179 część drogi pomnóżmy przez siłę, działającą w dowolnym jej punkcie, np

w punkcie początkowym; otrzym am y w ten sposób dla każdej części drogi pracę, którą w ykonałaby siła, gdyby była stałą wzdłuż całej tej części.

Utwórzmy sumę tych iloczynów:

1Ą = P(s1)A s1 + P (st ) Ast 4 - . . . -f- P(sn)As„

W ykonajm y następnie cały ciąg takich podziałów drogi ale tak, aby wszystkie As, dążyły do zera. U tw órzm y odpowiadający tym podziałom ciąg anm: L u L x, L t , . . . L v . . . G ranicę tego ciągu nazywam y pracą siły (zmiennej), działającej w kierunku drogi, w zdłuż całej drogi S. W artością tej granicy jest, ja k wiadomo, całka oznaczona:

(136)

T a całka podaje więc pracę, wykonaną przez siłę P(s), działającą w k ie­

runku drogi, wzdłuż całej drogi o długości S.

Jeżeli siła nie działa w kierunku drogi, lecz je j k ierun ek tworzy ze stycznemi w rozmaitych punktach drogi rozm aite kąty, to tw orzym y w każdym punkcie drogi rzut wektora, przedstawiająSego siłę, działającą w tym punkcie, na kierunek stycznej. Niechaj P, oznacza wielkość tego rzutu siły P na styczną, to pracę określam y przy pomocy sum postaci:

L, = + P i(s»)^s2 - f - . . . -f- P,{sn)As„

Na obliczenie tej pracy otrzym ujem y wzór:

(136a)

gdzie P,(s) oznacza wielkość rzutu siły P na styczną w każdym punkcie drogi. Pow rócim y do tych rozważań w ustępie, poświęconym całkom A-rzywolinjowym (por. § 244).

Przykłady.

1) W ydłużam y sprężynę o długość S; wiadomo, że przy każdem wydłużeniu o odcinek s działa siła sprężystości, proporcjonalna do tego wydłużenia, a zatem do pokonania je j trzeba użyć siły P — k - s , działa­

jącej w k ierunku przeciw nym do siły sprężystości, a mianowicie w k ie­

runku wydłużenia. Praca, w ykonana przy całkow item wydłużeniu S . ma zatem wartość:

s

L

— J

ksd s = t k S * = ż ~ ' S 0

12*

t. j. ma taką wartość, ja k gdyby działała stała siła P = - y , równa po­k S łowie siły kS, działającej w końcowym punkcie drogi.

2) Obliczyć pracę, wykonaną przez tłok maszyny cieplnej, posuwa­

jący się pod wpływem ciśnienia P gazu. Ciśnienie to zmienia się w m iarę rozprężania się gazu. Jeżeli pole przekroju tłoku wynosi F, droga prze­

byta przy jednym ruchu ma; długość S a p oznacza ciśnienie gazu na jednostkę pola (prężność), to P — p - F a zatem praca ma wartość:

180

s

= J p • Fds O

W prowadźmy zamiast zmiennej s zmienną F • s, oznaczającą objętość v gazu, znajdującego się w danym momencie ruchu pod tłokiem, to:

v , dv

s — j , d s ~ J p

Niechaj vx oznacza objętość początkową, t. j. dla s = 0, a vt końcową, t. j. dla s — S. Otóż:

= v

T ak np. przy izołermicznej zmianie objętości pod tłokiem związek między objętością o prężności wyraża się wzorem:

p v — c

& zatem:

L

= J '

~ dv s= c log ~

Przy adjabałycznej zmianie objętości zachodzi między p a v związek:

p • w1 41 = c a więc:

L = c f dV ~ - — itr«-« - - ViV' i i - h Y * 1)

J vi « Z ^ 41 ~ 0 - 4 1 2 Vl 0 '4 l \ U 2j )

r, n

8) Ja k ą pracę odda masa 1 grama, spadająca pod wpływem siły ciężkości ziemi z wysokości 60 km na powierzchnię ziemi, na wyso­

kość 0 km.

