################################################################################
Wielkoskalowa struktura czasoprzestrzeni S.W. Hawking, G. F. Ellis
Tytuł oryginału : „The large scale structure of space-time”
Cambridge University Press 1973
( Tłumaczenie wspomagane przekładem rosyjskim – Moskwa , Mir 1977 )
********************************************************************************
Tłumaczenie z angielskiego : R. Waligóra
Ostatnia modyfikacja : 2011-11-01 Tłumaczenie całości książki.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Wprowadzenie do tłumaczenia.
Książka, której tłumaczenie czytelnik ma przez sobą stanowi jeden z „kamieni milowych” w twórczym rozwoju einsteinowskiej teorii grawitacji. Jej autorami są wybitni i uznani specjaliści fizyki relatywistycznej, których dokonań naukowych nie trzeba specjalnie przedstawiać. Warto jedynie wspomnieć, że prawie każda książka dotycząca OTW, napisana po ukazaniu się książki Hawkinga i Ellisa odwołuje się do wyników zaprezentowanych w omawianej monografii.
Chronologicznie książkami, które wywarły największy wpływ na rozwój metod OTW były ( oczywiście wybór jest w pewnym sensie arbitralny ) :
1921 H. Weyl. „Space-time-matter”
1923 A.S. Eddington „The mathematical theory of Relativity”
1934 R. Tolman „Relativity, thermodynamics and cosmology”
1973 S. W. Hawking, G. F. Ellis „The large scale structure of space-time”
1983 S. Chandrasekhar “The mathematical theory of black holes”
Pomysł napisania książki zrodził się ok. 1965 roku. Jej ukończenie zajęło sześć lat. Omawiane w niej tematy autorzy podzielili między sobą i pracowali niezależnie, spotykając się w wolnym czasie zapoznawali się z postępami prac Współautora, a następnie omawiali konieczne uzupełnienia oraz poprawki. W czasie jej pisania autorzy starali się być na bieżąco z najnowszymi osiągnięciami kosmologii teoretycznej, w których często ich prace odgrywały wiodącą rolę.
„Książka Ellisa i Hawkinga narobiła sporo zamieszania w kręgach fizyków, zyskała duży rozgłos i przyczyniła się do wzrostu prestiżu całej serii wydawniczej Cambridge University Press. Obecnie wydawnictwo to uważa Hawkinga za najwybitniejszego ze swych autorów”. [ cytat z książki wymienionej poniżej ]
Aby poszerzyć perspektywę warto sięgnąć do książki : „Stephen Hawking - życie i nauka” – M. White, J. Gribbin WNT1994 [ konkretne odwołanie do wątków tłumaczonej książki można znaleźć od str. 141 ].
Można również zaglądnąć do książki, w której zebrano najważniejsze prace samego Hawkinga :
„Нawking on the Big Bang and black holes” – S. Hwaking ; World Scientific 1993
Nie ma, co ukrywać, że książka porusza trudne tematy na wysokim poziomie zarówno matematycznym jak i fizycznym.
Bogactwo nowych pojęć i specyficzne posługiwanie się narzędziami matematycznymi na pewno nie ułatwiają
„przetrawienia” tej publikacji ( zwłaszcza przy pierwszym czytaniu ). Warto jednak zadać sobie trud chociażby jej pobieżnego zrozumienia, gdyż otwiera ona szerokie perspektywy zastosowań wyłożonej treści i niewątpliwie stanowi bardzo dobry wykład nowoczesnych metod stosowanych w OTW. Ponadto zrozumienie pewnych tutaj przedstawionych, metod ułatwi lekturę dalszych publikacji.
Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczeniu.
STW – szczególna teoria względności OTW – ogólna teoria względności.
CD – czarna dziura.
HZ – horyzont zdarzeń
EM – elektromagnetyczne, elektromagnetyzm CP - czasoprzestrzeń
Symbolem (* .... *) oznaczono dopiski własne - uzupełnienia i komentarze, jak również zwroty angielskie.
********************************************************************************
Przemowa do wydania rosyjskiego.
W książce S. Hawking’a i G. Ellis’a OTW wyłożono jako matematyczną teorię geometrii czasoprzestrzeni. Zadaniem, jaki postawili sobie autorzy jest opisanie we współczesnym matematycznym języku własności rozwiązań równań Einsteina.
Język, którym posługują się autorzy jest póki, co mało znany dla fizyków i może wydawać się zbyt abstrakcyjnym.
Jednakże rozwój nauki zawsze prowadzi do konieczności zmiany języka. Ma to miejsce zwłaszcza wtedy, gdy nowe zagadnienia okazują się być zbyt skomplikowane, gdy próbuje się je badać z zastosowaniem starego standardowego aparatu matematycznego.
Kiedy w książkach do elektrodynamiki w latach 30-tych pojawiły się wzory analizy wektorowej, to mówiło się o utracie poglądowości i fizycznego sensu takich wzorów. Podobnie nienaturalnym i trudnym był aparat mechaniki kwantowej.
Jest jasne, że dla rozwiązania starszych zagadnień, takich jak np. ruch peryhelium Merkurego, dawniejsze metody są prostsze i wygodniejsze. Nowy język stał się dogodniejszy wtedy, gdy fizycy przeszli od poszukiwań konkretnych rozwiązań równań Einsteina do ich jakościowego badania.
„Ciężkimi” okazały się zwłaszcza problemy osobliwości lub „wyjątkowości” ( niezwyczajności ).
Czy każde rozwiązanie równań Einsteina posiada osobliwość istotną ?
( tj. nie możliwą do wytransformowania przez przekształcenia współrzędnych )
Po wielu pracach, pośród których należałoby wymienić również prace fizyków rosyjskich - Landaua, Chałatnikowa, Bielińskiego ), w których bada się zachowanie rozwiązań w pobliżu osobliwości ( starszymi metodami ), stała się jasna konieczność wprowadzenia nowego podejścia.
Takie nowe podejście – w istocie cały nowy kierunek badań – zapoczątkowały prace Penrose’a, a następnie prace Hawkinga. Właśnie ten kierunek - od podstaw do trudnych ogólnych twierdzeń – został zaprezentowany w niniejszej książce. Czytelnik, po oswojeniu się z trudnościami związanymi z językiem współczesnej geometrii różniczkowej, będzie pod wrażeniem piękna, które ukaże się w ostatnich rozdziałach, w których omówiono konkretne typy czasoprzestrzeni za pomocą map i atlasów, wtedy też zobaczy jak daleko można odejść od modeli klasycznych.
Książkę zaplanowano tak, aby wyłożyć w niej cały konieczne do jej zrozumienia aparat matematyczny.
Oczywiście, konieczne jest pewne przygotowanie czytelnika w ramach elementarnego wykładu topologii.
Po przeczytaniu książki czytelnik zapewne przekona się, że nowe matematyczne narzędzia wprowadzone przez autorów do OTW są niezwykle silne i konieczne dla dalszego rozwoju tej teorii.
J. Smorodinskij.
*************************************************************************************************
Poświęcono D. Sciamie.
Przedmowa
Przedmiotem tej książki jest struktura CP w skalach od promienia cząstki elementarnej ( ~ 10-13 [cm] ) do promienia Wszechświata ( ~ 1028 [cm] ). Zgodnie z przyczynami wskazanymi w rozdziale 1 i 3 podejście nasze oparte jest na OTW Einsteina. Teoria ta prowadzi do dwóch następujących wniosków, dotyczących Wszechświata.
Po pierwsze, końcowym stadium masywnych gwiazd jest kolaps za HZ, przy którym tworzy się CD, wewnątrz niej zawarta jest osobliwość, po drugie – w naszej przeszłości istniała osobliwość, która w pewnym sensie stanowi początek obserwowanego Wszechświata. Nasz wykład w istocie ukierunkowany jest na omówienie tych właśnie wniosków.
Związane jest to z dwoma obszarami badań : z teorią zachowywania się rodzin krzywych czasopodobnych i
izotropowych w CP oraz z badaniem charakteru różnych stosunków przyczynowych w CP. Omówimy dokładnie takie właśnie zagadnienia. Oprócz tego w niniejszej książce wyłożono teorię ewolucji czasowej rozwiązań równań Einsteina o zadanych warunkach początkowych. Równolegle badamy globalne własności różnorodnych dokładnych rozwiązań równań pola Einsteina, wiele, z których charakteryzuje się niezwykłymi własnościami.
Częściowo książka oparta jest na przeglądowym wykładzie, przedstawionym w związku z otrzymaniem nagrody Adamsa Przez jednego z nas ( S. H. ). Wiele z idei tutaj przedstawionych należy do R. Penrose’a i R. Geroch’a , dziękujemy im za udzieloną pomoc i rekomendujemy czytelnikom ich prace przeglądowe [ 58, 59, 128, 131 ].
Wiele też wynieśliśmy z dyskusji prowadzonych z wieloma naszymi kolegami, zwłaszcza z B. Carter’em, D. Sciam’om.
Dziękujemy im za to.
Cambridge 1973 S. W. Hawking, G. Ellis
Spis oznaczeń.
