W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, że dla zachowania równowagi ciepl nej, w rotującej jak ciało sztywne gwieździe, konieczne jest wprowadzenie dodatkowego pola prędkości. Składowa tego pola normalna do powierzchni
ekwipotencjalnej opisana została wzorem (11). /
Korzystając z równań ruchu wykażemy dalej, że tak dobrane pole prędko ści jest źródłem zmian ruchu obrotowego gwiazd, a zatem, że opisany stan gwiazdy nie jest trwały. W tym celu wrócimy znów do rozważania sytuacji, w których siła odśrodkowa jest na tyle mała, że odpowiednia linearyzacja rów nań jest uzasadniona.
176 W. Dziembowski
r)(T)
div L , = ff<Dl + 2 {Ó S ~ ^- + f ó ® i - 2 co2) + /o 4ttC p .'O , ,
w którym <DŁ zawiera tylko nie ra d ia ln ą c zęść zmiany potencjału . W trzecim ze składników zachow aliśm y wyrażenie rzędu drugiego — CDt co2 — ze w zględu na to, że przy pow ierzchni gwiazdy gęstość je s t na tyle m ała, że nawet je ś li
za-■ , . co2/? . . , . , , . co2 c h o d z i----« 1 mamy tam rownoczesnie - » 1.
g
2 TTLrpP o przekształceniach uzyskujem y stąd zlinearyzow aną wersję wzoru (11)
V = - 2 ( 1 (H a )
\
2-nGpoJ
GA/2dr
(Dj '
Ór = ---i oznacza przyrost (dodatni b ąd ź ujemny) odleg ło ści dowolnej &
c ząstk i gazu od centrum gw iazdy, zw iązan y ze zm ianą potencjału:
4
-(rfS-(
12
łL
5
p-F)
16\rfln r + 4 _ 3>P je s t stosunkiem c iśn ie n ia gazu do c iś n ie n ia całkow itego. Wzór ten różni się od odpowiedniego wzoru podanego w monografii S c h w a r z s c h i l d a (1958, wzory 21.21, 21.22) uw zględnieniem c iśn ie n ia prom ieniowania oraz czynnika 1 - , wprowadzonego po raz pierw szy przez O p i k a (1951).
Przedstaw im y teraz prawą stronę wzoru ( l l a ) w postaci:
6 [a (r/R ) + e b (r/R)] P 2 (#); co
Z £ =
3 GM
W tabeli 1 podane s ą wartoścj a i b w jednostkach c .g .s . d la modelu gwiazdy o masie równej 4 © w początkowym stadium je j ew olucji na ciągu głównym. W p rzy b liże niu zerowym model ten scharakteryzow any je s t przez wartości R = 2 .6 0 7 © , L = 340 © (rachunki wykonane zostały przez autora na EMC G IE R , w oparciu o modele gw iazd ciągu głównego uzyskane przez J . Z i ó ł k o w s k i e g o (1967)).
W ykorzystując w dalszym ciągu za ło że n ie stacjonarności m ożna, za pomocą równania c ią g ło ś c i, w yznaczyć składow ą — prędkości c y rk ula cji. P o zostając nadal w granicach p rzy b liże nia liniow ego, możemy tu na p przyjmować wartość p0(r), mamy zatem:
1 d , , 1 d , , N
— J7-;(*nVVj = — j-OW).
Proble m y nieradialne w teorii budowy g w ia z d 177
T a b e l a 1
Składow e ra d ia ln e c y rk u la c ji południkow ej we w n ętrzu gw iazdy
r / R a b 0 .9 9 8 1.84(—1) - 3 .0 2 ( 7 ) 0.991 1.50(—1) -9 .3 7 ( 5 ) 0.981 1.86(—1) -1 .9 0 ( 5 ) 0.964 1.6 4 (—1) -2 .3 7 ( 4 ) 0 .9 1 9 1 .1 8(—1) -1 .1 6 ( 3 ) 0 .8 6 9 8 .9 0 (—2) -1 .3 7 ( 2 ) 0.738 4 .4 2 (—2) - 3 .9 3 0.639 2.4 0 (—2) —4.66(—1) 0 .5 2 8 7 .5 6 (—3) - 3 .1 1 ( - 2 ) 0.421 3 .0 3 (—3) —3.18(—3) 0.301 1.54(—3) —3.J12(—4) 0.164 1.7 7 (—2) - 6 .2 1 ( - 4 )
U w a g a : cyfry w n a w ia s a c h o z n a c z a ją w ykładnik potęgi o p o d sta w ie 10, p rzez któ rą n a le ż y pom nożyć lic z b ę .
