Wielo-pętlowy charakter względnych trajektorii zamian jest wprowadzany przez generatory podgrupy cyklotronowej (4.2) (co prowadzi do także wielo-pętlowej postaci indywidualnych cyklotronowych trajektorii cząstek) i jest to nieodzowna własność naładowanych N –cząstkowych układów 2D w przypadku kiedy odle-głości między cząstkami (wynikające z gęstości NS i blokowane przez oddziały-wanie Coulomba) są większe niż podwójna długość zwykłego promienia cyklo-tronowego. Taki przypadek występuje dla ułamkowego ν = 1p zapełnienia LLL i wtedy zamiany cząstek wzdłuż pojedynczych pętli cyklotronowych są niedostęp-ne. Pozostają jednak inne realizacje zamiany ujęte w pełnej grupie warkoczowej, które zebrać można w postaci jej podgrupy cyklotronowej, zbudowanej z warko-czy wielo-pętlowych. Te dostępne zamiany pozwalają określić statystykę cząstek poprzez różne jednowymiarowe unitarne reprezentacje podgrup warkoczowych. Wielo-pętlowe trajektorie cyklotronowe muszą w przypadku 2D dzielić miedzy siebie ten sam strumień zewnętrznego pola (ponieważ i pole magnetyczne i po-wierzchnia układu nie zmieniają się) – w ten sposób dodatkowe pętle zabierają część strumienia, albo – innymi słowy – następuje efektywne zmniejszenie
na-tężenia pola i oczekiwane zwiększenie promieni cyklotronowych, które ponownie pasują do odległości między-cząstkowych (w przypadku ν = 1p, p nieparzyste, i wtedy trajektorii cyklotronowych z p pętlami). Pętle mogą być dodawane po-jedynczo do warkoczy, stąd jedna dodatkowa pętla prowadzi do generatora σi3, dwie dodatkowe pętle dają generatory σi5 itd. (ale nie istnieją grupy cyklotro-nowe z generatorami σi2, czy σ4i). Wskazane wyżej efektywne osłabianie pola magnetycznego, w wyniku zabierania części niezmiennego strumienia pola ze-wnętrznego przez dodatkowe pętle w 2D, jest tym efektem, który modelowany był przez Jaina przez dodawanie przeciwnie skierowanych do pola zewnętrznego kwantów pomocniczych strumieni. Te strumienie nie istnieją w istocie, a pole nie jest osłabiane przez żadne pomocnicze strumienie, ale przez dodatkowe pętle cy-klotronowe. To wyjaśnienie natury lokalizowanych na cząstkach strumieni Jaina (flux tubes) nie zmienia dużej użyteczności modelu Jaina złożonych fermionów w przypadku ν = P1, p nieparzyste, z bardzo rozbudowaną stroną obliczeniową [30]. Całkowity strumień pola zewnętrznego B przez powierzchnię układu S jest równy BS. Dla złożonych fermionów typu p, dla podwójnej zamiany i-tej i (i + 1)-szej cząstek (zatem zamkniętej trajektorii z 2p−1
2 + 1 = p pętlami), otrzymujemy tę samą liczbę p pętli na indywidualnych cyklotronowych trajektoriach cząstek (Rys. 4.4), obejmujących strumień phce (przy zapełnieniu ν = 1p, p nieparzyste, na każdą pętlę przypada jeden kwant strumienia hce, zgodnie z wyżej sformułowaną zasadą – dla złożonych fermionów typu p mamy p-pętlowe cyklotronowe trajek-torie cząstek, albo p kwantów strumienia na cząstkę, BS = N phce). Z drugiej strony degeneracja LL wynosi N0 = SBehc , (zaniedbując spin) i dla ułamkowego zapełnienia LLL ν, otrzymujemy N0 = Nν. Równanie BSN = hce ν1 daje 1ν kwan-tów strumienia, przypadających na jedną cząstkę, co zgadza się z poprzednim oszacowaniem dla ν = 1p.