≡ - definicja ( równość definicyjna ) (* definition *)
⇒ - wynikanie, implikacja (* implies, implication *)
∃ - istnieje (* there exists *) Σ - znak sumy (* summation sign *)
- koniec dowodu (* end of proof *)
Zbiory (* sets *)
∪ A ∪ B - suma zbiorów A i B (* union of A and B sets *)
∩ A ⊃ B - przecięcie ( część wspólna ) zbiorów A i B (* intersection of A and B *)
⊂ A ⊃ B , B ⊃ A – zbiór A zawiera się w zbiorze B (* A is contained in B *) A B - odjęcie zbiorów (* subtraced of sets *)
∈ x ∈ A - x jest elementem zbioru A (* x is the member of A *)
∅ - zbiór pusty (* the empty set *)
Odwzorowania (* maps *)
φ : U → V - φ odwzorowuje p ∈ U w φ(p) ∈ V (* φ - maps p ∈ U to φ(p) ∈ V *) φ (U) - φ obraz U przy odwzorowaniu φ (* image of U under φ *)
φ-1 - odwzorowanie odwrotne do φ (* inverse map to φ *)
f ° g – złożenie odwzorowan f, g (* the composition of maps f, g *)
φ* , φ* - odwzorowania tensorów indukowane przez odwzorowanie φ (* mappings of tensors induced by map φ *)
Topologia (* topology *)
A− - domknięcie zbioru A (* closure of A *) A• - brzeg zbioru A (* boundary of A *) int A – wnętrze zbioru A (* interior of A *)
Różniczkowalność (* differentiability *)
C0 ,Cr , Cr- , C∞ - warunki różniczkowalności ( differentiability conditions *)
Rozmaitości (* manifolds *)
M – n-wymiarowa rozmaitość (* n-dimensional manifold *)
( Ua , φa ) – mapa lokalna, zadająca lokalne współrzędne xa (* local chart determining local coordinates xa *)
∂M – brzeg rozmaitości M (* boundary of M *)
Rn – n-wymiarowa przestrzeń Euklidesa (* Euclidean n-dimensional space *)
½ Rn – dolna połowa ( x1 ≤ 0 ) przestrzeni Rn (* lower half of Rn *) Sn – n-sfera, sfera n wymiarowa (* n-sphere *)
× - iloczyn prosty ( kartezjański ) (* cartesian product *)
Tensory (* tensors *)
( ∂/∂t )λ , X – wektory
ω, df – 1-formy (* one-forms *)
< ω, X > - iloczyn skalarny wektora i jednoformy (* scalar product of vector and one-form *) { Ea } , { Ea } – dualne bazy przestrzeni wektorów i 1-form (* dual bases *)
Ta1...ar b1...bs – składowe tensora typu ( r, s) (* components of tensor T type (r, s ) *)
⊗ - iloczyn tensorowy (* tensor product *)
∧ - iloczyn zewnętrzny ( skośny ) (* skew product *) ( ) – operacja symetryzacji (* symmetrization *) [ ] – operacja antysymetryzacji
δab – delta Kroneckera
Tp , T*p – przestrzeń styczna i przestrzeń dualna w punkcie p (* tanget space at p and dual space at p *) Trs (p) – przestrzeń tensorów typu (r, s)
Trs (M) – wiązka tensorowa typu (r, s) na M (* bundle of tensors of type (r, s ) *) T(M) – wiązka styczna do M (* tanget bundle to M *)
L(M) – wiązka reperów liniowych na M (* bundle of linear frames on M *)
Pochodne i koneksje (* derivatives and connections *)
∂/∂xi – pochodna cząstkowa względem współrzędnej xi (* partial derivatives with respect to coordinate xi *) ( ∂/∂t )λ – pochodna wzdłuż krzywej λ(t) (* derivative along curve λ(t) *)
d – pochodna zewnętrzna (* exterior derivative *)
LXY , [ X , Y ] – pochodna Liego wektora Y względem wektora X (* Lie derivative of Y with respect to X *)
∇ , ∇X , Tab; c - pochodna kowariantna (* covariant derivative *) D/∂t – pochodna kowariantna wzdłuż krzywej
Γi
jk – składowe koneksji (* connection components *) exp – odwzorowanie wykładnicze (* exponential map *)
Przestrzeń Riemanna (* Riemannian spaces *)
( M, g ) – rozmaitość M z metryką g i koneksją Christoffela η – element objętości (* volume element *)
Rabcd – tensor Riemanna Rab – tensor Ricciego
R – krzywizna skalarna (* curvature scalar *) Cabcd – tensor Weyla
O( p, q) – grupa ortogonalna, pozostawiająca metrykę Gab inwariantną (* orthogonal group leaving metric Gab invariant *)
Gab – metryka diagonalna (* diagonal metric *) diag ( +1, +1, ... , +1, -1, -1, ... , -1 )
p-członów q-członów O(M) – wiązka reperów ortonormalnych
Czasoprzestrzeń (CP ) (* space-time *)
Czasoprzestrzeń jest to 4-wymiarowa przestrzeń Riemanna ( M, g ) o normalnej formie metrycznej diag ( +1, +1, +1, -1 ) W charakterze lokalnych współrzędnych wybrano ( x1, x2, x3, x4 ).
Tab – tensor energii-pędu materii (* energy momentum tensor of matter *) L – lagranżjan
Równania pola Einsteina mają postać (* Einstein’s field equations *) : Rab – ½ Rgab + Λgab = 8πTab
Gdzie Λ - stała kosmologiczna (* cosmological constant *) ( ℑ, ω ) – zbiór danych początkowych (* initial data set *)
Krzywe czasopodobne (* timelike curves *)
⊥ - rzutowanie ortogonalne (* perpendicular projection *) DF/∂s – pochodna Fermiego (* Fermi derivative *) θ – rozpływ (* expansion *)
ωa , ωab , ω – rotacja (* vorticity *) σab , σ – przesunięcie (* shear – ucięcie *)
Geodezyjne izotropowe (* null geodesics *)
θ^ - rozpływ ω^ab , ω^ – rotacja σ^ab , σ^ – przesunięcie
Struktura przyczynowa (* causal structure *)
I+ , I- - chronologiczna przyszłość, przeszłość (* chronological future, past *) J+ , J- - przyczynowa przyszłość, przeszłość (* causal future, past *)
E+ , E- - kontury przyszłość, przeszłość (* future, past horismos *)
D+ , D- - obszar Cauchy’ego przyszłość, przeszłość (* future, past Cauchy developments *) H+ , H- - horyzonty Cauchy’ego przyszłość, przeszłość (* future, past Cauchy horizons *)
Brzeg czasoprzestrzeni (* boundary of space-time *)
M* = M ∪ ∆ , gdzie ∆ - c-brzeg
ℑ+ , ℑ- ,i+ ,i- - c-brzeg przestrzeni asymptotycznie prostej i przestrzeni pustej (* c-boundary of asymptotically simple and empty spaces *)
M = M ∪ ∂M – kiedy M jest asymptotycznie prosta w słabym sensie , brzeg ∂M rozmaitości M składa się z ℑ+ i ℑ- . M+ = M ∪∂ - gdzie ∂ jest b-brzegiem
Rozdział 1 Rola grawitacji.
Zgodnie z ogólnie przyjętym we współczesnej fizyce poglądem, badanie Wszechświata można rozdzieli na dwie części.
Pierwsza – to ustanowienie lokalnych praw, którym podlegają różne pola fizyczne. Prawa te zwykle formułujemy w postaci praw różniczkowych. Drugą część stanowi problem warunków brzegowych dla takich równań i globalne własności ich rozwiązań. Zawiera ona w sobie, w takiej czy innej postaci idee o brzegu CP. Te dwie części są nie koniecznie niezależne. W rzeczywistości, była, bowiem już dawniej sformułowana myśl, że prawa lokalne określone są przez wielkoskalową strukturę Wszechświata. Ten punkt widzenia wiąże się zazwyczaj z nazwiskiem Macha, a stosunkowo niedawno z nazwiskami Dirac’a [41] , Sciam’y [155] , Dicke’a [39], Hoyle’a, Narlikar’a [82] i innych.
Nie będziemy tutaj przyjmowali jakiegoś niezwykłego punktu widzenia, rozpoczniemy po prostu od lokalnych praw fizycznych, ustanowionych eksperymentalnie i zobaczymy, do jakich wniosków względem wielkoskalowej struktury Wszechświata mogą one nas zaprowadzić.
Oczywiście założenie o tym ,że prawa fizyczne ustanowione w laboratorium są stosowalne do każdego innego punktu CP, w których warunki fizyczne mogą być całkowicie różne – jest to daleko idąca ekstrapolacja. Jeśli prawa te przestaną być spełnione, powiemy, że obecne jest jeszcze inne pole, które wpłynęło na te prawa lokalne, jednakże jego istnienie jak dotąd nie zostało ujawnione w naszych eksperymentach, zapewne, dlatego, że zmienia się ono nieznacznie w takim obszarze jak Układ Słoneczny. W większości duża część naszych wyników nie będzie zależała od konkretnego charakteru rozpatrywanych praw fizycznych – okażą się one związane tylko z określonymi, ogólnymi własnościami takimi jak opis CP za pośrednictwem geometrii pseudoriemannowskiej oraz dodatnia określoność gęstości energii.
Oddziaływania podstawowe, znane dotychczas w fizyce, można podzielić na cztery klasy : jądrowe – silne i słabe, elektromagnetyczne i grawitacyjne. Pośród nich, grawitacja jest oddziaływaniem najsłabszym : Gm2 / e2 , stosunek siły grawitacyjnej między dwoma elektronami do siły ich oddziaływania EM, jest równy 10-40. Tym niemniej grawitacja odgrywa dominująca rolę w formowaniu wielkoskalowej struktury Wszechświata. Jest to wynikiem tego, że
oddziaływania silne i słabe charakteryzują się nadzwyczaj małym promieniem zasięgu ( ~ 10-12 [cm] i mniej ), EM chociaż jest oddziaływaniem o nieskończonym zasięgu, to dla ciał o makroskopowych rozmiarach odpychanie ładunków jednoimiennych jest prawie całkowicie kompensowane przez przyciąganie się ładunków różnoimiennych.
Przeciwnie do grawitacji, która jak wiemy jest zawsze siłą przyciągającą. Odpowiednio, zatem pola grawitacyjne wszystkich cząstek ciał materialnych dodają się i powstaje pole, które dla wystarczająco dużych ciał przeważa nad wszystkimi innymi siłami.
Grawitacja nie tylko dominuje na dużych odległościach ale jest również siłą, która w jednakowy sposób działa na wszystkie cząstki. Na tą uniwersalność siły ciążenia pierwszy zwrócił uwagę Galileusz, który pokazał, że dwa dowolne ciała spadają z jednakową prędkością. Później fakt ten został sprawdzony z dużą dokładnością w eksperymentach Eötvös’a i Dickie’go [39]. Ujawniono również to, że światło jest odchylane przez pole grawitacyjne. Ponieważ przyjmuje się ,że nie istnieją sygnały rozprzestrzeniające się szybciej od światła, oznacza to, że właśnie grawitacja określa
przyczynową strukturę Wszechświata tj. określa jakie zdarzenia w czasoprzestrzeni mogą być związane przyczynowo między sobą.
