Twierdzenia 15.1 (Weierstrassa)
D ⊂ C obszar, fn ∈ H(D), n ∈ N. Je˙zeli szereg P∞
n=1fn(z) jest zbie˙zny niemal jednostajnie w D to:
1. suma f (z) =P∞
n=1fn(z) jest funkcja holomorficzn, a w D,,
2. dla ∀k ∈ N szereg k-tych pochodnych jest te˙z niemal jednostajnie zbie˙zny w D, przy czym
f(k)(z) =
∞
X
n=1
fn(k)(z).
Dow´od
1. Niech K bedzie zwartym podzbiorem D. Mozemy za lo˙zy´, c, ˙ze K = D(z0, r). Wtedy brzeg
∂K jest krzywa zamkni, et, a, kt´, ora oznaczymy przez Γ. Poniewa˙z funkcje f, n, n = 1, 2, . . . sa, ciag le na K a szereg, P∞
n=1fn(z) jest zbie˙zny jednostajnie na K, to suma szeregu f jest funkcja, ciag la na K. Ponadto zachodzi nast, epuj, aca w lasno´s´, c:
Je˙zeli szereg P∞
n=1fn(z) funkcji ciag lych na Γ jest zbie˙zny jednostajnie, to, Z
k=1fk) dz. Poniewa˙z szereg jest zbie˙zny niemal jednostajnie, to |f −P∞
2. Z twierdzenia podstawowego Cauchy’ego wynika, ˙ze dla ka˙zdego n, R
Γfndz = 0
(spe lnione sa za lo˙zenia, bo f, n ∈ H(D(z0, r)) oraz D(z0, r) jest jednosp´ojny). Zatem ca lka po lewej stronie (15.1) wynosi zero. Z twiedzenia Morery za´s wynika, ˙ze f jest holomorficzna na D(z0, r). Poniewa˙z zbi´or D mo˙zemy pokry´c takimi dyskami, to f ∈ H(D) czyli zachodzi w lasno´s´c (1) z tezy tw. Weierstrassa.
3. Zorientujemy Γ dodatnio wzgledem D. Pomn´, o˙zmy obie strony r´owno´sci f (ζ) = Z twierdzenia o uog´olnionym wzorze ca lkowym Cauchy’ego wynika, ˙ze 2πik! R
Γ (2) z tezy tw. Weierstrassa.
4. Teraz wyka˙zemy, ˙ze szereg pochodnychP∞
n=1fn(k)(z) jest zbie˙zny niemal jednostajnie.
Niech K1 oznacza ko lo o ´srodku w z0 i promieniu r0 = r2. Wtedy dla ζ ∈ Γ i z ∈ K1 mamy,
˙ze |ζ − z| ≥ r0. Z za lo˙zenia szereg P∞
n=1fn(z) jest zbie˙zny jednostajnie na K zatem
dla p = 1, 2, . . . i n > N (). Zastosujemy (15.3) do oszacowania szeregu pochodnych tzn.
n=1fn(k)(z) jest jednostajnie zbie˙zny w kole K1. Poniewa˙z dowolny zwarty podzbi´or K zawarty w D mo˙zna pokry´c sko´nczona ilosci, a dysk´, ow, to otrzymamy, ˙ze szereg P∞
n=1fn jest zbie˙zny niemal jednostajnie w D.
Twierdzenie 15.2 (Hurwitza)
D ⊂ C obszar, K ⊂ D zwarty, fn ∈ H(D), n ∈ N. Je˙zeli ciag f, n(z) jest zbie˙zny jednostajnie na K do funkcji f 6= const. W´owczas je´sli f (z0) = 0, to w dowolnym kole D(z0, r) ⊂ D wszystkie funkcje fn poczynajac od pewnego n tak˙ze zeruj, a si, e.,
Dow´od
Z twierdzenia 15.1 (Weiestrassa) wynika, ˙ze funkcja f jest holomorficzna w D. Poniewa˙z zera funkcji holomorficznej sa izolowane, zatem istnieje ko lo D(z, 0, r) ⊂ D, na kt´orym f (z) 6= 0.
