Udowodnimy w tym podrozdziale ważne twierdzenie, określające warunki konieczne i do-stateczne na to, aby z każdego ciągu funkcyjnego, zawartego w pewnej rodzinie funkcji ciągłych F można było wybrać podciąg jednostajnie zbieżny, którego granica też należy do rodziny F . Najpierw wprowadzimy kilka definicji.
Definicja 7.37 (δ-sieć). Niech δ > 0. Powiemy, że podzbiór A1 zbioru A ⊂ R jest δ-siecią w A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ A istnieje y ∈ A1 takie, że |x − y| < δ.
Przykład 7.38. Zbiór A1 = {k/2 : k ∈ Z} jest δ-siecią w A = R dla każdej liczby δ > 14. Zbiór liczb wymiernych A1 = Q jest δ-siecią w A = R dla każdej liczby δ > 0.
Definicja 7.39. Zbiór niepusty A ⊂ R nazywa się całkowicie ograniczony wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdej liczby δ > 0 w A istnieje skończona δ-sieć.
Lemat 7.40. Każdy niepusty zbiór zwarty K ⊂ R jest całkowicie ograniczony.
Dowód. Przypuśćmy, że lemat jest fałszywy. Niech K ⊂ R będzie niepustym zbiorem zwartym, w którym dla pewnego δ > 0 nie ma skończonej δ-sieci. Weźmy dowolne x1 ∈ K. Zbiór {x1} nie jest δ-siecią w K, więc istnieje x2 ∈ K takie, że |x2− x1| ≥ δ. Zbiór {x1, x2} nie jest δ-siecią w K, więc istnieje x3 ∈ K takie, że |x3− xj| ≥ δ dla j = 1, 2. Postępując dalej w taki sposób, znajdziemy ciąg punktów (xn) ⊂ K taki, że |xi−xj| ≥ δ dla wszystkich i 6= j. Żaden podciąg ciągu (xn) nie spełnia warunku Cauchy’ego, więc żaden podciąg ciągu (xn) nie jest zbieżny. To jest sprzeczność: każdy ciąg (xn) ⊂ K powinien zawierać podciąg zbieżny, gdyż K jest zwarty.
Wprowadzimy teraz kilka określeń, opisujących własności rodzin funkcji. Zanim po-damy twierdzenie Arzeli–Ascoliego, zilustrujemy te własności prostymi przykładami.
Definicja 7.41. Rodzina F ⊂ C(K) nazywa się zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z
dowol-nego ciągu funkcji (fn) ⊂ F można wybrać podciąg (fnj) zbieżny jednostajnie na K do pewnej funkcji f ∈ F .
Okazuje się, że jeśli K ⊂ R jest zbiorem zwartym, to zwartość dowolnej rodziny funkcji F ⊂ C(K) można dość łatwo scharakteryzować. Kluczowym pojęciem, służącym do tego celu, jest równociągłość.
Definicja 7.42. Powiemy, że rodzina F ⊂ C(K) jest równociągła5
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla każdej funkcji f ∈ F i wszystkich punktów x, y ∈ K, |x − y| < δ, zachodzi nierówność |f (x) − f (y)| < ε.
Czytelnik zechce zwrócić uwagę na kolejność kwantyfikatorów w definicji. Chodzi o to, że liczbę δ > 0 można wybrać jednocześnie dla wszystkich funkcji f ∈ F .
Przykład 7.43. Rodzina F ⊂ C([0, 1]) wszystkich funkcji, spełniających warunek
Lip-schitza ze stałą 2011, jest równociągła: dla każdego ε > 0 warunek podany w definicji spełnia liczba δ = ε/2011. Jeśli bowiem |x − y| ∈ [0, 1], |x − y| < δ = ε/2011 i f jest jakąkolwiek funkcją, spełniającą na [0, 1] warunek Lipschitza ze stałą 2011, to
|f (x) − f (y)| ≤ 2011|x − y| < 2011δ = ε .
5
Przykład 7.44. Rodzina funkcji fn(x) = sin nx, gdzie x ∈ [0, 2π] i n = 1, 2, . . ., nie jest równociągła na [0, 2π]. Istotnie, niech ε = 1/2. Jeśli δ > 0, a n wybierzemy tak, żeby π/2n < δ, to |fn(0) − fn(π/2n)| = | sin 0 − sinπ2| = 1 > ε
Definicja 7.45. Powiemy, że rodzina F ⊂ C(K) jest wspólnie ograniczona wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje stała M > 0 taka, że kf k∞,K ≤ M dla każdej funkcji f ∈ F .
