Zgodnie z treścią poprzedniego paragrafu, zaproponowaliśmy łączyć złożone cząst-ki i korelacje Laughlina z reprezentacjami 1DURs cyklotronowych podgrup war-koczowych, które są generowane przez generatory, b(p)i = σpi, (p = 3, 5...), i = 1, ..., N− 1, z różnymi p dla różnych typów złożonych cząstek (σi to generatory pełnej grupy warkoczowej). Generatory b(p)i reprezentują zamiany cząstek i-tej i (i + 1)-szej z p−1
2 pętlami (zamian z mniejszą liczbą pętli w tej podgrupie nie ma), co jest widoczne z przedstawienia przez σi (Rys. 4.2). Reprezentacje 1DURs pełnej grupy warkoczowej obcięte do podgrupy (nie zależą wtedy od i) określają reprezentacje 1DURs podgrupy: b(p)i → eipα, i = 1, ..., N− 1, gdzie p nieparzysta liczba całkowita, α ∈ (−π, π]; te reprezentacje numerowane są przez pary (p, α)
i opisują złożone anyony (złożone fermiony, dla α = π).
N -cząstkowa funkcja falowa uzyskuje wymagane dla korelacji Laughlina prze-sunięcie fazowe przy zamianach cząstek, gdyż zgodnie z regułami kwantowania [68, 69], funkcja falowa uzyskuje przesunięcie fazowe reprezentacji 1DUR warko-cza, kiedy cząstki zamieniają się według tego warkocza. Każda dodatkowa pętla warkocza dodaje 2π do przesunięcia fazowego, jeśli przyjąć α = π – dla złożonych fermionów – Rys. 4.2 (dolny).
Należy zauważyć, że mimo że kwantowe cząstki nie odbywają ruchu wzdłuż warkoczy, to zamiany argumentów N -cząstkowej funkcji falowej odpowiadają po-szczególnym warkoczom, zatem w przypadku 2D, nie tylko permutacjom. Dlatego dla warkoczy cyklotronowych b(p)i , i = 1, ..., N− 1, otrzymujemy przesunięcie fa-zowe pπ oczekiwane dla złożonych fermionów (czyli dla α = π), co odtwarza fazę wymaganą przez korelacje Laughlina, bez potrzeby wprowadzania lokalnych strumieni lub wirów.
Każda dodatkowa pętla względnej trajektorii zamiany cząstek, zdefiniowanej przez generator b(p)i cyklotronowej podgrupy, reprodukuje dodatkową pętlę in-dywidualnych cyklotronowych trajektorii obu zamieniających się cząstek, które składają się na względną trajektorię zamiany – jak zostało to przedstawione na rysunku 4.3. Indywidualne cyklotronowe trajektorie są powtarzane przez względ-ną trajektorię (Rys. 4.3 c,d) z dwukrotnie większym promieniem w stosunku do cyklotronowych trajektorii indywidualnych cząstek (Rys. 4.3 a,b). W języku kwantowym, w odniesieniu do klasycznych wielo-pętlowych cyklotronowych tra-jektorii, można tylko wnioskować o liczbie kwantów strumienia przypadających na każdą cząstkę w układzie, BSN /hce, która dla zapełnienia 1p LLL wynosi p, czyli tyle samo ile wynosi liczba pętli cyklotronowych. Zatem można tu sformułować prostą regułę: (w przypadku zapełnienia 1p LLL [p nieparzyste]) dodatkowa pętla na cyklotronowym warkoczu zamiany cząstek prowadzi do dwóch dodatkowych kwantów strumienia pola magnetycznego przechodzących przez indywidualną tra-jektorię cyklotronową każdej z cząstek.
Powyższa reguła wynika bezpośrednio z definicji cyklotronowej trajektorii, która musi być zamkniętą indywidualną trajektorią cząstki i w związku z tym musi odpowiadać podwójnej zamianie pary cząstek. Wtedy bowiem indywidualne trajektorie obu zamienianych cząstek będą zamknięte, replikując także zamknię-tą trajektorię względną podwójnej zamiany (pojedyncza zamiana ma otwarzamknię-tą trajektorię).
