Odnotujmy prostą konsekwencję związków między funkcją wykładniczą i funkcjami try-gonometrycznymi.
Stwierdzenie 4.75 (wzór de Moivre’a). Jeśli α ∈ R, to wówczas dla każdego n ∈ N
cos nα + i sin nα = (cos α + i sin α)n
Dowód. Z własności exp i wzorów Eulera wynika, że lewa strona to, inaczej, exp(inα) = exp(iα)n= (cos α + i sin nα)n.
10
Wniosek 4.76. Jeśli α ∈ R i n ∈ N, to
cos nα = Re eiαn, sin nα = Im eiαn.
Znając wzór de Moivre’a (i dwumian Newtona) można bez trudu wyrażać cos nα oraz sin nα przez cos α i sin α. Ciekawsze, i ważniejsze jest zastosowanie do wyznaczania sum sinusów oraz cosinusów kolejnych wielokrotności α — aby takie sumy obliczać, wystarczy umieć sumować postęp geometryczny, bowiem
k2 X n=k1 cos nα = k2 X n=k1 Re eiαn = Re k2 X n=k1 eiαn .
(Dla sum sinusów trzeba użyć części urojonej.)
Zadanie 4.77. Sprawdzić, że jeśli x ∈ R i exp(ix) 6= 1, to
N
X
n=0
sin nx = sin N x/2 sin (N + 1)x/2 sin(x/2) .
Znaleźć analogiczny wzór na sumę cosinusów. Jak zmienią się oba wzory, gdy przesta-niemy zakładać, że exp(ix) 6= 1?
Na tym zakończymy pierwsze spotkanie z szeregami. Chciałbym, żeby Czytelnik tego tekstu nie tylko uważał szeregi za pewne obiekty matematyczne, które (być może) warto poznawać i badać same w sobie, ale widział w nich przede wszystkim narzędzie, służące m.in. do definiowania różnych funkcji, systematycznego badania ich własności, oraz ob-liczania ich wartości. To ma szczególne znaczenie praktyczne wtedy, gdy – mówiąc nie-precyzyjnie – szeregi są zbieżne szybko. Tak właśnie jest w przypadku szeregów exp, sin i cos, z uwagi na błyskawiczne tempo wzrostu silni. Dopóki obliczamy np. wartości ex dla niezbyt dużych x, możemy w praktyce traktować funkcję exp jako wielomian, złożony z pewnej liczby składników szereguP(xn/n!); np. e3
różni się odP50n=03n/n! naprawdę niewiele: około 10−42.
In[1]:= N[Exp[3], 44]
Out[1]= 20.085536923187667740928529654581717896987908
In[2]:= N[Sum[3^n/n!, {n, 0, 50}], 44]
Out[2]= 20.085536923187667740928529654581717896987906
Gdybyśmy chcieli z taką dokładnością określić odległość Ziemi od Słońca, nanometry byłyby zdecydowanie za dużymi jednostkami. Jeśli ktoś woli myśleć o wielkościach zwią-zanych z ekonomią, a nie z astronomią czy fizyką, może sprawdzić, jakie jest zadłużenie budżetu USA. Strona
podaje je z dokładnością do 1 centa, aktualizując wartości co parę sekund. Taka precyzja z praktycznego punktu widzenia graniczy z absurdem, ale dokładność przybliżenia
50 X n=0 3n n! ≈ e 3
jest i tak o 25 rzędów wielkości lepsza.
Takie uwagi mogą kogoś zaciekawić, jednak – aby lepiej rozumieć, co się naprawdę za nimi kryje – musimy w miarę systematycznie poznać takie pojęcia, jak ciągłość,
różnicz-kowalność i zbieżność jednostajna. Ich ścisłe definicje oraz własności poznamy w kolejnych
Funkcje ciągłe
Jak wspomnieliśmy na samym początku wykładu, do najważniejszych zastosowań ana-lizy należy badanie własności różnych funkcji, określonych na podzbiorach przestrzeni liniowych — w najprostszym przypadku, na podzbiorach R. Jedną z najważniejszych wła-sności funkcji zmiennej rzeczywistej jest ciągłość. Intuicyjnie biorąc, jeśli funkcja okre-ślona na pewnym przedziale w R jest ciągła, to małym zmianom argumentu odpowiadają
małe zmiany wartości funkcji; inaczej, z geometrycznego punktu widzenia, wykres funk-cji można narysować bez odrywania ołówka od papieru. Te określenia są jednak szalenie
nieprecyzyjne. Zacznijmy od sformułowania odpowiednich definicji.
