Rachunek różniczkowy i całkowy : dla potrzeb przyrodników i techników. T. 2, cz. 4, Rachunek całkowy

i

A N T O N I Ł O M N I C K I

P R O F E S O R B . POLITECHNIKI LWOWSKIEJ

R A C H U N E K R Ó Ż N I C Z K O W Y I CA Ł KOWY

D L A P O T R Z E B P R Z Y R O D N I K Ó W I T E C H N I K Ó W

T O M II

R A C H U N E K CAŁKOWY

PRZEDRUK FOTOGRAFICZNY Z I WYDANIA AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI W KRAKOWIE 1939 r.

W Y D A W N I C T W O „ U N I V E R S U M ' K A T O W I C E

A N T O N I Ł O M N I C K I

PROFESOR B. POLITECHNIKI LWOWSKIEJ

RACHUNEK R Ó Ż N I C Z K O W Y I CAŁKOWY

D L A P O T R Z E B P R Z Y R O D N I K Ó W I T E C H N I K Ó W

T O M II

R A C H U N E K CAŁKOWY

W Y D A N I E D R U G I E

W Y D A W N I C T W O „ U N I V E R S U M " K A T O W I C E

S / S ' ? S . 0 9 ' S i ®>(p

W szelkie praw a za strzeżo n e A ll rights reserved

/0 0 f o 9 ^ >

t o

D ruk: Drukarnia D iecezjalna w O polu. — R 14346

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

CZĘŚĆ IV . R O Z D Z IA Ł X V II.

O całkach nieoznaczonych.

§ 2 0 3 . D e fin ic ja całk i n ie o zn a czo n ej.

W rach u n k a różniczkow ym rozw iązuje się następujące zagadnienie.

M ając daną fn n k c ję (pierw otną):

m

•wyznaczyć je j fu n kcję pochodną:

F' (x) = f ( x )

Zarówno w m atem atyce czystej, ja k i w jej zastosow aniach, m am y często- d o czynienia z zagadnieniem odw rotnem , a mianowicie, m ając podan%

funkcję (pochodną):

f (x )

«shoemy w yznaczyć je j funkcję pierw otną:

# )

t. j. taką funkcję F ( x ), której pochodną je s t dana fu n k c ja f{x).

T ak np. m ając podaną funkcję:

f (x) = sin a)

atw ierd zam y z łatw ością, że je j fu n k cją pierw otną je s t:

F ( x ) = — cos x albow iem F'{x) =» — ( — aina?) — f(x).

Podobnie dla funkcji:

f (x ) = x*

fu n k c ją pierw otną jest:

F(x) = $a>*

ja k to łatw o spraw dzić przez różniczkow anie.

Rtejmnek tólnlctkowy l caikowj. T. i . 1

2

P rzy rozwiązywaniu takich zagadnień należy szukać odpowiedzi Da trzy następujące pytania:

1) czy do każdej danej funkcji f ( x ) należy jak aś funkcja pierwotna, czy też f ( x ) musi spełniać jakieś specjalne w arunki?

2) czy do danej funkcji może istnieć tylko jedna funkcja pierwotna, czy też może być ich więcej?

3) w jak i sposób wyznacza się funkcję pierwotną do danej funkcji f (x)?

Odpowiedź na pierwsze pytanie wymaga dość subtelnych rozważań.

W X V III rozdziale zajmiemy się tą kw estją nieco dokładniej i okażem y, ie w każdym razie do każdej funkcji ciągłej istnieje funkcja pierwotna, (zob. § 216), a także wiele (jakkolwiek nie wszystkie) funkcyj nieciąg­

łych posiada funkcje pierwotne.

Bez trudności natomiast można rozstrzygnąć następnie drugie py­

tanie. I tak łatwo spostrzec, że, jeżeli istnieje jedna funkcja pierw otna F ( x ) do danej funkcji f ( x \ to istnieje ich nieskończenie wiele. T ak np.

dla funkcji f ( x ) = x 1 funkcją pierw otną jest nietylko F ( x ) — •£»", lecz także np. F x{x) = + &, F l(x) = $ x z — 2, F t (x) = £ x 3 -f- i * Ł d„

ogólnie:

przyczem C ozDacza dowolną liczbę stałą. Istotnie pochodną każdej takiej funkcji jest f {x) — x* Ogólnie, jeżeli F ( x ) jest funkcją pierw otną danej funkcji f(x), to istnieje cała jednopar&metrowa grom ada funkcyj pier­

wotnych, a mianowicie: F ( x ) -f- C. W geom etrycznej interpretacji obrazem jednej funkcji pierwotnej jest jak aś linja, a obrazy wszystkich in n y ch funkcyj pierwotnych powstają przez równoległe przesunięcie tej linji w kierunku osi y-ów. Ta grom ada zawiera już wszystkie funkcje pier­

wotne; w ynika to z twierdzenia 2 z § 101 (tom I, str. 318), a miano­

wicie: jeżeli dwie funkcje maj ą pochodne równe dla wszystkich wartości zmiennej mezaleznej, to te funkcje mogą się różnić conajwyżej o stalą liczbę-

Gromadę funkcyj pierw otnych do danej funkcji f {x) nazywam y ca łk ą n ieo zn aczo n ą funkcji f{x) i oznaczamy ją symbolem:

f { x ) d x czytaj: „całka z /'(x)rfa;u. A więc:

(I) J ' f ( x ) d x — F[x) -f- C

Pochodzenie znaków I i dx, występujących w tym sym bolu, w y ­ jaśnim y później (por. § 212). F unkcję f ( x ) (pochodną) nazyw am y tu f unkcją podcałkową a liczbę C stałą całkowania.

3

Pochodną prawej strony jest funkcja podcałkow a. A więc wfcór (1) je st równoważny z wzorem:

(2⁾ _{d x}^{_d (f (x}) + c ) - m

Obliczanie całki nieoznaczonej z danej funkcji f ( x ) nazyw am y całkowa­

niem, tej funkcji. Metody obliczania całek i badanie icb własności sta­

nowią przedm iot ra c h u n k u c a łk o w e g o .

Celem przekonania się, czy całkow anie zostało popraw nie w y k o ­ nane, należy, w m yśl wzoru (2), obliczyć pochodną znalezionej grom ady funkcyj F ( x ) -j- C lub, co na jedno w yjdzie, pochodną funkcji F ( x ) . C ał­

kowanie można także pojmować ja k o rozw iązyw anie następującego pro­

stego rów nania różniczkow ego (por. tom I, § 87, str. 278):

(3) y ' = f ( x )

Stąd:

| d x = P'ix) -f- C

Zatem najogólniejszem rozw iązaniem rów nania różniczkowego (3) je s t cała grom ada funkcyj, a m ianowicie całk a nieoznaczona z fu nk cji f ( x ) . T ę całą grom adę fu n k cy j nazyw am y ogólnem rozwiązaniem danego ró w n an ia różniczkowego lub ogólną całką tego rów nania. K ażdą zaś poszczególną, funkcję pierw otną, należącą do tej grom ady, nazyw am y rozw iązaniem szczegółowem rów nania różniczkow ego (3) lub jego całką szczegółową.

P rzystępujem y obecnie do trzeciej kw estji, wiążącej się z naszem zagadnieniem , a m ianow icie do om ów ienia sposobów w yznaczania fu n k cy j pierw otnych czyli do metod całkow ania. Otóż jasnem jest, że każdy, po­

znany w rachunk u różniczkow ym wzór na obliczanie pochodnych, m ożna z a ­ razem pojmować jak o wzór na obliczanie całki z jak iejś fun k cji; jeżeli bowiem F ( x ) — f (x), to m ożna to napisać także w postaci J f ( x ) d x = F ( x ) -}- C.

