3) dla dowolnych pól tensorowych S, T spełniona jest zasada Leibniza :
4.1 Krzywe czasopodobne
Rozdział 4 Fizyczny sens krzywizny. (* The physical significance of curvature *)
W tym rozdziale rozpatrzymy w jaki sposób krzywizna CP wpływa na rodziny geodezyjnych czasopodobnych i izotropowych. Rodziny te mogą przedstawiać odpowiednio linie prądu cieczy i/lub linie świata fotonów.
W podrozdziałach 4.1, 4.2 wyprowadzimy wzory na prędkość obrotu, przesunięcia poprzecznego (* shear *) oraz ekspansji takich rodzin krzywych, równanie na prędkość ekspansji ( równanie Raychaudhuri's ) zajmuje centralne miejsce w dowodzie twierdzenia o osobliwościach przedstawionego w rozdziale 8.
W podrozdziale 4.3 omawiamy ogólne nierówności dla tensora energii-pędu , z których to wynika, że grawitacyjne działanie materii zawsze dąży do zbliżenia geodezyjnych czasopodobnych i izotropowych. Z wyników osiągniętych w podrozdziale 4.4 widać, że następstwem tych warunków energetycznych jest pojawienie się punktów sprzężonych lub ogniskowych w nie rotujących rodzinach krzywych czasopodobnych lub izotropowych, ogólnej postaci. W podrozdziale 4.5 pokazano, że z istnienia takich punktów wynika istnienie takich wariacji krzywych między dwoma punktami, które przeprowadzają geodezyjną izotropową w krzywą czasopodobną lub geodezyjną czasopodobną w krzywą czasopodobną o większej długości.
4.1 Krzywe czasopodobne.
W rozdziale 3 widzieliśmy, ze przy metryce stacjonarnej istnieje związek między długością czasopodobnego wektora Killinga i potencjałem newtonowskim. Czy dane ciało znajduje się w polu grawitacyjnym można stwierdzić, sprawdzając czy jest ono przyspieszane lub nie, w sytuacji kiedy wyprowadzimy to ciało ze stanu spoczynku względem statycznego układu odniesienia, zadawanego przez takie wektory Killinga. Jednakże w ogólnym przypadku w CP może nie występować ani jeden wektor Killinga i wtedy nie będzie żadnego wydzielonego układu odniesienia, dogodnego dla pomiaru takiego przyspieszenia. Wszystko co w takim przypadku można zrobić, to wziąć dwa bliskie sobie ciała i zmierzyć ich przyspieszenie względne. Takie pomiar pozwala określić gradient pola grawitacyjnego. Jeśli rozpatrywać metrykę jako analog potencjału newtonowskiego, to gradientowi pola newtonowskiego będą odpowiadały drugie pochodne metryki. Określone są one poprzez tensor Riemanna. Dlatego też można oczekiwać, że przyspieszenie względne dwóch sąsiednich ciał będzie związane z jakimiś składowymi tensora Riemanna.
Aby ustalić ten związek w sposób ścisły, zbadamy zachowanie kongruencji krzywych czasopodobnych o jednostkowym wektorze stycznym V ( g( V, V ) = - 1 ). Krzywe te mogą przedstawiać linie prądu cieczy lub ( w tym przypadku, kiedy są one geodezyjnymi ) historie ciał próbnych. W przypadku cieczy idealnej, zgodnie z (3.10) :
( µ + p )V
.
a = - p; b hab (4.1)gdzie : V
.
a = Va; b Vb – przyspieszenie linii prądu, ha b = δab + Va Vb – tensor, który rzutuje wektor V ∈ Tq na podprzestrzeń Hq przestrzeni Tq ortogonalną do V. hab można rozpatrywać jako metrykę w Hq.