Przyjm ijm y za jednostkę siły ciężar 1 gram a (przy powierzchni zitimi). W odległości s od środka ziemi działa na masę l gram a siła P(s)

1 8 1

odwrotnie proporcjonalna do kw adratu odległości od środka ziem,. Jeżeli R oznacza promień ziemi, to:

P(s) : l = R '- **

a stąd:

P ( S) = s, A w ię c p raca:

* 5 72*s-M i 1 M — ^ L 60 —

L = CŁt ds = r ’ <h = __••• | = ( ^ q p 60 " f t ) ~ § R + 60

■Poniew aż p r o m ień z ie m i m a d l u g < # (,k o io H ^ ^ ^ T o o o T k g L s = — 5 9 k g m (a lb o w ie m za je d n o s tk ę m a sy o b r a liś m y g

a za jednostkę długości 1 km — 1000 m).

Całki z f u n k c y j d w ó c h i w i ę c e j z m i e n n y c h . Ustęp I.

§ 2 4 2 . C ałk i k rzyw olin jow e.

W poprzednich rozdziałach zajmowaliśmy się wyłącznie całkam i z funkcyj jednej zmiennej: funkcja podcałkowa y = f( x ) była dotąd zawsze funkoją jednej zmiennej x ■ Przystąpim y obecnie do badania całek z funkcyj dwóch zmiennych, a więc funkcja podcałkowa:

3 = P(®. y) będzie funkcją dwóch zm iennych x, y.

Rozpoczniemy od przypadku najbliżej związanego z całkowaniem funkcyj jednej zmiennej, a mianowicie od przypadku, g dy zm ienne x, y nie są od siebie niezależne, lecz są ze sobą związane jakiem » rów naniem :

(a) F (x, y) — 0

A więc punkty o spółrzędnych (x, y), które będziemy brali pod uwagę, nie będą wypełniały całej płaszczyzny (Jf, Y ) ani też żadnych obszarów tej płaszczyzny, lecz będą przebiegały w ogólności jakieś linje. Równanie takiej linji (/) może być podane w formie uwikłanej, ja k we wzorze (a), albo w formie parametrowej:

(b) x — ę {t), y — ip(t)

albo też w najprostszym przypadku w formio wyraźnej:

(c) y — f{ x )

Zacznijmy od tego ostatniego, najprostszego przypadku. W eźm y pod uwagę łuk A B linji o równaniu (c), przyczem punkt A należy do odciętej. x = af a £ do x = b . Ponieważ y z = f( x ) je st jednoznaczną funkcją, przeto do każdej odciętej z tego przedziału należy tylko jedna rzędna. Utwórzm y całkę:

b

(d ) J P ( x ,y ) d x

przyczem y = f{x).

ROZDZIAŁ XX.

, Tę całkę z fuokcji P (x , y) dwóch zm iennych zamieniamy

runku, przebiegania łu ku całka krzywoliniową zmienia znak.

W eźm y teraz pod uwagę ta k i łuk, w którym do jed n ej odciętej należeć może więcej rzędnych, ja k np. łu k A B na fig. 59.

Używając formy wyraźnej, musimy użyć do analitycznego w yraże­

nia tego łuku trzech funkcyj:

y = /"j (w) w przedziale -<a, c >

a — f t (x) „ ^{< C ,} d >

y ==/»(») n < d , b >

Dla każdego z łuków AC, CD, Ub tworzymy osobno całkę- krzywolinjową i obliczamy ją osobno w sposób podany we wzorze (137 a).

Tworzymy następnie sumę tych trzech caiek krzy wolinjowych:

f p { x , y ) d x + J ' P ( x , y) d x - f j P(x, y) d x

A C C D O S

Tę sumę nazywamy całką krzywolinjową 7. funkcji P ( x ,y ) po całym łuku A B i oznaczamy ją symbolem:

164

I P(a?, y) d x

Ogólnie, jeżeli łuk A B składa się z części A A „ A t Ä%,...Ä n_yB o rów na­

niach y = / ’1(®), y = f t ( x ) ,...y = f n(x), które każda prostopadła do osi odciętych przecina tylko w jednym punkcie, to c a łk ą krzyw olin jow ą z P ( x ,y ) według zmiennej a, po całym łuku AB, nazywamy sumę całek krzy wolinjowych po wszystkich łukach składowych i oznaczamy ją sym ­ bolem:

J p [ x , y ) d x

A B

Symbol taki ma zatem następujące znaczenie:

Ot Uj

J P (x, y ) d x = j P ( x , f x (a?)) d x + j * P ( x t f % (»)) d x + . . .

