Definicja pochodnych wyższych rzędów

Jeśli funkcja f : A → R, gdzie A ⊂ R, jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru A, to funkcję g : A → R taką, że g(a) = f⁰(a) dla każdego a ∈ A, nazywamy pierwszą pochodną funkcji f. Pochodne wyższych rzędów definiuje się indukcyjnie. Służą one, jak się przekonamy, do aproksymacji funkcji wielomianami, do badania ekstremów, a także (druga pochodna) do określania wypukłości. Zacznijmy od definicji.

Definicja 6.48 (pochodne wyższych rzędów). Niech n ∈ N i niech P będzie przedzia-łem otwartym w R, a ∈ P . Jeśli w każdym punkcie przedziału P funkcja : P → R ma pochodne do rzędu (n − 1) włącznie, to mówimy, że f ma n-tą pochodną w a (lub: po-chodną rzędu n w a) wtedy i tylko wtedy, gdy f⁽ⁿ⁻¹⁾ jest różniczkowalna w punkcie a.

Przyjmujemy

f⁽ⁿ⁾(a) = lim

x→a

f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) − f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)

x − a .

4Nietrudno zobaczyć, że φ dobieramy tak, aby mieć φ⁰= 0 ⇔ f⁰= c.

Krótko mówiąc, górny indeks w nawiasie oznacza liczbę wykonanych różniczkowań.

Zatem, f⁽⁰⁾ = f , f⁽¹⁾ = f⁰, f⁽²⁾ = f⁰⁰ = (f⁰)⁰, f⁽³⁾ = (f⁽²⁾)⁰ = (f⁰⁰)⁰ = f⁰⁰⁰. Primów nie uży-wamy do oznaczania pochodnych rzędu wyższego niż trzeci. Ogólna, indukcyjna reguła podana w definicji orzeka, iż f⁽ⁿ⁾= f⁽ⁿ⁻¹⁾
0

w tych punktach, w których funkcja f⁽ⁿ⁻¹⁾ jest różniczkowalna.

Przykład 6.49. a) Jeśli f (x) = exp(x) dla x ∈ R, to – jak już wiemy – f⁰(x) = exp(x) = f (x). Nietrudno stąd wywnioskować, że f ma pochodne wszystkich rzędów: f⁰⁰ = (f⁰)⁰ = f⁰ = f , f⁰⁰⁰= (f⁰⁰)⁰= f⁰ = f i ogólnie f⁽ⁿ⁾= f dla każdego n ∈ N.

b) Posługując się wzorami na pochodne sinusa i cosinusa (patrz Stwierdzenie6.22), łatwo sprawdzamy, że

(sin x)⁽²ⁿ⁾= (−1)ⁿsin x, (sin x)⁽²ⁿ⁻¹⁾ = (−1)ⁿ⁺¹cos x, n = 1, 2, . . . , (6.4) (cos x)⁽²ⁿ⁾= (−1)ⁿcos x, (cos x)⁽²ⁿ⁻¹⁾= (−1)ⁿsin x, n = 1, 2, . . . . (6.5) c) Ze wzoru na pochodną logarytmu naturalnego (patrz Stwierdzenie6.25) i pochodną

funkcji potęgowej otrzymujemy dla n ≥ 1 (ln y)⁽ⁿ⁾= y⁻¹
(n−1)

= −y⁻²
(n−2)

= . . . = (−1)ⁿ⁻¹(n − 1)!y⁻ⁿ, y > 0, (6.6) ln(1 + x)
(n)

= (−1)ⁿ⁻¹(n − 1)!(1 + x)⁻ⁿ, x > −1 . (6.7) (Obu wzorów dowodzi się tak samo, przez łatwą indukcję.)

d) Jeśli m, k ∈ Z są nieujemne, to wówczas x^m
(k)

=

 m(m − 1) · . . . · (m − k + 1)x^m−k, 0 ≤ k ≤ m ,

0, k > m . (6.8)