Założymy w tym rozdziale, że Czytelnik zna definicję funkcji z wykładów Wstępu do
matematyki i rozumie takie terminy, jak dziedzina funkcji, obraz i przeciwobraz. Ich
zna-czenie będziemy przypominać w razie potrzeby.
Podkreślimy jedno: w analizie matematycznej mamy często do czynienia z funkcjami, które są określone konkretnymi wzorami, np. g(x) = ln 17+exp(x2+cos x)
dla x ∈ R. Otóż należy pamiętać, że z formalnego punktu widzenia sam wzór jeszcze funkcji nie określa:
trzeba powiedzieć, dla jakich argumentów funkcja ma być określona (a jeśli chcemy
po-sługiwać się wzorem, należy sprawdzić, że ma on dla odpowiednich argumentów sens). Proszę zauważyć, że definiując pierwiastki n-tego stopnia, funkcję wykładniczą, logarytm naturalny i funkcje trygonometryczne, postępowaliśmy właśnie w taki sposób.
5.1 Punkty skupienia. Granica funkcji.
W analizie używa się dwóch definicji granicy funkcji: jednej podanej przez Heinego i dru-giej, równoważnej, podanej przez Cauchy’ego. Pierwszą z nich będzie nam łatwiej sfor-mułować, korzystając z wcześniej omówionych pojęć. Drugą zajmiemy się później.
Mówiąc o granicy funkcji, będziemy posługiwać się zbiorem R = {−∞} ∪ R ∪ {+∞}, aby opisywać zarówno niewłaściwe wartości granic (tzn. to, że wartości funkcji eksplo-dują w pobliżu pewnej wartości argumentu), jak i zachowanie funkcji dla bardzo dużych argumentów. Najpierw powiemy, w jakich punktach będziemy znajdować granice funkcji.
Definicja 5.1 (punkt skupienia). Niech A ⊂ R. Powiemy, że punkt p ∈ R jest punktem
skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (an) ⊂ A \ {p} taki, że lim an= p. Gdy p = ±∞, to w definicji punktu skupienia chodzi oczywiście o granicę niewłaściwą.
Przykład 5.2. Niech A będzie zbiorem skończonym, A = {x1, . . . , xN} ⊂ R. Wtedy A nie ma w ogóle punktów skupienia: żaden ciąg utworzony z elementów zbioru A z pewnością nie dąży do ±∞, tzn. p1,2= ±∞ nie są punktami skupienia. Jeśli zaś p ∈ R i weźmiemy
0 < ε0 < min
x∈A,x6=p|x − p| ,
to w przedziale (p − ε0, p + ε0) nie ma żadnych elementów zbioru A \ {p}, więc żaden ciąg (an) ⊂ A \ {p} nie jest zbieżny do p.
Przykład 5.3. Niech A = {1,12,13,14, . . .}. Liczba 0 jest punktem skupienia A. Jeśli x ∈ R, ale x 6= 0, to x nie jest punktem skupienia A. Sprawdamy to łatwo, posługując się definicją granicy podobnie, jak w poprzednim przykładzie.
Zatem: punkt skupienia zbioru A nie musi należeć do A.
Przykład 5.4. Jedynym punktem skupienia zbioru N jest p = +∞. Istotnie, ciąg o
wy-razach an= n ma granicę p = +∞, a jego wyrazy oczywiście są różne od p.
Ponadto, ciąg (an) liczb naturalnych ma granicę p ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy od pewnego miejsca jest stały. Wtedy jednak p nie może być różne od wszystkich wyrazów ciągu (an), gdyż p == limm→∞am= andla wszystkich n dostatecznie dużych.
Podobnie stwierdzamy, że jedynymi punktami skupienia Z są ±∞.