( zobacz podrozdział 2.7)
Niech λ(t) będzie pewną krzywą o wektorze stycznym Z = ( ∂/∂t )λ , wtedy możemy zbudować rodzinę krzywych λ(t, s), przenosząc każdy punkt krzywej λ(t) na odległość s , wzdłuż krzywych całkowych V. Jeśli zdefiniować teraz Z jako ( ∂/∂t )λ(t, s ) , to z definicji pochodnej Liego ( zobacz podrozdział 2.4 ) wynika, że LV Z = 0, lub inaczej mówiąc : D/∂s Za = Va
; b Zb
(4.2)
Wielkość Z można interpretować jako wektor, reprezentujący położenie względne wskazanych powyżej dwóch punktów na dwóch sąsiednich krzywych, które znajdują się na równej odległości od pewnych dowolnych punktów początkowych.
Jeśli do Z dodamy wektor będący krotnością V , to otrzymany wektor będzie przedstawiał położenie względne punktów tych właśnie dwóch krzywych, ale znajdujących się teraz na różnych odległościach. W rzeczywistości interesuje nas
tylko dewiacja sąsiednich krzywych (* separation of neighbouring curves *), a nie położenie oddzielnych punktów na tych krzywych. Dlatego powinniśmy się posługiwać Z , które jest określone z dokładnością do składowej równoległej V tj. tylko rzutem Z w każdym punkcie q na przestrzeń Qq, która składa się z klas równoważności wektorów, różniących się tylko dodaniem wektora będącego krotnością V. Przestrzeń tą można wyobrazić sobie jako podprzestrzeń Hq przestrzeni Tq, składająca się z wektorów ortogonalnych do V. Rzutowanie Z na Hq będziemy oznaczali przez
⊥Za = hab Zb . W przypadku cieczy ⊥Z można rozpatrywać jako odległość między dwoma sąsiednimi jej cząstkami, mierzoną w ich układzie spoczynkowym.
Z (4.2) wynika, że :
⊥( D/∂s) ( ⊥Za ) = Va; b ⊥Zb (4.3)
Wzór ten zadaje prędkość zmiany dewiacji dwóch nieskończenie bliskich krzywych, mierzoną w Hq. Stosując do (4.3) operacje D/∂s jeszcze raz i rzutując na Hq otrzymujemy :
ha b D/∂s ( hbc D/∂s ⊥Zc ) = hab ( Vb
Zmieniając porządek różniczkowania w pierwszym członie oraz wykorzystując (4.2) otrzymamy : ha b D/∂s ( hbc D/∂s ⊥Zc ) = - Rabcd ⊥Zc Vb Vd
+ ha
b V
.
b; c ⊥Zc + V.
a V.
b ⊥Zb (4.4)Równanie to znane jest jako równanie dewiacji lub równanie Jakobiego, zadaje ono przyspieszenie względne tj. drugą pochodną po czasie dewiacji dwóch nieskończenie bliskich krzywych, mierzoną w Hq. Widać, że jeśli te krzywe są geodezyjnymi , to dewiacja zależy tylko od tensora Riemanna.
W teorii newtonowskiej przyspieszenie każdej cząstki określone jest przez gradient potencjału Φ i dlatego przyspieszenie względne dwóch cząstek na odległości Za jest równe Φ; ab Zb. Zatem, człon z tensorem Riemanna Rabcd Vb Vd jest analogiczny do członu newtonowskiego Φ; ac. Działanie tej „siły pływowej” (* tidal force *) dobrze ilustruje przykład sfery , składającej się ze swobodnie spadających na Ziemie cząstek. Każda cząstka porusza się po prostej przechodzącej przez środek Ziemi, jednak cząstki jej bliższe spadają szybciej od tych , które znajdują się dalej od środka Ziemi. To oznacza, że sfera nie zachowuje swojej formy i deformuje się do elipsoidy z zachowaniem jedynie objętości
początkowej.
Aby zbadać równanie dewiacji, wprowadzimy w dowolnym punkcie q, krzywej całkowej γ(s) wektora V dualne bazy ortounormowane : E1, E2, E3 , E4 i E1, E2 , E3, E4 przestrzeni Tq i T*q przy czym E4
= V.
Należałoby teraz przenieść te bazy wzdłuż krzywej γ(s), tak aby uzyskać takie bazy w każdym punkcie γ(s). Jednakże przy przeniesieniu równoległym baz wzdłuż γ(s) ( tj. kiedy D/∂s dla każdego wektora zeruje się ) E4 nie będzie pozostawał równy V, a E1, E2 , E3 nie pozostaną prostopadłe do V, jeśli γ(s) nie jest geodezyjną.