Te własności grawitacji stanowią źródło poważnych trudności, jeśli bowiem w pewnym obszarze skoncentrowana jest wystarczająco duża ilość materii, to mogłoby dojść do tego, że światło wypuszczane z tego obszaru mogłoby być odchylone tak silnie ,że powróciłoby z powrotem do tego obszaru. Taka możliwość była ujawniona przez Laplace’a w 1798 roku, zauważył on ,że ciało o takiej gęstości jak Słońce, ale o promieniu 250 razy większym wytwarzałoby tak silne pole grawitacyjne, że nawet światło nie mogłoby uciec z jego powierzchni. Fakt, że takie zjawisko zostało przewidziane tak dawno, jest na tyle zdumiewający, że w dodatku przedstawiamy tłumaczenie artykułu Laplace’a.
Wciąganie promieni świetlnych przez masywne ciała można przedstawić ściśle wykorzystując idee Penrose’a związaną z zamkniętą powierzchnią złapaną (* closed trapped surface *). Rozpatrzmy sferę T, otaczającą pewne ciało. Niech w pewnej chwili z T wypuszczono impuls świata. W pewnej późniejszej chwili t, czoła fal przychodzących
(* ingoing light *) i wychodzących (* outgoing light *) od T tworzą odpowiednio sfery T1 i T2. W normalnych warunkach pole powierzchni T1 ( ponieważ przedstawia ona światło zbiegające się ) będzie mniejsza, a T2 ( ponieważ przedstawia ona światło rozchodzące się ) większa niż T. Jednakże, jeśli wewnątrz T zawarte jest dostatecznie dużo materii, to zarówno pole T1 i pole T2 będzie mniejsze niż pole T. W tym przypadku powierzchnię T nazywamy zamkniętą powierzchnią złapaną. W miarę upływu czasu t, pole powierzchni
T2 będzie mniejsze i mniejsze ( przy warunku, że grawitacja jest siłą przyciągającą tj. przy warunku, że gęstość energii nie staje się ujemna ). Ponieważ materia wewnątrz sfery T nie może posiadać prędkości przewyższającej prędkość
światła zostaje ona złapana w obszarze, brzeg którego ściągany jest do zera w skończonym czasie. To sugeruje, że nasz model zachowuje się nie poprawnie.
Rys. 1 W pewnej chwili czasu sfera T wypromieniowuje impuls świetlny. W chwili późniejszej światło
wypromieniowane w punkcie p, obrazuje sferę ϕ wokół p, a ich obwiednie T1 i T2 obrazują odpowiednio czoła fal schodzących się i rozchodzących. Jeśli pola obu tych powierzchni są mniejsze od pola T, to T przedstawia sobą zamkniętą powierzchnię złapaną.
Jednak pokażemy, że przy spełnieniu pewnych rozsądnych warunków musi pojawić się osobliwość CP.
(* space—time singularity must occur, if certain reasonable conditions hold *)
Można myśleć, że osobliwość CP – to miejsce w którym znane nam prawa fizyczne zostają naruszone.
Jako alternatywa dla takiego podejścia, można przyjmować, że osobliwości reprezentują część brzegu CP (* edge of space-time *), która nie znajduje się w nieskończoności ,tylko w skończonej odległości. Z tego punktu widzenia osobliwości nie była by sama w sobie, niczym sprzecznym, ciągle pozostawałby jednak problem rozwiązania warunków brzegowych. Innymi słowy nie znamy, co właściwie wychodzi z osobliwości.
Istnieją dwa przypadki w których spodziewamy się, że koncentracja materii będzie wystarczająca dla powstania zamkniętych powierzchni złapanych. Przypadek pierwszy to kolaps grawitacyjny gwiazd o masie większej niż dwie masy Słońca, przypadek ten powinien zajść po wypaleniu jej paliwa jądrowego. Jak się przyjmuje, gwiazda w takim przypadku kolapsuje do osobliwości, która jest niewidoczna dla zewnętrznych obserwatorów.
(* In this situation, we expect the star to collapse to a singularity which is not visible to outside observers *) Drugi przypadek – to sam cały Wszechświat. Niedawne badania mikrofalowego promieniowania tła (* CMB *) świadczą o tym ,że we Wszechświecie jest wystarczająco dużo materii dla powstania zamkniętej powierzchni złapanej przy odwróceniu czasu (* ewolucji Wszechświata *). To oznacza, że w przeszłości, na początku obecnej epoki rozszerzania się Wszechświata istniała osobliwość. Osobliwość tą w zasadzie możemy obserwować i można było by ją interpretować jako początek Wszechświata.
W niniejszej książce rozpatrujemy wielkoskalową strukturę CP na podstawie OTW Einsteina. Wnioski z tej teorii są w zgodzie ze wszystkimi wykonanymi do tej pory eksperymentami (* Również i w chwili obecnej wszystkie eksperymenty są z nią zgodne. Słyszy się co prawda pewne opinie, że OTW być może powinna zostać zmodyfikowana dla
pozagalaktycznych skal odległości *). Jednakże nasze podejście do tematu będzie wystarczająco ogólne również dla tego aby objąć również pewne modyfikacje teorii Einsteina np. teorię Brans’a-Dicke’go.
Chociaż przyjmujemy, że większość z naszych czytelników jest zaznajomiona z OTW, chcieliśmy napisać książkę tak aby nie wymagała ona od czytelnika wiadomości wykraczających poza standardową analizę matematyczną, algebrę oraz topologię mnogościową. Jest to przyczyna dla której poświęcamy cały rozdział 2 dla wyłożenia geometrii różniczkowej.
Nasze podejście jest w miarę nowoczesne, w tym sensie, że formułujemy nasze definicje tak aby nie uzależniać się w sposób jawny od wyboru układu współrzędnych. Czasami dla wygody obliczeń wykorzystujemy indeksy, w wielu fragmentach wprowadzamy również pojęcie przestrzeni rozwłóknionej. (* fibre bundles *). Czytelnik zaznajomiony z geometrią różniczkową może pominąć ten rozdział.
W rozdziale 3 formułujemy OTW w postaci trzech postulatów, matematycznego modelu CP. Model ten jest to rozmaitość M wraz z metryką g o sygnaturze lorentzowskiej. Fizyczny sens metryki zawarty jest w dwóch pierwszych postulatach – lokalnej przyczynowości oraz lokalnego zachowania energii-pędu.
(* local causality and of local conservation of energy-momentum *)
Postulaty te są wspólne zarówno dla STW jak i OTW , jako ich uwierzytelnienie może służyć eksperymentalne
potwierdzenie pierwszej z tych teorii. Postulat trzeci – równania polowe dla metryki g nie jest zbyt dobrze potwierdzony empirycznie. Jednakże większość naszych wniosków będzie zależne jedynie od tego następstwa równań pola, które mówi, że dla dodatniej gęstości materii grawitacja jest siłą przyciągającą. Do tej własności grawitacji prowadzi sama OTW jaki i pewne jej modyfikacje np. teoria Brans’a-Dicke’go.
W rozdziale 4 wyjaśniamy fizyczny sens krzywizny, w tym celu badamy jej wpływ na zbiory krzywych geodezyjnych czasopodobnych i izotropowych. Wskazane linie przedstawiają odpowiednio drogi cząstek próbnych oraz promieni świetlnych. Krzywiznę możemy interpretować jak siłę pływową, która powoduje przyspieszenia względne między
„sąsiednimi” geodezyjnymi. Jeśli tensor energii-pędu spełnia warunek dodatniej określoności, to wynikowe działanie siły pływowej na nierotujące rodziny geodezyjnych zawsze okazują się skupiającymi. Wykorzystując równanie
Raychaudhuri'sa (4.26) można pokazać, że prowadzi to do istnieniu punktów ogniskowych lub punktów sprzężonych (* focal or conjugate points *) w których sąsiednie geodezyjne przecinają się.
Aby ujawnić rolę tych punktów ogniskowych, rozpatrzmy jednowymiarową powierzchnię ℑ w dwu wymiarowej
przestrzeni Euklidesa ( rys. 2 ). Niech p – będzie punktem leżącym na ℑ. Wtedy możemy znaleźć taką krzywą, łączącą ℑ i p, która będzie najkrótszą krzywą prowadzącą od ℑ do t. Jest jasne , że taka krzywa będzie geodezyjną tj. będzie linią prostą i będzie przecinała ℑ prostopadle.
Rys. 2 Linia pr nie może być najkrótszą linią między p i ℑ, ponieważ między p i r istnieje punkt ogniskowy q. W istocie najkrótszą linią między p i ℑ jest linia px lub py.
W istocie w sytuacji przedstawionej na rys. 2 występują trzy geodezyjne, ortogonalne do ℑ oraz przechodzące przez p.
Geodezyjna przechodząca przez punkt r , oczywiście nie jest najkrótsza linią od ℑ do p. Można się o tym przekonać [103] np. zauważając, że sąsiednie geodezyjne, ortogonalne do ℑ w punktach u i v przecinają geodezyjną wyprowadzoną z r w punkcie ogniskowym q , leżącym między ℑ i p. Zatem, dodając do odcinka uq odcinek qp otrzymamy krzywą łączącą ℑ i p , której długość będzie taka jak długość odcinka rp. Ponieważ jednak uqp nie jest linią prostą, można ściąć kąt dla punktu q i otrzymać krzywą krótszą niż rp. Stąd widać, że rp nie jest najkrótszą krzywą od ℑ do p. A to znaczy, że liniami najkrótszymi będą linie : xp lub yp.