Niech K = ∂D(z0, r) oraz µ := minz∈K|f (z)|. Wtedy µ > 0. Poniewa˙z ciag {f, n}n∈N jest zbie˙zny jednostjnie na K, wiec istnieje N ∈ N takie, ˙ze,
|fn(z) − f (z)| < µ
dla wszystkich z ∈ K i dla n > N . Z twierdzenia Rouch´e wynika, ˙ze dla takich n funkcja fn = f + (f − fn) ma wewnatrz K tyle zer, ile ma f , tzn. co najmniej jedno.,
Wniosek 15.1
D ⊂ C obszar, fn ∈ H(D), n ∈ N oraz r´o˙znowarto´sciowe. Je˙zeli ciag f, n(z) jest zbie˙zny jed-nostajnie na dowolnym zbiorze zwartym K ⊂ D, to funkcja graniczna jest r´o˙znowarto´sciowa lub sta la.
Twierdzenie 15.3 (Rungego)
D ⊂ C obszar jednosp´ojny, f ∈ H(D), K ⊂ D zwarty. W´owczas dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje wielomian P taki, ˙ze
sup
z∈K
|f (z) − P (z)| < ε.
Definicja 15.1
Niech F bedzie rodzin, a funkcji ci, ag lych w obszarze D o warto´, sciach w C (rodzina mo˙ze by´c nieprzeliczalna). M´owimy, ˙ze F jest rodzina normaln, a w D, je˙zeli z ka˙zdego ci, agu (f, n)n∈N z
tej rodziny mo˙zna wybra´c podciag niemal jednostajnie zbie˙zny w D do funkcji sko´, nczonej lub niesko´nczono´sci.
Definicja rodzin normalnych pochodzi od P. Montela.
Definicja 15.2
M´owimy, ˙ze funkcje z rodziny F sa wsp´, olnie ograniczone w obszarze D ⇐⇒
∀K ⊂ D, K − zwarty ∃M (K) > 0 ∀f ∈ F ∀z ∈ K |f (z)| ≤ M (K).
Twierdzenie 15.4
Je˙zeli rodzina F ⊂ H(D) jest wsp´olnie ograniczona w obszarze D, to rodzina pochodnych tych funkcji jest tak˙ze wsp´olnie ograniczona.
Dow´od
Niech U = {z : |z − z0| < r} ⊂ V = {z : |z − z0| < r0} ⊂ D. Z twierdzenia o wzorze ca lkowym wynika, ˙ze dla
∀f ∈ F , ∀z ∈ V f0(z) = 1 2πi
Z
∂V
f (ζ) (ζ − z)2dζ,
gdzie ∂V jest zorientowany dodatnio. Dla z ∈ U i ζ ∈ ∂V mamy, ˙ze |ζ − z| > r0 − r oraz
|f0(z)| = 1 2π
Z
∂V
f (ζ) (ζ − z)2dζ
≤ 1 2π
M
(r0− r)22πr0 = M r0
(r0− r)2 = M (U ).
Z twierdzenia Borela wynika, ˙ze dowolny zbi´or zwarty mo˙zna pokry´c sko´nczona ilo´sci, a k´, o l zawartych w D. Niech {Ui : i = 1, . . . , k} bedzie sko´, nczonym pokryciem K oraz M (K) = sup1≤i≤kM (Ui). Wtedy
∀K ⊂ D, K − zwarty ∀z ∈ K ∀f ∈ F |f0(z)| ≤ M (K) czyli pochodne tej rodziny sa wsp´, olnie ograniczone.
Definicja 15.3
Rodzina funkcji F , okre´slonych w D jest jednakowo ciag la, je˙zeli,
∀ > 0 ∀K ⊂ D, K−zwarty ∃δ(, K) > 0 ∀f ∈ F ∀z, z0 ∈ D |z−z0| < δ ⇒ |f (z)−f (z0)| < .
Twierdzenie 15.5
Je˙zeli rodzina F ⊂ H(D) jest wsp´olnie ograniczona, to jest ona rodzina funkcji jednakowo
Dow´od
Niech K bedzie zwartym podzbiorem D, 2ρ := inf, z∈∂D,ζ∈∂K|z − ζ|. Przez Kρ oznaczmy ρ-otoczenie K tzn.
Kρ= [
z∈K
{z : |z − z0| < ρ}.
Wtedy Kρ⊂ D oraz z za lo˙zenia, ˙ze F ograniczona wynika z poprzedniego twierdzenia, ˙ze
∀z ∈ Kρ ∀f ∈ F |f0(z)| ≤ M.