Pochodna tego rzędu sumy dwóch funkcji krotnie różniczkowalnych jest sumą n-tych pochodnych składników, tzn. (f + g)⁽ⁿ⁾= f⁽ⁿ⁾+ g⁽ⁿ⁾. Dowód jest oczywisty i wynika ze wzoru na pochodną sumy. Wzory na wyższe pochodne złożenia funkcji i funkcji od-wrotnej są dość zawiłe, ale w razie potrzeby można je wyprowadzić, wykonując czysto mechaniczną pracę. Odnotujmy natomiast wzór Leibniza na n-tą pochodną iloczynu. Z mnemotechnicznego punktu widzenia jest on “taki sam”, jak dwumian Newtona.

Stwierdzenie 6.50 (wzór Leibniza). Jeśli P ⊂ R jest przedziałem, a ∈ P i f, g : P → R są n-krotnie różniczkowalne w a, to wówczas

(f g)⁽ⁿ⁾(a) =

n

X

j=0

n j



f^(j)(a)g^(n−j)(a).

Szkic dowodu. Dowód jest łatwy; prowadzi się go przez indukcję, korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu i tożsamości _j−1ⁿ
+ ⁿ_j
= ⁿ⁺¹_j

. Sprawdzimy tylko wzór na (f g)⁰⁰: (f g)⁰⁰= (f g)⁰
0

= f⁰g + f g⁰
0

= f⁰⁰g + f⁰g⁰+ f⁰g⁰+ f g⁰⁰ = f⁰⁰g + 2f⁰g⁰+ f g⁰⁰, pozostawiając resztę szczegółów zainteresowanym. 

132 ostatnie poprawki: 14 grudnia 2018 6.4.2 Wzór Taylora

Najważniejszym wzorem w Analizie, wykorzystującym pochodne wyższych rzędów, jest tak zwany wzór Taylora. Służy on do przybliżania funkcji n-krotnie różniczkowalnych wielomianami, z pewną kontrolą błędu przybliżenia (jakość i stopień tej kontroli zależą od tego, ile wiemy o danej funkcji). W najprostszym przypadku, dla wielomianów, wynika on ze związku między współczynnikami wielomianu i wartościami pochodnych wielomianu w zerze, który z kolei łatwo otrzymać ze wzoru (6.8).

Prześledźmy odpowiedni rachunek. Niech P (x) =

n

X

j=0

ajx^j = a0+ a1x + a2x²+ · · · + anxⁿ

będzie wielomianem stopnia n o współczynnikach rzeczywistych. Wówczas P⁰(x) = a₁+ 2a₂x + · · · + na_nxⁿ⁻¹=

n

X

j=1

ja_jx^j−1,

P⁰⁰(x) = 2a2+ · · · + n(n − 1)anxⁿ⁻²=

n

X

j=2

j(j − 1)ajx^j−2, ...

P^(k)(x) =

n

X

j=k

j(j − 1) · . . . · (j − k + 1)a_jx^j−k dla k ≤ n.

W szczególności, P⁽ⁿ⁾(x) = n!a_ndla każdego x ∈ R, a ponadto

P^(k)(0) = k!ak, k = 0, 1, . . . , n. (6.9) Stwierdzenie 6.51 (Wzór Taylora dla wielomianów). Jeśli P jest wielomianem stop-nia n, to wówczas

P (x) = P (0) + P⁽¹⁾(0)

1! x + · · · +P⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ=

n

X

j=0

P^(j)(0)

j! x^j; (6.10) P (w) = P (x0) +P⁽¹⁾(x0)

1! (w − x0) + · · · +P⁽ⁿ⁾(x0)

n! (w − x0)ⁿ (6.11)

=

n

X

j=0

P^(j)(x₀)

j! (w − x₀)^j. (6.12)

Dowód. Pierwszy wzór wynika z relacji (6.9) między współczynnikami wielomianu P i jego pochodnymi w zerze. Aby otrzymać drugi wzór, wystarczy zastosować pierwszy do wielomianu Q, gdzie Q(w − x0) = P (w). Wtedy Q^(k)(0) = P^(k)(x₀) dla dowolnego k. 