P rz e d s ta w ia ją c Vf w p o s ta c i Vr = ccr) P 2 (i?1, dostajem y:
v* = r L 4 -(P°rJc)-r>2*
6p0r dr(12)
Wzory ( l l a ) i (12) o k re ś la ją w pełni sta c jo n a rn e pole p rę d k o śc i cyrkulacji południkowej.
Weźmy te ra z pod uwagę s k ła d o w ą — równania ruchu c ie c z y w układzie
obracającym s ię wokół osi wraz z gwiazdą:
= r s n * = - [ ( F . V ) F ] v - 2 c a ( F f sritT + e s * ) + 7* (F),
Ty (F) o z n a c z a łą c z n y efekt ta rc ia promieniowania i ta r c ia molekularnego. Wyraz ten jako jedyny liniowy j e s t dominujący dla co —* 0. Szczegółowym b a daniem efektu lep k o ści w a s p e k c ie ro tacji gwiazd zajm ow ał s ię K i p p e n h a h n (1958). T u taj ograniczymy s ię do dwóch wniosków z jego pracy:
1) w yraz „ l e p k i ” określa ew olucję rozkładu prędkości kątow ej, tylko dla tak wolno rotujących gw iazd, d la których wpływ s iły odśrodkowej na strukturę gwiazdy j e s t zaniedbywalny;
2) typow a s k a la c z a so w a modyfikacji prędkości kątowej w wyniku ta rc ia j e s t rzędu 10“ la t.
W tej s y tu a c ji nieuw zględnianie le p k o śc i j e s t w pełni u z a sa d n io n e . Również p ierw szy wyraz prawej strony j e s t na ogół zaniedbyw alny wobec składow ej s i ł y C o rio lis a na mocy nierów ności: cor » max ( Vf , Fv ).
178 W. Dziembowski
Uwzględniając teraz równania (lla ) i (12) możemy po pewnych przekształ ceniach otrzymać wzór:
d ln w 1
d t “ 3 r2po (r2c po) + 2 dr-(r2c p0) — 3 crpo P , ci>) (13)
Tak więc istnienie cyrkulacji południkowej wywołuje wiekową zmianę pręd kości kątowej rotacji. W związku z tym założenie stacjonarności, leżące u pod staw wyprowadzenia wzorów (11) i (12), ściśle rzecz biorąc nie jest spełnione. Łatwo jednak można się przekonać, że skala czasowa charakteryzująca tempo narastania cyrkulacji jest na ogół znacznie krótsza od skali czasowej charak terystycznej dla zmian rotacji. Kładąc w równaniu (10) V = 0, mamy w przybli żeniu liniowym:
PoT0 ~ d iv dt
i dalej z równań ciągłości i Poissona:
d p , d <t>J
dt dt '
z równania ruchu wynika wtedy: d*V
Hi*
— grad P o 8 * = — grad Po 8(S) div ^
r
Rząd wielkości szukanej skali czasowej określa
(14)
/ <?2f;
śla tc - y/V / . a r, którego ( * ! ? } ’
oszacowanie oparte na wzorach (lla ) i (14) daje t ~ ( j , co oznacza, że
poza obszarami leżącymi w bezpośrednim sąsiedztwie granicy stabilności kon- wektywnej, prędkość cyrkulacji narasta w dynamicznej skali czasowej, właści wej danej gwieździe. Tak więc poza bardzo cienkimi warstwami założenie stacjonarności stanowi bardzo dobre przybliżenie, w wypadkach kiedy lineary- zacja równań opisujących strukturę rotującej gwiazdy jest uzasadniona.