Schemat ten można przenieść na przypadek czterowymiarowej rozmaitości czasoprzestrzennej M o lorentzowej metryce g. W miejsce linii prostych należy wtedy rozpatrywać geodezyjne, a w miejsce najkrótszej krzywej należy poszukiwać najdłuższej krzywej czasopodobnej łączącej punkt p i powierzchnię przestrzennopodobną ℑ ( ponieważ posługujemy się teraz metryką o sygnaturze lorentzowskiej nie będą występowały najkrótsze krzywe czasopodobne, jednak być może znajdzie się taka krzywa o największej długości ) Taka krzywa powinna być geodezyjną, przecinająca ℑ ortogonalnie, a między ℑ i p nie może występować żaden punkt ogniskowy, geodezyjnych ortogonalnych do ℑ. Analogiczne wyniki możemy otrzymać dla geodezyjnych izotropowych. Wyniki te wykorzystamy w rozdziale 8 w celu dowiedzenia istnienia osobliwości dla określonych warunków.
W rozdziale 5 opisujemy szereg dokładnych rozwiązań równań Einsteina. Rozwiązania te nie są realistyczne w tym sensie, że wszystkie one posiadają dokładne symetrie. Stanowią one jednak dobry przykład dla następnych rozdziałów oraz ilustrują różnorodne możliwe zachowania takich rozwiązań. W szczególności prawie wszystkie modele
kosmologiczne, posiadające wysoki stopień symetrii mają osobliwości CP. Długi czas myślano, że osobliwości te są właśnie wynikiem takich dokładnych symetrii i mogą one być wyeliminowane w bardziej realistycznych modelach.
Jednym z naszych głównych celów będzie pokazanie, że nie jest to prawdą.
W rozdziale 6 badamy przyczynową strukturę CP. W STW zdarzenia, które mogą wpływać przyczynowo na pewne zdarzenie oraz te zdarzenia na które samo to zdarzenia ma dalszy wpływ, obrazują wnętrza stożków świetlnych odpowiednio - przeszłości i przyszłości ( rys. 3 ). W OTW metryka g, która zadaje stożki świetlne, ogólnie mówiąc zmienia się od punktu do punktu, a topologia rozmaitości czasoprzestrzennej M nie koniecznie pokrywa się z topologią przestrzeni euklidesowej R4. To wszystko prowadzi do wielu różnorodnych możliwości.
Rys. 3 W STW stożek świetlny zdarzenia p jest zbiorem wszystkich promieni świetlnych, przechodzących przez p.
Przeszłość zdarzenia p jest to wnętrze stożka świetlnego przeszłości, (* interior of the past light cone *) przyszłość zdarzenia p – jest to wnętrze stożka świetlnego przyszłości. (* interior of the future light cone *)
Przykładowo utożsamiając odpowiadające sobie punkty na powierzchniach ℑ1 i ℑ2 na rys. 3, otrzymamy CP o topologii R3 × S1. Będzie ona zawierała zamknięte krzywe czasopodobne. Jednakże istnienie takich krzywych prowadziłoby do naruszenia przyczynowości – można byłoby podróżować we własną przeszłość. W większości przypadków ograniczymy się do rozpatrywania rozmaitości CP w których takiego rodzaju naruszenia zasady przyczynowości są wykluczone.
W takich przypadkach w CP dla dowolnej zadanej powierzchni przestrzennopodobnej ℑ istnieje maksymalny obszar CP nazywany obszarem Cauchy’ego (* Cauchy development – obszar zależności *) – w obszarze tym możemy
prognozować (* możemy dokonywać predykcji – są jeszcze retrodykcje tzn. prognozy wsteczne *) zgodnie z warunkami początkowymi wprowadzonymi na ℑ. Obszar Cauchy’ego posiada taką własność ( „globalna hiperboliczność” ) (* Global hyperbolicity *), że przy w przypadku zadania w nim dwóch punktów, które można połączyć krzywą
czasopodobną istnieje między nimi taka krzywa o najdłuższej długości i jest ona geodezyjną.
Przyczynowa struktura CP może być wykorzystana aby określić brzeg lub krawędź CP. (* boundary
or edge to space-time *). Brzeg ten zawiera w sobie zarówno nieskończoność jak i tę część brzegu CP, który znajduje się w skończonej odległości tj. punkty osobliwe. (* singular points *)
W rozdziale 7 rozpatrujemy zagadnienie Cauchy’ego dla OTW. (* Cauchy problem for General Relativity *).
Pokażemy, że dane początkowe na przestrzennopodobnej powierzchni określają rozwiązanie w sposób jednoznaczny w obszarze Cauch’ego dla tej powierzchni i że w pewnym sensie rozwiązanie to zależy w sposób ciągły od danych początkowych. Rozdział ten dodaliśmy dla zupełności wykładu , jak również dlatego, że wykorzystujemy w nim szereg wyników poprzedniego rozdziału, jego lektura nie jest konieczna dla rozumienia następnych rozdziałów.
W rozdziale 8 omawiamy definicje osobliwości czasoprzestrzennych. Definicja taka zawiera szereg problemów , ponieważ nie ma możliwości rozpatrywania punktów osobliwych jak części rozmaitości czasoprzestrzennej M.
Dowodzimy czterech twierdzeń, które ustanawiają obecność osobliwości przy określonych warunkach. Warunki te rozpadają się na trzy kategorie. Po pierwsze, wymagamy aby grawitacja była siłą przyciągającą , może to być wyrażone w postaci pewnej nierówności dla tensora energii-pędu. Po drugie wymagamy, aby ilość materii zawarta w pewnym obszarze , była wystarczająca aby nic nie mogło wyjść poza ten obszar. Zachodzi to wtedy kiedy istnieje zamknięta powierzchnia złapana lub jeśli sam Wszechświata jest przestrzennie zamknięty. Trzeci warunek polega na tym aby nie występowały żadne naruszenia przyczynowości. Jednakże w jednym z dowodzonych twierdzeń wymóg ten nie jest konieczny. Podstawowa idea dowodu zawiera się w tym aby z pomocą wyników otrzymanych w rozdziale 6 pokazać, że między określonymi parami punktów powinny istnieć krzywe czasopodobne o najdłuższej długości. Wtedy można dowieść, że jeśli osobliwości by nie występowały, to istniałyby punkty ogniskowe, a zatem nie byłoby krzywej o najdłuższej długości między tymi parami punktów.
Następnie opisujemy zaproponowaną przez Schmidt’a procedurę budowania brzegu CP, który odwzorowuje jej punkty osobliwe. Brzeg ten może różnić się od tej części brzegu przyczynowego ( jego definicja wprowadzona jest w
rozdziale 6 ), który odpowiada osobliwością.
W rozdziale 9 pokazujemy, że drugi warunek twierdzenia 2 rozdziału 8 powinien być spełniony w pobliżu gwiazd o masie 1,5 masy Słońca w końcowych stadiach ich ewolucji. Osobliwości, które pojawiają się w tym procesie,
prawdopodobnie znajdują się za horyzontem zdarzeń i nie są obserwowane z zewnątrz. Tam gdzie kiedyś była gwiazda, zewnętrzny obserwator widzi „czarną dziurę”. Rozpatrzymy własności takich czarnych dziur i pokażemy ,że
prawdopodobnym rezultatem procesu ich tworzenia jest ustanowienie w CP metryki z rodziny rozwiązań Kerra. Przy założeniu, że tak właśnie zachodzi ten proces, można nałożyć określone ograniczenia od góry na ilość energii, którą można wyciągnąć z CD. W rozdziale 10 pokazano, że drugi warunek twierdzenia 2 i 3 rozdziału 8 spełniony jest przy globalnym odwróceniu znaku czasu dla Wszechświata. W tym przypadku osobliwość była obecna w naszej przeszłości i reprezentuje ona początek ewolucji całego obserwowanego Wszechświata lub jego części.
Istotna część wprowadzonego materiału zawarta jest w podrozdziałach 3.1, 3.2 i 3.4. Czytelnik pragnący zrozumieć jedynie twierdzenia dotyczące istnienia osobliwości we Wszechświecie może przeczytać tylko rozdział 4 i podrozdziały 6.2- 6.7 , 8.1 – 8.2. Zastosowanie tych twierdzeń do kolapsujących gwiazd wprowadzone jest w podrozdziale 9.1 ( gdzie wykorzystujemy również wyniki dodatku B ); w podrozdziale 10.1 twierdzenia te w kontekście modelu Robertsona- Walkera są stosowane globalnie do Wszechświata. Omówienie charakteru osobliwości zawarte jest w podrozdziałach 8.1 , 8.3 – 8.5 i 10.2 ; ważną rolę przy tym odgrywa przykład przestrzeni Taub’a-NUT ( podrozdział 5.8 ).
Określoną rolę odgrywają również modele Wszechświata typu I Bianchi ( podrozdział 5.4 )
Czytelnik, który chciałby zaznajomić się tylko z zagadnieniem dotyczącym CD, musi koniecznie przeczytać rozdział 4 i podrozdziały 6.2-6.6 , 6.9 , 9.1-9.3. Opieramy się tam na pewnej określonej interpretacji rozwiązania Schwarzschilda ( podrozdział 5.5 ) oraz rozwiązania Kerra ( podrozdział 5.6 ).
Na zakończenie czytelnik, który w pierwszej kolejności interesuje się własnościami ewolucji czasowej równań Einsteina ,może ograniczyć się do przeczytania podrozdziałów 6.2-6.6 oraz rozdziału 7. Na pewno okażą się dla niego interesujące przykłady wprowadzone w podrozdziałach 5.1, 5.2 i 5.5.
Rozdział 2 Geometria różniczkowa.
(*
Wprowadzenie – w niniejszym rozdziale autorzy wprowadzają używany w dalszej kolejności aparat matematyczny.
Jego głównym składnikiem jest pojęcie rozmaitości różniczkowej oraz pewnych struktur wprowadzanych na takiej rozmaitości, zaliczyć do nich możemy m.in. : funkcje określone na rozmaitości, pola wektorowe określone na
rozmaitości , pola tensorowe określone na rozmaitości, odwzorowania rozmaitości oraz pojęcia orientacji rozmaitości, i podrozmaitości. Istotnym jest również wprowadzenie konstrukcji ( odwzorowań ) pozwalających określić pojęcia pochodnych : w kierunku pola wektorowego i Liego. Do kluczowych pojęć możemy zaliczyć również koneksje oraz związaną z nią pochodną kowariantną.
Wyposażenie rozmaitości w odpowiednio zdefiniowane pole tensorowe pozwala zdefiniować pojęcie rozmaitości riemannowskiej i pseudoriemannowskiej.