A~B a u, J

(138) .

••■ + J P ( x J a{ x ))d x a«'-i

gdzie a, a„ ai t . . ,a„_u h są odciętemi punktów A, A n A u . . . A n_„ B.

Rozszerzyliśmy w ten sposób znaczenie symbolu (137), nie da się on bowiem w tym ogólnym przypadku wyrazić zapomocą jednej całki według zmiennej x, lecz jest sumą kilku takich całek. W praw dzie rów ­ nanie takiego łuku A B można wyrazić w formie uwikłanej zapomocą jednego wzoru F (x, y) — 0 (np. przypadek, przedstawiony na fig. 59, od­

powiada równaniu (y — m )1 — (a;—-w) = 0), ale przy obliczaniu wartości tego symbolu trzeba go rozłożyć na odpowiednią ilość całek.

T a ogólniejsza definicja całki krzywolinjowej dopuszcza też całki, brane po linjach zamkniętych. T ak np. całce krzywolinjowej według zm ien­

nej co z jakiejś funkcji P (x , y), branej po kole. K (fig. 60), dajemy następujące znaczenie:

j P ( x , y ) d x = I "P (x, y) d x - f j P (x , y ) d x

Zb c d a c d a

Jeżeli to koło ma równanie îbs -J- y* — a s = 0, to w pierwszej całce należy za y podstawić l'a 2 — aj®

a w drugiej — — œ*. O trzym am y w ten sposób: Fig. 60.

—o 4*a

J ' P ( a > , y ) d x — J P ( x , y a 2 - - x l ) d x - f - j ' P ( x , — ^ a2 — X 1} d x 1 8 5

-,... ^4-0

AUCDA

Obliczenie całki krzywolinjowej po linji zam kniętej sprowadza się więc w tym przypadku do obliczenia dwóch zw ykłych całek oznaczonych.

Sposób pisania: ^ j e s t niedogodny, toteż zmieniam y go, oznaczając

ABCDA p

całą linję kołow ą jedną literą, np. K . i piszemy kró tk o:. I P (x ,y ) d x . Ogólnie, oznaczając jak ąś linję zam kniętą literą /, oznaczamy całkę k rz y - wolinjową, braną po tej całej linji, sym bolem :

(139) / P ( x ,y ) d x

(/>

W takim sposobie pisania tkw iłaby jed n ak dwuznaczność, gdybyśm y nie ustalili raz na zawsze kierunku, w którym obiegamy linję. Otóż ustalono, że symbol (139) oznacza, że przebiegam y linję l w takim k ieru n k u , aby powierzchnia, zam knięta tą linją, pozostawała po lewej ręce przy tym obiegu, t. j. obieg ma być przeciw ny do ruchu wskazówek na zegarze.

T ak więc np. na kole na fig. 60 przebiegaliśmy kolejno punkty A ,B , C, D, m ając wnętrze koła po lewej ręce; wobec tego tę całkę krzyw olinjow ą należało oznaczyć symbolem J P (x, y) dx. G dybyśm y zaś przebiegali te

<*o

punkty w przeciwnym porządku: A, D, C ,B , A , to odpowiednią całkę krzy -wolinjową należałoby oznaczyć sy m b o lem :— I P(x, y) dx. W y n ik a to Stąd,

<a’i p

że każda i całek składow ych zm ieniłaby wtedy znak: np. zam iast / w ystąpiłaby całka J '= — j ' ,

CBA ABC

\

Obliczanie całki krzywolinjowej przy pomocy wzoru (138) jest zwykle dość niedogodne. Używając jednak zamiast w yraźnej formy równań linji, po której całkujemy, formy parametrowej, sprowadzamy zw ykle obliczenie całki krzywolinjowej do jednej, zwykłej całki oznaczonej, wpro­

wadziwszy zamiast zmiennej x zmienną ł , służącą do parametrowego przedstawienia danej linji.