Przykład 5.5. Zbiór punktów skupienia przedziału A = (0, 1) składa się z wszystkich
punktów przedziału domnkiętego [0, 1]. Czytelnik zechce to sprawdzić samodzielnie.
Definicja 5.6 (definicja Heinego granicy funkcji). Załóżmy, że f : R ⊃ A → R i p ∈ R
jest punktem skupienia zbioru A. Mówimy, że f ma w punkcie p granicę g ∈ R, i piszemy
lim
x→pf (x) = g ,
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) ⊂ A \ {p} takiego, że lim xn= p, granica lim
n→∞f (xn) istnieje i jest równa g.
Uwaga: gdy g lub p 6∈ R, to w odpowiednich miejscach chodzi, rzecz jasna, o granice
niewłaściwe odpowiednich ciągów.
Poniższe twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją Twierdzenia2.10(i własno-ści granic niewławłasno-ściwych). Odnotujmy je dla porządku, zanim przejdziemy do przykładów.
Twierdzenie 5.7 (arytmetyczne własności granicy funkcji). Załóżmy, że A ⊂ R i p ∈ R
jest punktem skupienia zbioru A. Niech
f, g : A → R , lim
x→pf (x) = a , lim
x→pg(x) = b
dla pewnych a, b ∈ R. Wówczas:
1. Jeśli wynik działania a + b jest określony w R, to lim
2. Jeśli wynik działania a · b jest określony w R, to limx→p f (x) · g(x) = a · b.
3. Jeśli wynik działania a − b jest określony w R, to lim
x→p f (x) − g(x) = a − b.
4. Jeśli wynik działania a
b jest określony w R i g(x) 6= 0 dla x ∈ A, to limx→pf (x)
g(x) = a b. Zanim przejdziemy do prostych przykładów, podkreślmy dwie rzeczy: Po pierwsze, o granicy f w p można mówić także wtedy, gdy f nie jest w ogóle określona w punkcie p; p ma być punktem skupienia dziedziny funkcji f , nie musi do tej dziedziny należeć. Po drugie, nawet gdy f jest określona w punkcie p, to liczby
lim
x→pf (x) oraz f (p)
nie muszą mieć ze sobą nic wspólnego. Ilustruje to banalny przykład: niech p = 0, a f (x) = 0 dla x 6= 0 i f (0) = 2010 + π + e. Dla każdego ciągu (xn) liczb różnych od 0 ciąg f (xn) składa się z samych zer, więc ma granicę równą zero. Dlatego limx→0f (x) = 0. Wartością f w zerze możemy manipulować dowolnie, nie zmieniając granicy f w 0.
Przykład 5.8. Niech k ∈ N będzie ustaloną liczbą i niech
g(x) = 1
xk, x ∈ R \ {0}. Dla dowolnego ciągu xn→ +∞ mamy 1/(xn)k→ 0, więc
lim
x→+∞g(x) = 0.
Przykład 5.9. Wprost z Twierdzenia3.2– patrz punkt (E8) – wynika, że lim
x→0
exp(x) − 1 x = 1.
(Warunek podany w tym twierdzeniu jest powtórzeniem warunku z definicji Heinego dla funkcji określonej wzorem f (x) = (ex− 1)/x na A = R \ {0}.)
Przykład 5.10. Niech f : R → R będzie wielomianem stopnia n ∈ N, tzn.
f (x) = a0+ a1x + · · · + anxn, x ∈ R,
gdzie ai są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli p ∈ R, to z twierdzenia o granicy sumy i iloczynu ciągów wnioskujemy, że dla każdego ciągu xn→ p jest
lim
n→∞f (xn) = a0+ a1p + · · · + anpn= f (p) , nawet bez konieczności zakładania, że xn6= p. Zatem, z definicji,
lim
x→pf (x) = f (p) .
Obliczmy teraz granice f w punktach ±∞. Załóżmy dla ustalenia uwagi, że an> 0. Niech g(x) = f (x)/xndla x 6= 0. Ponieważ lim x→+∞g(x) = lim x→+∞ a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an= an> 0,
więc na mocy twierdzenia o arytmetycznych własnościach granicy lim
x→+∞f (x) = an· lim
x→+∞xn= +∞ . Mamy także lim
x→−∞xn= (−1)n· +∞, więc przy założeniu an> 0 jest
lim
x→−∞f (x) =
−∞ dla n nieparzystych, +∞ dla n parzystych.