Niech z, z0 ∈ Kρ bed, a dowolnymi punktami takimi, ˙ze |z − z, 0| < ρ. Wtedy odcinek < z, z0 >
lacz, acy z i z, 0 jest zawarty w Kρ. Stad,
|f (z) − f (z0)| = Z
<z,z0>
f0(z)dz
≤ M (K)|z − z0| ≤ M (K)ρ.
Zatem
∀ ∀K ⊂ D, ∃δ = min
ρ,
M (K)
∀f ∈ F ∀z, z0 ∈ D |z−z0| < δ ⇒ |f (z)−f (z0)| <
co dowodzi jednakowej ciag lo´sci funkcji f ∈ F ., Twierdzenie 15.6 (Montela)
Rodzina F ⊂ H(D) funkcji wsp´olnie ograniczonych w D jest rodzina normaln, a., Dow´od
1 Wyka˙zemy najpierw, ˙ze je´sli ciag funkcji (f, n) ⊂ F jest zbie˙zny w ka˙zdym punkcie pewnego zbioru zbioru E ⊂ gestego w D, to jest on jednostajnie zbie˙zny na ka˙zdym zwartym podzbiorze, K ⊂ D. Ustalmy i zbi´or zwarty K ⊂ D. Z poprzedniego twierdzenia wynika, ˙ze rodzina F jest jednakowo ciag la. Korzystaj, ac z niej wybierzmy podzia l obszaru D na kwadraty z, bokami r´ownoleg lymi do osi wsp´o lrzednych tak drobny, aby dla dowolnych punkt´, ow z0, z00∈ K nale˙zacych do jednego kwadratu i dowolnej funkcji f ∈ F zachodzi la nier´, owno´s´c
|f (z0) − f (z00)| <
3. (15.4)
Zbi´or K pokryty jest sko´nczona liczb, a takich kwadrat´, ow {Op : p = 1, . . . , P }. Poniewa˙z zbi´or E jest gesty w D, wi, ec w ka˙zdym Q, p mo˙zna znale´z´c zp ∈ E. Z za lo˙zenia, ˙ze ciag (f, n) jest zbie˙zny na E wynika, ˙ze istnieje N ∈ N takie, ˙ze dla dla m, n > N i wszystkich zp, p = 1, . . . , P,
|fm(zp) − fn(zp)| < 1
3. (15.5)
Niech teraz z bedzie dowolnym punktem zbioru K. Istnieje p ∈ {1, . . . , P }, istnieje kwadrat, Qp taki, ˙ze z ∈ Qp oraz istnieje punkt zp ∈ Qp taki, ˙ze dla wszystkich m, n > N korzystajac, z (15.4) i (15.5) otrzymamy, ˙ze
|fm(z) − fn(z)| ≤ |fm(z) − fm(zp)| + |fm(zp) − fn(zp)| + |fn(zp) − fn(z)| < . (15.6) A to oznacza, ˙ze (fn) jest zbie˙zny jednostajnie na K.
2. Wyka˙zemy teraz, ˙ze z dowolnego ciagu (f, n) mo˙zna wyja´,c podciag zbie˙zny w ka˙zdym punk-, cie pewnego zbioru E ⊂ D gestego w D. Niech E b, edzie zbiorem tych punkt´, ow z = x+iy ∈ D, kt´orych obie wsp´o lrzedne s, a wymierne. Oczywi´scie E b, edzie przeliczalnym i g, estym podzbio-, rem w D. Poniewa˙z zbi´or E jest przeliczalny, to mo˙zna ustawi´c jego elementy w ciag a, n, n ∈ N.
Rozwa˙zmy ciag liczbowy (f, n(a1))- jest on ograniczony, wiec mo˙zna z niego wybra´, c podciag, zbie˙zny (fn1). Niech (f1n) ozncza podciag zbie˙zny w punkcie a, 1. Nastepnie rozpatrujemy ciag, (f1n))n∈N brany w punkcie a2. Poniewa˙z jest ograniczony, wiec mo˙zna z niego wybra´, c podciag, zbie˙zny, kt´ory oznaczymy (f2n). Ciag (f, n2) jest zbie˙zny w co najmniej w dw´och punktach a1, a2. Analogiczna konstrukcj, e mo˙zna przed lu˙zac nieograniczenie. Analogicznie post, epuj, ac, dostaniemy podciagi:,
f11f12 f13. . . f21f22 f23. . . f31f32 f33. . . . . . . . . . .