Dlatego wprowadzimy nową pochodną wzdłuż γ(s), będzie to tzw. pochodna Fermiego DF/∂s. Dla pola wektorowego X ,określonego wzdłuż γ(s) definiujemy ją następującym wzorem :
DF ( X )/ ∂s = DX /∂s – g ( X, DV/ ∂s ) V + g ( X, V ) DV /∂s
( Ostatnia własność pokazuje, że pochodna Fermiego jest naturalnym uogólnieniem pochodnej D/∂s ).
Zatem, jeśli przenieść bazę ortounormowaną przestrzeni Tq wzdłuż γ(s) tak, aby pochodna Fermiego każdego wektora bazowego była równa zeru, otrzymamy bazę ortounormowaną w każdym punkcie γ(s) o E4 = V.
Wektory E1, E2 , E3 można interpretować jako wersory osi nie rotującego układu współrzędnych określonego wzdłuż γ(s). Fizycznie można je zrealizować za pomocą żyroskopów, których osie skierowane są wzdłuż wersorów.
Definicję pochodnej Fermiego dla pól wektorowych określonych wzdłuż γ(s) można rozszerzyć na dowolne pola tensorowe w standardowy sposób, mianowicie.
I. DF /∂s przedstawia sobą odwzorowanie liniowe pól tensorowych typu ( r, s) wzdłuż γ(s) na pola tensorowe typu (r, s) które komutuje z zawężeniami.
II. DF /∂s ( K ⊗ L ) = DFK / ∂s ⊗ L + K ⊗ DFL / ∂s III. DFf / ∂s = df/ds
Gdzie : f – dowolna funkcja.
Z tych zasad wynika, że nad bazą dualną E1, E2 , E3, E4 przestrzeni T*q również możemy dokonywać przeniesienia Fermiego wzdłuż γ(s). Wykorzystując pochodną Fermiego (4.3) i (4.4) można przepisać do postaci :
DF /∂s ⊥Za = Va; b ⊥Zb (4.5) D2F / ∂s2 ⊥Za = - Rabcd ⊥Zc Vb Vd + ha
b V
.
b; c ⊥Zc + V.
a V.
b ⊥Zb (4.6)Zależności te można wyrazić poprzez bazy dualne, otrzymane za pomocą przeniesienia Fermiego. Ponieważ ⊥Z jest ortogonalne do V , występują dla niej tylko składowe względem E1, E2, E3. Odpowiednio, można je przedstawić jako Zα Eα , jeśli przyjmiemy, że indeksy greckie przyjmują wartości 1, 2, 3. Wtedy (4.5) i (4.6) można zapisać poprzez zwykłe pochodne :
Ponieważ składowe Zα spełniają liniowe równanie różniczkowe zwyczajne 1- rzędu (4.7), składowe te można wyrazić Poprzez ich wartości w pewnym punkcie :
Zα (s) = Aαβ (s) Zβ
| q (4.9)
Gdzie : Aαβ – macierz 3 × 3 , która w punkcie q jest równa macierzy jednostkowej i spełnia równanie :
d/ds Aαβ (s) = Vα; γ Aγβ (s) (4.10)
W przypadku cieczy można przyjąć, że macierz ta zadaje formę i orientacje małego elementu cieczy, sferycznego w punkcie q. Taką macierz możemy zapisać w następującej postaci :
Aαβ = Oαβ Sαβ (4.11)
Gdzie : Oαβ – macierz ortogonalna o dodatnim wyznaczniku, Sαβ – macierz symetryczna.
Oαβ i Sαβ mogą być wybrane w punkcie q jako równe macierzy jednostkowej , przy czym Oαβ można rozpatrywać jako macierz charakteryzującą rotacje sąsiednich krzywych względem bazy, otrzymanej za pomocą przeniesienia Fermiego, a Sαβ – jako macierz opisująca przemieszczenie takich krzywych względem γ(s). Przy tym wyznacznik Sαβ , który jest równy wyznacznikowi Aαβ charakteryzuje trójwymiarową objętość wyciętej poprzez sąsiadujące krzywe powierzchni ortogonalnej do γ(s).
