Zdefiniujemy teraz jedną z najważniejszych klas funkcji, badanych w całej analizie. Z odpowiednikami tej definicji dla funkcji wielu zmiennych rzeczywistych, a także funkcji określonych na tzw. przestrzeniach metrycznych i topologicznych, Czytelnik zetknie się na drugim roku studiów.
Definicja 5.25. Niech f : R ⊃ A → R i niech p ∈ A. Powiemy, że f jest ciągła w punkcie
p wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z dwóch poniższych warunków: 1. Punkt p nie jest punktem skupienia zbioru A.
2. Punkt p jest punktem skupienia zbioru A i f ma w p granicę równą f (p).
Definicja 5.26. Mówimy, że funkcja f : A → R jest ciągła (na zbiorze A), jeśli f jest ciągła
w każdym punkcie zbioru A.
1
Proszę myśleć o tym następująco: gdy M ∈ R, to M0 = M − ε, gdzie ε > 0, a gdy M = +∞, to M0jest dowolną liczbą. Taki zapis pozwala uniknąć oddzielnej analizy 2 przypadków; nic innego się w tym nie kryje.
Najczęściej będziemy mówić po prostu “f : A → R jest ciągła”. Takie zdanie oznacza zawsze ciągłość f we wszystkich punktach A.
Jeśli zbiór A jest przedziałem, to z intuicyjnego punktu widzenia ciągłość funkcji ozna-cza, że jej wykres można narysować jednym pociągnięciem ołówka, bez odrywania go od papieru.
Stwierdzenie 5.27. Niech f : R ⊃ A → R i niech p ∈ A. Wówczas f jest ciągła w punkcie
p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla wszystkich x ∈
A ∩ (p − δ, p + δ)zachodzi nierówność |f (x) − f (p)| < ε.
Dowód. Jeśli p nie jest punktem skupienia A, to istnieje liczba δ > 0 taka, że (p − δ, p + δ) ∩ A = {p}. Wtedy warunek z tezy jest banalny: dla wszystkich x ∈ A ∩ (p − δ, p + δ) mamy po prostu |f (x) − f (p)| = |f (p) − f (p)| = 0 < ε.
Jeśli p jest punktem skupienia A, to warunek z tezy twierdzenia jest powtórzeniem, w języku definicji Cauchy’ego granicy funkcji, zdania “f ma w p granicę równą f (p).” Z poznanych dotyczas twierdzeń o własnościach granicy natychmiast otrzymujemy następujące wnioski.
Twierdzenie 5.28. Jeśli f, g : A → R są ciągłe w punkcie p ∈ A, to f ± g i f · g są ciągłe
w p. Jeśli ponadto g 6= 0 we wszystkich punktach zbioru A, to f /g jest określona na A i ciągła w punkcie p.
Uwaga: nietrudno się przekonać, że założenie g 6= 0 na A jest potrzebne, żeby o
ilora-zie f /g można było mówić w punktach zbioru A. Do samej ciągłości f /g w p wystarczy — w obu przypadkach objętych definicją ciągłości — założenie g(p) 6= 0.
Wniosek 5.29. Jeśli funkcja f : A → R jest ciągła w p ∈ A, a g : B → R, gdzie zbiór B
zawiera zbiór f (A) wartości funkcji f , jest ciągła w punkcie f (p), to złożenie g ◦f jest ciągłe w punkcie p.
Omawialiśmy wcześniej funkcję wykładniczą, logarytm naturalny, funkcje trygono-metryczne oraz (krótko) potęgi o dowolnym wykładniku i podstawie dodatniej. Dla f = exp, ln, sin i cos formułowaliśmy twierdzenia: jeśli (xn) jest dowolnym ciągiem zbieżnym do x, to ciąg f (xn)ma granicę f (x). Ich dowody wymagały przeprowadzenia konkretnych
oszacowań i rachunków. Widzimy teraz, poznawszy definicję Heinego granicy i definicję ciągłości, że za każdym razem chodziło po prostu o ciągłość odpowiedniej funkcji. Za to teraz możemy łatwo podać serię przykładów.
Przykład 5.30. Następujące funkcje są ciągłe w każdym punkcie swojej dziedziny:
a) Funkcja stała f (x) = c dla x ∈ R.
b) Funkcja f (x) = x, x ∈ R. To wynika natychmiast z definicji (i ma tautologiczny charakter).
c) Dowolny wielomian f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn stopnia n, gdzie x ∈ R. Ciągłość wielomianów wynika, przez indukcję względem stopnia, z twierdzenia o ciągłości sumy i iloczynu funkcji ciągłych.
d) Funkcja f (x) = (x + 1)/(x − 1) jest określona i ciągła w każdym punkcie zbioru R\{1}. To wynika z twierdzenia o o ilorazie funkcji ciągłych. Ogólniej, każda funkcja wymierna, tzn. funkcja f (x) = P (x)/Q(x), gdzie P, Q są wielomianami i x ∈ ZQ, gdzie
ZQ:= R \ {wszystkie pierwiastki wielomianu Q}, jest ciągła w każdym punkcie zbioru ZQ.
e) Funkcja exp : R → R jest ciągła; patrz Twierdzenie3.2, punkt (E7).
f) Funkcje sin, cos : R → R są ciągłe. Ten fakt był treścią Wniosku4.62.
g) Funkcja ln : (0, ∞) → R jest ciągła, patrz Twierdzenie3.6. Ciągłość logarytmu moż-na wywnioskować także z ogólnego twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnej, któ-rym zajmiemy się w następnym podrozdziale.
