Kluczowa rola krótko-zasięgowej części oddziaływania Coulomba między cząstka-mi dla powstania korelacji Laughlina w 2D jest widoczna poprzez fakt, że funkcja Laughlina jest dokładną funkcją falową stanu podstawowego dla zapełnienia 1p LLL, jeśli ograniczyć oddziaływanie do pierwszych p− 2 pseudoptencjałów Hal-dane’a [57, 27, 78], tj. V =∑
i>j
∑∞
mVmPmij (Pmij jest projektorem na stany i-tej i j-tej cząstek ze względnym momentem pędu m), ograniczone do składowych Vm, tylko z m = 1, ..., p− 2. Te człony Vm, wyrażające energię oddziaływania Co-ulomba dla par cząstek ze względnym momentem pędu m¬ p − 2, uwzględniają
krótko-zasięgową część oddziaływania elektronów, a pozostałe człony, tzn. daleko-zasięgowy ogon oddziaływania dla większych odległości między cząstkami, czyli dla m = p, ..., nie wpływają istotnie na funkcję Laughlina [57, 27, 79]. Korelacje Laughlina są związane z nieściśliwymi stanami, co odzwierciedla dyskretne wid-mo oddziaływania Coulomba rzutowanego na stany landauowskie, czyli wyrażane w terminach pseudopotencjałów Haldane’a, co nazywane jest nawet przez Laugh-lina jako ”kwantowanie odległości między cząstkami” (”a quantisation of particle separation”) [24, 57]. Kwantyzacja oddziaływania Coulomba po rzutowaniu na stany wyrażone przez względny moment pędu par w podprzestrzeni Hilberta od-powiadającej LLL, prowadzi do nieściśliwych stanów FQHE numerowanych przez liczby całkowite (wartości własne względnego momentu pędu par), te same, które występują w funkcji Laughlina (poprzez potęgę w wielomianie Jastrowa). Istot-ne jest zauważyć, że w ramach podejścia do FQHE używając pseudopotencjałów Haldane’a (czyli uwzględniając tylko krótko-zasięgową część odpychania Coulom-ba), korelacje Laughlina przejawiające się poprzez wielo-cząstkową funkcję falową są jednoznacznie możliwym dokładnym stanem podstawowym przy ułamkowym zapełnieniu LLL, a nie wariacyjnym rezultatem modelowania tego stanu [57, 27]. To podkreśla znaczenie idei korelacji Laughlina (wyrażonej przez odpowiednie przesunięcie fazowe przy zamianach cząstek), które są wyrazem topologicznej podstawowej własności oddziałującego naładowanego układu cząstek 2D w sil-nym polu magnetyczsil-nym. Tę własność łączymy tu ze strukturą cyklotronowych podgrup warkoczowych.
Z uwagi na bezpośredni związek korelacji Laughlina i modelujących je złożo-nych fermionów, można stwierdzić, że odpychanie Coulomba (jego krótko-zasięgowa część wyrażona przez początkowe pseudopotencjały Haldane’a) ma także podsta-wowe znaczenie dla konstrukcji złożonych fermionów w tradycyjnym ujęciu Jaina. Widoczne jest tu jednak, że dyskretne widmo oddziaływania Coulomba z oddzie-leniem przerwami energetycznymi stanów o różnym względnym momencie pędu par w obecności silnego pola magnetycznego (wyrażone przez rzutowanie oddzia-ływania na stany z ułamkowym zapełnieniem LLL, jak w definicji pseudopoten-cjałów Haldane’a) nie pozwala na traktowanie oddziaływania w roli ubierania cząstek do kwazicząstek typu Landaua, właśnie z powodu nieciągłości oddziały-wania w tej projekcji.
