Postępując praktycznie tak samo, jak w poprzednim przykładzie, można stwierdzić, że szereg P ∞

X

n=1

b_nwynika zbieżność szeregu

∞

anwynika rozbieżność szeregu

∞

X

n=1

bn.

Dowód. Można bez zmniejszenia ogólności założyć, że n0 = 1. Mnożąc nierówności (4.3) stronami dla n = 1, 2, . . . , N − 1 otrzymujemy porównaw-czego; stosując je, kończymy dowód. 

Przykład 4.15. Jeśli q ∈ (0, 1), to szereg o wyrazach an = nqⁿ jest zbieżny. Istotnie, weźmy dowolne s ∈ (q, 1). Ponieważ (n + 1)/n → 1, więc dla wszystkich dostatecznie dużych n jest

Ponieważ dla każdego s ∈ (0, 1) szereg geometrycznyP sⁿjest zbieżny, więc szeregP nqⁿ jest zbieżny. To wynika z punktu (a) ostatniego kryterium. 

Przykład 4.16. Postępując praktycznie tak samo, jak w poprzednim przykładzie, można stwierdzić, że szereg P∞

n=1n^kqⁿ, gdzie k jest ustaloną liczbą naturalną i q ∈ (0, 1), jest zbieżny. 

Przykład 4.17. Obliczymy sumę szereguP

n=1nqⁿ, posługując się wzorem na sumę po-stępu geometrycznego. Otóż, zauważając, że kq^k jest sumą k składników równych q^k, i grupując wyrazy, otrzymujemy już powiedzieć, że wynika to np. ze zbieżności szereguP nqⁿ, udowodnionej we wcześniej-szym przykładzie!). Zatem

52 ostatnie poprawki: 14 grudnia 2018

Czytelnik może sam sprawdzić, że taki sam wzór ma miejsce dla q ∈ (−1, 0].

Stwierdzenie 4.18 (kryterium zagęszczeniowe). Jeśli (an) jest malejącym ciągiem liczb dodatnich, to szeregi

∞

X

n=1

an oraz

∞

X

n=1

bn, gdzie bn= 2ⁿa2ⁿ, są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

Dowód. Niech sn = a1+ a2+ · · · an, tn = b1+ b2+ · · · + bn. Zauważmy, że dzięki monoto-niczności ciągu (ak) i równości 2^k+ 2^k= 2^k+1 jest

a₂ⁿ₊₁+ a₂ⁿ₊₂+ · · · + a₂ⁿ⁺¹

| {z }

2ⁿskładników; każdy jest ≤ a2n

≤ 2ⁿa₂ⁿ = b_n

= 2 · 2ⁿ⁻¹a2ⁿ ≤ 2 ·



a₂ⁿ⁻¹₊₁+ a₂ⁿ⁻¹₊₂+ · · · + a2ⁿ

| {z }

2ⁿ⁻¹składników; każdy jest ≥ a2n

 .

Sumując te nierówności dla n = 1, 2, . . . , N , otrzymujemy s₂N +1− a₁− a₂ ≤ t_N =

N

X

n=1

b_n≤ 2s₂N

(proszę zauważyć, że zaczynamy od a3+ a₄≤ b₁= 2a₂, stąd kosmetyczny dodatek −a1− a₂ po lewej stronie wyżej). Zatem, ciągi monotoniczne (tN) i (sm) są albo jednocześnie ograni-czone, albo jednocześnie nieograniczone. Teza kryterium zagęszczeniowego wynika więc ze Stwierdzenia4.11. 

Zaleta tego kryterium jest taka, że (dzięki dodatkowemu założeniu o monotoniczności ciągu an) szereg o wyrazach bnzachowuje się – używając przenośni – tak samo, co szereg o wyrazach a_n, tylko w sposób bardziej oczywisty, łatwiejszy do zauważenia. Najlepiej zobaczyć to na przykładach.

Przykład 4.19. Oto trzeci dowód rozbieżności szeregu harmonicznego: jeśli an= 1/n, to bn= 2ⁿa2ⁿ = 2ⁿ· 1

2ⁿ = 1, a szereg z samych jedynek jest oczywiście rozbieżny.  Przykład 4.20. Szereg

∞

X

n=2

1 n ln n

jest rozbieżny. Istotnie, dla an= 1/(n ln n) otrzymujemy b_n= 2ⁿa₂ⁿ = 2ⁿ· 1

2ⁿln 2ⁿ = 1 n ln 2,

więc rozbieżność rozważanego szeregu wynika z rozbieżności szeregu harmonicznego i kryterium zagęszczeniowego. 