W ten sposób otrzym am y z rozm aitych specjalnych i ogólnych wzorów rachunku różniczkow ego rozm aite specjalne i ogólne w zory ra c h u n k u całkow ego. Jednakże zaznaczam y ju ż teraz, że obliczanie całek je s t znacz­

nie trudniejsze od obliczania pochodnych. Do każdej bowiem fun kcji el«~

tnentarnej (w tom ie I na str. 96 podano, k tóre fu n k cje uw ażam y za ele­

m entarne) potrafim y z łatw ością znaleźć pochodną i ta pochodna jest- znowu ja k ą ś fu nkcją elem entarną. Natom iast okaże się, że całk i w ielu funkcyj elem entarnych są bardzo skom plikow anem i, n ieelem entarn em i funkcjam i przestępnem i, k tó ry ch nie m ożna oczyw iście w yznaczyć d ro g ą elem entarną. Jak k o lw iek w ięc proces całkow ania je s t stosow alny do szer­

szej k lasy funkcyj, aaiżeli proces różniczkow ania (albow iem istnieją całki

dla wszystkich funkcyj ciągłych a Dawet dla wielu funkcyj nieciągłych, podczas gdy pochodne istnieją tylko dla funkcyj ciągłych i to nie dla wszystkich), to jed n ak efektywne obliczenie* całki je st zw ykle o w iele tru d ­ niejsze, aniżeli obliczenie pochodnej.

Zobaczymy w dalszym ciągu, że bardzo wiele zagadnień z geom etrji i z fizyki sprowadza się do obliczania funkcyj pierwotnych. T utaj ju ż jed n ak zwrócimy uwagę na jedno odrazu się nasuwające zagadnienie

jl dynamiki. W idzieliśm y mianowicie, że m ając podaną w ruchu prosto­

liniowym drogę jak o funkcję czasu: s = f ( t \ potrafimy w yznaczyć pręd­

kość: t>(i) = / '( i ) i przyśpieszenie g(t) — v' (t). Stąd w ynika, że m ającp o - dane przyśpieszenie jak o ,<funkcję czasu, obliczamy prędkość zapomocą całki: v(t) g(t)dt, m ając zaś podaną prędko.ść jak o funkcję czasu, obliczamy drogę zapomocą całki s = J vit) dt.

T ak np. wiedząc, że przyśpieszenie je st stałe: g = a w c ią g u całego badanego czasu t, znajdujemy, że prędko.ść o — J ' % d t = at + C,. Stąd zaś znajdujemy wzór na drogę: s — J ' ( a t C,) dt — ^ a t 1-f- C, t -f- Ct . Stałe Ci i C3 można czasem w yznaczyć z początkowych warunków zadania, np. z żądania, żeby w początkowej chwili, t. j. dla t = 0, było s = 0 i v — 0;

wtedy w yniknie z tych wzorów Ç j = 0 i C3 = 0 i pozostanie s — ^ a t 1, v = a t . Inne wartości stałych otrzym am y, żądając, aby w chw ili i == 0 prędkość miała wartość v0 różną od zera» a droga w artość s0. Pozostawia się czytelnikowi obliczenie stałych C, i Ct przy pomocy tych w arunków początkowych.

§ 2 0 4 . O dw rócenia sp ecjaln ych w zorów rachu n ku ró żn iczk o w eg o . a) Jeżeli funkcja podcałkowa je st stale zerem, to całka nieozna­

czona ma stałą wartość C, albowiem z wzoru:

(lQ0 w ynika:

Odon = C

Jeśli więc obrazem funkcji podcałkowej je st oś «-ów, o równaniu y = 0, to obrazem grom ady funkcyj pierw otnych je st grom ada w szystkich pro­

stych równoległych do tej osi (wraz z nią samą).

b) Poznaliśmy w rachunku' różniczkowym wzór na pochodną potęgi, a mianowicie:

d

6

lub w formie różniczki;

d[af) — nx"~' dx W obec togo:

J tixn~' dx — x" + C

Tutaj funkcja podcałkow a n x n~' jest dość skom plikow ana.

Prostszą funkcję podcałkow ą otrzym am y, tw orząc pochodną fun kcji:

x"+) n + 1 a mianowicie:

d^t a f +>

d x czy li.

( # ) = -

- f e ) - '

^{■ a f d x}

Stąd otrzym ujem y bardzo ważny wzór.

(4) C x a+'

j x" d x — ^ r + T + C

W zór ten jest prawdziwy dla w szystkich w ykładników n z w yjąt­

kiem n = — l. Dla n — — 1 ma funkcja podcałkow a postać —, Otóż wiadomo z rachunku różniczkowego, że funkcja — jest pochodną funkcji log,®. T ak więc z wzoru:

w ynika, że:

d (log x) — - d x x

f \ d x = log® - f C

Tego wzoru można używ ać tylko dla dodatnich x. D la ujem nych bowiem x me je st określona funkcja log a;; natom iast wtedy funkojic log (— a;) ma określone wartości.

Ponieważ:

d lo g (— x) = — -— (— \ ) d x — - d x

— x x

przeto dla x < 0 jest:

J'^dx

— log (—

x)

- f C

Obydwa te wióry można ująć w jeden wzór następujący:

m j ' L (t x = log j a? | -j- G

Istotnie bowiem dla * > 0 otrzymujemy log |® | = log®, a dla x < O lo g |a r| = lo g (— x).

Przy pomocy wzorów (4) i (5) potrafimy więc Bcałkować każdą po­

tęgę zmiennej niezależnej.

Tak op.

J ' \ - d x — J ' x l>d x = + C = x - j - C czyli

(4a) Podobnie:

J x d x =

J®ł +- C, J x * d x = £ ®6 4- C,

/

d x — x + C

c) Z wzoro.

otrzym ujem y:

(6)

J

x v> d x = —^aji+vjp | -f- C d (e1) = e? dx

J e* d x = e* -f- C

Dla ogólnej funkcji wykładniczej dogodnie jest wyjść z wzoru:

a* log ta

Stąd wynika

(V

d ( — ) = d x = a‘ dx

\lo g ,a / lo g ,a

f a* d x = — 4- C = a‘ log „e -f- C

J log ,«

d) Pochodne (lub różniczki) funkeyj trygonom etrycznych prowadzą do następujących wzorów:

(8) d (sin x) — cos x d x a więc (9) ¿ ( —cosa:} = a in a c te „ „ (10) d (tg x) dx

cos2 x (11) d (— ctg®) = —r

dx

8111*0!

/ I

C d x J cos2 a:

/

cos x d x = sin x C sin x d x — — cos x + C tg® - f C

— ctg x 4- C d x

cos2®

d x sin 1®

e) Pochodne (lub różniczki) funkcyj cyklom etrycznych prowadzą do następujących wzorów:

d (arcsin x) = d (— arccos rc) =

dx h — x r

d x h — X2

a więc

(12)

/ I

d x ; arcsin x + C = — arccos x - } - C

O bydw a w yniki nie są zasadniczo różne, ponieważ arcsin x różni się od funkcji — arccos® tylko o stały dodajnik, jak to w ynika z wzoru:

arcsin x + arccos x = i n (por. tom I, str. 69) A więc C =

Podobnie dwa wzory:

</( arc tg x)-- d x prowadzą do wzoru:

(13)

1 + x ' i d ( — arc ctg *) = d x 1 -f- as*

/

doo

———t = arc tg x -f- C = — aro ctg x -f- C

1 - f - ®

O bydw a w yniki są tylko pozornie różne; k ład ąc bowiem C ' = i n - \ - C , widzimy, i e obydw a wyniki są identyczne, ja k to w ynika z w zoru:

arc t g x -f- arc ctg x — £ n (por. tom I, str. 70).

Zwróćmy uwagę na ciekaw y fakt, że całki niektórych prostych funkcyj są dość skom plikow anem i funkcjami.

Tak np. całką wymiernej funkcji ^ je s t przestępna funkcja lo g |a j |;

całką dość prostej wymiernej funkcji — - —- je st przestępna funkcja arc tg m\

I "f* CC

całką algebraicznej niew ym iernej funkcji je st przestępna funkcja, arcsin x.

W szystkie te wzory należy dokładnie zapam iętać, są one bowiem rów nie ważne i rów nie często stosowane, ja k odpow iednie wzory ra ­ chunku różniczkowego.

Nie znajdujem y wśród tych wzorów całek tak w ażnych elem entar­

nych funkcyj, ja k : tg aj, log®, arc tg a , \ 1 - f ¿ i i t. p.