Na zakończenie rozdziału autorzy wprowadzają bardzo silne narzędzie matematyczne – wiązkę włóknistą.
( pojęcia stowarzyszone : wiązkę wektorową, przestrzeń rozwłóknioną )
Definiując na rozmaitości gładkiej M, nawias Liego [ X, Y ] dwóch pól wektorowych X, Y ∈ M możemy zdefiniować pochodną Liego LX Y = [ X, Y ] ( tj. pochodną pola wektorowego Y w kierunku pola wektorowego X )
Zadając koneksje ( afiniczną ) ∇ na rozmaitości M możemy zdefiniować pochodną kowariantną ∇XY ( ∇ możemy traktować jako operator różniczkowy działający na rozmaitości M na dowolne obiekty geometryczne określone na M ) Koneksja pozwala również zdefiniować dwa odwzorowania :
T ( X, Y ) = ∇XY - ∇YX - [ X, Y ] skręcenie R ( X, Y )Z = ∇X ∇YZ -∇Y ∇XZ - ∇[ X, Y ]Z krzywizna Gdzie : X, Y, Z – pola wektorowe odpowiedniej klasy.
Warto wspomnieć, że podstawową monografią ( niejako biblią ) geometrii różniczkowej, używaną przez fizyków w latach 70-tych XX wieku ( i długo potem ) była książka „Fundations of differential geometry” vol I, II – Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu ; Interscience Publishers 1969. Wybitne i podstawowe dzieło dwóch znanych fizyków matematycznych. Jest również dostępny przekład rosyjski tej monografii – Moskwa Nauka 1981.
Jeśli chodzi o wyłożone metody matematyczne, jak można podejrzewać autorzy niniejszej książki pozostają pod silnym wpływem tej właśnie publikacji
*)
Struktura CP o którą nam chodzi w następnym rozdziale i która jest podstawą wykładu w całej prezentowanej książce – jest to struktura rozmaitościowa, wyposażona w lorentzowską metrykę oraz stowarzyszoną z nią koneksje afiniczną.
W obecnym rozdziale w podrozdziale 2.1 wprowadzimy pojęcie rozmaitości , a w podrozdziale 2.2 wektory i tensory, będące naturalnymi obiektami, definiowanymi na rozmaitości. W podrozdziale 2.3 rozpatrujemy odwzorowania rozmaitości , które doprowadza nas do pojęcia podrozmaitości oraz odwzorowań indukowanych tensorów.
(* induced maps of tensors *). Pochodna odwzorowania indukowanego, określona przez pole wektorowe pozwala otrzymać pochodną Liego, którą wprowadzamy w podrozdziale 2.4. Tam również definiujemy pochodną zewnętrzną – (* exterior differentiation *) inną operacje różniczkową, zależną tylko od struktury rozmaitości. Operacje tą spotykamy przy uogólnieniu twierdzenia Stokesa.
W podrozdziale 2.5 wprowadzamy pewną dodatkową strukturę – koneksję, to pozwoli nam wprowadzić pojęcie pochodnej kowariantnej oraz pojęcie tensora krzywizny (* covariant derivative and the curvature tensor *).
W podrozdziale 2.6 rozpatrujemy zależność między metryką i koneksją , a następnie określimy wyrażenie pozwalające wyrazić tensor krzywizny oraz tensor Weyla i tensor Ricciego, które to związane są między sobą tożsamościami Bianchi. (* Bianchi identities *)
W pozostałej części tego rozdziału omówimy szereg innych ważnych zagadnień geometrii różniczkowej. W podrozdziale 2.7 rozpatrujemy metrykę i koneksję indukowane na hiperpowierzchni , a następnie wyprowadzamy równania Gaussa- Codacci’ego. W podrozdziale 2.8 wprowadzamy element objętości indukowany przez metrykę, który w dalszej kolejności wykorzystujemy w celu dowiedzenia twierdzenia Gaussa. Pod koniec tego podrozdziału zastanawiamy się krótko nad pojęciem przestrzeni rozwłóknionej (* fibre bundles *), zwracając szczególną uwagę na rozwłóknienia styczne i reperów. (* tangent bundle and the bundles of linear and orthonormal frames *) to pozwoli nam
przeformułować wiele z wprowadzonych wcześniej pojęć w pięknym geometrycznym języku.
Wnioski z podrozdziałów 2.7 i 2.9 wykorzystujemy dalej jedynie w jednym lub dwóch miejscach i nie są one konieczne dla rozumienia podstawowych idei niniejszej książki.
2.1 Rozmaitości.
W istocie rozmaitość jest to przestrzeń, która jest lokalnie podobna do przestrzeni Euklidesa, w tym sensie, że może ona być pokryta kawałkami siatek współrzędnych. Taka struktura pozwala wprowadzić pojęcie różniczkowania, ale nie pozwala rozróżniać w sposób wewnętrzny różnych układów współrzędnych. Odpowiednio zatem, strukturę rozmaitości określają takie pojęcia, które nie zależą od wyboru układu współrzędnych. Zanim zdefiniujemy ściśle pojęcie rozmaitości wprowadzimy pewne pojęcia wprowadzające.
Przez Rn oznaczymy n-wymiarową przestrzeń Euklidesa (* Euclidean space of n dimensions *) tj. zbiór wszystkich możliwych układów n liczb ( x1, x2, ... , xn ) ( - ∞ < xi < + ∞ ) o zwykłej topologii ( zbiory otwarte i zamknięte definiowane są standardowo ).
Niech ½ Rn oznacza „dolną połowę” Rn tj. obszar Rn w którym xi ≤ 0. Odwzorowanie φ zbioru otwartego O ⊂ Rn ( odpowiednio ½ Rn ) na zbiór otwarty O ⊂ Rn ( odpowiednio ½ Rn ) nazywamy odwzorowaniem klasy Cr lub krócej Cr –odwzorowaniem, jeśli współrzędne ( x’1, x’2, ... , x’m ) punktu (* image point *) φ(p) w O’ będące obrazem punktu p w O, są r-krotnie ciągłymi funkcjami (* r-times continuously differentiable functions (the r-th derivatives exist and are continuous) *) ( tj. ich r-te pochodne istnieją i są ciągłe ) współrzędnych ( x1, x2, ... , xn ) punktu p.
Jeśli odwzorowanie jest odwzorowaniem klasy Cr dla dowolnego r ≥ 0, to mówimy, że odwzorowanie to jest klasy C∞ lub , że jest C∞-odwzorowaniem (* takie odwzorowanie nazywamy również odwzorowaniem gładkim *).
Pod pojęciem C0- odwzorowania będziemy rozumieli odwzorowanie ciągłe. (* continuous map, odwzorowania wprowadzane w kontekście rozmaitości nazywane są mapami ich zbiór będziemy nazywali atlasem *)
Mówimy, że funkcja f na zbiorze otwartym O ⊂ Rn spełnia lokalnie warunek Lipschitz’a , jeśli dla każdego zbioru otwartego U ⊂ O o zwartym domknięciu (* compact closure *) istnieje stała K, taka, że dla dowolnej pary punktów p, q ∈ U :
| f (p) – f (q) | ≤ K | p – q | , gdzie | p | oznacza : { ( x1(p) )2 + ( x2(p) )2 + ... + ( xn(p) )2 }1/2
Odwzorowanie φ będziemy nazywali spełniającym lokalnie warunek Lipschitz’a i będziemy go oznaczali C1- , jeśli współrzędne punktu φ(p) jako funkcje współrzędnych punktu p spełniają lokalnie warunek Lipschitz’a. Analogicznie będziemy mówili, że φ jest Cr-odwzorowaniem, jeśli jest ono klasy C1 i pochodne
(r – 1)-rzędu współrzędnych φ(p) są funkcjami współrzędnych p, lokalnie spełniającymi warunek odwzorowaniem, Lipschitz’a. W dalszej kolejności będziemy zazwyczaj rozpatrywać funkcję klasy Cr jednak analogiczne definicje i osiągnięte wyniki są słuszne również dla funkcji klasy Cr-.
Niech P będzie dowolnym zbiorem w Rn ( odpowiednio w ½Rn ), wtedy odwzorowanie φ z P w pewien zbiór P’ ⊂ Rm ( odpowiednio w ½Rm ) nazywamy Cr-odwzorowaniem , jeśli φ jest zawężeniem (* restriction *) P i P’
Cr-odwzorowania pewnego otwartego zbioru O zawierającego P, na pewien otwarty zbiór O’ zawierający P’.
n-Wymairowa rozmaitość M (* n-dimensional manifold *), klasy Cr, lub po prostu Cr-rozmaitość jest to zbiór M razem z atlasem { Uα , φα }, gdzie Uα – podzbiory M, φα – odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne (* one-one maps *)
odpowiednich Uα na takie zbiory otwarte zawarte w Rn , że : 1) Uα jest pokryciem M tj. M =
∪
Uα2) jeśli Uα ∩ Uβ nie jest zbiorem pustym, to odwzorowanie : φα ° φβ -1 : φβ ( Uα ∩ Uβ ) → φα ( Uα ∩ Uβ )
jest Cr-odwzorowaniem pewnego otwartego podzbioru Rn na otwarty podzbiór Rn ( rys. 4 )
Każdy podzbiór Uα jest lokalnie otoczeniem współrzędnościowym (* local coordinate neighbourhood *) w tym sensie, że określone są w nim współrzędne lokalne xa , a = 1, ... , n, zadane przez odwzorowanie φα ( tj. jeśli p ∈ Uα, to współrzędnymi punktu p są współrzędne punktu φα( p ) ∈Rn.
Warunek 2) stanowi wymaganie aby na przecięciu (* overlap *) dwóch otoczeń współrzędnościowych współrzędne jednego otoczenia były funkcjami klasy Cr, współrzędnych drugiego otoczenia i odwrotnie.