Jeśli k > n, to oczywiście (a0+ a1x + a2x²+ · · · + anxⁿ)^(k)= 0 dla wszystkich x. Oka-zuje się, że taki warunek spełniają na prostej tylko wielomiany odpowiedniego stopnia.

Odnotujmy ten fakt.

Stwierdzenie 6.52. Jeśli f : R ⊃ P → R, gdzie P jest przedziałem, jest k-krotnie różnicz-kowalna i f^(k)≡ 0, to f jest wielomianem stopnia co najwyżej k − 1.

Dowód. Dowodzimy przez indukcję względem k. Jeśli k = 1, to z Wniosku 6.43wynika, że f = const, a więc f jest wielomianem stopnia 0 i teza zachodzi.

Załóżmy prawdziwość stwierdzenia dla liczby k. Niech f będzie (k + 1)-krotnie róż-niczkowalna i f^(k+1) ≡ 0. Wówczas f^(k)(x) ≡ c ∈ R na mocy Wniosku6.43. Rozpatrzmy ϕ(x) = f (x) − cx^k/k!. Oczywiście,

ϕ^(k)(x) = f^(k)(x) − k! · c/k! = 0 .

a więc na mocy założenia indukcyjnego ϕ jest wielomianem stopnia co najwyżej k − 1.

Zatem, f (x) = ϕ(x) + akx^k, gdzie ak = c/k!, jest wielomianem stopnia co najwyżej k.  Twierdzenie 6.53 (wzór Maclaurina z resztą w postaci Peano). Niech P ⊂ R będzie przedziałem, 0 ∈ P . Załóżmy, że f : P → R ma (k − 1) pochodnych w przedziale P i k-tą pochodną w punkcie 0. Wtedy

f (x) =

k

X

j=0

f^(j)(0)

j! x^j+ r(x), (6.13)

gdzie reszta r(x) spełnia warunek

x→0lim r(x)

x^k = 0. (6.14)

Intuicyjny sens tego twierdzenia jest jasny: funkcję, która ma (k − 1) pochodnych w pewnym przedziale i k-tą pochodną w pewnym ustalonym punkcie (jak zobaczymy póź-niej, zero nie odgrywa tu żadnej szczególnej roli), to w pobliżu tego punktu można tę funkcję przybliżać wielomianami stopnia k, przy czym błąd przybliżenia ma, dla małych x-ów, mniejszy rząd niż x^k.

Liczne przykłady zastosowań tego twierdzenia Czytelnik zobaczy później (także na ćwiczeniach). Najpierw przytoczymy

Dowód. Krok 1. Niech najpierw k = 1. Wtedy wzór Maclaurina przybiera postać f (x) = f (0) + f⁰(0)x + r(x), a równość

x→0lim r(x)

x = lim

x→0

 f (x) − f (0)

x − f⁰(0)



= 0 wynika wprost z definicji pochodnej.

Krok 2. Rozpatrzymy teraz przypadek szczególny: niech funkcja φ : P → R spełnia waru-nek

φ^(j)(0) = 0 dla j = 0, 1, . . . , k. (6.15) Dla takiej φ prawa strona (6.13) składa się z samej ‘reszty’, tzn. wzór Maclaurina przy-biera postać φ(x) = r(x). Trzeba więc wykazać, że dla każdej takiej funkcji zachodzi równość

x→0lim φ(x)

x^k = 0. (6.16)

134 ostatnie poprawki: 14 grudnia 2018

Udowodnimy to przez indukcję względem k. Przypadek k = 1 już rozpatrzyliśmy.

Niech φ spełnia warunek (6.15) dla k = q + 1. Wtedy ψ = φ⁰ spełnia ten sam warunek dla k = q. Piszemy, stosując do φ twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej na odcinku o końcach 0 i x,

φ(x)

x^q+1 = φ(x) x · 1

x^q = φ⁰(tx) · 1

x^q dla pewnego t ∈ (0, 1)

= ψ(tx) · 1

(tx)^q · t^q −→ 0 dla x → 0

na mocy założenia indukcyjnego, zastosowanego do funkcji ψ. To kończy dowód wzoru Maclaurina dla funkcji φ, spełniających dodatkowy warunek (6.15).

