9) Obliczyć wartość całki niewłaściwej:
'd x
Uwago. Używajac podstawienia a;* = w, otrzymujemy 2 x dx — du, d x — —du 2 \u a całka zamienia się na (-Tir)’ Ta całka, zwana całką L a p l a c e a . ma wielkie zna
czenie w rachunku prawdopodobieństwa i w teorji błędów.
Nie potrafimy obliczyć całki nieoznaczonej j ' *e~x' d x elementaroemi metodami. Pomimoto znajdziemy wartość powyższej całki oznaczonej, opierając się na odpowiednio dobranych nierównościach. I tak wiemy (por. tom I § 149, przykład 2), ie zawsze jest.
l + i i g e * a więc:
1 - a S e " i 1 -f* z 2=2 cz y li:
dla * > — i . e* — 1 -Ą-z
Stąd:
i — « g - > - ^ (1 + i ) - ' Weźmy:
2 = y ł, to z > O > — 1 i mamy:
I - y1 ^ e-* ^ ( i + y T ‘ A więc dla naturalnych » zachodzą nierówności:
(1 - / r s « - - ^ ( i - f y ' r
Scałkujem y te wyrażenia od O do 1 i od O do oo, to (na podst. §- 217 wniosku 1) otrzymamy:
1 ł co oo
/ ( I - y r d y ^ J e ~ n>* d y < J e - * dy g \ f
O 0 0 0
S krajne całki wyznacza się nietrudno przy pomocy odpowiednich wzorów redukcyjnych:
t
113
Ponieważ 10 = J d y = y | = 1, przeto
b ) 7 . = / ^
i»
( 1 - f y Y (2« - 2) (1 + y *)—' i 2» ~ 3 J _
+ 2 n — 2 “
= n---|^ » - i (str. 28, wzór 27) an — 2
Poniew aż:
OO
A —y j ~ Przet0 ~ii — h ’ hn' / s = f • • ¿Ti,...
o
O trzym ujem y więc:
2 • 4 • 6 . .. 2» f - » * , I • 3 • 5 ... (2 » — 3) , 3 . 5 - 7 ..(2 n + i ) < J e 2 • 4 • 6 ... (2n — 2) * ^
O
/p ^/p
Przez podstawienie n y 2 ~ x 7 czyli y = — , dy — ■ przekształcamy
yn (/»
OO
wewnętrzną całkę na e ^ d z , a więc:
o
0 3
3 • 5 • 7 ... (2m -f- 1) y = 2 - 4 - 6 . . . ( 2 » - 2 ) 4 Przy pomocy wzoru W a l l i s a (str. 93, wzór 66) stwierdza się bez trud
ności, że obydwa skrajne ciągi w powyższych nierównościach dążą do wspólnej wartości
I tak z wzoru W a l l i s a wynika, że
2 • 4 • 6 . . . (2« — 2 ) \[2n łr — B - = 3 ■ 5~ 7 ~ ’ t2»~— i) * ' a;T
a więc:
2 • 4 • 6 ... (2w — 2) \ n >r . 2 n ,r 3 • 5 7 (2n — 1) a Zatem ' ^ 2 ^ + 1 ^ Z drugiej zaś strony:
1 • 3 • 5 . . . (2u — 3 ) | ^ 1 • 3 • 5 ... (2n — 3)(2 » — 1) n f ż
^ n ' 2 • 4 • 6 . .. ( 2 « — 2) — 2 • 4 • 6 . .. (2 « — 2 )^ 2 » '( 2 n — I ) “
R achanek roin ictk o w y i c&łkowy. T. 2,
114
Zatem całka, zaw arta stale między w yrazam i tych dwóch ciągów, m a w artość ^ Yn. O trzym aliśm y zatem ostatecznie; '
§ 2 2 5 . C ałk ow an ie graficzn e.
