Definicja osobliwości

Analogia z elektrodynamiką może doprowadzić do pomysłu, że osobliwoś CP rozsądnie jest zdefiniować jako punkt, w którym tensor metryczny nie jest określony lub jest nieróżniczkowalny wymaganą ilość razy. Jednakże przy takim podejściu napotykamy na nie dogodność takiego sformułowania, ponieważ punkty o takich własnościach możemy po prostu wyciąć i powiedzieć, ze pozostała rozmaitość reprezentuje całą CP, która zgodnie z taka definicją już nie będzie osobliwa. Oczywiście rozpatrywanie takich punktów osobliwych jak części CP byłoby nierozsądne, ponieważ nie są w nich spełnione standardowe prawa fizyki i nie można byłoby dokonywać w nich jakich kolwiek pomiarów. Dlatego też w podrozdziale 3.1 zdefiniowaliśmy CP jako parę ( M, g )w której metryka g jest lorentzowska i jest wymaganą ilość razy różniczkowalna, wymagaliśmy również, aby (M, g ) nie można było rozszerzyć z zachowaniem wymaganego rzędu różniczkowalności, gwarantując w ten sposób, że z CP razem z punktami osobliwymi nie był wycięty żaden punkt nieosobliwy.

Zagadnienie o obecności osobliwości w CP przekształca się w zagadnienie czy zostały wycięte z CP jakieś punkty.

Istnieje nadzieja, że można na niego odpowiedzieć posługując się pojęciem niezupełności ( w takim lub innym sensie ) CP.

W przypadku rozmaitości M o dodatnio określonej metryce g możemy wprowadzić funkcje odległości ρ( x, y ), która jest równa granicy dolnej długości krzywych, łączących x i y. Funkcja ρ(x, y) jest metryką w sensie topologicznym, tj. bazą dla zbiorów otwartych na rozmaitości M są zbiory B(x, r), składające się z punktów y ∈ M, dla których ρ(x, y) < r.

Para (M, g ) nazywa się metrycznie zupełną (* metrically complete *) ( m-zupełną ), jeśli dowolny fundamentalny względem funkcji odległości ρ łańcuch (* Cauchy sequence *) jest zbieżny do punktu leżącego w M. ( Łańcuchem fundamentalnym nazywamy nieskończony łańcuch dla której przy dowolnym ε > 0 istnieje liczba N, taka, że ρ(xn , xm )

< ε dla dowolnych n, m większych od N ). Istnieje również alternatywne sformułowanie : ( M, g ) nazywamy m-zupełną, jeśli każda C1 –krzywa o skończonej długości posiada punkt końcowy w sensie podrozdziału 6.2 ( zauważmy, że taka krzyw nie obowiązkowo powinna być klasy C1 na swym końcu ). Stad wynika, że m-zupełność zapewnia geodezyjną zupełność ( g-zupełność ) , tj. możliwość przedłużania każdej geodezyjnej do dowolnej wartości jej parametru

afinicznego. W istocie – w pracy [92] pokazano, że dla metryki dodatnio określonej g-zupełność i m-zupełność są równoważne.

Metryka Lorentza nie definiuje jakiej kolwiek metryki topologicznej, dlatego pozostaje nam tylko g-zupełność. Możemy rozróżniać trzy typy g-niezupełności : czasopodobną, izotropową, i przestrzennopodobną. Jeśli wyciąć z CP punkt regularny, to otrzymana rozmaitość będzie niezupełna we wszystkich trzech sensach i można mieć nadzieje, że zupełność jednego ze wskazanych typów świadczy o zupełności innych typów. Niestety nie jest to koniecznie prawdą [97] co widać z następującego przykładu znalezionego przez Gerocha [54].

Rozpatrzmy dwuwymiarową CP o współrzędnych x, t i o metryce gab. Wprowadźmy nową metrykę g^ab = Ω2gab, gdzie dodatnia funkcja Ω posiada następujące własności :

1) Ω = 1 na zewnątrz obszaru między pionowymi liniami x = - 1 i x = +1.

2) Ω jest symetryczna względem osi t , tj. Ω(t, x) = Ω( t, -x ) 3) na osi t t2Ω → 0 przy t → ∞.

Na mocy własności 2) oś t – jest geodezyjną czasopodobną, która zgodnie z 3), jest niezupełna przy t →∞. Jednakże każda izotropowa lub przestrzennopodobna geodezyjna pokonuje obszar między x = -1 i x = +1 i nie powraca do niego.