6

Istotnie, trudno jest odrazu odgadnąć, z jakiej funkcji należy utwo rzyć pochodną, aby otrzymać np. log a: lub a rc tg a j. Rozszerzymy znacz­

nie zakres funkcyj, które dadzą się w elementarny sposób scałkować, opierając się na odwróceniach niektórych ogólnych wzorów rachunku różniczkowego.

§ 2 0 5 . O dwrócenia niektórych ogólnych w zorów raehu n ku różniczkow ego.

a) W yłączanie sta łeg o czynnika przed znak całki.

Niechaj F ( x ) będzie funkcją pierwotną funkcji/"(®), to F ' i x ) ~ f ( x ) czyli:

(I) f m d x — F (®) + C.

Zastosujmy do iloczynu a - F i x ) t gdzie a oznacza dowolny stały, różny od zera czynnik, znany wzór rachunku różniczkowego (por. tom I, § 75 str. 244):

d [ a • F (»)] = a - d ( F ( x ) ) = a f i x ) dx.

Stąd wynika, że:

J a f {x) d x — a F { x ) + C,

Porównajmy ten wzór z wzorem, otrzym anym z (I) pfzez pomno­

żenie obu stron przez a, t. j. z wzorem:

a - J f ( ® ) d x = a - F { x ) + a- C

Widzimy, że prawe strony obydwu wzorów będą sobie równe dla każdej wartości C, jeżeli tylko obierzemy Ct = aC. Praw e strony są także równe dla każdej dowolnie obranej wartości Ct , jeżeli tylko obierzemy C = Ct :a , co się da zawsze uczynić, ponieważ założyliśmy, że a je s t różne od zera.

Można więc zawsze dobrać stałe całkowania tak, że zachodzi rów ność:

(14)

J

a f{x) d x — a

J

^{f{x) dx}

W zór ten wypowiadamy w następujący sposób:

stały czynnik różny od zera można wyłączyć przed znak całki.

Przykłady.

1) J b x t d x — b J x i d x = $ x ł -f- C

2) J 4 cos x d x = 4 J coa x da — 4 sin * -{- O

3) f - ete — 2 f ^ = 21og|a>| + C = log®’ + C

J x J x

4) Naczynie w formie walca kołowego w iruje około awej osi z stałą prędkością kątową, w ykonując n obrotów na sekundę. J a k ą postać m a swobodna powierzchnia cieczy, znajdującej się w tem naczyniu? Na fig. I przedstawiono przekrój tego naczynia za-

pomocą płaszczyzny pionowej. Oś obrotu obieramy za oś y-ów a początek układu w O. Na każdy punkt A cieczy, mający masę >«, działają dwie siły: siła odśrodkowa Pj = 4ji* m8 m x , prostopadle do osi obrotu, gdzie x oznacza odległość punktu A od osi obrotu i siła ciężkości Pt = mg, zw ró­

cona pionowo w dół. W iadomo, że swobo­

dna powierzchnia cieczy musi być w k aż­

dym punkcie prostopadła do wypadkowej z wszystkich sił, działających na ten pnnkt.

Oznaczmy kąt, zaw arty między styczną do swobodnej pow ierzchni a osią odciętyoh, literą a, to tg a ~ P l : P t

czyli:

d y ź n ' 1nl m x 471*m’

d x mg g

Stąd:

Fig. 1.

•X

- f

4 n 1» ’ 4 n I n 1®1 , _ 2 j i 4 n ł . , . ---x da! = --- H + C = --- x x - f C

9 9 2 1 g

Je st to parabola. Najniższy punkt tej paraboli otrzym am y dla aj = 0;

rzędna tego punktu, oznaczmy ją a, ma wartość a — C.

Zatem swobodna powierzchnia cieczy w irującej ma postać parabo- loidy obrotowej.

b) C ałk ow an ie przez rozkład (całk a su m y).

Z wzoru na różniczkę sujny dwóch funkcyj:

d (F{x) G (x)) ~ d F (®) -f- dG (®) = (f (x) -(- g (®)) d x}

gdzie F <(x) = f (x ) , G‘ (x) — g (®), otrzym ujem y:

J (/■(*) + 9 (»)) d x = F ( x ) + G (a) + C

Poniew aż zaś: J f ( x ) d x — F ( x ) - f Cu J g (®) d x = G(®) -f-

przeto: J f { x ) d x + J g ( x ) d x = F { x ) -f- G (®) -f. C, -f- Ą W yznaczm y stałe całkow ania tak, aby zachodził zw iązek C = C, -(-

1U W tedy:

(15)

J

(f(x) + g ( x ))dx =

J

f ( x ) d x +

J

g ( x ) d x

To znaczy: całka z sumy dwóch funkcyj jest równa sumie całek z tych funkcyj. Twierdzenie to odnosi się — jak to łatwo stwierdzić — także do

większej liczby dodajników.

Przykłady.

1) Przy pomocy wzorów (4), (14) i (15) można scałkować każdy wielomian:

f(x) — «o + « i x + £»» + a s * s + • ■ ■ + a>

1 tak:

J f(x)dx = J^a0dx + J^a,xdx-{- j ^ a t x 'd x -\- J at x* d x + J^a„af‘d x

= a0j d x + a lJ ' x d x + atJ ' x i dx-]-asJ ' x ldx-\-..t_-]-aaJ ' x nd x

a więc:

J f(x )d x = a0x + ¿ a , ® * - f §a , x*+ ^ a 3x*+ ... + b / +1 - f C 2) Niekiedy udaje się rozłożyć funkcję podcałkową, której całka nie jest nam znana, na takie dodajniki, których całkow anie potrafimy wykonać.

Tak np. postępujemy z całką:

d x Korzystamy z wzoru: tg’ * = sec1* — I

Oznaczmy krótko szukaną całkę literą I (jest to początkowa litera słowa: Integral, oznaczającego w języku niemieckim i francuskim ( całkę).

A więc:

/ = f ( — V - - *)dic==J \cos*a! I

= / + [)dX “ * tga! ~ f d x = - x 4 - C.

Taki sposób obliczania całki nazywam y metodą całkowania przez rozkład.

3) W podobDy sposób postępujemy z całką:

d x cos*®

l i

Z am iast 1 m o żem y n apisać w liczn ik u sin*® 4 eoB*a:, a w ted y:

/== f ^ x ± o o ^ x = f _ ± _ d x + d x J flini flJCOBł ® J cos*« J ain a więc: 1 = t g x — ctg a?-{- C.

x

§ 2 0 6 . C ałk ow an ie „p rzez c z ę ś c i“ (per partes).

Bardzo ważną metodę całkow ania otrzym uje się z wzoru na pochodną iloczynu dwóeb funkcyj u(x) i v(x). Załóżmy, że te funkcje posiadają ciągłe pochodne, to;

d(u[x) • v( x))

d x u{x)v' (x) -f t»(j5)«'(a3) lub w formie różniczkowej;

(a) d(u(x) • o(a;)) = ufa;) • v ' ( x ) d x -|- «(a;) • u‘( x ) d x co można także napisać w postaci;

d(u(x) • «(a;)} = u(a;) • dv(x) 4- »(®) • du(x)

lub w skróceniu;

d(uv) = u d v -f- v d u Z wzoru (a) w ynika, że;

a stąd;

j*«(a:) * o' (a?) dx -f- Jv(x) * u'(a?) dx = u(x) • v(x) 4-

C

Ju(x)'v'(x) dx = u(x)-v(x) 4" ę ~ J u(*) • “'(a:) dx

Stałą C możemy połączyć z stałą, zaw artą w ostatniej całce nieoznaczonej, w jedną nową stałą, wobec czego można napisać otrzym any wzór w postaci;

(1 6) J u [ x ) v ’( x ) d x = u { x ) v( x ) - J v [ x ) u { x ) d x lub w skróconej postaci:

(I6 a )

Należy pam iętać o tern, że w pierw szej całce u nie je s t zm iooną. według której całkujem y, lecz d v jest tylko skróceniem w yrażenia v ' ( x ) d x

i podobnie d u w drugiej całce. ' v

Stosowanie tego wzoru nazyw am y c a łk o w a n ie m „ p rz e z części“ Inb jip e r p a r te s ‘‘. W zoru tego używ a się w następujący sposób; rozkładam y

IS

w całce J f { x ) d x funkcję f i x ) na dwa czynniki: u{x) • v'(x) tak , aby całka v(x) drugiego czynnika byia znana lub iatwa do obliczenia; następnie stosujemy wzór (16); otóż często okazuje się, że całka, występująca po prawej stronie tego wzoru, je st łatwiejsza do obliczenia aniżeli całka, znajdująca się po lewej stronie. Zw ykle postępuje się tak, że całe w yra­

żenie f ( x ) d x rozkłada się na czynniki tt(x) i v'lx) d x — dv(x) czyli krótko u i dv i używa się wzoru (16 a).