Przykład 7.46. Rodzina wszystkich wielomianów na [0, 1] nie jest wspólnie ograniczona,
gdyż zawiera dowolnie duże funkcje stałe. Rodzina fn(x) = sin nx, gdzie x ∈ [0, 2π] i n = 1, 2, . . . , jest wspólnie ograniczona przez liczbę M = 1.
Definicja 7.47. Powiemy, że rodzina F ⊂ C(K) jest domknięta wtedy i tylko wtedy, gdy
granica każdego jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji z rodziny F też należy do F .
Przykład 7.48. Rodzina W wszystkich wielomianów na [0, 1] nie jest domknięta. Istnieje
bowiem ciąg wielomianów zbieżny jednostajnie na [0, 1] do f (x) = exp(x), tzn. do funkcji, nie należącej do W .
Twierdzenie 7.49 (Arzela, Ascoli). Niech K ⊂ R będzie zbiorem zwartym i niech F ⊂
C(K). Następujące warunki są wówczas równoważne: (i) F jest zwarta;
(ii) F jest domknięta, wspólnie ograniczona i równociągła.
Dowód. Najpierw wykażemy nieco łatwiejszą implikację (i) ⇒ (ii). Niech F ⊂ C(K) będzie rodziną zwartą. Domkniętość rodziny F jest oczywista: jeśli (fn) ⊂ F jest jednostajnie zbieżnym ciągiem funkcji, to jego granica f z pewnością należy do F , gdyż f jest granicą każdego podciągu ciągu (fn).
Udowodnimy teraz, że F jest wspólnie ograniczona. Przypuśćmy, że jest przeciwnie. Wtedy dla każdego m ∈ N istnieje fm ∈ F taka, że kfmk∞ > m, tzn., z definicji normy jednostajnej, |fm(xm)| > m dla pewnego xm ∈ K. Z ciągu (fm) można, dzięki zwartości rodziny F , wybrać podciąg fmj ⇒ f na K. Funkcja f jest ciągła, a więc jest ograniczona na K; niech M = sup |f | + 1. Jeśli mj > M jest dostatecznie duże, to |f − fmj| < 1 na K z definicji jednostajnej zbieżności. Zatem, z nierówności trójkąta,
|f (xmj)| ≥ |fmj(xmj)| − |fmj(xmj) − f (xmj)| > mj− 1 > M − 1 = sup |f |, a to jest oczywista sprzeczność. Rodzina F musi więc być wspólnie ograniczona.
Wreszcie, sprawdzimy, że F jest równociągła. Jeszcze raz będziemy rozumować przez zaprzeczenie. Przypuśćmy, że rodzina F nie jest równociągła. Istnieje wtedy liczba ε0 > 0 taka, że dla każdej liczby δn = n1 istnieje funkcja fn ∈ F i punkty xn, yn ∈ K takie, że |xn− yn| < 1
n, ale |fn(xn) − fn(yn)| ≥ ε0. Z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że xn− yn→ 0.
Ponieważ rodzina F jest zwarta, więc – przechodząc w razie potrzeby do podciągu zbieżnego – ,ożemy bez zmniejszenia ogólności przyjąć, że ciąg (fn) ⊂F jest jednostajnie zbieżny. Funkcja f = lim fn jest ciągła na K, a więc na mocy twierdzenia Cantora jest jednostajnie ciągła. Wybierzmy teraz n0tak, żeby kfn−f k∞< ε0/3 dla wszystkich n > n0. Wtedy, z nierówności trójkąta,
|f (xn) − f (yn)| ≥ |fn(xn) − fn(yn)| − |fn(xn) − f (xn)| − |fn(yn) − f (yn)| ≥ ε0− 2kfn− f k∞> ε0
Zatem xn− yn → 0, ale fn(xn) − f (yn) 6→ 0. To przeczy jednostajnej ciągłości f na K. Dowód implikacji (i) ⇒ (ii) jest zakończony.
Przejdziemy teraz do dowodu ciekawszej i ważniejszej implikacji (ii) ⇒ (i). Udowod-nimy najpierw następujący fakt:
Jeśli rodzinaF ⊂ C(K) jest wspólnie ograniczona i równociągła, to z każdego
ciągu (fn) ⊂F można wybrać podciąg jednostajnie zbieżny.
Z Lematu 7.40wynika, że dla każdego m ∈ N w K istnieje skończona m1-sieć. Suma P tych wszystkich sieci jest zbiorem przeliczalnym. Ponumerujmy punkty poszczególnych sieci tak, aby P = {x1, x2, x3, x4, . . .}.