Efektywna metoda opisu przy pomocy lokalnego pola cechowania jest ujęta w ramach teorii pola Cherna-Simonsa (pola chiralnego, tzn., łamiącego symetrię na odbicie czasu i parzystość). Teoria ta rozwijana wcześniej także w 3D zosta-ła wprowadzona do obszaru FQHE [51, 52], z powodzeniem opisując cząstki ze strumieniami modelującymi dowolne statystyki, w szczególności anyony i złożone fermiony Jaina. Należy jednak podkreślić, że pole Cherna-Simonsa jest przyjmo-wane ’a priori’ bez podawania fizycznych przyczyn konkretnej jego postaci, czyli także nie wyjaśnia przyczyn modelowych strumieni (flux tubes) doczepianych do
cząstek (w przypadku złożonych fermionów lub anyonów).
Zostało zademonstrowane, że krótko-zasięgowa część oddziaływania Coulom-ba stabilizuje złożone fermiony wobec działania pola Cherna-Simonsa (jego anty-hermitowskiej części [47, 79]), które miesza stany z różnymi momentami pędu wewnątrz LLL [79], co prowadzi do zaburzenia modelu złożonych fermionów w ujęciu pola Cherna-Simonsa [32, 79]. Oddziaływanie Coulomba usuwa degenera-cję stanów z różnymi momentami pędu wewnątrz LLL i powoduje pojawienie się przerw energetycznych stabilizujących obraz złożonych fermionów. Dla wyższych poziomów Landaua obraz złożonych fermionów może nie być już tak efektywny jak dla LLL, z powodu możliwego przekrywania między poziomami indukowanego przez oddziaływanie zdejmujące degenerację [80]. W wielu jednak przypadkach (jak np. ν = 5/2) obraz złożonych fermionów okazuje się bardzo przydatny [31]. Oddziaływanie Coulomba może jednak prowadzić do przekrywania (mieszania) poziomów Landaua jeśli pokona oddzielającą poziomy przerwę energetyczną i wtedy ogranicza efektywność modelu złożonych fermionów [32, 31]. Analizy (tak-że numeryczne) pokazują, (tak-że złożone fermiony mogą być użyte do opisu FQHE w drugim poziomie Landaua [37, 55] uwzględniając sparowane ich stany [81, 82]. Mieszanie poziomów Landaua wprowadza poprawki do dwu-ciałowego oddziały-wania i ostatnio ilościowo analizowano jego stabilizującą rolę dla stanów Moore’a-Reada wyrażonych przez funkcje falowe z czynnikami Pfaffa [83, 84] (rozdział 6.2). Krótko-zasięgowa część oddziaływania Coulomba stabilizuje także obraz zło-żonych fermionów w prezentowanym podejściu warkoczowym, w podobny spo-sób jak usuwała niestabilność orbit momentu pędu wewnątrz poziomu Landaua wywołaną polem Cherna-Simonsa [79]. Rzeczywiście, jeśli by zredukować krótko-zasięgową część odpychania Coulomba, to odległości między cząstkami mogłyby nie być utrzymywane (i byłyby tylko związane z gęstością powierzchniową układu 2D poprzez średnią wartość) i wtedy inne trajektorie cyklotronowe, dodatkowe w stosunku do wielo-pętlowych (dla ν = 1p) mogłyby być dopuszczone, co spowo-dowałoby naruszenie konstrukcji cyklotronowej podgrupy warkoczowej.
Zatem krótko-zasięgowa część oddziaływania Coulomba wydaje się być klu-czowa w każdym podejściu do złożonych fermionów. Ograniczenie pełnej grupy warkoczowej do jej podgrupy cyklotronowej z wielo-pętlowymi trajektoriami jest uzasadnione tylko dla odległości dopasowanej do promieni cyklotronowych. Ro-lą osobliwego odpychania Coulomba na bliskich odległościach jest zabezpieczać przed zbyt silnym zbliżaniem się cząstek i utrzymywać odległości między nimi na poziomie średniej wynikającej z gęstości. W ten sposób krótko-zasięgowa część oddziaływania Coulomba jest spożytkowana w konstrukcji cyklotronowych pod-grup. Daleko-zasięgowy ogon oddziaływania Coulomba jest pozostawiony jako resztkowe oddziaływanie cząstek, podobnie jak w modelu słabo i daleko-zasięgowo oddziałujących złożonych fermionów Jaina [30, 32, 31].