Dowolny inny atlas nazywamy zgodnym (* compatible *) z danym Cr- atlasem, jeśli ich połączenie jest atlasem klasy Cr, dla całej rozmaitości M. Atlas , składający się z wszystkich atlasów zgodnych z danym atlasem nazywamy atlasem zupełnym (* complete atlas *) rozmaitości M. Zatem , atlas zupełny jest zbiorem wszystkich możliwych układów współrzędnych pokrywających M. Topologia w M określona jest przez wymóg , aby wszystkie zbiory otwarte M składały się z połączenia zbiorów postaci Uα , należących do atlasu zupełnego. W takiej topologii każde odwzorowanie φα jest homeomorfizmem.
Rys. 4 Tam gdzie otoczenia współrzędnościowe Uα i Uβ przecinają się , współrzędne związane są Cr-odwzorowaniem φα ° φβ -1.
Definicję rozmaitości różniczkowej klasy Cr z brzegiem otrzymuje się zamieniając „Rn„ na „ ½Rn„. Wtedy brzeg rozmaitości M oznaczany jako ∂M, określany jest jako zbiór wszystkich punktów rozmaitości M, obrazy których przy odwzorowaniu φα leżą na brzegu obszaru ½Rn w Rn. ∂M przedstawia sobą (n-1)-wymiarową rozmaitość bez brzegu.
Definicje te mogą się wydawać skomplikowane, jednak proste przykłady pokazują, że opis przestrzeni za pomocą jednego układu współrzędnych jest w wielu przypadkach niemożliwy.
Dwu wymiarowa płaszczyzna Euklidesa R2, jest oczywiście przykładem rozmaitości. Współrzędne kartezjańskie (* rectangular coordinates *) ( x, y , - ∞ < x, y < +∞ ) pokrywają całą tę płaszczyznę jak jedno otoczenie
współrzędnościowe (* jako jedna siatka układu współrzędnych *) dla której φ jest odwzorowaniem tożsamościowym.
Współrzędne biegunowe (* polar coordinates *) r, θ pokrywają otoczenie współrzędnościowe ( r < 0 , 0 < θ < 2 π ) i są konieczne co najmniej dwa takie otoczenia aby pokryć cała R2.
Dwuwymiarowy cylinder C2 przedstawia sobą rozmaitość, otrzymywaną z R2 poprzez utożsamienie punktów (x, y) i (x + 2π, y ). Wtedy (x, y) są współrzędnymi w otoczeniu ( 0 < x < 2π ; - ∞ < y < +∞ ) i aby pokryć C2 konieczne są dwa takie otoczenia współrzędnościowe.
Wstęga Möbiusa (* Mobius strip *) jest rozmaitością, którą otrzymujemy w podobny sposób : utożsamiamy punkty (x, y) i ( x + 2π , - y ).
Dwuwymiarową sferę ( 2-sferę ) S2 o jednostkowym promieniu możemy zdefiniować jako powierzchnię w R3 , zadana równaniem : ( x1 )2 + ( x2 )2 + ( x3 )2 = 1 Wtedy :
x2 , x3 ; - 1 < x2 < 1 , - 1 < x3 < 1
będą współrzędnymi w każdym z obszarów x1> 0 , x1< 0 i wymagane jest sześć takich otoczeń współrzędnościowych aby pokryć całą tą sferę. W rzeczywistości S2 ogólnie nie można pokryć tylko jednym otoczeniem współrzędnościowym.
Analogicznie n-wymiarową sferę ( n-sferę ) Sn można zdefiniować jako zbiór punktów : ( x1 )2 + ( x2 )2 + ... + ( xn )2 = 1 w Rn+1.
Rozmaitość nazywamy orientowalną (* orientable *), jeśli w pełnym atlasie jest taki atlas {Uα , φα }, że w każdym niepustym przecięciu ( Uα ∩ Uβ ) jakobian | ∂xi / ∂x’j | , gdzie : x1, ... , xn i x’1, ... , x’n – są odpowiednio współrzędnymi w Uα i Uβ – jest dodatni.
Przykładem rozmaitości nieorientowalnej jest wstęga Möbiusa. (* The Mobius strip is an example of a non-orientable manifold *)
Jak na razie daliśmy bardzo ogólną definicję rozmaitości. W większości przypadków użytecznym jest nałożenie dwóch dodatkowych warunków, mianowicie, że M jest przestrzenią Hausdorff’a (* Hausdorff space *) oraz, że M jest przestrzenią parazwartą (* paracompact *). To zagwarantuje nam rozsądne lokalne jej zachowanie.
Przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią Hausdorff’a , jeśli spełnia ona aksjomaty rozdzielania
(* separowalności *) (* Hausdorff separation axiom *) : dla dowolnych dwóch, różnych punktów p, q ∈ M istnieją nie przecinające się otwarte zbiory U, V ⊂ M, takie, że p ∈ U , q ∈ V.
Nie można przyjmować, że każda rozmaitość jest przestrzenią Hausdorff’a. Przykładowo rozpatrzmy sytuację przedstawioną na rysunku 5. Na dwóch prostych utożsamimy te i tylko te punkty b i b’ dla których xb = yb’ < 0.
Wtedy dowolny punkt zawarty w pewnym otoczeniu ( współrzędnościowym ) jest homeomorficzny do zbioru otwartego w R1. Jednakże nie istnieją nieprzecinające się otoczenia U, V spełniające warunek a ∈ U, a’ ∈ V ,
gdzie : a - punkt x = 0 i a’ – punkt y = 0.
Rys. 5 Przykład rozmaitości nie hausdorffowskiej. (* non-Hausdorff manifold *)Te dwie linie utożsamione są przy x = y.
Jednak punkty a (x= 0 ) i a’ ( y = 0 ) nie są utożsamione.
Atlas {Uα , φα } nazywamy lokalnie skończonym (* locally finite *), jeśli dla dowolnego punktu p ∈ M można znaleźć otwarte otoczenie, które przecina się tylko ze skończoną liczbą zbiorów Uα. M nazywamy (* paracompact *)
Jeśli dla dowolnego atlasu {Uα , φα } istnieje lokalnie skończony atlas {Vβ , ψβ } którego każdy zbiór Vβ zawarty jest w pewnym Uα. Spójna rozmaitość hausdorffowska jest parazwarta wtedy i tylko wtedy , kiedy posiada ona bazę
przeliczalną (* A connected Hausdorff manifold is paracompact if and only if it has
a countable basis *) tj. istnieje taki przeliczalny układ zbiorów otwartych, ze dowolny zbiór otwarty można przedstawić jako sumę zbiorów tego układu ( [91] str. 271 ).
Jeśli nie powiedziano inaczej wszystkie rozpatrywane dalej rozmaitości będziemy przyjmowali jako parazwarte, spójne rozmaitości hausdorffowskie klasy C∞ bez brzegu. Później zobaczymy, że nadaniu M dodatkowej struktury ( o warunkach istnienia koneksji afinicznej powiemy w podrozdziale 2.4 ) wymóg parazwartości spełniony jest automatycznie na mocy innych ograniczeń.
Funkcję f na Ck –rozmaitości M określamy jako odwzorowanie z M w R1. Mówimy, że jest ona klasy Cr ( r ≤ k ) w punkcie p ∈ M, jeśli jej przedstawienie f ° φα -1 w pewnym lokalnym otoczeniu współrzędnościowym Uα jest funkcją klasy Cr ( Cr –funkcja ) lokalnych współrzędnych punktu p , f nazywamy Cr –funkcją na zbiorze V ⊂ M jeśli f jest Cr –funkcją w każdym punkcie p ∈ V.
W dalszym wykładzie będziemy wykorzystywali następującą własność rozmaitości parazwartych
( zobacz [91] , str. 272 ). Niech {Uα , φα } – będzie dowolnym lokalnie skończonym atlasem na parazwartej Ck –rozmaitości , zawsze można znaleźć układ funkcji gα , klasy Ck , takich , że :
1) 0 ≤ gα ≤ 1 na M przy dowolnym α
2) nośnik gα tj. domknięcie zbioru { p ∈ M : gα (p) ≠ 0 } zawarte jest w Uα 3)
ΣΣΣΣ
gα (p) = 1 dla wszystkich p ∈ M.Taki układ funkcji będziemy nazywali rozkładem jedności (* partition of unity *). Wynik ten jest w szczególności słuszny dla funkcji klasy C∞ ,ale nie jest słuszny dla funkcji analitycznych ( funkcję analityczną można przedstawić w
postaci zbieżnego szeregu potęgowego w pewnym otwartym otoczeniu każdego punktu p ∈ M, przy czym jeśli jest ona równa zeru w pewnym otwartym otoczeniu , to jest ona równa zeru wszędzie ).
Iloczynem prostym A × B , rozmaitości A, B jest rozmaitością ze strukturą, która w naturalny sposób określona jest przez strukturę A i B, dla dowolnych punktów p ∈ A, q ∈ B istnieją otoczenia współrzędnościowe U, V zawierające
odpowiednio p i q , takie, że punkt (p, q ) ∈ A × B zawarty jest w otoczeniu współrzędnościowym U × V ⊂ A × B i ma w niej współrzędne ( xi , yj ), gdzie xi – współrzędne p w U , yj – współrzędne q w V.
2.2 Wektory i tensory.
Pola tensorowe przedstawiają sobą zbiór obiektów geometrycznych określonych na rozmaitości, które definiowane są w sposób naturalny poprzez strukturę tej rozmaitości. Określenie pola tensorowego jest równoważne zadaniu tensora w każdym punkcie rozmaitości. Z tego powodu w pierwszej kolejności zdefiniujemy tensory w danym punkcie rozmaitości, na początku wyjdziemy od pojęcia wektora w punkcie.
Krzywa λ(t) klasy Ck , lub Ck-krzywa na M jest to odwzorowanie klasy Ck pewnego odcinka prostej rzeczywistej R1 w M. Wektor ( wektor kontrawariantny ) (∂/∂t )λ |t0 styczny do C1-krzywej λ(t) w punkcie λ(t0), jest to operator, który przyporządkowuje każdej C1-funkcji f w λ(t0) liczbę (∂f/∂t )λ |t0. Inaczej mówiąc (∂f/∂t )λ jest to pochodna f w kierunku λ(t) względem parametru t :
(∂f/∂t )λ |t = lim (1/s) { f ( λ(t + s) ) – f ( λ(t) ) } (2.1) s→0
Sam parametr t wzdłuż krzywej, oczywiście spełnia zależność (∂/∂t )λ t = 1.