Metoda przek, atniow, a wybieramy podci, ag (f, 11, f22, f33, . . .). Ciag ten jest zbie˙zny w dowol-, nym ap ∈ E, poniewa˙z jego wyrazy poczawszy od p-tego s, a wybrane z ci, agu f, np zbie˙znego w ap. Zatem ciag (f, nn) jest zbie˙zny na zbiorze E. Korzystajac z I kroku dostajemy tez, e., Twierdzenie Montela nazywane jest w literaturze zasada zwarto´, sci.
Przyk lad 15.1
Niech f (z) = zp, p ≥ 2. Przez fn oznaczymy n-krotne z lo˙zenie funkcji f tzn. fn(z) :=
f (f (...f (z) . . .) = zpn. Tworzymy przeliczalna rodzin, e F = {f, n(z) : n ∈ N, z ∈ D(0, 1)}.
Ka˙zda funkcja fn ∈ H(D(0, 1)). Rodzina F jest ograniczona, poniewa˙z
∀K K = {z : |z| ≤ r < 1} |fn(z)| ≤ rpn < 1.
Zatem ta rodzina jest normalna na mocy Twierdzenia Montela. Fatycznie ca ly ciag (f, n) jest zbie˙zny niemal jednostajnie do funkcji f (z) ≡ 0 dla z ∈ D(0, 1). Ale funkcja graniczna nie nale˙zy do F .
Niech dana bedzie funkcja meromorficzna f : C → ¯, C. Wtedy n-ta iteracj, a funkcji f ozna-, czamy symbolem fn i definiujemy jako n- krotne z lo˙zenie funkcji tzn. fn:= f ◦ f ◦ . . . ◦ f . Definicja 15.4
Niech f : C → C bedzie funkcj, a meromorficzn, a przest, epna lub wymiern, a stopnia deg(f ) ≥ 2., Zbiorem Fatou funkcji f nazywamy zbi´or
F (f ) := {z ∈ ¯C : ∃U − otoczenie punktu z t.˙ze rodzina iteracji {f|Un} jest normalna}.
Zbiorem Julii funkcji f nazywamy zbi´or
J (f ) := ¯C \ F (f ).
Nazwy tych zbior´ow pochodza od tw´, orc´ow teorii zw. dynamika holomorficzn, a P. Fatou i G., Julia (matematyk´ow francuskich ˙zyjacych w XX wieku.),
Przyk lad 15.2
1. Je´sli f (z) = zd, d ≥ 2, to J (f ) = {z ∈ S1 : |z| = 1}.
2. Je´sli f (z) = z2+ c, |c| > 5, to J (f ) jest zbiorem Cantora.
3. Dla f (z) = ez zbi´or Julii J (f ) = C, natomiast dla fλ(z) = λez, λ ∈ IR, 0 < λ < 1e zbi´or Julii jest tzw. bukietem Cantora tzn. ma lokalnie strukture produktu zbioru Cantora i, krzywej.
4. Je´sli fλ(z) = λtg(z), λ ∈ C, |λ| < 1 to dla ka˙zdego k ∈ Z, J(f ) ∩ {z ∈ C : k < Rez ≤ k + 1} jest zbiorem Cantora, natomiast dla f (z) = tg(z) zbi´or Julii jest prosta (o´s, rzeczywista).
Twierdzenie 15.7 (Fatou-Julia)
Je˙zeli f : ¯C →C jest funkcj¯ a wymiern, a stopnia deg(f ) ≥ 2, to zbi´, or Julii jest niepusty.
Twierdzenie 15.8 (Fatou)
Je˙zeli f : C → C jest funkcja ca lkowit, a przest, epn, a, to zbi´, or Julii jest niepusty.
Twierdzenie 15.9 (Baker)
Je˙zeli f : C → C jest funkcja meromorficzn, a przest, epn, a to zbi´, or Julii jest niepusty.
Uwaga 15.1 W klasie funkcji meromorficznych na C zbi´or Julii jest obiektem cze´,sciej wystepuj, acym ni ˙z np. biegun, poniewa ˙z funkcje ca lkowite przest, epne nie, maja biegun´, ow, a wszystkie funkcje meromoficzne przestepne (w tym ca lkowite), i wymierne, z wyjatkiem homografii i funkcji sta lych, posiadaja zbi´, or Julii.