Zatem, na mocy własności 1) dana przestrzeń jest izotropowa i przestrzennopodobna zupełnie. Można zbudować przykłady, które są niezupełne w dowolnym z trzech wskazanych powyżej sensach i zupełne w pozostałych dwóch.

Niezupełność czasopodobna posiada bezpośrednie fizyczne wykorzystanie – wynika z niej możliwość istnienia swobodnie poruszających się obserwatorów, których linie świata posiadają początek i koniec na skończonym interwale czasu własnego. Takie zachowanie linii świata może wydawać się bardziej niezwykle niż np. nieskończona krzywizna i jak się wydaje, przestrzeń w której istnieją takie linie należy rozpatrywać jako osobliwą

(* Timelike geodesic incompleteness has an immediate physical significance in that it presents the possibility that there could be freely moving observers or particles whose histories did not exist after (or before) a finite interval of proper time. This would appear to be an even more objectionable feature than infinite curvature and so it

seems appropriate to regard such a space as singular. *)

Chociaż parametr afiniczny na geodezyjnej izotropowej nie pokrywa się w swym fizycznym sensie z czasem własnym na geodezyjnej czasopodobnej, tym niemniej przestrzenie izotropowo geodezyjnie niezupełne, prawdopodobnie również należy przyjąć jako osobliwe ponieważ geodezyjne izotropowe reprezentują sobą historię cząstek o zerowej masie spoczynkowej, jak i z przyczyny istnienia przypadków ( np. rozwiązanie Reissnera-Nordströma, podrozdział 5.5 ), które należy rozumieć jako osobliwe i przy tym czasopodobnie zupełne, ale izotropowo geodezyjnie niezupełne. Ponieważ po krzywych przestrzennopodobnych nie poruszają się żadne obiekty, niezupełność przestrzennopodobna nie jest w pełni jasna. Dlatego też będziemy się trzymali następującego punktu widzenia : czasopodobna i izotropowa geodezyjna zupełność jest minimalnym warunkiem, przy którym CP można przyjąć wolną od osobliwości.

Stąd, jeśli CP jest czasopodobnie lub izotropowo geodezyjnie niezupełna powiemy, że istnieje w niej osobliwość.

(* We shall therefore adopt the view that timelike and null geodesic completeness are minimum conditions for space-time to be considered singularity-free. Therefore if a space-space-time is space-timelike or null geodesically incomplete, we shall say that it has a singularity *)

Użyteczność pojęcia czasopodobnej i/lub izotropowej niezupełności jako wskaźnik istnienia osobliwości podyktowane jest tym, że wychodząc z takiego pojęcia możemy dowieść szeregu twierdzeń dotyczących warunków przy których pojawia się osobliwość. Jednakże klasa przestrzeni czasopodobnie i/lub izotropowo niezupełnych nie zawiera w sobie wszystkich możliwych przestrzeni, które to należałoby rozpatrywać w tym lub w innym sensie jako osobliwe.

Przykładowo Geroch [54] zbudował CP, która jest geodezyjnie zupełna, ale zawiera nieprzedłużalna czasopodobną krzywą ( nie geodezyjną ) o skończonej długości z ograniczonym przyspieszeniem. Taką krzywą mógłby poruszać się obserwator w pojeździe kosmicznym o skończonym zapasie paliwa. Po upływie skończonego odcinka czasu nie można byłoby go reprezentować za pomocą takiej rozmaitości czasoprzestrzennej. Jeśli zdecydujemy się twierdzić, że CP w której żywot obserwatora swobodnie spadającego nagle się kończy, zawiera osobliwość, to oczywiście powinniśmy również wnioskować taki fakt w przypadku powyższego podróżnika w statku kosmicznym. Jak zatem widać potrzebujemy uogólnić pojęcia parametru afinicznego na przypadek dowolnych C1–krzywych – geodezyjnych i niegeodezyjnych. Wtedy to można byłoby wprowadzić pojęcie zupełności, wymagając aby w przestrzeni zupełnej dowolna C1–krzywa o skończonej długości, w sensie pomiaru względem takiego parametru miała punkt końcowy.

Idea, którą zamierzamy się posługiwać, została po raz pierwszy zaprezentowana przez Ehresmana [46] , a następnie została przedstawiona w dogodniejszej postaci przez Schmidta [148].

Niech λ(t) – będzie C1–krzywą, przechodzącą przez p ∈ M i {Ei} ( i = 1, 2, 3 ) niech będzie bazą w Tp.