Jeżeli funkcja, k tórą m am y całkow ać, je st podana graficznie, zapo- mocą w ykresu, ja k to często byw a w m atem atyce stosowanej, to możemy postępować dw ojaką drogą. Można mianowicie, używając rozm aitych me
tod interpolacji (por. tom I, rozdział X V I), znaleźć wzór m atem atyczny, przedstaw iający wartość tej funkcji z doetatccznem przybliżeniem i do
piero w tedy w ykonyw ać całkow anie przy pomocy odpowiednich wzorów rach u n k u całkowego. Prostszem będzie jed n ak bezpośrednie zastosow anie odpowiednio dobranej graficznej metody całkow ania; metodę tak ą otrzy
m ujem y przez odwrócenie m etody graficznego różniczkowania, poznanej w rachunku różniczkowym .(por tom I, § 65). Chcemy znaleźć:
x
.
/ I
f ( x ) d xm ając podany obraz L funkcji ij — f( x ) (fig. 17 a). Ta całka Y je s t
fu n kcją górnej granicy x, a mianowicie tak ą funkcją, której pochodna je s t'ró w n a funkcji podcałkowej:
(w) dY_
d x ■■ f( x ) — y
Je st to więc je d n a z funkcyj pierwotnych fu nk cji f(x ), a mianowicie ta fu n k c ja pierwotna, która dla x — a przybiera wartość Y — 0, albowiem
115 à
J f ( x ) d x — 0. Szukana linja przechodzi zatem przez punkt B(a, 0). Obraz a
graficzny każdej funkcji pierwotnej nazywamy lin ją całkową danej linji o równaniu y = f(x). Pochodna ~ przedstawia spadek stycznej do linji całkowej. Oznaczmy literą /? k ąt stycznej do tej linji całkowej. Z wzoru (w)
wynika, te :
d Y 0 y
Związek ten prowadzi do następującej konstrukcji linji całkowej. Linja ta przechodzi przez punkt B(a, 0). Od tego punktu odmierzamy na lewo
1 1 6
rzędnych ( — 1,0) (por. fig. 17 b). Następnie rzucamy każdy pu n k t P , obrąny na linji L, na oś y-ów do punktu Q i łączym y M z Q: prosta M Q je st równoległa do stycznej t. W ykonujem y zatem całą k o n stru k cję linji całkow ej w następujący sposób. Obieram y na danej linji L szereg punktów P , P 1, P t ... i rzucam y je na oś a;-ów i y-ów. Połowimy odcinki na osi &-ów i przez to p u nk ty podziału w ykres lam y pomocnicze linje prostopadłe do osi &-ów. Rzuty Q, <?,
punktów PxP1, P i . . . na oś y-ów łączym y z punktem M o spółrzędnych (— 1,0). Przez p u n k t B w ykreślam y prostą t \ \M Q aż do przecięcia się z najbliższą (pomocniczą) prostopadłą do osi ®-ów. Z tego punktu prze
cięcia w ykreślam y prostą t' || M QX aż do przecięcia się z następną po
mocniczą (kreskow aną) prostopadłą i tak samo postępujemy dalej. O trzy
mamy w ten sposób szereg punktów B, P \, P'2 . .. linji całkowej i szereg stycznych w tych punktach do linji całkowej. Przy pomocy krzyw ki w y
kreślam y całą linję całkową l. Gdybyśm y rozpoczęli konstrukcję nie od punktu B, lecz od dowolnego innego punktu tej prostej B P , to otrzym a
libyśm y inną linję całkow ą ł', jed n ak że przystającą do l, a mianowicie przesuniętą równolegle. W ten sposób można otrzym ać całą grom adę funkcyj pierw otnych, zaw artych w całce nieoznaczonej, t. j. obok linji o rzędnych Y, grom adę linij o rzędnych Y —(- C. G dybyśm y zaś zamiast jedno stki M O = 1 użyli innej jed n o stk i: MO — b, to zamiast linji cał
kow ej o rzędnych Y otrzym alibyśm y linję o rzędnych Y «= \Y .