W punkcie q, gdzie Aαβ – jest macierzą jednostkową, pochodna dOαβ /ds. jest antysymetryczna ,a dAαβ /ds jest symetryczna. Zatem, antysymetryczna część Vα; β zadaje prędkość rotacji krzywych sąsiadujących w punkcie q, a część symetryczna zadaje prędkość zmiany dewiacji od γ(s), prędkość zmiany objętości określona jest poprzez ślad Vα; β . Dlatego wprowadzimy teraz tensor obrotu (* vorticity tensor *) :
ωab = hac hbd V[ c ; d ] (4.12)
tensor rozpływu (*expansion tensor *) :
θab = hac hbd V( c ; d ) (4.13)
oraz rozpływ objętościowy (* volume expansion *) :
θ = θab hab = Va; b hab = Va; a (4.14)
Dalej zdefiniujemy również tensor przesunięcia poprzecznego (* shear tensor *0, jako bezśladową część θab :
σab = θab – 1/3 habθ (4.15)
oraz wektor obrotu (* vorticity vector *) :
ωa = ½ ηabcd Vbωcd = ½ ηabcd Vb Vc ; d (4.16)
Pochodną kowariantną wektora V można wyrazić przez powyżej zdefiniowane wielkości : Va; b = ωab + σab + 1/3 θhab - V
.
α Vb
.
(4.17)Takie rozłożenie gradientu wektora prędkości cieczy jest analogiczne do odpowiedniego rozkładu w newtonowskiej hydrodynamice.
W bazie ortounormowanej, otrzymanej za pomocą przeniesienie Fermiego, rotacja i rozpływ może być zapisana za pomocą macierzy Aα; β i odwrotnej do niej macierzy A-1
αβ :
Jeśli znany jest tensor Riemanna, to równanie to pozwala obliczyć rozkład rotacji (* propagation of the vorticity *)
przesunięcia oraz rozpływu wzdłuż krzywych całkowych V.
Mnożąc (4.21) przez A-1βγ i biorąc antysymetryczną część, otrzymamy :
d/ds ωαβ = 2ωγ[ α θβ] γ + V
.
[α ; β].
(4.22)Zatem, rozkład rotacji zależy od antysymetryzowanego gradientu przyspieszenia , ale nie od „siły pływowej”.
Zapiszmy to równanie w innej formie :
d/ds ( Aγα ωγδ Aδβ ) = Aγα V
.
[γ ; δ] Aδβ (4.23)Stąd widać, że Aγα ωγδ Aδβ – jest stałą macierzą, jeśli rozpatrywane krzywe są geodezyjnymi, w szczególności, jeśli rotacja zeruje się w jednym punkcie dowolnej krzywej, to w przypadku geodezyjnych będzie ona równa zeru we wszystkich punktach tej krzywej. Jeśli te krzywe reprezentują linie prądu cieczy idealnej, to z (4.1) wynika, że : V
.
[α ; β] = - (1/ µ + p ) ωαβ (dp/ds )Jeśli ciecz jest isentropiczna, to stad wynika, prawo zachowania :
WAγα ωγδ Aδβ = cosnst. (4.24)
Prawo to przedstawia sobą relatywistyczną formę newtonowskiego prawa zachowania momentu pędu. W przypadku geodezyjnym lub w przypadku braku ciśnienia sprowadza się ono do standardowego stwierdzenia, że wielkość wektora momentu pędu jest odwrotnie proporcjonalna do pola powierzchni przekroju elementu cieczy, ortogonalnego do tego wektora. W przypadku kiedy ciśnienie nie jest równe zeru, pojawia się dodatkowy efekt relatywistyczny, pojawiający się w związku z tym, że ciśnienie wykonuje pracę nad cieczą, na skutek której wzrasta masa, a odpowiednio do tego bezwładność elementu cieczy. To oznacza, że rotacja cieczy pod ciśnieniem wzrasta wolniej, niż można byłoby oczekiwać w przypadku nie uwzględnienia ciśnienia.