Jeśli zamiana jest prosta, tzn., bez żadnych dodatkowych pętli, wtedy odpo-wiadające jej indywidualne cyklotronowe trajektorie cząstek też są proste (jedno-pętlowe). W przypadku gdy zamiana odbywa się z dodatkowymi pętlami, jak w przypadku cyklotronowej podgrupy typu p (p > 1), trajektoria podwójnej za-miany (przez to zamknięta) ma 2p−1
2 + 1 = p pełnych pętli oraz tyle samo pętli posiadają indywidualne cyklotronowe trajektorie cząstek, czyli także p pełnych
pętli [72, 74].
Bardzo istotne jest podkreślenie różnicy między zwojami (np. przewodu w zwojnicy 3D) a wielo-pętlowymi 2D cyklotronowymi trajektoriami. W tym ostat-nim przypadku, dodatkowe 2D pętle nie mogą zwiększyć całkowitego strumienia pola magnetycznego przechodzącego przez układ i wszystkie wielokrotne pętle muszą się dzielić tym samym całkowitym strumieniem. Inaczej jest w przypadku uzwojeń 3D, wtedy każdy nowy zwój dodaje nową porcję strumienia, gdyż każdy zwój dodaje swoją powierzchnię, przez którą przechodzi to samo pole magnetycz-ne, zwiększając w ten sposób całkowity strumień (w 2D nie jest to prawdą).
Widać zatem, że w 2D dodatkowe pętle zabierają fragmenty strumienia (w przypadku zapełnień 1p, kwanty strumienia) i redukują pole magnetyczne – to jest wyjaśnienie natury pomocniczych strumieni Jaina doczepianych do złożonych fer-mionów w celu ekranowania zewnętrznego pola B. Złożone fermiony nie są więc żadnymi złożonymi strukturami zbudowanymi z cząstek i doczepionych strumie-ni (flux-tubes), chociaż zachowujemy ich oryginalną nazwę. Złożone fermiony są równoprawnymi, jak np. fermiony, cząstkami odmiennymi statystycznie, co ujmu-ją grupy cyklotronowe i ich reprezentacje. Podobnie nieco mylącą nazwę, znowu nawiązującą do modelowych konstrukcji, odnieść można do złożonych anyonów związanych z ułamkowymi reprezentacjami 1DURs podgrup cyklotronowych (tj. z ułamkowym α w reprezentacji (4.3)). Złożone anyony także nie są żadnymi kompozytowymi strukturami, ale są równoprawnymi, odmiennymi statystycznie cząstkami w 2D w obecności silnych pól magnetycznych, podobnie jak zwykłe anyony w 2D bez obecności silnego pola magnetycznego.
Teorie złożonych fermionów Jaina z fikcyjnymi strumieniami [30, 32, 31], jak i Reada z wirami [29, 42, 54, 47, 48] doczepianymi do cząstek, są zatem efektyw-nymi, heurystycznymi sformułowaniami o modelowym a posteriori charakterze w stosunku do wcześniej znanej funkcji Laughlina. W konstrukcji Jaina, strumienie są używane do odtworzenia laughlinowskiego przesunięcia fazowego przy zamia-nach cząstek, natomiast wirowość wirów Reada odpowiada potędze w funkcji Laughlina (same wiry mają postać czynników w wielomianie Jastrowa i odzwier-ciedlają ’przypinanie’ wielokrotnych zer do cząstek, właśnie z uwagi na postać wielomianu Jastrowa). W sformułowaniu warkoczowym poszukujemy natomiast bardziej podstawowych argumentów, które wyjaśniałyby właśnie takie, a nie in-ne laughlinowskie przesunięcie fazowe przy zamianach cząstek. Identyfikujemy tę podstawową przyczynę jako zbyt krótkie dla zamian promienie cyklotrono-we przy polach odpowiadających ułamkowym zapełnieniom LLL, co w natural-ny i nieodzownatural-ny sposób prowadzi do wielo-pętlowych trajektorii warkoczowych, wzdłuż których zamiany cząstek są wciąż możliwe (ponieważ dzielą w 2D ten sam strumień całkowity, osłabiając pole [bo nie zmieniają powierzchni] i muszą mieć zatem większy promień przy takim samym kwancie strumienia [dla zapełnień 1p] – a to wystarcza by sięgnąć do innych cząstek w celu zamiany).