(Dla an< 0 znaki w odpowiedzi trzeba zamienić).
Przykład 5.11. Wprost z Twierdzenia4.59wynika, że lim x→0 sin x x = 1, x→0lim cos x − 1 x = 0 .
To, że w obu przypadkach zachodzi warunek, podany w definicji Heinego, jest treścią ostatniej, trzeciej części Twierdzenia4.59.
Przykład 5.12. Granica lim x→0 cos1 x
nie istnieje: dla ciągu xk = 1/2kπ, k = 1, 2, . . . mamy xk → 0 i cos(1/xk) = cos 2kπ = 1, a dla ciągu zk = 1/(2kπ + π/2), także zbieżnego do zera, jest cos zk = cos(2kπ + π/2) = 0. Zatem dla xk→ 0 ciąg cos(1/xk) może mieć różne granice (a także może być rozbieżny).
Funkcja f (x) = cos(1/x) w otoczeniu zera. Oscylacje wykresu są coraz gęstsze, gdyż funkcja x 7→ 1/x
przekształca (0, 1) na całą półoś (1, ∞). Dlatego w każdym przedziale (0, ε) funkcja f przyjmuje każdą z wartości y ∈ [−1, 1] nieskończenie wiele razy.
Funkcja f (x) = cos(1/x) w otoczeniu zera, II. Można wykazać (zainteresowany Czytelnik zechce to zrobić
samodzielnie), że dla każdego y ∈ [−1, 1] istnieje taki ciąg xn → 0, że f(xn) → y. Na rysunku zaznaczono punkty (xn, f (xn)) dla trzech różnych takich ciągów; przedstawiono tylko wartości 0,009 ≤ x ≤ 0,07.
Przykład 5.13. Niech A = (−1, ∞) \ {0}, p = 0. Zachodzi równość
lim
x→0(1 + x)1/x= e .
To łatwo wynika ze znanych nam już własności funkcji wykładniczej i logarytmu natu-ralnego. Istotnie, z definicji potęgi o dowolnej podstawie i wykładniku,
f (x) := (1 + x)1/x= exp ln (1 + x)1/x = exp ln(1 + x) x .
Niech (xn) ⊂ A będzie ciągiem zbieżnym do zera. Połóżmy yn= (xn)−1· ln(1 + xn. Stosując punkt (L6) Twierdzenia3.6, otrzymujemy
lim
n→∞yn= lim
n→∞
ln(1 + xn) xn = 1 .
Ponieważ f (xn) = exp yn, więc na mocy Twierdzenia3.2, punkt (E7), lim n→∞f (xn) = lim n→∞exp(yn) = exp(1) = e . Przykład 5.14. Granica lim x→0 1 x
nie istnieje. Dla ciągu xn = 1/n → 0 mamy bowiem 1/xn = n → +∞, natomiast dla innego ciągu, −xn = −1/n, także zbieżnego do zera, jest f (xn) → −∞. Nie ma więc
wspólnej granicy wszystkich ciągów 1/xn, gdzie xn→ 0, xn6= 0.
Z intuicyjnego punktu widzenia jest jasne, że nieistnienie granicy w Przykładzie5.12
to zjawisko innego rodzaju niż nieistnienie granicy 1/x w zerze. Dla rozróżnienia takich sytuacji wprowadza się pojęcie granicy jednostronnej.
Definicja 5.15 (granica lewostronna). Niech f : A → R i niech p będzie punktem
sku-pienia zbioru A takim, że p = lim andla pewnego ciągu (an) ⊂ A \ {p}, an< p dla wszyst-kich n ∈ N. Jeśli
lim
n→∞f (xn) = a
dla każdego ciągu (xn) ⊂ A \ {p} takiego, że xn < p dla wszystkich n ∈ N i xn → p dla n → ∞, to mówimy, że f ma w p granicę lewostronną równą a, i piszemy
lim
x→p−f (x) = a .