Mnożąc (4.21) przez A-1βγ i biorąc symetryczną część, znajdujemy : d /ds θαβ = - Rα4γ4 - ωαγ ωγβ - θαγ θγβ + V
.
(α ; β ) + V.
α V
.
β
.
(4.25)Równania (4.25) I (4.23) można zapisać w ogólnej bazie ( nie ortounormowanej i nie koniecznie otrzymanej na drodze przeniesienia Fermiego ) przy pomocy zamiany pochodnych cząstkowych na pochodne Fermiego , a następnie
rzutowanie na podprzestrzeń ortogonalną do V.
Równanie to po raz pierwszy otrzymał Landau i niezależnie Raychaudhuri’a , w dalszym ciągu będzie ono odgrywało bardzo ważną rolę. Z równania tego widać, że rotacja generuje rozpływ, tak jak należało oczekiwać analogicznie do siły dośrodkowej (*centrifugal force *), podczas gdy przesunięcie prowadzi do skupiania (* shear induces contraction *) Zgodnie z równaniami pola dla idealnej cieczy, której wektorem stycznym do linii prądu jest Va mamy :
Rab Va Vb = 4π ( µ + 3p )
Dlatego można oczekiwać, że ten człon również prowadzi do skupiania. Ogólne badanie znaku tego członu zostanie zaprezentowane w podrozdziale 4.3.
Ponieważ tensor Weyla ma zerowy ślad nie wchodzi on bezpośrednio do równania rozpływu (4.26), ale w wyniku obecności członu –2σ2 , po prawej stronie powyższego równia, tensor Weyla indukuje przesunięcie, pośrednio wywołując również zbieganie się krzywych. Tensor Riemanna wyraża się poprzez tensor Weyla i tensor Ricciego : Rabcd = Cabcd – ga[d Rc]b – gb[c Rd]a – 1/3 Rga[c gd]b
Tensor Ricciego określony jest poprzez równania Einsteina : Rab – ½ gabR + Λgab = 8πTab
Odpowiednio, tensor Weyla przedstawia sobą tą część krzywizny, która lokalnie nie jest określona przez rozkład materii.
(* Thus the Weyl tensor is that part of the curvature which is not determined locally by the matter distribution *) Jednakże nie może on być tak zupełnie dowolny, ponieważ tensor Riemanna powinien spełniać tożsamości Bianchi : Rab[cd; e] = 0
Powyższą zależność możemy przepisać następująco :
Cabcd; d = Jabc (4.28)
Gdzie :
Jabc = Rc[a; b] + 1/6 gc[b
R; a] (4.29)
Zależność ta jest podobna do równań Maxwella w elektrodynamice : Fab;b = Ja
Gdzie : Fab – tensor pola EM , Ja – prąd źródeł.
Zatem , tożsamości Bianchi (4.28) w pewnym sensie można uważać za równania pola dla tensora Weyla, będącego tą częścią krzywizny w danym punkcie, która zależy od rozkładu materii w innych punktach. ( podejście to było wykorzystane w celu analizy zachowania promieniowania grawitacyjnego w pracach [71, 113, 116 ] ).
4.2 Krzywe izotropowe. (* Null curves *)
Podobnie jak w przypadku krzywych czasopodobnych, tensor Riemanna będzie wpływał na prędkość zmiany rozkładu względnego krzywych izotropowych. Dla uproszczenia rozpatrzymy tylko geodezyjne izotropowe. Mogą one
reprezentować linie świata fotonów, wpływ tensora Riemanna będzie polegał na zakrzywieniu lub ogniskowaniu małych pęków promieni świetlnych. (* the Riemann tensor will be to distort or focus small bundles of light rays *)
Aby zbadać to zjawisko, rozpatrzymy równanie dewiacji dla kongruencji geodezyjnych izotropowych o wektorze stycznym K ( g ( K, K ) = 0 ). Mamy tutaj jednak dwie zasadnicze różnice od przypadku krzywych czasopodobnych, rozpatrzonego w poprzednim podrozdziale.
