0|an| jest zbie˙zny,
ii) warunkowo zbie˙znym je´sli jest zbie˙zny ale nie jest bezwglednie zbie˙zny., Twierdzenie 4.1
i) Je˙zeli szereg P∞
n=0an jest zbie˙zny, to limn→∞an = 0.
ii) Szereg bezwzglednie zbie˙zny jest zbie˙zny przy dowolnym uporz, adkowaniu wyraz´, ow i jego suma nie zale˙zy od porzadku wyraz´, ow.
iii) Szereg P∞
n=0an, gdzie an= αn+ iβn, jest zbie˙zny do sumy s = α + β wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi P∞
n=0αn i P∞
n=0βn sa zbie˙zne tzn., P∞
n=0αn= α i P∞
n=0βn= β.
Twierdzenie 4.2 (Kryterium por´ownawcze) Je˙zeli dla prawie wszystkich wyraz´ow szeregu P∞
n=0an zachodzi nier´owno´s´c |an| ≤ An i szereg P∞
n=0An jest zbie˙zny, to szereg P∞
n=0an jest zbie˙zny bezwzglednie., Twierdzenie 4.3 (Kryterium d’Alamberta)
Szereg P∞
n=0an jest bezwzglednie zbie˙zny, gdy lim, n→∞
an+1
an
< 1 oraz rozbie˙zny, gdy limn→∞
an+1
an
> 1.
Twierdzenie 4.4 (Kryterium Cauchy’ego) Szereg P∞
n=0an jest bezwzglednie zbie˙zny, gdy lim sup, n→∞ p|an n| < 1 oraz rozbie˙zny, gdy lim supn→∞ p|an n| > 1.
Twierdzenie 4.5 (Kryterium Dirichleta) Szereg P∞
n=0anbn jest zbie˙zny, je´sli wyrazy an sa rzeczywiste, dodatnie i ze wzrostem n malej, a, do zera, a ciag sum cz, astkowych szeregu, P∞
n=0bn jest ograniczony.
Przyk lad 4.1 Szereg P∞
n=1 zn
n jest zbie˙zny dla |z| = 1, z 6= 1, bo przyjmujac a, n = 1n, bn = zn, |z| = 1 i
|1 − z| > η otrzymamy
|sn| = |z + z2+ . . . + zn| =
z(1 − zn) 1 − z
< 2 η,
a wiec za lo˙zenia kryterium Dirichleta s, a spe lnione. Zauwa˙zmy, ˙ze ten szereg nie jest zbie˙zny, bezwglednie dla z takich, ˙ze |z| = 1, poniewa˙z, P∞
n=1
z
n
n
=P∞ n=1
1 n = ∞.
4.2 Rodzaje zbie ˙zno´ sci szereg´ ow funkcyjnych
Definicja 4.3
Niech D ⊂ C zbi´or (czesto otwarty lub obszar), f, n: D → C ciag funkcji. Powiemy, ˙ze szereg,
funkcyjny P∞
n=1fn(z) jest zbie˙zny w D je˙zeli ciag {s, n(z) = Pn
k=1fk(z)} jest zbie˙zny w D tzn. je´sli granica limn→∞sn(z) = s(z) jest funkcja dobrze okre´, slona w zbiorze D. Taki rodzaj, zbie˙zno´sci nazywamy zbie ˙zno´scia punktow, a.,
Zbie˙zno´s´c w D nazywamy jednostajna, je´sli,
∀ ∃N () ∀n > N () ∀z ∈ D |sn(z) − s(z)| < .
Warunek jednostajnej zbie˙zno´sci szeregu P∞
n=1fn(z) mo˙zna tak˙ze sformu lowa´c nastepuj, aco:,
∀ ∃N () ∀n > N () ∀z ∈ D |
∞
X
n=N +1
fn(z)| < .
Funkcje graniczn, a s(z) = lim, n→∞sn(z) nazywamy suma danego szeregu., Uwaga 4.1
Niech D ⊂ C zbi´or otwarty (lub obszar), fn : D → C ciag funkcji ci, ag lych. Je˙zeli ci, ag funk-, cyjny (szereg funkcyjny P∞
n=1fn(z)) jest zbie˙zny jednostajnie w D, to granica ciagu (suma, szeregu) jest funkcja ci, ag l, a w D.,
Twierdzenie 4.6 (Weierstrassa) Szereg P∞
n=1fn(z) jest zbie˙zny jednostajnie w zbiorze D ⊂ C, je´sli istnieje ciag liczbowy, {an}∞n=1 taki, ˙ze ∀n ∈ N, |fn(z)| ≤ an i szereg P∞
n=1an jest zbie˙zny.
Definicja 4.4
Niech D ⊂ C, fn : D → C ciag funkcji. Szereg funkcyjny, P∞
n=1fn(z) nazywamy zbie˙znym niemal jednostajnie w zbiorze D, je´sli jest on zbie˙zny jednostajnie na ka˙zdym zwartym pod- zbiorze zbioru D.
Uwaga 4.2
Zbie˙zno´s´c jednostajna mo˙zna cz, esto zast, api´, c zbie˙zno´scia niemal jednostajna. Granica zbie˙znego, niemal jednostajnie ciagu (szeregu) funkcji ci, ag lych jest funkcj, a ci, ag l, a.,
4.3 Szeregi pot egowe
,Definicja 4.5
Szeregiem potegowym o ´, srodku w punkcie z0 nazywamy szereg postaci
∞
X
n=0
an(z − z0)n, (4.1)
gdzie an∈ C.
Definicja 4.6
Promieniem zbie˙zno´sci szeregu potegowego (4.1) nazywamy kres g´orny zbioru tych liczb r, ˙ze dany szereg jest zbie˙zny w kole {z : |z − z0| < r}.
Wz´or Cauchy’ego-Hadamarda
Niech dany bedzie szereg pot, egowy (4.1) i, lim sup
n→∞
p|an n| = 1
R, (4.2)
gdzie 0 ≤ R ≤ ∞ (przyjmujemy, ˙ze 10 = ∞, ∞1 = 0). W´owczas szereg (4.1) jest zbie˙zny w ka˙zdym punkcie z, dla kt´orego |z − z0| < R, i jest rozbie˙zny w ka˙zdym punkcie z, dla kt´orego
|z − z0| > R.
Dow´od
Niech 0 < R < ∞. Wtedy dla ka˙zdego > 0 istnieje N ∈ N takie, ˙ze dla n ≥ N mamy p|an n| < 1/R + . Stad,
|an(z − z0)n| < 1 R +
|z − z0|
n
. (4.3)
Je´sli |z − z0| < R, to mo˙zna dobra´c tak ma le, ˙ze spe lniona bedzie nier´, owno´s´c
1 R +
|z − z0| = q < 1.
W´owczas z (4.3) wida´c, ˙ze wyrazy szeregu (4.1) dla n ≥ N sa majoryzowane przez wyrazy, szeregu geometrycznegoP∞
n=0qni w konsekwencji szereg (4.1) jest zbie˙zny, gdy |z − z0| < R.
Z definicji granicy g´ornej wynika, ˙ze dla dowolnej liczby > 0 istnieje taki podciag n, k, ˙ze
nkq
|ank| > 1/R − .