Przykłady.

1) Chcemy obliczyć

J log x d x

Rozkładamy w tym celu wyrażenie pod całką na dwa czynniki:

u = r log x i dv = d x Wobec tego:

d u == — d x a v — x x

Stosując wzór (16a), otrzymujem y:

J ' log a; dcc = a; log a; — j x • ^ d x = x log x — J ' d x — x log x — x 4- C 2) Obliczyć:

I = J " x * cos x d x K ładziem y;

u = x*, d v = c o a x d x Stąd: du = 2 x d x , v = sin x

Według wzoru (16a) otrzym ujem y:

(b) y*®* cos x d x = x - sin x — 2 j ~ x s,m x d x

W prawdzie nie potrafimy odrazu znaleźć ostatniej całki, lecz jest ona w każdym razie łatwiejsza od poprzedniej. Stosujemy do tej całki powtór­

nie tę samą metodę, a więc kładziemy x = u „ sin x d x — dv< a stąd d u x = dx, «i = — cos a;, wobec czego:

J x siu x d x =?= x cos x -J- cos x d x = — x cos a; -j- sin x ~f~ C Podstawiamy tren wynik we wzór (b) i otrzym ujem y ostatecznie;

I ~ J ' x t coa% d x = x* sin x + 2 x cos x — 2 sin x — 2 C cz7 li; ^ = 3ina(®* — 2 ) - f - 2 » 'c o s s 4 - C,. " .

W idzim y, że pierwsze zastosowanie wzoru (1 6 a) nie ¿oprow adziło odrazu do obliczenia szukanej całki, lecz zredukow ało j ą ty lk o do prostszej ca łk i a dopiero drugi k ro k doprowadził do pożądanego w yn ik u. T ak ie redukow anie całki do kolejnych, corazto prostszych całek, je s t ch arak te­

rysty czn e dla m etody całkow ania „przez części“ .

Zobaczym y na nieco ogólniejszym przykładzie, ja k m ożna takie kolejne stosowanie w zoru (16) zastąpić tak zw anym ogólnym wzorem redukcyjnym.

3) D la całki:

/„ — Tfe*dx

W yprow adzić wzór (redukcyjny), pozw alający w yrazić tę ca łk ę zapom ocą całki zaw ierającej zam iast potęgi o f potęgę x"~i, o w y k ła d n ik u o 1 niższym.

K ładziem y:

x" = u, e? d x — d v

a

więo.

.du «— n x n~i d x , v = e*

Z wzoru (1 6 a) otrzym ujem y:

13

(c)

: x"ex — n j'e ‘xn~y dx = x" e* — n

J e s t to żądany wzór redukcyjny.

N a podstaw ie tego w zoru m ożem y całk ę o dow olnym w y k ład n ik u naturalnym n sprow adzać kolejno do całek coraz prostszych a ostatecznie do znanej całki 1„ = J x ° e I d x = J e* d x = e1 + C. G d y chcem y obli­

czyć dla dowolnie w ielkiego «, to oprócz tego ostatniego ca łk ow an ia nie trzeba ju ż w y konyw ać żadnych innych c a łk o w ai. T a k np. chcem y obliczyć I t = J ' x , e* d x . W edług wzoru (c) jest:

I s = x t eI — 3 l t I t ^ x ' e ‘ — 2 1 1

/ t =±= xe* — 1 • I 0 — xe* — e* — C Wobec tego:

/s = x ie’ — 3(aj* • & — - 2(®e* — e*— C))

= x sex — 3x*e* 6 xe * — 6 e* -f- C, Z, = e*(a3» _ 3®* - f 6a> — 6) -f- Cx Spraw dzić w ynik przez różniczkowanie!

4) W yprow adzić wzór red u k cy jn y dla całki:

'X d x

Całkujemy „per partes“, podstawiając:

u = log"®, d v = d x Stąd:

, d x

d u — n log" x • — , v = x

CC

Ią — X l o g ' x — j x • « lo g " - ' x ^ = x l o g " ® — « J log " -ix d x

C Ł j l i :

l „ — x \ o g ' x —

5} Bardzo ważny jest wzór redukcyjny dla całki:

S„ = J sin " x d x

O triym ujem y go także przez całkow anie nper partes“, I tak kładziem y:

u = s i o * -1ar, du = s i n x d x Stąd:

a więc:

esy li:

d u = (n — 1 ) sin n" \ x • cos x d x , v == — cos x S„ — — cos® • sin*-1® (m — 1)\J*sin*-2® - cos *x d x

S„ = — co sx s in a-'® + (» — 1 ) J ' (sin*-2® — sin"x)d®

Przenieśmy na pierwszą stronę (n — 1)J ' a i n ,' x d x czyli ( n — 1)5, to otrzym am y:

n> S„ = — cosx sin n~xx + (n — 1) a więc ostatecznie:

( 17)

Przy pomocy tego wzoru możemy obniżać w ykładnik w yrażenia sin"® o 2.

Jeżeli n jest liczbą naturalną, to stosując wzór (17) k ilkakrotnie, o trz y ­ mamy ostatecznie dla n nieparzystego sin x

dx

= — cos a;-)- C a dla

n

parzystego S 0 =

J's\n')x d x — J d x

= C.

Jeżeli

n

jest liczbą całkow itą ujemną, to należy

z

wzoru (17) wy razić odwrotnie S n_3 zapomocą S„, a mianowicie:

15

K ładąc n — 2 = m — — p, otrzym ujem y dla m < — 2 :

(17 a)

/

^{d x do}

całki o w ykładniku p mniejszym o 2.

Dla p parzystego dochodzi się ostatecznie przez k ilk ak ro tn e stoso­

wanie wzoru (17 a) do całki S_, = f — — ctg® 4 C.

J s>n 2®

/

^{d cc}

której obliczeDiem zajm iem y się w następnym paragrafie.

Przykład zastosowania wzoru (17):

. , _ — c o s * sin 6® . 5 sin ex d x — <5„ = --- --- | - g 5 , = 1

1 ( . . , , l — cos® sin s® . 3 „ W : - I — cos x sin x 4 - 5 I --- - --- f- - S t i I

cos a; s i n “* 5 cos x sin sx , 1 5 /— cos a: sin ® , 1

6 24

lb — c o s * sin® 1 \ + 24 \ 2 ^ 2 °/

(»08 X 15

= ---^ g - ( 8 s i n 6® 4 - l O s i n s® 4 - 1 5 s i n ® ) + — * 4 - C ,

Pr zy k ład na zastosowanie wzoru, (1 7 a):

/

^{sin *x — 3 — 3}

cos x 2 , _ eter x t l \

T s l ^ ~ 3 CiSX + C = = - ~ 3 ~ ( i i W + 2 ) + a

§ 2 0 7 . C a łk ow an ie p rzez p o d staw ien ie.

Obliczenie całki:

(a) J /(* ) d x — F{x) 4 - C

upraszcza się nieraz znacznie, gdy za zm ienną ® wprow adzim y nową odpowiednio dobraną zm ienną <, kładąc:

(b) x = <p(Ł)

Załóżmy, że funkcja ęp(ć) posiada ciągłą pochodną.