Możemy przenieść równolegle {Ei} wzdłuż λ(t) i otrzymać w ten sposób bazę w Tλ(t) przy każdej wartości t.

Wtedy wektor styczny V = (∂/∂t)λ(t) można będzie wyrazić przez taka bazę : V Vi (t)Ei – i możemy za pomocą wzoru : u =

∫

(

ΣΣΣΣ

Vi Vi )1/2 dt

p i

wprowadzić uogólniony parametr afiniczny na λ. Parametr u zależny jest od punktu p i od bazy {Ei} w p.

Jeśli {Ei’ }- jest drugą bazą w p, to istnieje pewna nieosobliwa macierz Aij , taka że :

Ei =

ΣΣΣΣ

Aij’ Ej’

j’

Ponieważ {Ei’ } i {Ei} przenoszą się wzdłuż λ(t) równolegle, to taka zależność jest spełniona przy stałych Aij’.

Zatem :

Vi’ (t) =

ΣΣΣΣ

Aij’ Vj (t) j

Na mocy nieosobliwości macierzy Aij’ można znaleźć stała C > 0, dla której : C

ΣΣΣΣ

^{Vi Vi ≤}

ΣΣΣΣ

Vi’ Vi’ ≤ C-1

ΣΣΣΣ

^{Vi Vi}

i i i

Odpowiednio, długość krzywej λ względem parametru u jest skończona wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ona skończona względem parametru u’. Jeśli λ – jest krzywą geodezyjną, to u – jest parametrem afinicznym na λ, elegancja takiej definicji polega na tym, że u można zadać na dowolnej C1- krzywej. Będziemy mówili, że CP (M, g ) jest b-zupełna ( skrót od bundle complete , zobacz podrozdział 8.3 ), jeśli dla każdej C1-krzywej o skończonej długości mierzonej względem uogólnionego parametru afinicznego istnieje punkt końcowy. Jeśli taka długość jest skończona przy jednym uogólnionym parametrze afinicznym, to będzie ona skończona przy wszystkich takich parametrach, tak więc nie utracimy ogólności, jeśli ograniczymy się tylko do baz ortounormowanych. W sytuacji, kiedy metryka g jest dodatnio określona, uogólniony parametr afiniczny, określony poprzez bazę ortounormowaną, jest długością drogi i dlatego b-zupełność pokrywa się z m-zupełnością. Jednakże pojęcie b-zupełności można wprowadzić nawet wtedy, kiedy metryka nie jest dodatnio określona, faktycznie dla jej zdefiniowania wystarczająca jest obecność koneksji na M. Jest jasne, że z b-zupełności wynika g-zupełność, jednak ukazany wcześniej przykład pokazuje, że zależność odwrotna nie jest słuszna.

Zatem, CP będziemy nazywali wolną od osobliwości, jeśli jest ona b-zupełna. Definicja ta jest zgodna z wskazanym wcześniej punktem widzenia, że geodezyjna zupełność czasopodobna i izotropowa jest minimalnym warunkiem aby CP można było przyjąć jako wolną od osobliwości. Może pojawić się pokusa, aby nieco osłabić ten warunek i nazwać CP wolną od osobliwości tylko wówczas, kiedy jest ona nieprzestrzennopodobnie b-zupełna , tj. jeśli wszystkie

nieprzestrzennopodobne C1-krzywe o skończonej długości mierzonej względem uogólnionego parametru afinicznego mają punkt końcowy. Jednakże taka definicja byłaby niezręczna przy formułowaniu b-zupełności poprzez pojęcie przestrzeni rozwłóknionej, takie sformułowanie podamy w podrozdziale 8.3. Faktycznie w każdym twierdzeniu dowodzonym przez nas w rozdziale 8.2 przyjmujemy, że CP (M, g ) jest czasopodobnie lub izotropowo g-niezupełna i odpowiednio zawiera osobliwość względem obu wyżej sformułowanych definicji.