W przypadku indywidualnych trajektorii cyklotronowych z p pętlami, każda pętla ma swój rozmiar dopasowany do zewnętrznego pola, którego strumień jest pomniejszony przez pozostałe pętle, tzn. o p− 1 kwantów na cząstkę, dokładnie tak samo jak w modelu Jaina (ale tylko w przypadku ν = 1p, p nieparzyste). Rze-czywiście, jeśli BS = hcepN to hce = Bp NS i NS odpowiada p-krotnie zmniejszonemu polu. Podążając za analogiami z modelem Jaina, można by argumentować, że dla ν = 12 i p = 3 dwie pętle na cząstkę zabierają cały strumień pola B i trzecia pętla ma nieskończenie długi promień (metal Halla [38]) w zerowym resztkowym polu. Zabieranie strumienia pola zewnętrznego przez dodatkowe pętle wyjaśnia ekranowanie pola modelowo przyjętego w konstrukcji Jaina z doczepianymi stru-mieniami. Wnioski z modelu Jaina pozostają obowiązujące także w podejściu cyklotronowych warkoczy, szczególnie dla zapełnień ν = 1p, p nieparzyste (dla innych zapełnień model Jaina okazuje się niedokładny) [76].
Podsumujmy, dlaczego naładowane cząstki w 2D muszą być złożonymi cząst-kami (nazwa jest tu myląca i zachowana z opisu Jaina, choć te złożone cząstki są
w istocie równoprawnymi kwantowymi cząstkami o odpowiedniej statystyce, a nie konglomeratami z fikcyjnymi strumieniami) w przypadku pól odpowiadających ułamkowemu zapełnieniu LLL. Dla ν = 1 mamy dokładnie Rc = R0 (gdzie Rc jest promieniem cyklotronowym, πR2cB = hce oraz 2R0 jest odległością między cząstkami, dopasowaną do gęstości i utrzymywaną przez krótko-zasięgową część odpychania Coulomba, πR20 = NS). Dla ν < 1 promień cyklotronowy zwykłych trajektorii bez dodatkowych pętli wynosi Rc < R0, zatem Rc jest zbyt krótki dla realizacji zamian cząstek wzdłuż tych trajektorii. Dodatkowe pętle prowadzą jednak do wzrostu Rc, co pozwala na ponowne zamiany, gdyż dla p-pętlowych trajektorii cyklotronowych hce = πR2cBp i Rc wzrasta w porównaniu do cyklotrono-wych trajektorii pojedynczych (jedno-pętlocyklotrono-wych); dla ν = 1p ponownie Rc = R0, mimo że zewnętrzne pole jest p-krotnie silniejsze niż dla ν = 1 (przy stałym N ). Pomocnicze strumienie Jaina odgrywały podobną do pętli rolę – zwiększały promień cyklotronowy poprzez redukcję efektywnego pola. Słuszna wydaje się tu konkluzja, że dla ν = 1 cyklotronowe trajektorie są z pojedynczymi pętlami, a grupa warkoczowa jest pełną grupą warkoczową generowaną przez b(p=1)i = σi, podczas gdy dla ν = 1p, p > 1, cyklotronowe trajektorie muszą być wielo-pętlowe, prowadząc równocześnie do warkoczy generowanych przez b(p)i = σip.