16

Z wzoro (a) wynika, źe:

d F d i = n x )

Jeżeli zaś w funkcję F[ x) wprowadzimy x = qp(i), to stosując wzór na pochodną funkcji złożonej, otrzym ujem y:

= * £ . i * = / ( » ) . T - ( , ) = n m ■ » '< « d t dtp d t dat di

8tąd wynika, że:

F(<p(t)) + C — J f ( < p ( t ) ) - f ' ( t ) d t w y li:

F{®) - ł- C = Jf(<p(t)) • <p'{t)dt Stąd otrzymujemy ostatecznie na mocy wzoru (a):

(18)

J e s t to wzór na c a łk o w a n ie p rz e z p o d s tą w ie n le ; je s t on bezpośrednim wnioskiem z wzoru na pochodną funkcji złożonej. W idzim y, że funkcja podcałkowa f ( x ) nie przechodzi na f(q>(t)), lecz otrzym uje jeszcze dodat­

kowy czynnik: W zór teD najłatwiej je st zapam iętać w ten sposób, że wprowadza się podstawienie x — q>(t) nietylko w funkcję f (x), lecz tak że w różniczkę dx, która wobec tego przechodzi na:

d x — dq>{t) = <p'(i) dt

Podstawienie a?=;<p(i) staram y się zw ykle tak dobrać, aby całka po p ra ­ wej stronie wzoru (18) była łatw iejszą do obliczenia aniżeli całka pier­

wotnie podana. Po w ykonaniu całkow ania w edług zm iennej t otrzym am y ja k ą ś funkcję (?(i) tej pomocniczej zmiennej ł. C hcąc wrócić do zm ien­

nej należy obliczyć z wzoru (b) i jak o funkcję zm iennej x, np. t — ip(x) i wstawić w G(ł) za. zm ienną t. Aby się to przekształcenie dało uskutecznić w sposób jednoznaczny, trzeba obrać funkcję x — (p(t) tak, aby była odw racalna w sposób jednoznaczny. W tym celu w ypadnie często ograniczyć zakres zmienności zmiennej niezależnej w tym zw iązku funkcyjnym x = <p[t) (por. tom I, § 18).

P rzy |stosow aniu tej m etody całkow ania (przez podstawienie) roz­

poczynamy zw ykle rachunek od tego, że za jak ąś odpowiednio dobraną fa n k eję tf>{oo) zm iennej a podstawiamy nową zm ienną;

t == xf)(a)

a następnie obliczamy stąd x = q>(t) i postępujem y daiej zgodnie z wzo­

rem (18). F u n k cję tl>{x) należy oczywiście obrać tak, aby była odw racalna w sposób jednoznaczny i aby ppsiadała różną od zera pochodną: albo­

wiem potrzebna we wzorze pochodna q>' (i) m a wartość — j ak wiadomo z tw ierdzenia o pochodnej funkcji odw rotnej (por. tom I, § 7 9 , wzór 28).

Przylcbctdy.

L. Obliczyć:

17

:/ ( F = W ‘ dx " Z 612 - 3 x r °dx

Na pierw szy rzut oka mogłoby się zdawać, że ta ca łk a m a w artość:

—---— jak o potęga o w ykładniku ujem nym . Przez zróżniczkow anie tej funkcji łatw o się je d n a k m ożna przekonać, że je s t to w y nik błędny.

Zastosujm y natom iast do całki podstawienie:

t^(a>)

— 2

— 3

x = t Stąd:

x== | — £ f = qr>(ż) a d x ~ — £ dt W obec tego je st: *

J 5 ( 2 - 3 x T « d x = J ' b r * - - l d t = ^ - ! ~ - \ - C = 1i t - ' + C

W yrażam y teraz

t

zapomocą zm iennej

x

i otrzy m ujem y : , = i (2 - 3 * ) - . + C = 3 l2 4 s 5 r , + C 2. O bliczyć:

d x x - \ - b

C hcąc tę całkę sprow adzić do znanej całk i / — (por. wzór 5), używ am y Cdt podstaw ienia:

a x - \ - b = t Stąd:

A- więc:

Wobec tego:

d x — ~ dt a

, - dt

r C a 1 C d t 1 ,

J

t a / T a IM “ł“ P-

Bachanek rótnicikowT i caikowy. T, ł .

W raoam y do zm iennej x i otrzym ujem y:

3. Obliczyć:

18

r da J aJ + ai»

/

| —j—— = arctg x -f~ C (por. wzór 13).^dcc

Staram y się spiowadzió szukaną całkę do tej postaci i w tym celu wyłączam y w m ianow niku a* przed nawias.

Stosując wzór (14), otrzym ujem y zatem :

i r dx

~ a ' j i + i ?

+ e r

T eraz ju ż samo się nasuw a podstawienie: ® = t.

Stąd:

X — at, d x = a dt a więc;

r 1 r a dt a f dt 1

1 = a<J 1 + P = aj r+T" = i “t0,g‘ + c

W racam y do zm iennej x , kładąc t = — i otrzym ujem y ostatecznie:(D

C d x t x ,

I ~ n — i — _ arcte - + c

J a* x* a a

4, W śród całek, któreśm y otrzym ali bezpośrednio przez odw rócenie

/ (¡X

— r—» 1 - \ - x (por. wzór 13 z § 204), Datomiast nie było tam bardzo podobnej całk i:

C d x J 1 -

a;*

By tę całkę obliczyć, rozłóżmy najpierw funkcję podcałkow ą na dw a prostsze dodajniki (t. zw. ułam ki częściowe, por. tom I, § 23, str. 91);

1 1 A B

1 — X 2 (1 -f- a?)(l — x ) ~r 1-j-® 1 — *

1 9

W yznaczam y stałe A i B tak, aby ta rów noś^ zachodziła dla w szyst­

kich x {z w yjątkiem oczyw iście wartości x = 1 i x = — 1, dla których funkcja podcałkow a nie jest określona). Uwalniając obie strony od m ia­

nowników, otrzym ujem y:

1 = A — A x + B B x = (A + B) + {B — A) x

Spółczynniki przy x° i X1 muszą być po obu stronach rówDe, a więc:

A + B = 1 A — B — 0

Z tych dwóch równań otrzym ujem y: A = ■£, B = £• Zatem funkcję pod­

całkow ą możemy przedstawić w postaci:

1 i ____$

1 — X1 1 + iC 1 1 — X

Stosując tu wzór (15) na całkow anie sum y i wzór (14), otrzym ujem y:

d x X

Na podstawie w yniku, uzyskanego w przykładzie 2, otrzym ujem y stąd:

/ r ^ = i l° g | i + ® i — * i o g |i — * n - c = i i o g J | i | | + c czyli:

( 1 9 )

Ten wzór znajduje dość częste zastosowanie.

/

^{— d x} - i otrzym ujem y, ja k łatwo

(J X

spraw dzić:

(19 a) f - , — , = - ^ g l / l

J a * — a 6 p | a — x + C

5. W ynik, uzyskany w poprzednim przykładzie, m ożna zastosować do następującego zagadnienia z dynam iki. Na ciało o masie m , spadające pod wpływ em siły ciężkości ziemi, działa ponadto opór ośrodka w kie­

runku przeciw nym do k ieru n k u ruchu; opór ten je s t w każdym mo­

mencie ru ch u proporcjonalny do kw adratu prędkości v ciała spadającego 2*

a nie możo być większy ^ od siły ciężkości. Znaleźć wzór na prędkość tego ruchu i na drogę.

Otóż całkowita siła, działająca na to ciało, ma wartość:

, d v

P = m g — k V 1 — m y — m —-

gdzie g oznacza przyśpieszenie siły ciężkości (przyjm ujem y je tu za stałe) a y przyśpieszenie w badanym ruchu. P rędkość v je st liczbą dodatnią a ponadto musi być ¿u2 S mg czyli

Stąd:

dt m ______ m 1

d v mg — kv* k ^ — a®

Wobec tego:

t dv

■ 5 /

W edług wzoru (1 9 a) otrzym ujem y stąd:

4 - v

+ C

_{' - i}

1/

\

|/«§— v

W yrażenie pod pierw iastkiem je st nieujemne, a więc znak bezwzględnej wartości nie je st potrzebny. G dy przyjm iem y, że dla t = 0 ciało było w spoczynku, t.j. v = 0, «to otrzym am y stąd C = 0 . Z tego wzoru możemy , obliczyć v jako funkcję i a m ianowicie:

21]/5 _ V"? + » e m ~ y ę z r v a stąd:

v==] /t ' = ^ fg hyp (* Ity

e“ -J- 1

Z tego wzoru widać, że dla >oo prędkość v dąży do w artości: u, = zwanej prędkością „ k ry ty c zn ą“.