Ustalmy ciąg (fn) ⊂F . Wykażemy, że z (fn) można wybrać taki podciąg gk = fnk, że ciąg liczbowy gk(xm)k=1,2,...jest zbieżny dla każdego ustalonego m ∈ N. (Wykorzystamy w tym celu metodę przekątniową). Następnie udowodnimy, że wybrany podciąg funkcji jest nie tylko zbieżny w każdym z punktów xm, ale także jednostajnie zbieżny na K.
Rodzina F jest wspólnie ograniczona, więc ciąg liczb fn(x1) jest ograniczony. Po-sługując się twierdzeniem Bolzano–Weierstrassa, można zeń wybrać podciąg zbieżny. Oznaczmy go f1,n(x1). Aby wybrać następny podciąg, zauważmy, że ciąg f1,n(x2) jest ogra-niczony, a więc zawiera podciąg zbieżny f2,n(x2). Odnotujmy, że ciąg f2,n(x1) też jest zbieżny, gdyż jest podciągiem zbieżnego ciągu f1,n(x1). Załóżmy teraz, że dla pewnej liczby k wybraliśmy już podciągi fi,n, gdzie i = 1, . . . , k, o następujących własnościach:
• Gdy j > i, to (fj,n) jest podciągiem (fi,n); • Ciągi liczbowe fk,n(xi)
n=1,2,..., gdzie i = 1, 2, . . . , k, są zbieżne. Rozpatrzmy teraz ciąg fk,n(xk+1)
n=1,2,.... Jest on ograniczony, więc ma podciąg zbieżny fk+1,n(xk+1)n=1,2,.... Podciąg fk+1,n jest oczywiście podciągiem każdego z ciągów fi,ndla i ≤ k, więc wszystkie ciągi liczbowe fk+1,n(xi)n=1,2,..., gdzie i = 1, 2, . . . , k + 1, są zbieżne. Kontynuując tę procedurę, otrzymamy nieskończenie wiele podciągów fk,n wyjściowego ciągu (fn); k-ty z tych podciągów, fk,n, jest zbieżny w punktach x1, . . . , xk. Wygodnie jest zapisać te podciągi w nieskończonej tabeli
k 1 2 3 . . . f1,1 f2,1 f3,1 . . . f1,2 f2,2 f3,2 . . . f1,3 f2,3 f3,3 . . . .. . ... ... . . .
Ciąg w k-tej kolumnie jest podciągiem każdej z wcześniejszych kolumn i jest zbieżny w punktach x1, . . . , xk. Połóżmy terazgn= fn,n. (Jest to ciąg funkcji, wypisanych na głównej
przekątnej powyższej tabeli). Zauważmy, że dla każdego ustalonego m ciąg gn(xm) jest, począwszy od m-tego miejsca, podciągiem fm,n(xm). Dlatego granica limngn(xm) istnieje dla każdego m ∈ N.
Wykażemy teraz, że ciąg gnjest jednostajnie zbieżny na K. W tym celu udowodnimy, że (gn) spełnia na K jednostajny warunek Cauchy’ego. Ustalmy ε > 0. Dobierzmy do ε/3 > 0
liczbę δ > 0, korzystając z definicji równociągłości. Ustalmy teraz N tak duże, aby wśród punktów x1, . . . , xN zbioru P znalazła się pewna δ-sieć w zbiorze K. Jest to możliwe, gdyż zbiór przeliczalny P był sumą skończonych n1-sieci dla K.
Ponieważ ciągi gn(xj) są zbieżne dla każdego j = 1, . . . , N , więc – na mocy warunku Cauchy’ego dla ciągów liczbowych – istnieje n0takie, że
|gn(xj) − gm(xj)| < ε
3 dla wszystkich m, n > n0 i wszystkich j = 1, . . . , N . (7.14) Niech x ∈ K. Istnieje j ∈ {1, . . . , N } takie, że |x − xj| < δ. Zatem, dla n, m > n0,
|gn(x) − gm(x)| ≤ |gn(x) − gn(xj)| + |gn(xj) − gm(xj)| + |gm(xj) − gm(x)| < ε 3 + ε 3+ ε 3 = ε.
Dwa skrajne składniki oszacowaliśmy, korzystając z równociągłości i doboru δ do ε/3, środkowy zaś – korzystając z (7.14). Otrzymujemy ostatecznie |gn − gm| < ε na K dla wszystkich m, n > n0, więc ciąg gn, tzn. podciąg fn wybrany metodą przekątniową, jest zbieżny jednostajnie na K.