Podobnie (zmieniając obie nierówności w powyższej definicji na przeciwne) definiu-jemy granicę prawostronną
lim
x→p+f (x) .
Jest rzeczą jasną, że w przykładzie5.14istnieją obie granice jednostronne:
lim x→0− 1 x = −∞, x→0lim+ 1 x = +∞
Stwierdzenie 5.16. Załóżmy, że p jest punktem skupienia zbioru A ⊂ R i istnieją ciągi
(xn), (yn) ⊂ A, xn, yn→ p, xn< p < yndla n ∈ N. Następujące warunki są równoważne: (i) f ma w p granicę równą a;
(ii) f ma w p obie granice jednostronne i każda z nich jest równa a.
Prosty dowód, polegający na sprawdzeniu warunków z definicji granicy (granicy jed-nostronnej) i wykorzystaniu Stwierdzenia2.36, wiążącego zbieżność ciągu ze zbieżnością jego podciągów do wspólnej granicy, pozostawiamy Czytelnikowi.
Podamy teraz drugą definicję granicy, sformułowaną przez Cauchy’ego. Zamiast uży-wać pojęcia granicy ciągu, operuje się w niej odpowiednio sprecyzowanym pojęciem
bli-skości punktów. Wyróżnimy w tej definicji wiele przypadków.
Definicja 5.17 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji). Niech f : A → R i niech p ∈ R
będzie punktem skupienia zbioru A oraz a ∈ R. Mówimy, że funkcja f ma w p granicę równą a, symbolicznie:
lim
x→pf (x) = a, wtedy i tylko wtedy, gdy:
1. (Przypadek a, p ∈ R): dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że gdy 0 < |x − p| < δ i
x ∈ A, to |f (x) − a| < ε.
2. (Przypadek p ∈ R, a =±∞, granica niewłaściwa w pewnym punkcie prostej): dla każ-dej liczby M > 0 istnieje δ > 0 takie, że gdy 0 < |x − p| < δ i x ∈ A, to±f (x) > M .
3. (Przypadek p = ±∞, a ∈ R, tzn. granica właściwa w nieskończoności):] dla każdego ε > 0 istnieje T > 0 takie, że gdy±x > T i x ∈ A, to |f (x) − a| < ε.
4. (Przypadek p = ±∞, a = ±∞, tzn. granica niewłaściwa w ±∞): dla każdej liczby M > 0 istnieje T > 0 takie, że gdy±x > T i x ∈ A, to±f (x) > M .
Proszę zauważyć, że punkty 2 i 3 kryją w sobie po dwa podprzypadki, a punkt 4 — aż cztery podprzypadki (bo są wtedy 4 możliwości dokonania konkretnego wyboru zna-ków ±). O wszystkich warunkach, sformułowanych w tej definicji dla różnych na pozór sytuacji, należy myśleć tak: jeśli argument przyjmuje wartości odpowiednio bliske p, to
funkcja przyjmuje wartości bliskie a. To, jak należy precyzyjnie pojmować termin bliskie,
zależy od tego, czy a, p = ±∞, czy nie.
Twierdzenie 5.18 (równoważność obu definicji granicy). Załóżmy, że f : A → R
i p ∈ R jest punktem skupienia zbioru A. Jeśli f ma w p granicę a ∈ R według definicji Heinego, to f ma w p granicę a ∈ R według definicji Cauchy’ego, i na odwrót.
Dowód. Zajmiemy się tylko jednym przypadkiem w definicji granicy według Cauchy’ego. Czytelnik zainteresowany dogłębnym rozumieniem treści całego wykładu zechce samo-dzielnie uzupełnić szczegóły pozostałych przypadków. (Schemat dowodu jest identyczny).
Niech a, p ∈ R. Załóżmy, że lim
Pokażemy metodą sprowadzenia do niedorzeczności, że f ma w p granicę a także wg. definicji Cauchy’ego. W tym celu załóżmy, że nie zachodzi warunek z definicji Cauchy’ego. Skoro tak, to zachodzi jego zaprzeczenie:
Istnieje ε0 > 0takie, że dla każdego δ > 0 istnieje punkt x ∈ A, który spełnia nierówności 0 < |x − p| < δ, ale |f (x) − a| ≥ ε0 > 0.