W yjaśnimy to najpierw na przykładzie, a mianowicie na omówio­

nej poprzednio cpłce po kole. Użyjmy parametrowego przedstawienia koła K o równaniu -]- y 2 — a* = 0, a mianowicie:

x = a cos t, y = a sin t

Całki oznaczone, które służyły do obliczenia całki krzywolinjowej po kole, przyjm ą po wprowadzeniu nowej zmiennej t postać:

—a taji

I P(co, l^a1 — a?s) d x — — / P (a cos t, a sin t) a sin t d t

+a J~0

■Xa _____ *-**

I P (x , — Ya* — x l) d x — — I P (a cos t, a sin t) a sin t dt 186

(Ponieważ sin t ma w przedziale (n , 2 n ) wartości ujemne, przeto w d ru ­ giej całce trzeba było podstawić « s in / za — j/a®— * s).

Sumę tych dwu całek można przedstawić jed ną całką od Q do 2 n, a więc:

2n

P (x , y) d x = — J ' P ( a cos t, a sin /) a sin t dt

T ak samo postępuje się w ogólnych przypadkach. To prowadzi nas do wypowiedzenia definicji całki krzywolinjowej w następującej postaci, bardzo dogodnej przy obliczaniu wartości takiej całki.

Jeżeli przy przebieganiu wartości parametru t od tl do t2 p u nkt o spół- rzfdnych x = <p(t), y — \p(t) opisuje luk A B dowolnej linji, to całką krzy- wolinjową z dowolnej funkcji P (x, y) według zmiennej x, braną po tym łuku, jest całka oznaczona od /, do t2 z fu n kcji P{<p(t), ty(t)) <p'(t) według zmiennej t:

(140)

Praw ą stronę tego wzoru łatwo jest zapamiętać, powstaje ona bowiem przez wprowadzenie w całkę z P ( x ,y ) d x zmiennej i, związanej z x za- pomocą równania x = q>(t). W tedy d x należy zastąpić przez q>'(t)dt.

1 8 7

W szystkie poprzednie rozważania można zastosować także do przy­

padku, gdy uważamy y za zm ienną niezależną, a x — g[y) za zm ienną zależną. Jeżeli punkt A odpowiada rzędnej y — a, a punkt B rzędnej y = /?, to caikę krzyw olinjow ą po łuku A B według zmiennej y z funkcji

Q{a>,y) określam y wzorem:

f

Q{x, y ) d y = j

d i

Q(9iy),y)dy

w razie, gdy każda prostopadła do osi y-ów przecina łuk A B najwyżej w jednym punkcie. W ogólnym przypadku używa się param etrowego przedstaw ienia łuku AB, a ogólna całka krzyw olinjow ą według zmieo- nej y je s t określona zapomocą wzoru:

(141)

Jeżeli obydwie całki krzy wolinjowe, określone zapomocą wzorów (140) i (141), są brane po tym sam ym łuku A B , to także sum ę ich można przedstaw ić zapomocą jednej całki oznaczonej. Sum ę tę oznaczamy sym ­ bolem : ^ ( P d x -j- Qdy) a zatem:

(142)

j

{p {?>y) d x - f Q(x, y )d y) — j \p ( < p ( t ) , V'(<))?>'(<) +

A B h

W tej ogólnej postaci w ystępują całki krzyw olinjow e najczęściej.

W zupełnie podobny sposób określa się całki krzy wolinjowe po łu- kacb linij w przestrzeni trójwym iarowej. I tak mamy podaną funkcję trzech zm iennych: P ( x ,y ,z ) , które są jed n ak ze sobą związane tak, że punkt o spółrzędnych x , y , z . przebiega łu k A B jak iejś linji o rów naniach:

y — f(x ), z = g(x) lub w formie param etrow ej:

® = y = u>(t), a — x(t)

Niechaj punkt A odpowiada odciętej x — a lub wartości param etru t = tA a punkt £ odciętej x = b lub wartości t = tB. Chodzi o obliczenie ca łk i:

1 8 8

Tę całkę nazywamy całką krzywolinjową po iuku A B i oznaczamy ją symbolem I P (x ,y ,z )d x . Używając formy parametrowej, mamy:

'b

J ' P ( x , y, z) d x — J'P(< p{ł), V'W> x(t)) ę \ t ) dt

Podobnie ma się rzecz dla całki z funkcji Q(x, y, z) według zmiennej y i z funkcji R(x,i/)Z ) według zmiennej z.