Z domkniętości rodziny F wynika, że granica ciągu gnteż należy do F .
Bardzo często jest w analizie używany natychmiastowy wniosek z powyższego dowodu.
Wniosek 7.50. Załóżmy, że K jest zbiorem zwartym w R, a rodzina funkcji F ⊂ C(K)
jest wspólnie ograniczona i równociągła. Wówczas każdy ciąg (fn) ⊂F zawiera podciąg
Szeregi potęgowe
Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z0 ∈ C i współczynnikach an ∈ C nazywamy szereg
∞
X
n=0
an(z − z0)n, (8.1)
gdzie z ∈ C. Z szeregami tego typu mieliśmy już do czynienia, omawiając funkcję wykład-niczą, sinus i cosinus.
W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1).
8.1 Dygresja: granica górna i dolna
Niech (bn) będzie ciągiem liczb rzeczywistych.
Definicja 8.1. Granicą górną ciągu (bn) nazywamy element zbioru R ∪ {±∞}, określony następująco: lim sup n→∞ bn:= inf n∈N sup m≥n bm .
Granicą dolną ciągu (bn) nazywamy element zbioru R ∪ {±∞}, określony następująco:
lim inf n→∞ bn:= sup n∈N inf m≥nbm .
Symbole ‘lim sup’ i ‘lim inf’ pochodzą od łacińskich nazw limes superior oraz limes inferior.
Uwaga. Nietrudno sprawdzić, że zachodzą równości
lim sup n→∞ bn= inf n∈N sup m≥n bm = lim n→∞ sup m≥n bm , (8.2) lim inf n→∞ bn= sup n∈N inf m≥nbm = lim n→∞ inf m≥nbm . (8.3)
Istotnie, ciąg Bn= supm≥nbmjest nierosnący (zwiększając n, obliczamy kres górny mniej-szego lub tego samego zbioru). Dlatego ciąg Bn ma granicę (właściwą lub niewłaściwą:
nie wiemy wszak, czy Bn jest ograniczony), która zarazem jest kresem dolnym wszyst-kich liczb Bn. (Patrz Twierdzenie 2.22, Wniosek 2.23 i Twiredzenie 2.28). To dowodzi pierwszej z podanych równości; drugą można sprawdzić analogicznie.
Inna definicja granicy górnej i dolnej. Granice częściowe
Równoważna definicja granicy górnej i dolnej jest następująca. Oznaczmy literą B zbiór wszystkich tych podciągów ciągu (bn), które są zbieżne do granicy właściwej lub niewła-ściwej. Niech Γ oznacza zbiór wszystkich granic podciągów (bnk) ∈ B. Inaczej mówiąc, element c ∈ R należy do Γ wtedy i tylko wtedy, gdy c = lim bnkdla pewnego podciągu (bnk) ciągu (bn).
Tak określony zbiór Γ nazywamy zbiorem granic częściowych ciągu (bn). Zachodzą rów-ności
lim sup
n→∞
bn= sup Γ , lim inf
n→∞ bn= inf Γ . (8.4) Ich sprawdzenie w oparciu o Definicję8.1pozostawimy jako nietrudne zadanie dla Czy-telnika.
Przykład 8.2. Ciąg bn = (−1)n ma granicę górną 1 i granicę dolną −1. Zbiór granic częściowych tego ciągu to zbiór dwuelementowy {−1, 1}. Ciąg
0, 1, 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, . . .
ma granicę górną 1 i granicę dolną 0. Zbiór granic częściowych tego ciągu to przedział [0, 1].
Zadanie 8.3. Niech (bn) będzie ciągiem liczb rzeczywistych, a Γ zbiorem granic częścio-wych tego ciągu. Wykazać, że jeśli ciąg (gn) ⊂ Γ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) g, to g ∈ Γ.
Posługując się wnioskiem2.35, nietrudno udowodnić, że ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny (do granicy właściwej lub niewłaściwej) wtedy i tylko wtedy, gdy jego granica górna i dolna są równe.
Zanotujmy jeszcze jedną własność granicy górnej, którą wykorzystamy w tym roz-dziale.
Stwierdzenie 8.4. Jeśli lim supn→∞bn= b, to dla każdego b0 > bistnieje n0∈ N takie, że bn< b0 dla wszystkich n > n0.
Dowód. Wiemy, że b = limn→∞(supm≥nbm); patrz (8.2). Jeśli b0 > b, to dla dostatecznie dużych n jest supm≥nbm < b0, tzn. bm< b0dla wszystkich dostatecznie dużych m.