Rys. 4.3. Połowa cyklotronowej trajektorii indywidualnych cząstek i-tej i
(i + 1)-szej (a,b) i odpowiadające im trajektorie względne (c,d) dla zamiany cząstek i-tej i (i + 1)-szej w obecności silnego pola magnetycznego dla ν = 1 (a,c) i dla ν = 13 (b,d) (trzeci wymiar dodany dla lepszej wizualizacji); w obydwu przypadkach, ν = 1,1
3, cyklotronowy promień Rc jest dopasowany do odległości między cząstkami, 2Rc= 2R0oraz R0jest utrzymywane przez odpychanie Coulomba przy zadanej gęstości cząstek
Dodać można, że inna idea, ale rzeczywistego kwaziklasycznego cyklotrono-wego kolektywnego ruchu w zamkniętych pierścieniach w przypadku 2D w polu magnetycznym była analizowana przez Kivelsona i współautorów [46]. W pracy tej autorzy rozważali wkład do energii wymiany od takiego koherentnego cy-klicznego rotowania dużych pierścieni w celu wykrycia szczególnego jej wzrostu przy ułamkowych zapełnieniach LLL, z pewnymi związkami analizowanej matry-cy cząstek z kryształem Wignera. Rozpatrywane w ten sposób dalekie korelacje rzeczywistej kwantowej dynamiki były szacowane przy pomocy całek funkcjo-nalnych w kwaziklasycznym przybliżeniu. Trajektorie takie nie mają związku z rozpatrywanymi czysto klasycznymi warkoczami cyklotronowymi w ramach opisu statystyki, ponieważ warkocze nie opisują rzeczywistej kwantowej dynamiki. Cy-kliczne dalekozasięgowe korelacje Kivelsona wskazują jednak na bliskość korelacji Laughlina z uporządkowaniem kryształu Wignera [46, 75], także rozpatrywanym jako konkurencyjny stan w ujęciu złożonych fermionów [32].
Zaznaczamy raz jeszcze, że cyklotronowe trajektorie nie mają znaczenia re-alistycznego ruchu, są pomocniczym obiektem metod grup warkoczowych, gdzie dynamika nie odgrywa istotnej roli, natomiast uwzględniane są topologiczne uwa-runkowania trajektorii. Kwantowe cząstki nie mają trajektorii, natomiast warko-czowe trajektorie odzwierciedlają topologiczne, a nie dynamiczne cechy układu i poprzez unitarne reprezentacje wiążą się ze statystykami cząstek.
Rys. 4.4. Podwójna (i dlatego zamknięta) względna trajektoria zamiany
cząstek i-tej i (i+1)-szej, z jedną dodatkową pętlą (czyli p = 3) (a); odpowia-dające tej zamianie indywidualne cyklotronowe trajektorie zamieniających się cząstek i-tej i to samo dla (i + 1)-szej (b); indywidualne trajektorie cy-klotronowe cząstek odpowiadające podwójnej względnej trajektorii zamiany
i-tej i (i + 1)-szej cząstek w obecności silnego pola magnetycznego, dla ν = 1
(c) i dla ν = 13(d), odpowiednio; liczba kwantów strumienia B przypadająca na cząstkę jest zaznaczona w obu przypadkach ν = 1,13 (strzałki na rys. (c) i (d)); wynikający promień cyklotronowy Rc odpowiada odległości między cząstkami, 2R0 = 2Rc, w obydwu przypadkach (trzeci wymiar dodany dla lepszej ilustracji)