Całkując wzór na v — ~ jeszcze raz, otrzym ujem y na drogę przy tym ruchu wzór:

, - ] ą ■ [ & „ ( i y s ) i t = | s f

J m J coshy p(iK ^)

K ładąc cos hyp — «, otrzym ujem y:

dw = sin hyp a. więc:

, = | / ^ / * - ™ log 1« | + C, log c°9 hy p (/ F I ) + C, Jeżeli dla i = 0 je st s = 0, to otrzym am y C, = 0 i pozostanie wzór:

6. C ałkę:

/

cos r x d x

oblicza się p rzy pomocy podstaw ienia r x — t. Stąd x — - , d x = ~ d t . A więc:

J 'cos r x d x — / c o s t • — dt — — J 'cos t d ł — — sin < -4- C cz y li:

J cos r x d x = - sin r * -f-C

P rzy pew nej w praw ie w ykonuje się tak ie proste całk o w an ia odrazu, bez używ ania odpow iednich podstawień.

T ak np. odrazu je st widoczne, że:

/

sin p x d x — — — cos j>xĄ- C P

7. Z wzoru red u k cy jn eg o (17) (str. 14) o a ca łk ę z sin " x w y p ro ­ wadzić wzór re d u k cy jn y na ca łk ę z cos "x.

O pieram y się na tem. że:

sin x — cob (£ n — x )

i kładziem y: ^ n — x = i. W ted y d x — — dt, sin x = sin ( Ą n — t) = c o s t.

W obec tego wzór:

/

sin * x d x — — - cos x sio m~''x 4 - --- f sin d x

n n J

zm ienia się na:

(20⁾

Kładąc n — 2 — m = — p i w yliczając z tego wzoru ostatnią całkę, otrzym am y wzór redukcyjny dla ujem nych potęg cosinusa:

tao»» k_ - J J L = - » » < c o , - - « i + ę £ ± 2

Jeżeli p je st liczbą nieparzystą, to ten wzór redukcyjny prowadzi osta-

/

---którą omówimy w przykładzie 11.^dt

8. Często się zdarza, że nie trzeba obliczać w yraźnie zm iennej x z podstawienia xp(x) — t, lecz w ystarczy utw orzyć różniczki obu stron

tej równości. T ak np. celem obliczenia całki:

x d x h

używ a się podstawienia:

a* + ** = <

Stąd:

2

x dx = dt

a więc

xdx = ^dt,

a to właśnie je st potrzebne w liczniku.

W obec tego:

a więc:

C x d x

J

9. W yprow adzim y wzór red u k cy jn y dla całki:

tg mx d x

W tym celu oddzielamy w funkcji podcałkow ej:

tg !a: — sec 1x — l — — \ ---1

° cos-

x

O trzym am y zatem :

Tm = j tg m~2x • t g 2x d x — J tg ( — ™ - l j d x =

— f m~2x _{J cos *x} ---f fg m~2oodx_J

D rugą całkę możemy oznaczyć literą y m_2, pierw szą zaś obliczym y przez podstaw ienie: t g x — u, a więc —-y— = d u . W obec tego ta pierw sza całk adoc

cos cc

przyjmie postać:

f «"-* du == — um~' — — tg ”^ !x

J m — ł m — 1

Stałą C, występującą przy całkowaniu, włączmy do to otrzym am y następujący wzór pdukcyjny:

m — 1

tg "-¡a _

10. Metody, podobnej ja k w przykładzie 8. używ a się, jeżeli fun kcja podcałkowa jest ilorazem dwóch funkcyj, z których dzielna jest pochodną dzielnika, a więc dla całek postaci:

■ / T ( x )

f (x ) d x

K ładąc f ( x ) = i, otrzym ujem y f ' ( x ) d x =± d(, a więc:

I = f j = ' ° g \ t \ + C czyli:

(2 1)

Ten wzór można uważać za odwrócenie wzoru na pochodną logarytm iczną (por. tom I, § 85).

T ak np.:

— sin x d x cos x

Tu licznik jest różniczką mianownika, zatem w edług wzoru (21) ótrzy- m u jem y:

(22)

b) Obliczyć:

- s

m x -f- n a x i + bx -4* <5d x

T u licznik nie je st wprawdzie pochodną m ianow nika, ale można go tak przekształcić, że będzie sum ą tej pochodnej i liczby stałej, a m ianowicie,

u

wyłączając z licznika g - , otrzymamy:

_ m f 2fla? + ~v" 1 — — —

2«^/ ffic2 -fr te-f c X 2aJ i

^cte

da;

a x t -\- bx c Tę całkę rozdzielamy na sumę dwóch całek:

m f

2ax'Ą-b , r __m(2an \

f ' 2 a j

ax2-\-bx

+ c X' 2 2a

(

^{m j j}

Otóż pierwsza z tych całek ma właśnie postać lewej strony wzoru (21), a zatem:

m

cix* -f- bx + c

h = + &® + c|

W drugiej całce należy sprowadzić mianownik do formy kanonicznej:

0 ||a ; + ; p j 4 - ^ - t ^ ] - Kładąc ® ^ ^ sprowadzamy tę całkę do form y: J ' ^ J ' zależnie od tego, czy w yróżnik 4 ac — b2 jest dodatni czy też ujemny. Te zaś formy omówiliśmy w przykładzie 3 i 4.

/

- — - i K = I --- , potrzebne przy sto-^{dcc /*}

81 n cc J cos cc sowaniu wzorów redukcyjnych {17 a) i (20 a).

I tak:

dx S — f dx — f dx __ — f 2 coał j #

J 8iQ iC / „ . X X I X

J 2 sin - c o s - J tg £ Tu licznik jest różniczką mianownika, a zatem:

(23)

Celem obliczenia całki K, sprowadzimy ją do całki S , zauważywszy, że cos x — sin (£ n + x). Zatem :

£ f d x r d x ,

~ J

cos a:

~~J

sin u i.;« + » )n -]

Za Ąji -f-® kładziemy /, to d x = dt i otrzym ujem y całkę typu (23).

í>6 A więc;

(24)

12. Celem obliczenia caik i:

1

J [/l — x” -

dx

dogodnie jest użyć podstawienia wprost w postaci

x — <p[t),

a nie, jak to dotychczas czyniliśmy, w postaci

t == ip(x).

Podstawiamy mianowicie:

x —

sin t, biorąc

— £ n fś ł -f- J n.

Podstawieniem tem w yczerpujem y istotnie cały zasób dopuszczalnych w artości x , albowiem, aby otrzymać rzeczywisty pierwiastek z 1 — a?’, musi b y i —

W tedy d x = cos t dt, a zatem:

I = ¡ ]/\ — sin* t • cos t dt

= / 'cos* t dt

Tę całkę moglibyśmy obliczyć odrazu przez zastosowanie wzoru reduk- cyjnego (20). Dla ćwiczenia obliczymy ją jednak w inny sposób, a m ia­

nowicie oprzemy się na znanym z trygonom etrji wzorze;

COS

W obec tego:

I = |/ -

I = ł J { l + cos 2 t ) d t — \ ( t + £ s i n 2 i ) - f C

Ale z wzoru ® = s i n t w ynika, że í = arcsÍD® (p rzy cz em— < t < . ^ n).

Ponadto sin 2 i = 2 sin i cos t = 2 x \ 1 — x i (znak pierw iastka jest dodatni, ponieważ co st ma wartości nieujem ne dla i, zawartych w przedziale

< — ^ t i >) . W obec tego;

(25) l — ^ \ \ — x'Ld x = \ (are sin x ® ^1 — x %) -f- C

Pozostawiam y czytelnikow i do wyprow adzenia nieco ogóluiejszy wzór:

(25a)

Ś6

18. Czasem przy obliczaniu całki trzeba użyć zarówno całkowania

„per partes“ ja k i metody podstawiania. Tak np. do obliczenia:

I = J'arctgxdx

stosujemy najpierw całkowanie „per partes“, kładąc:

aFOtgi»««, dx = dv

, Hx

duc=tT T ^ " - a = = v

A więc I = Ot arc tg X — f Całkę, która tu występuje, obliczamy J 1 -j- x l

zapomocą podstawienia 1 - f - * 1

— t.