Definicja 5.31 (tangens i cotangens). Kładziemy
tg(x) = sin x cos x dla x ∈ R \ {kπ + π/2 : k ∈ Z}, oraz ctg(x) = cos x sin x dla x ∈ R \ {kπ : k ∈ Z}. Stwierdzenie 5.32. Funkcje tg : R \ {kπ + π/2 : k ∈ Z} → R, ctg : R \ {kπ : k ∈ Z} → R są ciągłe.
Oczywiście nie wszystkie funkcje są ciągłe.
Przykład 5.33. a) Funkcja
f (x) =
1 dla x ≥ 0, −1 dla x < 0
jest nieciągła w zerze i ciągła w pozostałych punktach prostej R.
b) Tzw. funkcja Dirichleta
f (x) =
1 dla x ∈ Q, 0 dla x ∈ R \ Q
jest nieciągła w każdym punkcie prostej. To wynika stąd, że każda liczba rzeczywi-sta jest granicą pewnego ciągu liczb wymiernych i pewnego ciągu liczb niewymier-nych.
c) Ten przykład będzie nieco subtelniejszy. Jego celem jest wskazanie, że punkty cią-głości i nieciącią-głości funkcji mogą być “dość dokładnie wymieszane”. Otóż, tzw. funk-cja Riemanna f : (0, ∞) → R dana wzorem
f (x) =
1/q gdy x = p/q > 0, gdzie p, q ∈ N i ułamek p/q jest nieskracalny, 0 gdy x > 0 jest liczbą niewymierną
jest nieciągła we wszystkich punktach wymiernych i ciągła we wszystkich punktach niewymiernych.
Każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu liczb niewymiernych. Dlatego, gdyby f miała być ciągła w w ∈ Q, musiałaby spełniać warunek f (w) = 0. Jednak f (w) 6= 0 dla wszystkich w ∈ Q.
Udowodnimy ciągłość tej funkcji w punktach niewymiernych. Ustalmy liczbę x > 0, x ∈ R \ Q oraz ε > 0. Wybierzmy q0 ∈ N tak, aby 1/q0 < ε. W przedziale (0, x + 1) jest tylko skończenie wiele liczb wymiernych w, które mają w postaci nieskracalnej zapis w = p/q dla pewnego q ≤ q0. Innymi słowy, zbiór
{|x − w| : w ∈ Q, w = p/q < x + 1, p ∈ N, q = 1, . . . , q0, NWD(p, q) = 1} jest skończony i ma tylko elementy dodatnie (tu korzystamy z niewymierności x). Dlatego liczba
δ := min(x, inf A)
jest dodatnia! Dla każdego t > 0 takiego, że |t−x| < δ, mamy |f (t)−f (x)| < 1/q0 < ε: dla t niewymiernych różnica f (t) − f (x) jest po prostu zerem, a dla t wymiernych f (t)−f (x) = f (t) = 1/q dla pewnego q > q0, bo mniejsze mianowniki wykluczyliśmy, definiując liczbę δ.
Uwaga: Można wykazać, że nie istnieje żadna funkcja f : R → R, która byłaby ciągła tylko w punktach wymiernych.
Przykład 5.34. W fizyce funkcje nieciągłe spotykamy m.in. w opisie wszelkich zjawisk
związanych z pękaniem i rozrywaniem różnych materiałów, a także w opisie przemian fazowych. Z przejściem ustalonej masy wody ze stanu ciekłego w stały (tzn. zamarza-niem) wiąże się skokowy wzrost objętości. Dlatego zamarzający lód potrafi np. rozsadzić zamknięte szklane naczynie.
Przykład 5.35. Jeśli założymy, że czas t ma wartości rzeczywiste dodatnie, a wszelkie
kwoty pieniędzy mierzymy w groszach i ich całkowitych wielokrotnościach2, to w eko-nomii we wszystkich ciekawych przypadkach będziemy, z formalnego punktu widzenia, mieć do czynienia wyłącznie z funkcjami nieciągłymi zmiennej t!
Kluczowe znaczenie mają w analizie dwie własności funkcji ciągłych. Pierwsza z nich orzeka, że funkcja ciągła na przedziale domkniętym przyjmuje swoje kresy.
Twierdzenie 5.36 (Weierstrassa o przyjmowaniu kresów). Jeśli f : [a, b] → R jest
ciągła, to istnieją punkty x0, x00 ∈ [a, b] takie, że f (x0) = sup
[a,b]
f , f (x00) = inf
[a,b]f .
2
To nawet w praktyce nie jest prawdą: wystarczy spojrzeć na tabele kursów walut, gdzie podawane są ułamki groszy, centów itp.