T a b e l a 2
Skale czasowe zmian prędkości kątowej rotacji we wnętrzu gwiazdy
r/R X y
0.998 9.14(6) 1.85(7)
Problemy nieradialne w teorii budowy gwiazd
179
T a b e l a 2 (cd.) r / R X 7 0.981 1.02(3) 4.25(3) 0.964 -5 .2 0 (2 ) - 7 .6 1 (2 ) 0.919 -2 .0 7 (1 ) -2 .7 1 (1 ) 0.869 - 1 .7 8 - 2 .0 1 0.813 —4.49(—1) —5.85(—1) 0.738 - l . O l ( - l ) —1.76(—1) 0.639 —4.12(—3) —2.35(—2) 0.528 —1.79(—3) —1.18(—2) 0.421 —2.89(—4) —5.15(—3) 0.301 —5.18(—4) —4.24(—3) 0.172 -3 .8 1 (- 2 ) —1.03(—1) 0.157 —7.36(—1) - 1 .6 0W ielkość d \ n c0> a w ięc odw rotność s k a li c z a so w e j zm ian r o t a c ji, przed-
o t
staw im y w p o s ta c i:
= * (r/ R ) + y (r/R ) P 2 (t».
O t
W ta b . 2 dane s ą w a rto śc i x \ y d la o p isa n e g o ju ż m odelu gw iazd y w jed n o stk a c h (105 lat)’ 1 (lic z b a 10! la t d a je rzą d w ie lk o śc i s k a l i K elv in a d la gw iazdy o p isa n e j naszym m odelem ). P rz y ję ta tu z o s t a ła w arto ść £ = 0 .0 1 8 , co odpow iada p rę d k o śc i rów nikow ej 131 k m /se k . C z ę s t o ś ć ro ta c ji w p rzyjętych jed n o stk a ch w ynosi 1 .5 .1 0 ’ .
W artości podane w pierw szym w ie rszu nie m ają s e n su fiz y c z n e g o , poniew aż s k a l a c z a so w a zm ian r o ta c ji je<st te g o sam e g o rzędu co ok res obrotu gw iazd y . W tym o b sz a r z e , s ą sia d u ją c y m b ez p o śred n io z w arstw ą n ie sta b iln ą konwektyw- n ie , w arto ść grad ien tu u le g a d o ść nieregularnym zmidnom p o z o sta ją c s ta le b lis k a zeru . Wiąże s ię to głów nie z szyb k im i zm ianam i w sp ółczy n n ik a nieprze- z r o c z y s to ś c i.
Wyniki liczb o w e podane w tab . 2 o d n o szą s ię d o konkretnego m odelu gw ia zdy i konkretnej w arto ści e . N iem niej s ą one typowe d la gw iazd c ią g u głów nego p o sia d a ją c y c h pow łoki w rów now adze p ro m ien istej. C o s ię ty czy z a le ż n o śc i od e , to w zew nętrznych w arstw ach pow łoki, można — z g ru b sz a — przyj m ow ać, że x ~ y ~ e2, n ato m iast w n a jg łę b sz y ch w arstw ach pow łoki: * ~ y ~ e. Z w arto ści danych w ta b . 2 w ynika, ż e na o gó ł w środkow ej c z ę ś c i gw iazdy zm iany ro ta c ji z a ch o d z ą w s k a l i c z a so w e j d łu ż s z e j niż c z a s ż y c ia gw iazdy na c ią g u głównym, a za tem , że is t n ie ją c y w ich w nętrzach ro zk ład p ręd k o ści ką tow ej pow inien być w z n a c z n e j m ierze r&liktem w c z e śn ie jsz y c h fa z ew o lu cji.
180 W. Dziembow ski
Z drugiej strony, przy powierzchni gwiazdy rotacja zmienia się w skali znacznie krótszej od kelvinowskiej skali czasowej, a zatem w tej części gwiazdy po winniśmy oczekiwać ustalenia się swego rodzaju stanu stacjonarnego, jako wyniku nieodwracalnego charakteru oddziaływania materii z promieniowaniem. Ola dalszego badania ewolucji prawa rozkładu prędkości kątowej konieczne jest uogólnienie przedstawionych tu rozważań na wypadki, kiedy częstość rotacji jest dowolną funkcją r i $ . Pewnym osiągnięciom w tej dziedzinie, dokonanym w ostatnich kilku latach, poświęcony zostanie następny artykuł z tej serii.
L I T E R A T U R A
1. K i p p e n h a hn, R. , 1958, Z . f. Astr, 46, 26. 2. O p i k , E .J ., 1951, M.N. 111, 278.
3. Sc h w a r z s c h i 1 d, M.,1958, Structure and E v o lu tio n o f the S ta rs, Princeton. 4. Z i ó ł k o w s k i , J ., 1967, A.A . (w druku).
EWOLUCJA G R O M A D G A L A K T Y K
T O M A S Z K W A S T
3BOJHOLWH CKOrUlEHMM TAJIAKTMK
T. K b a c t