Otrzymujemy

2xdx=s=dt,

^{a więc:}

f r ^ = t f T = i l°z\t\+ c = ł ]°z{1+ x''> + c Wobec tego:

J ' &Ta

tg

a: =

X arc tg

* — \

log (1

+ ®*) — ^

Niechaj czytelnik stwierdzi, że w podobny sposób otrzyma się:

J

^{arc sin®}

dx

⁼

x

arc sin x - \ - \ l — x % -j- C 14. Przy obliczaniu całki:

/ = y > sin

bxdx

stosujemy dwukrotDie całkowanie „per partes“, a mianowicie najpierw kładziemy:

c " == u, sin

bx dx

= du

d

Wobec tego:

du =x ae°* dx, v

— — — cosio; (por. przykład 6).

/ x=t — i cos i® + j J ' ^ u coa

Stosujemy do występującej tu całki powtórnie metodę całkow ania „per partes“, kładąc:

« " a t i , , cos

bx dx —

du, e= aea*dx, s '0 bx Zatem :

1 e s — —i fi“ COS.

O

bx + ~ 8in f,x — “ J et* gin bx dxj

1 = — e" i>

cos

bx -f- £ai a

sin

iaj—

A stąd:

I b 1 = ea*(a sin bx — b cos bx) — a 11, (a* 4 - ¿ł ) I — «“ (a B' n bx — b cos bx) a więc:

/ 6a*

e“ sin b x d x — -- -- - (a sin bx — b cos bx) + C a* -j- o*

W podobny sposób oblicza się, że:

/ ^{,e at}

e “ cos bx d x — . . -r. (a cos bx 4 - b sin bx) + O a* 4 " o

15. W jednym z dalszych rozdziałów będą nam potrzebno ca łk i:

J sin n * sin r x d x , f s i n nX cos r x d x i J c o b v x cos r x d x

P rzy obliczania tych całek opieram y się na znanych z trygonom etrji wzorach:

sin n x • Bin r x = i (cos (n — r ) x — cos (n 4 - r ) &) sin n x • cos t x — Ą (sin (n -{- r ) x - { - sin (n — r) x) cos n x • cos r x = £ (cos (n -f- »*) ® + cos (n — r) x ) G dy M ^ r , to otrzym ujem y stąd:

J sin n x sin r x d x = | ^ cos (n — r ) x d x — £ ^ cos (n 4 - r ) x d x = . / s i n (n — r)a; sin ( n - f r ) a ; v

* i n — r n 4~ r I

j ' sin n x cos = $ ^ s i n (n 4~ r) 4 “ | ^ 8in (w — r) » ¿ a = , /co s (w + r) x , cos (n — r) x \

\ ^ + 7 *" n — r I

J cos n x cos r x d x — ^ J cos (n 4 - r) x d x 4 - cos (m — r ) x d x = /sin (n 4 - r) x . sin (n — r) an

— =1 i T + r ' n — r /

Dla n — r je s t cos (n — r) x = cos 0 = 1 , sin (n — r) x = sin 0 = 0, a więc pow yższe całk i przechodzą na:

/

^{. . , ,} , sin 2 nco sm* n x d x — \ x — \ ^— —

/o c . /* . , , cos 2 n a

(2ba), I sin n x cos n x d x — — \ — Y n ~

/ sin 2 nx .

cos* n x d x = k — 2 rt---

2 7

(26)

16. W yprowadzić wzór redukcyjny dla całki:

2 3

d t , i . 2a_

Podstawiamy: a = tg i, to d x = — t . 1 4 ® * = ! + « cos

a w ię c :

l n = / c o s 2,1 1 1 dt — K-fr-i

Dla całki znamy ju ż wzór redukcyjny (por. wzór (20) na str. 21).

Stosując go tutaj, otrzym am y:

I . = = 2 ^ 1 »>"<«“ i - - “ tg t 2 n — 3

(2 n — 2) s e c J/I_s t 2 n — 2 n~' , ________ ®__________, 2m— 3 czyli. ^ ~ (2n — 2 ) ( 1+ a s) * - , + 2 « — 2 ‘,~ I lub wyraźnie:

(27) C d x _ a . 2 « — 3 r dat

J (1 4- a8)" ~ (2w—2)(1 4-a*)”-'+ 2m — 2 J (1 + a8)1

Z tego wzoru będziemy korzystali w następnym paragrafie.

Uwaga. Do tego wzoru redukcyjnego można tez dojść bezpośrednio, nie prze­

chodząc przez wzór (20). W tym celu przedstawia się funkcję podcałkową w postaci:

1 1 4 * * —x ' _ 1 ®*

(1 4 x ,)n (1 + x > )« ~ (1 4 I 1)”“ 1 ~ (1 4 z a)"

Całka ln zamieni B ię wtedy na 1 — X (t4 * » l*

x d x Do pozostałej całki stosujemy całkowanie „per partes“, kładąc u — x, dc

(1-4- a:*)"

i t d. Pozostawiamy czytelnikowi dalsze wykonanie rachunków.

17. Jeżeli znamy całkę jak iejś funkcji y = . f { x \ to potrafim y bez trudności obliczyć także całkę funkcji odw rotnej: x — <p(y). I t a k , chcąc obliczyć:

I = f ę ^ dy

podstawiam y za <p(y) = a , s t ą d y = / ( a ) , dy = f { x ) d x a więc:

1 ~ J 'X • A ® ) d x

2 9

C ałkujem y „per partes“, kładąc: x = u, f ' ( x ) d x — dv Wt.edy du = dx, v — f ( x ) i otrzym ujem y’

1 =

J \

go(y) dy = x f ( x ) — ^ f i x ) d x

Przykłady, a) Znam y dla y — sin x całk ę j ' sin x d x = — cos® - f P- W obec tego możemy obliczyć przy pomocy poprzedniego wzoru całkę z x = arc siu y, a m ianowicie;

J 'arc siD y dy ■= x sin x — J " i i n x d x — x sin x -f- cos x + C‘

W racając do zm iennej y, otrzym ujem y:

J

arc sin yd y = arc sin y • y -f- \ \ — y 2 -f- O (por. przykład 13 na str, 26).

b) D la y — siu hyp x znam y całkę:

hyp 3 5 = = cos hypa> -{- C = ^1 -f- s in 1 hyp® -1- C.

Stąd możemy obliczyć całk ę funkcji odw rotnej, k tó rą jest, ja k w ia­

domo (por. tom I, str. 2 9 0 — 291):

x = logfer + ^ l + y a) W obec tego:

/ l o g O + h + y * ) dy —

= x sin hypa; — J sin hyp z d x — y log (y + ^1 -f- y*) — + y* + (7 c) Ponieważ dla y — e* jest:

j 'e* d x — cx Ą- C przeto:

/ l o g y d y — x o' — <? -1- C — log y - y — y - f C (por. str. 12 przykład l).

§ 2 0 8 . C a łk o w a n ie funkeyj w ym iern ych . R o z k ła d fu n k cji u ła m ­ kowej na u ła m k i proste.

Potrafim y scałkow ać każdą funkcję całkowitą w y m iern ą czyli każdy wielomian (str. 10, przykład 1).

F unkcja ułamkowa w ym ierna je s t ilorazem dwóch wielom ianów:

W { x ) = ^ \

? l * )

Jeżeli stopień licznika nie je st mniejszy od stopnia mianownika, to wydzielamy z tej funkcji ułamkowej część całkow itą przy pomocy znanego algorytmu dzielenia wielomianów W ten sposób otrzym ujem y rozkład danej funkcji W( x) na część całkowitą,, np. h{x) i na funkcję ułamkową, np. ClOO) t której licznik ma stopień niższy aniżeli m ianownik,

g(x)

3 0

tt więc:

Tak np. dla funkcji:

wykonujem y dzielenie;

®s + 2® + 5 x* — 4 x 4 - 3

( x3 2 x -f- 5):(®* — 4® + 3) = cc —{- 4 x 3 — 4®* 4* 3®

+_____ -_________

-f- 4® ł — x - f 6 -)-4 ® 8 — 16® - f 12

Zatem:

4- 15® — 7

x 3 + 2® 4- 5 , * . 15 * ---® 4 - 4

4-

®* — 4 ® 4 - ^ ®! — 4 ® 4 - 3

Część całkow itą h (x ) scałkujem y bez trudności. Pozostaje do cał­

kowania część ułamkowa, której licznik ma stopień niższy aniżeli mia­

nownik. Do takiej funkcji zastosujemy całkow anie przez rozkład. W tym f i*E)

celu pestaram y się rozłożyć taką funkcję —— na prostsze dodajniki.