Zasadniczy rezultat związany z warkoczowym uzasadnieniem korelacji Laugh-lina polega na wykazaniu, że złożone fermiony nie są zwykłymi fermionami ubra-nymi w oddziaływanie na podobieństwo kwazicząstek w fazie skondensowanej, ale są oddzielnymi statystycznie, pełnoprawnymi cząstkami kwantowymi. Chociaż funkcje falowe fermionów i złożonych fermionów są antysymetryczne, to należy pamiętać o odrębności każdego ich rodzaju i nie dopuszczać do ich mieszania, po-dobnie jak nie miesza się bozonów i fermionów w 3D. Może mieć to znaczenie w numerycznych diagonalizacjach oddziaływania, szeroko stosowanych w celu anali-zy hallowskich układów. Jeśli do dziedziny minimalizacji hamiltonianu włączono wszystkie antysymetryczne funkcje próbne, to wynik może być inny w porówna-niu do sytuacji, jeśli ograniczyć się do określonego typu złożonych fermionów (o zadanym przesunięciu fazowym pα), dla którego funkcje próbne tworzą podzbiór wszystkich funkcji antysymetrycznych – może to być powodem nieprawdziwych wyników. Podobnie przy numerycznych analizach wzbudzeń stanów FQHE, od-powiadających kwazicząstkom lub kwazidziurom, interpretowanym często jako anyony spełniające ułamkową statystykę. Przesunięcia fazowe pozwalają zidenty-fikować statystykę, obliczaną numerycznie jako faza Berry’ego wzdłuż zamkniętej trajektorii w przestrzeni konfiguracyjnej dla modelowej wielo-cząstkowej funkcji falowej, odpowiadającej nisko-energetycznym wzbudzeniom ponad stan podsta-wowy, przy ułamkowych zapełnieniach poziomu Landaua. Te wzbudzenia – kwa-zicząstki lub kwazidziury tradycyjnie są łączone z anyonami w przypadku ułam-kowej fazy Berry’ego. Jest jasne jednakże, że nie jest możliwe rozróżnienie między ułamkowym θ (dla 1DUR pełnej grupy warkoczowej) i ułamkowym pα (dla 1DUR
podgrupy cyklotronowej): obydwa te przesunięcia fazowe mogą być tym samym ułamkiem. Ponieważ jednak rozpatrywane kwazicząstki lub kwazidziury są wzbu-dzeniami w silnym polu magnetycznym, odpowiednie stany powinny być raczej odnoszone do cyklotronowych podgrup i złożonych anyonów, a nie do zwykłych anyonów, jak powszechnie się je traktuje.
Zamiana anyonów na złożone anyony, może mieć też konsekwencje dla roz-wijanych ostatnio topologicznych metod kwantowego przetwarzania informacji [11, 16, 10]. Gdyby dowolną wielo-qubitową unitarną ewolucję (w szczególności uniwersalną dwu-qubitową operację) [11, 10] można było aproksymować przez wielo-wymiarową unitarną nieredukowalną reprezentację (MDUR) (odpowiednie-go rzędu) grupy warkoczowej, to zaimplementować by można wielo-qubitowe dzia-łania na fizycznym układzie naładowanych cząstek 2D w polu magnetycznym. By możliwa była wspomniana aproksymacja, nieodzownym warunkiem jest jednak wymóg dostatecznej gęstości tych MDURs w przestrzeni macierzy unitarnych [11]. MDURs mogą się wiązać ze zdegenerowanymi nisko-energetycznymi wzbudzenia-mi (kwazicząstkawzbudzenia-mi lub kwazidziurawzbudzenia-mi) ponad stan podstawowy typu FQHE dla ułamkowego zapełnienia LL. Ponieważ elementy MDUR, jako macierze, nie komu-tują, to zdegenerowane stany są odnoszone do nieabelowych anyonów (w analogii do abelowych anyonów związanych z 1DURs grup warkoczowych) [11]. Ostatnio badane nieabelowe anyony, w szczególności dla nisko-wzbudzonych stanów ponad 5/2 lub 12/5 zapełnienia LL, wykazują najprawdopodobniej niewystarczającą gę-stość MDURs (dla nieabelowych anyonów w przypadku zapełnienia 5/2, MDURs są niewystarczające, by aproksymować wymagane wielo-qubitowe bramki [11], natomiast stan 12/5 jest wciąż niewyjaśniony w tym aspekcie [70, 77]). Moż-na zatem stwierdzić, że poszukiwanie innych korzystnych układów fraktalnych z bardziej gęstymi MDURs, związanymi z nieabelowymi anyonami, ma istotne znaczenie. Biorąc pod uwagę, że podgrupy mają zwykle bogatsze reprezentacje niż grupy, można oczekiwać, że cyklotronowe podgrupy warkoczowe mogą być tu bardziej przydatne niż pełne grupy (z powodu możliwości posiadania korzystnie dostatecznie gęstych wielo-wymiarowych reprezentacji podgrup warkoczowych).