Ogólną postacią całki krzywolinjowej w przestrzeni trójw ym iaro­

wej jest suma trzoch takich całek, branych po tym samym łuku, a więc:

Q (^ ,y .z )d y + R(x, y, z)d z)

Najdogodniej jest zwykle obliczać tę całkę zapomocą jednej zw ykłej palki oznaczonej, wynikającej z użycia parametrowego przedstawienia linji, po której całkujemy. Wtedy otrzym ujem y:

'a

1 =

f

^x(t)i<pV> 4- Q(rr ( t i W ) , z (0 ) W ) - f

<A

-\- R(rp{t), ip(t), x { t))£ (t))jd t

W artość każdej całki krzy wolinjowej zależy tylko od linji, po której całkujem y, a nie zależy od jej analitycznego przedstawienia.

Przykłady.

1) Obliczyć całkę krzy wolinjową z funkcji x • y według zmiennej a>

po łuku paraboli y^ = 2 p x o rzędnych nieujem nyeh od /1(0,0) do B(a,b) (por. lig 61). Otrzymujemy.

j

x y d x —

I

x Y 'ip x d x — j i p

I

a r' da) —

( I j Ä C B ®

= \ 2 p a : I = g rt1 V?pa —

Obliczmy tę samą całkę po prostej ADB. Równanie tej prostej jest y = - x, a więc: b

a

C i ( b > b C b a )

I x y d x — I x - x d x = - I x* d x - = — .. q ł 6

¿Tfu 9 o

Widzimy stąd, że całka krzy wolinjową z tej samej funkcji, między temi eamemi punktam i koócowemi, ale brana po różnych tukach, może mieć różne wartości.

189

Obliczmy jeszcze całkę z tej samej funkcji po drodze łam anej A E B . Równania całej tej linji nie można przedstawić w formie wyraźnej.

Natomiast nie trudno uzyskujem y param etrow e przedstaw ienie tej linji łamanej.

Trzeba położyć:

' x — t, y = 0 dla 0 oo — a, y = t — a „ U żywając wzoru (140), otrzym ujem y:

a-Ł-6 a o+b

f x y d x — f x { t ) y(t) • x '{ t)d t = ( t • 0 -1 dt -f- j a(ł — o) • 0 • di = 0

Obliczmy jeszcze całkę z foj samej funkcji po konturze zam kniętym l --= A C B E A . Ponieważ obiegając kontur w tym porządku, mam y pole, zamknięto tym konturem , po prawej ręce, przeto należy tę całkę ozna­

czyć symbolem:

(II) —

J

^{x y d x}

W artość jej jest równa sumie całek po łuku A C B i po linji łam anej B E A, a zatem je st równa '§ o* b -|- 0 = £ a% b.

Całka (I) zarówno ja k i całka (II) przedstawiają, ja k w iem y, mo­

m ent statyczny względem osi rzędnych powierzchni, ograniczonej konturem A C B E A .

2) Obliczyć całki krzyw olinjow e (fig. 62):

y~(3 y d x + 2 x dy) i j ' (3 y d x + 2 x dy)

A C e A O B

Pierwsza całka je st brana po półkolu o prom ieniu 1.

U żyw ając param etrowego przedstawienia: x = co sł, y = s ia ł, otrzym u­

jem y dla całki po półkolu:

o

/ (3 « n i ( - s i n t) + 2c03J ć) dt — j '( — 3 s ih * i - f 2 cos* i) dt —

A C B ' 71

/

(3 — 3 cos3 t — 2 cos1 /) dt — 3 j dt — b j coa1 i dt = 3^{7i n} ti — 5 • 5: = W całce po linji prostej A OB je st stale y — 0, a więc:

j

[ 3 y d x + 2 x d y ) [3y d x - \ - 2 x y 'd x ) — j " (3 • 0 - f 2 x • 0) d x — 0

A O H A O B A O B

190

a więc otrzymaliśmy inną wartość dla drogi A C B a inną dla drogi AO B, łączącej te aame punkty końcowe A i

B-Niechaj czytelnik stwierdzi w podobny sposób, żo całka krzywo- linjowa:

[2 x y d x x * dy)

ma tę samą wartość po drodze AC B, co po drodze AO B , a mianowicie wartość 0. Można okazać, żfe ta całka przyjm uje tę samą wartość po każdej drodze, łączącej z sobą punkty A i B.