Po pierwsze, poprzednio dysponowaliśmy możliwością normalizacji wektorów stycznych V do krzywych czasopodobnych za pomocą warunku g ( V, V ) = - 1. W istocie oznaczało to, że krzywe były parametryzowane długością drogi s. Jest jasne, że nie jest to możliwe dla krzywych izotropowych, ponieważ ich długość jest zerowa.
To co możemy zrobić w tym przypadku, jest wykorzystanie parametru afinicznego v, wtedy wektor styczny K spełnia równanie :
D/dv Ka = Ka
; bKb = 0
Jednakże v możemy pomnożyć przez funkcje f, stałą wzdłuż każdej krzywej. Wtedy, fv będzie innym parametrem afinicznym i odpowiadający mu wektor styczny będzie miał postać f -1K. Zatem, jeśli krzywe zadane są jako zbiory punktowe na rozmaitości, to wektor styczny będzie jednoznaczny tylko z dokładnością do czynnika, stałego wzdłuż każdej z takich krzywych.
Po drugie, inna różnica polega na tym, że Qq , przestrzeń ilorazowa Tq względem K , nie jest teraz izomorficzna Hq tj. w podprzestrzeni Tq ortogonalnej do K, w wyniku tego, że g ( K, K ) = 0 sam wektor K również zawarty jest w Hq. W istocie, jak będzie to pokazane dalej rzeczywisty interes przedstawia nie przestrzeń Qq ,globalnie, ale tylko jej podprzestrzeń Sq ,składająca się z klas równoważności wektorów Hq ,które różnią się tylko o wektor będący krotnością K. W przypadku promieni świetlnych element Sq możemy rozpatrywać jako wektor opisujący dewiacje dwóch bliskich promieni, wypromieniowanych przez źródło w jednej i tej samej chwili.
Podobnie ja poprzednio , wprowadzimy bazy dualne E1, E2, E3 , E4 i E1, E2 , E3, E4 przestrzeni Tq i T*q w pewnym punkcie q na krzywej γ(v). Nie będziemy jednak przyjmować je jako bazy ortonormalne, E4 wybierzemy równe K, a w charakterze E3 weźmiemy pewien inny wektor izotropowy L , iloczyn skalarny którego z E4, jest równy –1, tj.
g( E3, E3 ) = 0 , g( E3, E3 ) = - 1 a E1i E2 niech będą jednostkowymi wektorami przestrzennopodobnymi, ortogonalnymi wzajemnie oraz do wektorów E3, E4.
g( E1, E1 ) = g( E2, E2 ) = g( E1, E2 ) = g( E1, E3 ) = g( E1, E4 ) = 0 itd.
Zauważmy, że na mocy nieortonormalnego charakteru takiej bazy forma E3 będzie równa formie – Kagab ,
E4 = - Lagab. Można się przekonać, że E1, E2, E4 tworzą bazę w Hq podczas gdy rzuty wektorów E1, E2, E3 na Qq tworzą bazę w Qq
.
, rzuty E1 i E2 tworzą bazę w Sq. Jak zwykle nie będziemy rozróżniali wektora Z i jego rzutu na Qq lub Sq. Bazę E1, E2, E3 , E4 posiadająca wskazane własności będziemy nazywali pseudoortonormalną. Poprzez przeniesienie równoległe tych wektorów wzdłuż geodezyjnej γ(v) otrzymamy taką bazę w każdym punkcie γ(v).Bazę tak zdefiniowaną wykorzystamy dla analizy równania dewiacji geodezyjnych izotropowych. Jeśli Z – jest
wektorem dewiacji, reprezentującym rozkład względny odpowiadających sobie punktów na krzywych sąsiadujących, to tak jak i poprzednio mamy :
W bazie pseudoortonormalnej Ka; 4 = 0 ponieważ wektor K jest styczny do geodezyjnej. Dlatego przy a = 1, 2, 3 równanie (4.30) może być przedstawione jako układ równań różniczkowych zwyczajnych :
d/dv Za = Ka; β Zβ
gdzie, podobnie jak i poprzednio indeksy greckie przyjmują wartości 1, 2, 3.