Niech ( x1, ... , xn ) – są lokalnymi współrzędnymi w pewnym otoczeniu punktu p, wtedy : n
(∂f/∂t )λ |t0 =
ΣΣΣΣ
( dxj ( λ(t) ) / dt ) |t=t0 • (∂f/∂xj ) |λ(t0) = ( dxj /dt) (df/dxj ) |λ(t0) j=1( teraz i w całej książce wykorzystujemy umowę sumacyjną, zgodnie z którą przyjmujemy sumowanie względem powtarzającego się indeksu (*summation convention *) , po wszystkich wartościach jakie przyjmuje ten indeks ) Zatem, dowolny wektor styczny w punkcie p można przedstawić w postaci kombinacji liniowej pochodnych po współrzędnych. I odwrotnie – niech będzie dana pewna kombinacja liniowa Vj (∂/∂xj ) |p , gdzie Vj – dowolne liczby, rozpatrzmy krzywą λ(t) określoną równaniem xj ( λ(t) ) = xj (p) + tVj dla t należącego do pewnego odcinka [ -ε, ε ], wtedy wektorem stycznym w tym punkcie p jest Vj ( ∂/∂xj )p. Zatem ,wektory styczne w p tworzą przestrzeń wektorową nad R1, rozpiętą (*spanned *) nad pochodnymi ( ∂/∂xj ) |p, struktura przestrzeni liniowej zadana jest przez zależność : ( αX + βY )f = α (Xf) + β(Yf)
słuszną dla wszystkich wektorów X, Y , liczb α, β i funkcji f.
Wektory ( ∂/∂xj )p są liniowo niezależne ( Przypuśćmy, że są one zależne tj. istnieją liczby Vj nie wszystkie równe zeru takie, że Vj (∂/∂xj )p = 0 , wtedy stosując tą zależność do każdej ze współrzędnych , otrzymamy równość :
Vj (∂xk /∂xj ) = Vk = 0 tj. sprzeczność (* contradiction *) )
Zatem, przestrzeń wszystkich wektorów stycznych do M w punkcie p, oznaczana jako Tp(M) lub Tp , jest n-wymiarową przestrzenią wektorową. Przestrzeń ta przedstawiająca sobą zbiór wszystkich kierunków w p, nazywana jest wektorową przestrzenią styczną do M w p. (* tangent vector space *)
Wektor V ∈ Tp można wyobrazić sobie w postaci strzałki w p, o kierunku wzdłuż krzywej λ(t) , tj. wzdłuż wektora stycznego V w punkcie p, przy tym „długość” V zależy od wyboru parametru t wzdłuż krzywej i określona jest zależnością V(t) = 1 [ czcionką pogrubioną podkreślono, że V jest operatorem, o składowych Vj ,a V(f) jest wynikiem działania V na funkcję f, są to liczby ]
Niech { Ea } ( a = 1, ... , n ) – dowolny zbiór n-liniowo niezależnych wektorów w punkcie p. Wtedy dowolny wektor V ∈ Tp można zapisać w postaci V = VaEa , gdzie liczby {Va } są składowymi V względem bazy {Ea } wektorów w p.
( W szczególności w charakterze {Ea } można wybrać bazę współrzędnościową ( ∂/∂xi )p , zatem składowymi Vi = V(xi ) = ( ∂xi /dt )p będą dowolne współrzędne xi w kierunku V )
Forma liniowa (* one-form, 1-forma *) ( wektor kowariantny ) ω w p jest to rzeczywista funkcja liniowa na przestrzeni Tp. Liczbę, którą forma liniowa ω przyporządkowuje wektorowi X w punkcie p będziemy zapisywali w postaci
< ω, X >, z liniowości wynika, że dla wszystkich α, β ∈ R1 i X, Y ∈ Tp spełniona jest równość :
< ω, αX + βY > = α < ω, X > + β < ω,Y >
Podprzestrzeń w Tp , określona przy zadanej formie liniowej ω równaniem < ω , X > = const. jest podprzestrzenią liniową. Dlatego formę liniową w punkcie p można sobie wyobrazić jako parę płaszczyzn w Tp , taką że wektor X leży na jednej z tych płaszczyzn , jeśli < ω , X > = 0 i dotyka jednym końcem drugiej z tych płaszczyzn , jeśli < ω , X >= 1.
Niech dana będzie baza {Ea } wektorów w p, wtedy można zbudować taki układ {Ea } składający się z n form liniowych , że forma liniowa Ei odwzorowuje dowolny wektor X w liczbę Xi ( i-tą składową X względem bazy {Ea } ).
Przy tym, w szczególności < Ea ,Eb > = δa
b , definiując kombinacje liniowe form liniowych równaniem :
< αω + βη , X > = α < ω, X > + β < η, X >
dla dowolnych form liniowych ω, η i dowolnych α, β ∈ R1 , X ∈ Tp można rozpatrywać {Ea } jako bazę dla form liniowych a dowolną formę liniową można zapisać w postaci : ω = ωiE , gdzie ωi = < ω ,Ei >.
Zatem, zbiór wszystkich form liniowych w punkcie p obrazuje n-wymiarową przestrzeń liniową T*p , dualną do przestrzeni stycznej. Bazą form liniowych {Ea } jest baza dualna do bazy {Ea }.
Dla dowolnych ω ∈ T*p , X ∈ Tp liczbę < ω , X > można wyrazić przez składowe ωi i Xib w bazach dualnych { Ea }, { Ea } :
< ω , X > = < ωi Ei , Xj Ej > = ωi Xi
Dowolna funkcja f na M określa w p formę liniową df zgodnie z zasadą – dla dowolnego wektora X :
< df , X > = Xf
df nazywamy różniczką f.
Niech x1, ... , xn – będą lokalnymi współrzędnymi , zbiór różniczek ( dx1, ... , dxn ) w punkcie p obrazuje bazę form liniowych , dualną do bazy wektorów ( ∂/∂x1, ... , ∂/∂xn ) w p, ponieważ :
< dxi , ∂/∂xj > = ∂xi/∂xj = δij
Różniczkę df dowolnej funkcji f zapiszemy w tej bazie następująco : df = ( ∂f/∂xi ) dxi
Jeśli df ≠ 0 to powierzchnia f = const. jest (n-1)-wymiarową rozmaitością. Zbiór wszystkich wektorów X, dla których
< df , X > = 0 tworzy podprzestrzeń Tp składającą się z wszystkich wektorów, które są styczne w punkcie p do krzywych, leżących na powierzchni f = const. Odpowiednio, zatem df możemy rozpatrywać jako normalną do powierzchni f = const. w p. Jeśli α ≠ o, to αdt również będzie normalną do tej powierzchni.
Z przestrzeni Tp , wektorów w p i przestrzeni T*p , form liniowych w p możemy utworzyć iloczyn prosty : (* Cartesian product *)
Πs
r = T*p × T*p × ... × T*p × Tp × Tp × ... × Tp
--- r czynników --- --- s czynników ---
tj. uporządkowany zbiór (* ordered set *) wektorów i form liniowych ( η1, ... , ηr , Y1, ... , Ys ) , gdzie Y –dowolny wektor (* arbitrary vectors *) , η – dowolna forma liniowa.
Tensor typu (r , s) w punkcie p jest funkcją na Πs
r , liniową względem każdego ze swoich argumentów.
Niech T – będzie tensorem typu (r , s ) w p , przyporządkowuje on elementowi (η1, ... , ηr , Y1, ... , Ys ) przestrzeni Πs
r liczbę , którą zapiszemy w postaci : T(η1, ... , ηr , Y1, ... , Ys )
Liniowość T oznacza, że :
T(η1, ... , ηr , αX + βY, Y2, ... , Ys ) = αT(η1, ... , ηr ,X, Y2, ... , Ys ) + βT(η1, ... , ηr ,Y, Y2, ... , Ys ) Przy dowolnych α, β ∈ R1 i X, Y ∈ Tp
Przestrzeń wszystkich takich tensorów nazywamy iloczynem tensorowy. (* tensor product *) Trs (p) = Tp ⊗ Tp ⊗ ... ⊗ Tp ⊗ T*p ⊗ T*p ⊗ ... ⊗ T*p
--- r czynników --- --- s czynników --- W szczególności : T10 (p) = Tp i T01 (p) = T*p
Dodawanie tensorów typu (r, s) określamy w następujący sposób : ( T + T’ ) jest tensorem typu (r, s) w punkcie p, takim ,że dla dowolnych Y1∈ Tp , ηi ∈ T*p
( T + T’ ) (η1, ... , ηr , Y1, ... , Ys ) = T(η1, ... , ηr , Y1, ... , Ys ) + T’( η1, ... , ηr , Y1, ... , Ys )
Analogicznie określamy iloczyn tensora przez skalar α (* multiplication of a tensor by a scalar *), αT jest tensorem ,takim ,że dla dowolnych Y1∈ Tp , ηi ∈ T*p
(αT) (η1, ... , ηr , Y1, ... , Ys ) = α T(η1, ... , ηr , Y1, ... , Ys )
Zgodnie z tymi zasadami dodawania i mnożenia możemy się przekonać, że iloczyn tensorowy Trs (p) jest przestrzenia wektorową o wymiarze nr +s nad R1.
Niech Xi ∈Tp ( i = 1, ..., r ) oraz ωj ∈T*p ( j = 1, ..., s ), wtedy poprzez : X1 ⊗ ... ⊗ Xr ⊗ ω1⊗ ... ⊗ ωs
Będziemy oznaczali taki element należący do Trs (p) , który przyporządkowuje elementowi (η1, ... , ηr , Y1, ... , Ys ) ∈ Πs
r liczbę :
< η1, Y1 > < η2, Y2 > ... < ηr, Yr > < ω1, Y1 > … < ωs, Ys >
Analogicznie, jeśli R ∈ Trs (p) , S ∈ Tpq (p), przez R ⊗ S będziemy oznaczali taki element przestrzeni Tr+ps+q (p), który przyporządkowuje elementowi (η1, ... , ηr+p , Y1, ... , Ys+q ) ∈ Πs+q
r+p liczbę : R (η1, ... , ηs , Y1, ... , Yr ) S (ηs+1, ... , ηs+q , Yr+1, ... , Yr+p )
Przestrzenie tensorowe w p wraz z operacja iloczynu ⊗ tworzą algebrę nad R1.