Intuicyjnie wyczuwamy, że z osobliwością powinna być związana nieograniczenie duża krzywizna w pobliżu punktu osobliwego. Nie wykluczyliśmy punktów osobliwych z zdefiniowanej przez nas CP i dlatego pojawia się trudność z tym co to znaczy „w pobliżu” i co to oznacza „nieograniczenie duża”. Można powiedzieć, że punkty b-niezupełnej krzywej znajdują się w pobliżu osobliwości, jeśli odpowiadają im wartości uogólnionego parametru afinicznego bliskie górnej granicy tego parametru. Trudno jednak nadać ścisły sens pojęciu „nieograniczenie dużej krzywizny”, ponieważ liczbowe wartości tensora krzywizny zależne są od bazy w której są one mierzone. Jedno z podejść polega na tym, aby

rozpatrywać wielomiany skalarne względem gab , ηabcd i Rabcd . Będziemy mówili, że b-niezupełna krzywa odpowiada osobliwości wielomianów skalarnych krzywizny, jeśli dowolny z takich wielomianów jest nieograniczony na danej niezupelnej krzywej. Jednakże, w przypadku kiedy metryka jest lorentzowska, takie wielomiany nie określają całkowicie tensora krzywizny. Penrose zauważył, że dla rozwiązań w postaci fali płaskiej wszystkie wielomiany skalarne są równe zeru, podczas gdy tensor Riemanna jest różny od zera ( podobnie jak niezerowy wektor może mieć zerową długość ).

Zatem, krzywizna może w określonym sensie być bardzo duża , nawet jeśli wielomiany skalarne są małe. Z drugiej strony, można mierzyć składowe tensora krzywizny w bazie przeniesionej równolegle wzdłuż zadanej krzywej.

Będziemy mówili, że krzywa b-niezupełna odpowiada osobliwości krzywizny w bazie przeniesionej równolegle, jeśli dowolna ze składowych tensora krzywizny na tej krzywej jest nieograniczona. Jest jasne, że istnienie osobliwości skalarnych wielomianów oznacza również istnienie osobliwości w bazie przeniesionej równolegle.

Można byłoby mieć nadzieję, że w fizycznie realistycznych rozwiązaniach b-niezupełności krzywej odpowiada obu postacią osobliwości krzywizny. Jednak przestrzeń Tauba-NUT ( podrozdział 5.8 ) stanowi przykład rozwiązania w którym jak się wydaje taka nadzieja jest nierealizowana. W tej bowiem przestrzeni niezupełne geodezyjne są całkowicie zawarte w pewnym zwartym otoczeniu horyzontu. Metryka w takim zwartym otoczeniu jest całkowicie regularna i dlatego wielomiany skalarne tensora krzywizny są skończone. Na mocy szczególnego charakteru tego rozwiązania składowe tensora krzywizny w bazie przeniesionej równolegle wzdłuż zamkniętej geodezyjnej są skończone. Ponieważ taka geodezyjna zawarta jest z zbiorze zwartym, rozmaitości M nie można rozszerzyć do takiej większej

czterowymiarowej parazwartej rozmaitości hausdorffowskiej M’, w której niezupełne geodezyjne można byłoby przedłużać. Odpowiednio, taka niezupełność nie jest wynikiem odrzucenia punktów osobliwych. Tym niemniej ruch po jednej z takich niezupełnych czasopodobnych geodezyjnych nie prowadzi do pewnych nieprzyjemnych własności – mimo, że linia świata obserwatora poruszającego się po takiej geodezyjnej nie ma końca, krąży on ciągle wewnątrz zwartego zbioru i nie wychodzi on nigdy poza określona chwilę swojego życia.

(* Thus there is no possibility of the incompleteness having arisen from the cutting out of singular points. Nevertheless it would be unpleasant to be moving on one of the incomplete timelike geodesies for although one's world-line never comes to an end and would continue to wind round and round inside the compact set, one would never get beyond

a certain time in one's life. *)

Dlatego wydaje się rozsądnym przyjąć takiego rodzaju CP jako osobliwą, chociaż nie ma w niej osobliwości wielomianów skalarnych lub osobliwości krzywizny w przeniesionej równolegle bazie. Zgodnie z lematem 6.4.8 niezupełność polegająca na pełnym uwięzieniu może pojawić się tylko w przypadku naruszenia przyczynowości. W paragrafie 8.5 pokażemy, że w typowej CP częściowo lub całkowicie uwięziona b-niezupełna krzywa odpowiada osobliwości krzywizny w bazie równolegle przeniesionej. Pokażemy również, że całkowicie uwięziona niezupełność takiego rodzaju jak w przestrzeni Tauba-NUT, nie pojawia się jeśli w CP istnieje dowolna forma materii.

W dokumencie Wielkoskalowa struktura czasoprzestrzeni S.W. Hawking, G. F. Ellis (Stron 153-156)