3) Obliczyć wartość całki krzywolinjowej:

I — J~ [z d x Ą - x dy Ą- y dz)

przyczem A B jest łukiem linji śrubowej o równaniach (por. tom I, str. 378):

x = a cos /, y — a sin t, z — at

dla łuku, odpowiadającego jednem u krokow i śruby, t. j. od t = 0 di>

t — 2 n czyli od A(a, 0, 0) do 5 (a , 0, 2a n ).

W yrażam y całkę I zapomocą zw ykłej całki oznaczonej, a mianowicie:

1

T

= I (a i • (— a sin ł) -f- a cos t • a cos t -f* « sin t • a) dt =

t sio t -f- cos11 -f- siu t) dt = 0

2ji 2n

o

2n ...X.-w—

= — t sin t dt -f- a iJ ' - — ^ ° - — dt -f- a lJ ° isin t dt

0 O

Po wykonaniu tych prostych całkow ać otrzym ujem y;

7 = 3 a ' ^

§ 2 4 3 , Całki k rzyw olin jow e w zagad n ieniach geom etryczn ych . Przy obliczaniu zapomocą całek oznaczonych pól, zam kniętych linjami, natrafiamy na pewne niedogodności, gdy do jednej odciętej należy więcej aniżeli jed n a rzędda. Zobaczymy, że unikniem y tych niedogod­

ności, używając całek krzywolinjowycb.

I tak pole, zamknięte łukiem A B linii o równaniu y — f( x ) (dla y > 0), rzędnemi w punktach końcowych tego łuku i osią odciętych,

1 9 1

w yraziliśm y wzorem:

' = f y d x

przyczem a i b są odciętemi punktów końcow ych danego luku.

T ę całkę możemy pojmować ja k o całkę krzyw olinjow ą z funkcji P° ł uku A B , albowiem :

b

J ' y d x = J " y d x = P

Aby obliczyć p rz y pomocy całek oznaczonych pole, zam knięte dow olną linją krzyw ą, Dp. linją A D B C czyli l na fig. 63, trzeba było rozdzielić tę linję na łu k i, w k tó ry ch do jed n ej odciętej

należy zawsze ty lko je d n a rzędna i obliczyć ^ k ilk a całek. T a k np. do obliczenia pola, p rz ed ­ stawionego na fig, 63, trzeba użyć dwóch całek:

Fig. 63.

P — f ¡/-¡{x)dx — J y t {x) d x

a a

4

Otóż te dw ie całki m ożna ująć w je d n ą całkę k r z y wolinjową, a m ianow icie:

P y d ® — J y d x — j ^ y d a - ł - j " y d x = j y d x

A C B

A C B D A

O biegając p u n k ty k onturu tej pow ierzchni w porządku A , C, B, D, A, m am y po praw ej ręce pole, ograniczone tym konturem , a więc, używ ając sym bolu / , należy mu dać znak — . A zatem :

0) (143)

W idzim y stąd, żo pole, zam knięte dow olną linją ciągłą, m ożna w y razić zapomocą jed n ej całki krzywolinjowoj.

U w ażając x za funkcję zm iennej y, m ożem y to sam o polo w yrazić także zapomocą innej całki krzy woli njowej, a m ianow icie:

P — J x d y — J ' x d y — J x d y - Ą - j ' x d y = j * x d y

D B C O A C D B C C A D D B C A O

1 9 2

czyli;

(144)

C ałka ma tu znak -j-> albowiem przebiegając punk ty konturu w porządku D , B, C, 4, £>, mamy pole, zam knięte tym konturem , po lewej ręce.

Dodając stronam i wzory (143) i (144), otrzym ujem y:

2 P

=J'wdy —J y dv

a stąd:

(145)

T en wzór na pule wyprow adziliśm y ju ż właściw ie w poprzednim rozdziale, używ ając przedstaw ienia param etrow ego, a m ianow icie wzór (84) na atr. 128 jest równow ażny z wzorom (145).