Omówiona tu k o n stru k cja je st przybliżoną, albowiem polega osta
tecznie na tem, że łuki linji L zastąpiliśm y cięciwami.
Jeżeli linja L jest zwrócona wypukłością ku górze, to widoc2nem jest, źe wsku
tek takiej aproksymacji otrzymujemy wartości mniejsze od prawdziwych wartości całki, nie wyczerpujemy bowiem pola, zamkniętego tą linją, rzędnemi i osią odciętych.
Lepsze przybliżenie można uzyskać, zastępując łuki PP,, P\Pt! ■ ■ - nie cięciwami, lecz odcinkami prostych równoległych do osi iC-ów; odcinki te trzeba dobierać na oko w
tą-kich wysokościach, aby przyczyniać z jednej strony takiego odcinka tyle pola, ile opusz
czono z drugiej Łtrony. Szczegółowe opracowanie tej ulepszonej metody znajdzie czy
telnik w podręczniku C. R a n g e g o p. t Graphitehe Methoden.( Lipek 1915, roz
1 1 8
czyli:
jest zatem suma pól tych prostokątów, t. j.:
y\ + h - y i . .. + h - y n an — h (¡/i + yt + •••-}- y„)
Używając znaku zz jako znaku przybliżonej równości, możemy zatem napisać:
(77)
Przybliżoną metodę obliczania całki oznaczonej przy pomocy tego wzoru nazywamy metodą prostokątów. Widocznem jest zarówno z geometrycz
nego przedstawienia jak i z własności ciągu cr„, że przez powiększanie liczby n możemy uzyskać dowolny stopień aproksym acji.
Przykłady.
I) Zastosujmy powyższą metodę najpierw do znanej całki:
06931471806
T ę samą całkę obliczymy teraz metodą prostokątów, a następnie porów
namy z sobą wyniki.
Podzielmy przedział < [ l , 2 > na 10 równy.ch części o długościach 2 __l
h = = 0 1. Rzędnemi w punktach a; = 1, 1-1, 12, . . . 1-9 są 10
1 1 1 1
1’ 1 1 ’ 1 2 ’ " ' 1-9' Według wzoru (77) otrzymujemy zatem:
1 * 0'1 ( i + P i + 1'2 + F 3 + ■ + i i + r g ) 0 1 1
090909 0...
0-83333 3 . ..
0-76923 0 ...
0 71428 5 . . . 0-66666 6 . . . 06 2 5
0-58823 5 . . . 0 55555 5 ...
0-52631 5 ...
• 718771 = o-•7 1 87 71
Błąd wynosi: 0-7lS 7 7 1 — 0693147 . . . s*0025624.
1 1 9
2) Znaleźć wartość przybliżoną całki:
20 . _ ę dx
log,a
której nie potrafimy obliczyć elementarnemi metodami całkowania. Po
dzielmy przedział całkowania na 10 równych części o długościach fi — ?— — i Stosując przybliżony wzór (77), otrzymujemy:
10
t e 10 1(5g, 11 log, 12 log, 19/
W tablicy logarytmów naturalnych znajdujemy występujące tu logarytmy, a dzielenia wykonywamy np. przy pomocy maszyny do rachowania i otrzy
P rzy używaniu przybliżonej metody obliczania całki oznaczonej ważną je st rzeczą oszacowanie błędu, który się popełnia, biorąc zamiast praw
dziwej wartości całki wartość przybliżoną. Jeżeli funkcja podcałkowa posiada pochodną ciągłą w przedziale < tf, to nietrudno jest otrzy
Niechaj M‘ oznacza największą wartość funkcji \ f \ x ) \ w przedziale < a , b~>, to — hM' fS r'(h) S -4- A J/' Scałkujm y tę nierówność od 0 do A, to otrzym amy:
a to znaczy, że:
Taki więc błąd w ynika z zastąpienia całki w jśdnym przedziale częścio
wym polem prostokąta: A • f(c). Ponieważ zaś mamy n takich przedzia
łów, przeto na całkow ity błąd i?„ otrzymujemy oszacowanie:
Ale:
n a więc:
(78)
W idzimy stąd, źe błąd dąży do zera, gdy n wzrasta nieograoiczenie.