Krok 3. Przypadek ogólny. Dla f spełniającej założenia twierdzenia kładziemy

φ(x) = f (x) −

k

X

j=0

f^(j)(0) j! x^j,

tzn. po prostu φ(x) = r(x). Nietrudno sprawdzić, że φ^(j)(0) = f^(j)(0) − f^(j)(0) = 0, więc φ spełnia założenie (6.15). Zgodnie z poprzednim krokiem dowodu, zachodzi więc warunek (6.16), tzn. φ(x)/x^k = r(x)/x^k→ 0 dla x → 0. 

Podkreślmy: w całym twierdzeniu chodziło tylko o zbadanie zachowania reszty r(x) dla małych x. To był kluczowy problem.

Otrzymany wzór Maclaurina można “przesunąć” na dowolny inny przedział P ⊂ R, z wyróżnionym punktem x0. Jeśli f (x) = ϕ(x − x0), to f^(j)(x₀) = ϕ^(j)(0) dla wszystkich j, dla których pochodne rzędu j istnieją. Zachodzi więc także następujący fakt.

Wniosek 6.54 (wzór Taylora z resztą w postaci Peano). Niech P ⊂ R będzie prze-działem otwartym, x₀ ∈ P . Załóżmy, że f : P → R ma (k − 1) pochodnych na P i k-tą pochodną w punkcie x₀. Wówczas

f (x) =

k

X

j=0

f^(j)(x₀)

j! (x − x0)^j+ r(x), lim

x→x0

r(x)

(x − x0)^k = 0 . Uwaga 6.55 (terminologia). Wielomian

k

X

j=0

f^(j)(x0)

j! (x − x0)^j

nazywa się k-tym wielomianem Taylora funkcji f w punkcie x0 (gdy x0 = 0, używamy nazwy wielomian Maclaurina). Zamiast podawać warunek (6.14), pisze się czasem r(x) = o(x^k) dla x → 0. Symbol po prawej stronie to tzw.“o małe”; napis

f (x) = o(g(x)) dla x → a

oznacza po prostu, że granica limx→a(f (x)/g(x)) = 0. Taki język jest czasem bardzo wy-godny, co zobaczymy w konkretnych przykładach.

Funkcja f (x) = 6 − x +³₂cos x +¹₂cos(2πx) i jej wielomiany Taylora–Maclaurina w punkcie x0= 0 dla n = 1 (styczna do wykresu), dla n = 5 (górne rysunki), dla n = 15 i n = 40 (środkowe rysunki), i wreszcie dla n = 52 i n = 82 (dolne rysunki). Jak widać, wykresy f i T82na przedziale [−4, 4] pokrywają się praktycznie idealnie. Jednak dla |x| → ∞ funkcja g = |f − T82| ma oczywiście granicę +∞. Przybliżenie, jakie zapewnia wzór Taylora, ma charakter lokalny.

Z praktycznego punktu widzenia, przybliżenie, jakie zapewnia wzór Taylora, jest wy-starczające do wielu celów praktycznych, np. choćby do obliczania wartości funkcji. Nawet ktoś zupełnie niezainteresowany teorią może zobaczyć to na rysunkach. Te, które widać w skrypcie, zostały wykonane dla konkretnej funkcji (wybranej tak, aby uzyskać roz-sądną ilość przedziałów monotoniczności i wykres, który w otoczeniu zera wygląda dość przypadkowo)

f (x) = 6 − x +3

2cos x +1

2cos(2πx); (6.17)

jej wykres jest zaznaczony kolorem czarnym. Kolorem niebieskim zaznaczono wykresy

136 ostatnie poprawki: 14 grudnia 2018

wielomianów Taylora–Maclaurina, T_n(x) =

W dokumencie Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) (Stron 136-142)