Zauważmy, że z tego twierdzenia wynika, że sup f i inf f są liczbami rzeczywistymi, tzn. są skończone. Zauważmy także, że założenie ciągłości f na przedziale domkniętym jest istotne.
Przykład 5.37. Funkcja f : (0, 1) → R dana wzorem f(x) = x2 jest ciągła na (0, 1), ale ani sup f = 1, ani inf f = 0 nie są elementami zbioru f (0, 1) = (0, 1) wartości funkcji.
Przykład 5.38. Funkcja f(x) = tg x, x ∈ (−π/2, π/2), jest ciągła, ale zbiór jej wartości
nie jest ograniczony ani z góry, ani z dołu.
Dowód Twierdzenia5.36. Niech M = sup f ∈ R. Z definicji kresu górnego wynika, że
istnieje ciąg (xn) ⊂ [a, b] taki, że f (xn) → M dla n → ∞.3
Ciąg (xn) ⊂ [a, b] jest ograniczony, więc na mocy Twierdzenia Bolzano–Weierstrassa ma podciąg (xnk)k=1,2,...zbieżny do pewnej liczby x0 ∈ [a, b]. Ciąg liczb f(xnk), k = 1, 2, . . . , jest zbieżny, gdyż jest podciągiem ciągu zbieżnego. Zatem
M = lim
n→∞f (xn) = lim
k→∞f (xnk) = f (x0); ostatnia równość zachodzi dlatego że f jest ciągła.
Tak samo dowodzimy, że m = inf f jest równe f (x00) dla pewnego x00 ∈ [a, b]. Z drugą ważną własnością funkcji ciągłych, tak zwaną własnością Darboux (przyjmo-waniem wartości pośrednich), mieliśmy już de facto do czynienia kilkakrotnie, w sposób niejawny: zetknęliśmy się z nią, dowodząc surjektywności exp : R → (0, ∞), definiując liczbę π, a także dowodząc istnienia pierwiastków n-tego stopnia z liczb rzeczywistych.
Twierdzenie 5.39 (własność Darboux). Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła i dla pewnych
liczb x, y ∈ [a, b], x < y, jest
f (x) < c < f (y) albo f (x) > c > f (y)
to istnieje t ∈ (x, y) takie, że f (t) = c.
Dowód. Można ograniczyć rozważania do przypadku f (x) < c < f (y) (jeśli zachodzą nierówności przeciwne, to rozpatrujemy −f zamiast f ). Połóżmy
Z := {s ∈ [x, y] : f (s) < c}.
Ponieważ x ∈ Z, więc Z 6= ∅. Ponadto, Z jest ograniczony z góry przez y. Zatem, Z ma skończony kres górny. Niech t = sup Z.
Wykażemy, że f (t) = c. Z definicji kresu górnego wynika, że istnieje ciąg (sn) ⊂ Z taki, że sn→ t dla n → ∞. Z ciągłości f i warunku f(sn) < c otrzymujemy
f (t) = lim
n→∞f (sn) ≤ c .
Przypuśćmy na chwilę, że f (t) < c. Wtedy ε := c − f (t) > 0. Dobierzmy liczbę δ > 0 tak, żeby mieć |f (s) − f (t)| < ε dla wszystkich s ∈ (t − δ, t + δ) ⊂ (x, y) (można w tym celu wykorzystać Stwierdzenie5.27). Wtedy jednak
f (s) < f (t) + ε = f (t) + c − f (t) = c dla wszystkich s ∈ (t, t + δ),
tzn. (t, t + δ) ⊂ Z i t = sup Z, a to jest sprzeczność. Zatem musi być f (t) = c.
3
Wniosek 5.40. Każdy wielomian P : R → R nieparzystego stopnia o współczynnikach
rzeczywistych ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Dowód. Mnożąc w razie potrzeby P przez liczbę różną od zera (to nie wpływa na pier-wiastki wielomianu P ), możemy założyć, że
P (x) = x2n+1+ a2nx2n+ · · · + a1x + a0 dla x ∈ R = x2n+11 +a2n x + · · · + a1 x2n + a0 x2n+1 dla x 6= 0. Ponieważ lim x→±∞ a2n x + · · · + a1 x2n + a0 x2n+1 = 0,
więc istnieje taka liczba M > 0, że
1 +a2n x + · · · + a1 x2n + a0 x2n+1 ≥ 1 − a2n x + · · · + a1 x2n + a0 x2n+1 > 1 2 > 0 dla |x| > M .
Dla x 6= 0 liczby x2n+1 i x mają ten sam znak (zwróćmy uwagę: tylko tu korzystamy z nieparzystości stopnia wielomianu P ). Zatem, dla każdego x0 > M jest P (x0) > 0 > P (−x0). Stosując własność Darboux do f = P , c = 0 na przedziale [−x0, x0], kończymy dowód.
Uwaga. Oczywiście, założenie nieparzystości stopnia jest istotne. Dla każdego k ∈ N
wielomian Q(x) = x2k+ 1 = xk2
+ 1 przyjmuje na prostej tylko wartości dodatnie.