Podobnie można przedstaw ić zapomocą całki krzy wolinjowej wzór oa objętość bryły obrotowej, zakreślonej obrotem powierzchni, np, A C B F E aa fig. 63, około osi odciętych, a m ianow icie:

o

V = n y 2 dio — n j ya

dx

A C B

Jeżeli chodzi o obliczenie objętości bryły, zakreślonej obrotem pow ierzchni, ograniczonej dowolną linją zam kniętą /, to postępując podobnie, ja k dla pola, otrzym ujem y wzór:

V = ji j y l d a

T ak że wzór na pole powierzchni obrotowej, zakreślonej obrotem łuku dowolnej linji (np. AC B na fig, 63) około osi odciętych, można in terp re­

tować jak o całkę krzyw olinjow ą, a m ianowicie całkę z fun kcji Q (s,y) ^ y.

Otóż;

P — 2 n

J

y ds = 2 n J ' u ds

1 9 3

§ 2 4 4 . Z astosow an ie ca łek k rzy w o lin jo w y c h w fizyce.

I. P r a c a ja k o c a łk a k rz y w o lln jo w a .

Bardzo ważnem zastosowaniom całek krzyw olinjow ych je st definicja i obliczanie pracy, wykonanej po dowolnej drodze przez dowolną siłę, działającą niekoniecznie w kierunku drogi i zm ieniającą swą wielkość i kierunek zależnie od położenia punktu na drodze. W poprzednim roz­

dziale rozważaliśmy tylko specjalny' przypadek, a mianowicie, gdy Biła była śkierow ana wzdłuż drogi. Obecnie zajmie­

my się przypadkiem ogólnym. I tak określm y

194

sile, działającej w początkowym punkoie tego luku. P raca w zdłuż cię­

ciwy A B ma zatem według wzoru (b) wartość:

L i = P ( x l , y n zi )(x J — x l ) - i- Q ( x l , y l, z 1)(yi — yx) - f B {xu yx, zx){z% ^ z x) Tworzym y sumę tych prao dla wszystkich cięciw, a mianowicie:

n

Si = ^ ( P ( ę e „ y/. */)(*«.» — »/) + /-i

+ <?(»/. y/>2/)(y;+ — y/) + + #(®/, y/> 2/)(^+i — «/))

^ Dzielimy następnie łu k A D w roz­

maite sposoby na części tak, aby długości wszystkich łuków częścio­

wych dążyły do zera; wtedy także różnice spółrzędnych dążą do zera.

Otrzym am y w ten sposób ciąg takich sum:

S u S 3, . . . S P. ..

G ranicę ciągu tych sum nazywam y pracą zmiennej siły w zd iu i drogi A D . Aby wyznaczyć tę granicę, weźmy najpierw pod uwagę sumę, zło­

żoną z dodajuików P(x„ ylt Z/)(®,+i — x t). Jeżeli linja A D ma rów nania y — f(x ) , z — g {x), to:

Vn *i) — f & k 9(P>i)) — U(x,) jak o funkcja złożona zmiennej #,■ Sumy postaci.

n n

J£ p(xn y»

2<)(®/+> — */) =

J£u(<Bt)(xi+

^{1 — ®/)}

i-1 łm,}

dążą, ja k wiemy, do całki:

b b

j U { x ) d x = J P ( x J ( x \ g { x ) ) d x — J ' P ( x , y ,z ) d x

a d

Podobnie ma się rzecz z dwiema pozostałemi częściami sum y S u a więc ciąg {Ą,} tych sum dąży do całki krzyw olinjow ej:

L (P {x, y, z) d x + Q{x, y, z) dy -j- R (x , y, z) dz)

A D

Tę całkę krzyw olinjow ą możnaby uważać wprost za definicję pracy.

Rozumowanie, oparte na równaniach y = f(x), z ’= g [ x ) , zakłada, że do kaidej branej pod uwagę odciętej x nalozy jeden punkt drogi A D (i podobnie dla y i z

W dokumencie Rachunek różniczkowy i całkowy : dla potrzeb przyrodników i techników. T. 2, cz. 4, Rachunek całkowy (Stron 185-200)