Jeśli {Ea } i { Ea } – są bazami dualnymi odpowiednio w Tp i T*p, to : {Ea1⊗ ... ⊗Ear⊗ Eb1 ⊗ ... ⊗ Ebs } , ai , bj = 1, ... , n
będzie bazą w Trs (p). Dowolny tensor T ∈ Trs (p) można zapisać w tej bazie następująco : T = Ta1...ar b1...bs Ea1⊗ ... ⊗ Ear⊗ Eb1⊗ ... ⊗ Ebs
Gdzie : Ta1...ar b1...bs – składowe tensora T względem baz dualnych {Ea } i { Ea } : Ta1...ar b1...bs = T( Ea1, ... , Ear , Eb1, ... ,Ebs )
Możemy teraz zapisać odpowiednie zależności algebry tensorowej w p dla składowych tensorów : ( T + T’ )a1...ar b1...bs = Ta1...ar b1...bs + T’a1...ar b1...bs
(αT)a1...ar b1...bs = α Ta1...ar b1...bs
( T ⊗ T’ )a1...ar+p b1...bs+q = Ta1...ar b1...bs T’ar+1...ar+p bs+1...bs+q Zwykle zależności tensorowe będziemy zapisywać właśnie w takiej formie.
Jeśli {Ea’ } i { Ea’ } – jest drugą parą baz dualnych w Tp i T*p ich elementy można zapisać w bazach {Ea } i { Ea } w postaci :
Ea’ = Φa’ a Ea (2.2)
Ea’ = Φa’
a Ea (2.3)
Gdzie : Φa’ a , Φa’
a – nieosobliwe macierze n × n.
Ponieważ {Ea’ } i { Ea’ } są bazami dualnymi , to : δb’a’ = < Eb’ , Ea’ > = < Φb’
b Eb , Φa’ a Ea > = Φa’ a Φb’
b δab = Φa’ a Φb’
a tj. Φa’ a Φa’
a – są macierzami wzajemnie odwrotnymi i δab = Φa b’Φb’
b .
Składowe Ta’1...a’r b’1...b’s tensora T względem baz dualnych {Ea’ } i { Ea’ } są następujące : Ta’1...a’r b’1...b’s = T( Ea’1, ... Ea’r , Eb’1 ,... , Eb’s )
Związane są one ze składowymi Ta1...ar b1...bs zapisanymi względem baz {Ea } i { Ea } , zależnościami :
Ta’1...a’r b’1...b’s = Ta1...ar b1...bsΦa’1a1 ... Φa’rarΦb’1b1 ... Φb’sbs (2.4) Zawężenie (* contraction *) tensora T typu ( r, s) o składowych Tab...d ef...g zapisanymi względem baz {Ea } i { Ea } Względem pierwszego kontrawariantnego i pierwszego kowariantnego indeksu jest zgodnie z definicją tensorem C11 (T ) typu ( r- 1, s- 1) o składowych ( zapisanych dla powyższych baz ) Tab...d af...g , tj. :
C11 (T ) = Tab...d af...g Eb⊗ ... ⊗ Ed ⊗ Ef ⊗ ... ⊗Eg
Jeśli {Ea’ } i { Ea’ } są bazami dualnymi, to zawężenie zapisane w tych bazach ma postać : C’11 (T ) = Ta’b’...d’ a’f’...g’ Eb’⊗ ... ⊗ Ed’ ⊗ Ef’ ⊗ ... ⊗Eg’ = Φa’
aΦa
h’ Th’b’...d’a’f’...g’Φb’b ... Φd’d Φf’
f ...
...Φg’
g Eb⊗ ... ⊗ Ed ⊗ Ef ⊗ ... ⊗Eg = Tab...d ef...g Eb⊗ ... ⊗ Ed ⊗ Ef ⊗ ... ⊗Eg = C11 (T ) Zatem ,zawężenie tensora C11 nie zależy od bazy wykorzystanej przy jego określeniu.
W podobny sposób można zawężać T względem dowolnej pary indeksów kontrawariantnych i kowariantnych
( Jeśli zawężamy względem dwóch indeksów kontrawariantnych lub względem dwóch kowariantnych , to otrzymany tensor zależny byłby od bazy )
Symetryczną część tensora T typu (2, 0) jest tensor : S(T ) (η1, η2 ) = (1/2!) { T(η1, η2 ) + T( η2, η1 ) } Przy dowolnych η1, η2 ∈T*p.
Składowe S(T )ab tego tensora będziemy oznaczali T(ab), zatem : T(ab) = (1/2!) ( Tab + Tba )
Analogicznie, składowe antysymetrycznej (* skew-symmetric *) części T będziemy oznaczali przez : T[ab] = (1/2!) ( Tab - Tba )
Ogólnie dla oznaczenia składowych symetrycznej lub antysymetrycznej części tensora w zadanym zbiorze indeksów kontra i ko-wariantnych będziemy takie indeksy zamykali w nawiasach okrągłych i kwadratowych.
T(a1...ar)b...f = (1/r!) { suma po wszystkich permutacjach indeksów a1... ar w Ta1...ar b...f } T[a1...ar]b...f = (1/r!) { alternowana suma po wszystkich permutacjach indeksów a1... ar w Ta1...ar b...f } Przykładowo :
Ka[bcd] = 1/6 ( Kabcd + Kadbc + Kacdb - Kabdc - Kacbd - Kadcb )
Tensor jest symetryczny względem danego zbioru indeksów kontrawariantnych lub kowariantnych jeśli jest on równy swojej symetrycznej względem tych indeksów. Tensor jest antysymetryczny – jeśli jest on równy swojej
antysymetrycznej części. Przykładowo tensor T typu (0, 2) jest symetryczny, jeśli : Tab = ½ ( Tab + Tab ), własność tą możemy wyrazić zapisując : T[ab] = 0.
Szczególnie ważne są tensory typu (0, q ) antysymetryczne względem swoich q indeksach ( przy tym koniecznie q ≤ n ) Taki tensor nazywamy q-formą. Jeśli A i B są odpowiednio p- i q-formami , to możemy z nich zbudować (p+ q)-formę A ∧ B , gdzie ∧ oznacza antysymetryzowany iloczyn tensorowy ⊗, inaczej mówiąc A ∧ B jest tensorem typu ( 0, p+ q ) o składowych (* the skew symmetrized tensor product *) :
( A ∧ B )a…bc...f = A[a …bBc ... f ]
Z tej zależności wynika, że A ∧ B = (-1)pq ( B ∧ A ).
Przestrzeń form zewnętrznych ( tj. przestrzeń wszystkich p-form przy wszystkich p włączając formy liniowe jako 1-formy i skalary w charakterze 0-form ) wraz z działaniem iloczynu tworzą algebrę Grassmanna form zewnętrznych.
Niech { Ea } – będzie bazą form liniowych, wtedy formy Ea1 ∧ ... ∧ Eap ( ai = 1, ... , n ) tworzą bazę przestrzeni p-form ,ponieważ dowolna p-forma A może być przedstawiona w postaci : A = Aa...b Ea ∧ ... ∧ Eb , gdzie Aa...b = A[a...b].
Do tej pory rozpatrywaliśmy tensory, określone w pewnym ustalonym punkcie rozmaitości. Układ współrzędnych lokalnych { xi } określony na zbiorze otwartym U w M zadaje bazę wektorów {( ∂/∂xi )p } i bazę form liniowych ( 1-form { (dxi )p } ), zatem i bazę tensorów typu (r, s) w każdym punkcie U. Taka baza tensorów nazywa się bazą współrzędnościową.
Mówimy, że zostało określone pole tensorowe T typu (r, s) klasy Ck ( Ck –pole tensorowe ) określone na zbiorze V ⊂ M, jeśli w każdym punkcie p zbioru V zadano element przestrzeni Trs (p), taki, że składowe T względem dowolnej bazy współrzędnościowej , określonej na V są funkcjami Ck .
Ogólnie mówiąc nie musimy wykorzystywać bazy współrzędnościowej – nie ma bowiem konieczności aby na V dla zadanej bazy wektorów { Ea } można było znaleźć taki zbiór otwarty w którym istniałyby współrzędne lokalne { xa }, spełniające warunek Ea = ∂/∂xa i Ea = dxa. Jednakże wykorzystanie bazy współrzędnościowej prowadzi do pewnych uproszczeń, w szczególności, dla dowolnej funkcji f spełniona jest zależność Ea ( Ebf ) = Eb ( Eaf ), równoważna równości : ∂2f /∂xa∂xb = ∂2f /∂xb∂xa. Przy przejściu od bazy współrzędnościowej Ea’ = ∂/∂xa’ na mocy (2.2) i (2.3) mamy :
Φa’a = ∂xa/ ∂xa’ , Φa’
a = ∂xa’/ ∂xa
Jest jasne, że bazę o ogólnej postaci {Ea } można otrzymać z bazy współrzędnościowej {∂/∂xi }, zadając funkcję Eai , o składowych Ea w bazie {∂/∂xi }, wtedy (2.2) i (2.3) zapiszemy odpowiednio w postaci : Ea = Ei
a∂/∂xi ,Ea = Eia dxi , przy czym macierz Eai jest macierzą dualną do macierzy Eai .
2.3 Odwzorowania rozmaitości. (* Maps of manifolds *)
W tym paragrafie wykorzystując ogólne pojęcie odwzorowania Ck-rozmaitości podamy definicję pojęcia włożenia, zanurzenia i odwzorowania indukowanego tensorów (* imbedding, immersion, associated tensor maps *)
Pierwsze dwa pojęcia będą użyteczne później przy rozpatrywaniu podrozmaitości , trzecie odgrywa ważną rolę przy badaniu zachowania zbioru krzywych i przy studiowaniu własności symetrii rozmaitości.