T ak np. w przykładzie 1) otrzym ujem y ( 2 — 1 y - M ' M ‘ 1 2 0
2 . 1 0 20
Ponieważ f(x ) — f \ x ) = — ~v przeto M ' = max \ f \ x ) \ = ~ = L Ostatecznie więc:
l Ą o l ś ^ = 0-05 Błąd faktyczny wynosi tylko 0 0 2 5 6 . ..
Pozostawiamy czytelnikowi do stwierdzenia, że bezwzględna war-iość błędu w drugim przykładzie nie przekracza liczby: - =
= ^log*0e = 0 0 9 4 3 ...
B. M etoda trap ezó w .
Lepszą na ogół aproksym ację uzyskujemy, biorąc w każdym pasku fig. 18 za wysokość prostokąta średnią arytm etyczną obu rzędnych, ograniczających ten pasek, czyli zastępując każdy pierwotny prostokąt trapezem, którego dwa wierzchołki leżą na danej linji o równaniu y = /(<r)- Suma tych trapezów, daje zw ykle lepszą aproksymację aniżeli suma pier
wotnych prostokątów (mających za wysokości początkowe rzędne). W ten sposób otrzymujem y zamiast ciągu <r„ inny ciąg:
-• _
l(Vi 4- yt , y> + y3 , ya + y< , , y. + y*+i\
" T l 2 1 2 2 + • • • H 2 /
czyli:
= A - f y, -j- y, - f - . .. - f y . + ¿y<n-»)
Ten nowy wzór na przybliżoną wartość całki nazywamy wzorem trape
zowym. Zatem:
1 2 1
(79) /' + Vs + + i/n + iy<.+i)
Praw a strona tego wzoru różni się od wzoru (77) tylko tern, że w nawia
sie ubyło %yx a przybyło a więc:
°n = on + £{yn+l — y t)
Rachunki są tu więc równie proste, ja k przy metodzie prostokątów, a do
kładność jest zwykle znacznie większa.
2
/
dcc—■, omówionej w przykładzie 1) na str. 118, 1trzeba dodać do wyniku, otrzymanego metodą prostokątów, ^ — l j =
«= — = — 0025. Otrzymamy w ten sposób:
7*0-718771 — 0-025 = 0 -6 9 3 7 7 1
W ynik ten jest o wiele dokładniejszy, albowiem błąd wynosi tylko:
• 0-693 771 — 0-693147 = 0-000624
Stosując metodę trapezów do drugiego przykładu na str. 119, otrzymujemy:
/ * 3-7910 + £(0-33381 — 0-43429) = 3 -7 4 0 8
W podobny sposób, jak dla metody prostokątów, wyprowadza się dla metody trapezów wzór na oszacowanie błędu, który popełniamy, biorąc zamiast prawdziwej wartości całki wartość przybliżoną, otrzymaną z wzoru (79). Trzeba mianowicie dwu
krotnie zróżniczkować obie strony wzoru:
e+ft
flc) + f(e +
n \ f n \ ’ j ^ ^ r(h) =s / f(x) dx — h --- <5 -Otrzyma się:
r " ( h ) = - t f ' \ c + h)
W sposób podobny, jak przy metodzie prostokątów, otrzymuje się na bł§d w jednym przedziale częściowym wzór:
a dla n całek, t. j. dla całego przedziału < a , b > , wzór:
gdzio M " oznacza Największą wartość funkcji \f " (x )\ w przedziale < a , b > . Poniewai
1 2 2
b — o
: --- , przeto otrzym ujem y ostatecznie;
( 8 0 ) \Ra\