W specjalnych przypadkach używaliśmy ju ż takiego rozkładu (por.

str. 18, przykład 4). Jeżeliby spółczynnik najwyższej potęgi zmiennej x w wielomianie <7(®) był różny od 1, to usuwamy go, dzieląc licznik i mia­

nownik tej funkcji ułamkowej przez ten spółczynnik; możemy się zatem ograniczyć w dalszym ciągu do badania tylko takich funkcyj ułam ko­

wych, w których ten spółczynnik tna wartość 1. Spółczynniki innych potęg x są dowolnemi liczbami rzeczy wistemi. Algebra poucza (por. toni I,

§ 22), że każdy wielomian stopnia n można przedstaw ić jak o iloczyn n czynników stopnia pierwszego:

wn (®) = a , ( x — ®t ) (® — ®2) . . . (® — ®„)

przyczem liczby ®„ ® „. .. x . są pierw iastkam i rów nania wn{x) = 0. Nie- ' W podręczniku R u z i o w i c z a i Ż y l i ń s k i e g o p. t- W stęp do m atem atyki czytelnik znajdzie w rozdz. V dokładne uzasadnienie tego algorytmu.

31

które a naw et w szystkie czynniki mogą się pow tarzać w ielokrotnie (jeżeli rów nanie posiada w ielokrotne pierw iastki). T ak więc m ianow nik fu nk cji ułam kowej, mający spółczynnik 1 przy najw yż^/ej potędze m ożna przedstaw ić w postaci:

g (x) = [x — a)‘ {x — fi)*.. .(x — fi)r...

jeżeli a je st a-krotnym pierw iastkiem rów nania

g(x)

— 0,/3 ¿-k ro tn ym i t. d.

P ierw iastki rów nania ^(a;) = 0 mogą być rzeczywiste i zespolone*.

W szystkie zespolone pierw iastki rów nania o spółczynnikacb rzeczyw i­

stych rozpadają się na pary sprzężone z sobą. Jeżeli więc:

V- = P +

(j), q są tu liczbami rzeczyw istem i a q je s t różne od zera) je s t pierw ia­

stkiem rów nania j ( * ) = 0, to tak że liczba:

H = p — qi

je st pierw iastkiem tego rów nania. Co w ięcej, jeżeli n je s t r-k ro tn y m pierw iastkiem tego rów nania, to także sprzężona z (i liczba Ji m usi być dokładnie r-krotnym pierw iastkiem tegoż rów nania. Iloczyn każdej pary czynników

(x

— fi)

(x

— /¿), odpow iadających sprzężonym pierw iastkom , je st wielomianem drugiego stopDia o spółczynnikacb rzeczyw istych a o w y­

różniku ujem nym . I tak:

(® — ( * ) • ( ? — Ji) = (x — p — qi){x — p - \ - q i ) — { x — p)*-{-qt —

— — 2 p x -f- p* + q*

W yróżnik tego trójm ianu kw adratow ego m a postać:

d = (— 2 p)* — 4 (p* qx) — — 4 q*

a więc ma wartość ujemną.

W obec tego możemy przedstaw ić wielom ian g ( x ) ja k o iloczyn sa­

mych rzeczyw istych czynników stopnia pierw szego lub drugiego w postaci:

(28) £(a?) = (x — a)a (x — /?)*...(®* -f- 04 x -f- + a3x + A,) . ..

przyczem w ystępujące tu trójm iany m ają w yróżnik^ ujem ne. C zynniki pierw szego stopnia: x — a, x — /?,... odpow iadają rzeczyw istym p ierw ia­

stkom rów nania ^(a;) = 0, czy nniki zaś drugiego stopnia: x % -f- Oj X -4- 6,, x % + a, x -f- . .. odpow iadają parom pierw iastków zespolonych, sprzę­

żonych. Stopniem wielom ianu g ( x ) je s t widocznie liczba n = a - j -6 . -4 -2 r -f- 2 s .. .

E fektyw ne w ykonanie takiego rozkładu byw a nieraz bardzo trudne, a mianowicie w tedy, gdy tru d n o je s t rozw iązać rów nanie

g{x) —

0 W p rak ty ce mamy je d n a k najczęściej do czynienia bądźto z łatw em i do 1 Zasadnicze wiadomości o liczbach zespolonych są podane w paragrafach koń­

cowych.

3 2

rozwiązania równaniam i g ($) — 0 , bądżto z gotowym ju ż rozkładem funkcji g i x ) na czynniki pierw iastkow e według wzoru (28).

Każdą więc funkcję w ym ierną ułam kową można przedstawić w po­

staci:

f i x ) ___________________________ fjsę)_________________________

g { x) (X — <x.)a'(x ■— p f . . . {x 2 - f al x - \ - b J { x ' i 4 a2 x + b2f . . . przyczem trójm iany, zaw arte w mianowniku, m ają w yróżniki ujemne.

Załóżmy, że stopień licznika je st mniejszy aniżeli stopień m ianownika.

P raw ą stronę możemy uważać za w ynik dodaw ania prostszych ułam ków, o m ianow nikach: x — a , ( x — a ) 2, . .. (a; — a f , X — /5, (a? — p f , . .. (x — p f , . . . x i -j- dj * (x 2 -j- flj X -f- i j ) 2, . . . (x 2 -|- a, x -j- Yi X 1 -j- aj x -)- bt , . .. .

Okażemy, że te ułam ki można tak wyznaczyć, że liczniki będą bądżto liczbami stałemi, bądźto funkcjam i pierwszego stopnia, a miano­

wicie udowodnimy prawdziwość następującego wzoru:

f i x ) __________________________ f i x ) ________________________ __

g{x) i x - a Y - i x - P ) 6, . . i x 3 + a, x 4 bx)r {x* - f Og bsY . . . - Al ' A 2 ; + . . . + r - ^ - +

(29)

x — a (® — a ) 2 (x — a)‘

+ A + m ..+

_{0 7 - /3} i x — P f (X ~ p f

1K x + N t Mz x + N 2 M r x + N r

‘ ( / y *2 _ 1 _ rt /v» I A \ I * * * ’ I ,

x i 4 a, x 4 ¿i, {xz + aj x 4 M * (#* + a i % 4 P t # - f <?, P , a; 4 <?2 i>, a? + Q,

‘ I /* /» H I ~ /v, I L \9 I * * * ~T .

X1

4

^{- *}

4

^{bt ( s 5 4 -}

«2

® + M ! (®! 4 - a2® 4 M 4 ...

Liczby Ai, A?,... Aa, B x, Bf,,... My, N t, Mr, Nr, Ą i <?.. P», Qs, . , . są stałem i liczbami rzeczywistemi.

T aki rozkład funkcji ułam kowej na prostsze dodajniki nazywamy rozkładem tej funkcji na ułam ki częścio w e.

Dowód. Rozpoczniemy od pierwszego w iersza w tym wzorze. Utwórzmy różnicę:

_ _ ___________________ [ w ______________________________Ą a (a? a f {x p f . . . (ar -f- ai x 4 ¿>i)r (a;2 -f- a s x 4" bt y (a? — a f

_ f j x) - A a ( x — p f . . . { x * + a l x + bl Y . . . ( x — a f i x — p f . . . (»* 4 a, x - f bt y . ..

Chcemy tę różnicę tak uprościć, aby je j m ianow nik m iał stopień o jeden niższy od stopnia pierw otnego mianownika. Zażądajm y w tym celu, aby możpa było licznik i m ianow nik uprościć przez x — a. Jeżeli licznik ma