Wykorzystując ten warunek dla δk= 1/k, gdzie k = 1, 2, . . ., znajdziemy ciąg punktów (xk) ⊂ A \ {p}, 0 < |xk− p| < 1
k dla k = 1, 2, . . ., (5.1)
taki, że |f (xk) − p| ≥ ε0. Z (5.1) wynika, że A 3 xk → p dla k → ∞ i xk 6= p, więc zgodnie z definicją Heinego powinno być f (xk) → a. Mamy jednak |f (xk) − a| > ε0 dla wszystkich k, więc granica ciągu f (xk) nie może być równa a, tzn. nie zachodzi warunek podany w
definicji Heinego. Uzyskana sprzeczność kończy pierwszą część dowodu. Teraz załóżmy, że
lim
x→pf (x) = a wg. definicji Cauchy’ego.
Niech (xk) ⊂ A \ {p} będzie dowolnym ciągiem takim, że xk → p dla k → ∞. Wykażemy, posługując się definicją granicy ciągu, że limk→∞f (xk) = a, tzn. sprawdzimy, że istotnie zachodzi warunek podany w definicji Heinego.
Ustalmy w tym celu ε > 0. Dobierzmy doń δ > 0, posługując się definicją Cauchy’ego granicy. Ponieważ xk→ p i xk6= p, więc istnieje takie k1 = k1(δ), że
0 < |xk− p| < δ dla wszystkich k > k1.
Wtedy jednak, wobec definicji Cauchy’ego granicy funkcji, mamy |f (xk) − a| < ε dla wszystkich k > k1.
Zatem, ciąg (f (xk)) ma granicę równą a. To wynika wprost z definicji granicy ciągu. Zanim wprowadzimy formalną definicję ciągłości, odnotujmy kilka twierdzeń o grani-cach funkcji, które natychmiast wynikają z tego, co już wiemy o zbieżności ciągów.
Twierdzenie 5.19 (o trzech funkcjach). Jeśli
f, g, h : A → R , f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) dla x ∈ A, a p jest takim punktem skupienia zbioru A, że
lim
x→pf (x) = lim
x→pg(x) ,
(tzn. obie powyższe granice istnieją i są równe), to granica limx→ph(x)też istnieje i zachodzi równość
lim
x→pf (x) = lim
x→ph(x) = lim
x→pg(x) .
Twierdzenie 5.20 (warunek Cauchy’ego istnienia granicy). Załóżmy, że f : A → R
i p ∈ R jest punktem skupienia zbioru A. Wówczas f ma w p granicę równą a ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następujący warunek Cauchy’ego:
Dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla wszystkich t, s ∈ A \ {p} z nierów-ności |t − p| < δ, |s − p| < δ wynika, że |f (t) − f (s)| < ε.
Dowód. Ćwiczenie dla zainteresowanych.
Czytelnik zechce samodzielnie sformułować warunek Cauchy’ego istnienia granicy funkcji w punkcie p = ±∞. To łatwe zadanie: trzeba posłużyć się intuicyjnym rozumie-niem warunku Cauchy’ego: jeśli argumenty s, t są odpowiednio bliskie p, to wartości
funk-cji w punktach s, t są bliskie – i dokonać przekładu na ścisły język.
Twierdzenie 5.21. Załóżmy, że A, B ⊂ R,
f : A → R , g : B → R , f (A) ⊂ B ,
ajest punktem skupienia zbioru A, b jest punktem skupienia zbioru B, a ponadto
lim
x→af (x) = b, lim
y→bg(y) = c, f (x) 6= b dla x ∈ A. Wówczas
lim
x→ag(f (x)) = c
Dość oczywisty dowód, wykorzystujący którąkolwiek z równoważnych definicji gra-nicy, pominiemy. Proszę tylko zauważyć, że obliczając w Przykładzie5.13granicę funkcji f (x) = (1 + x)1/xw zerze, de facto posłużyliśmy się właśnie taką argumentacją, podając uzasadnienie.