Proszę zauważyć, że dla dużych n liczba 1/(n ln n) jest dużo mniejsza od 1/n (iloraz tych liczb dąży do 0 dla n → ∞), więc sumy częściowe ostatniego szeregu rosną wolniej niż sumy częściowe szeregu harmonicznego. Jednak dzięki zastosowaniu kryterium zagęsz-czeniowego, tzn. dzięki odpowiedniemu grupowaniu wyrazów, potrafimy łatwo wykazać rozbieżność.

Przykład 4.21. Szereg³

ζ(s) =

∞

X

n=1

1

n^s (4.5)

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy s > 1. Dla s ≤ 0 rozbieżność jest oczywista: nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności, gdyż dla takich s mamy an= n^−s→ +∞. Niech więc s > 0. Wyrazy an= n^−smaleją do zera; zastosujmy kryterium zagęszczeniowe. Otóż

bn= 2ⁿa2ⁿ = 2ⁿ· 1

2ⁿ
s = 1

2^s−1
n = qⁿ, gdzie q = 2^1−s,

a więc zagęszczenie prowadzi do szeregu geometrycznego P b_n = P qⁿ, który (jak już wiemy) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| = 2^1−s < 1 = 2⁰, tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy 1 − s < 0. 

Przykład 4.22. Jeśli an = 1/ n(ln n)^s

, gdzie s ∈ R, to P a_n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy s > 1. Kryterium zagęszczeniowe daje:

bn= 2ⁿa2ⁿ = 2ⁿ· 1

2ⁿ ln(2ⁿ)
s = c · 1

n^s, gdzie c = 1/(ln 2)^s. Wystarczy teraz spojrzeć na poprzedni przykład. 

Dla porządku odnotujmy też nieco ogólniejszą wersję kryterium zagęszczeniowego.

Stwierdzenie 4.23 (kryterium zagęszczeniowe, wariant). Jeśli (an)jest malejącym ciągiem liczb dodatnich, a k ∈ N, k ≥ 2, to szeregi

∞

X

n=1

a_n oraz

∞

X

n=1

b_n, gdzie b_n= kⁿa_kⁿ, są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

Dowód. Niezbyt trudne ćwiczenie dla zainteresowanych. 

Warto zdawać sobie sprawę, że istnieją przykłady, które wymagają nieco subtelniejszej analizy, nie polegającej na szybkim stosowaniu gotowych kryteriów. Popatrzmy na dwa z nich.

Przykład 4.24. Niech pnoznacza n-tą z kolei liczbę pierwszą, tzn. p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p₄= 7, p5 = 11, . . . Wykażemy, że szereg

∞

X

n=1

1

p_n (4.6)

3Suma tego szeregu odgrywa bardzo ważną rolę w teorii liczb i jest nazywana funkcją dzeta Riemanna.

54 ostatnie poprawki: 14 grudnia 2018

W ostatniej linijce występuje suma odwrotności wszystkich liczb bezkwadratowych⁴ n, n ≤ N ; nietrudno zauważyć, że mnożąc wszystkie nawiasy (1 +¹_p) szkolną metodą ‘każdy z każdym’, otrzymamy tylko odwrotności liczb bezkwadratowych: wszystkich liczb bez-kwadratowych ≤ N i niektórych liczb bezbez-kwadratowych > N .

Wiemy już, że 2 > P

1≤n≤N 1

n² dla każdego N (patrz Przykład 4.10); mnożąc tę nie-równość przez poprzednią, otrzymujemy a więc sumy częściowe szeregu (4.6) nie są ograniczone.⁵ 

Przykład 4.25 (szereg Kempnera). Niech A będzie zbiorem tych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym w ogóle nie występuje cyfra 9. Wtedy szereg

X

n∈A

1 n

jest zbieżny, a jego suma S nie przekracza liczby 80. Aby się o tym przekonać, oznaczmy A_N = A ∩ [10^{N −1}, 10^N − 1]

(jak widać, AN to podzbiór zbioru A, złożony z liczb N -cyfrowych). Liczba elementów AN

jest równa

#A_N = 8 · 9^{N −1},

4Mówimy, że n jest liczbą bezkwadratową, jeśli n nie dzieli się przez żaden pełny kwadrat różny od 1;

równoważnie, n jest liczbą bezkwadratową, gdy jest iloczynem parami różnych liczb pierwszych.

5Rozbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych wykazał L. Euler w 1737 roku, w nieco inny sposób od zaprezentowanego tutaj.

gdyż pierwszą cyfrę różną od dziewiątki, niezerową, można wybrać na 8 sposobów, a każdą z N − 1 kolejnych na 9 sposobów. Zatem

X

Podamy, na zakończenie tego podrozdziału, jeszcze jedno bardzo ogólne kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich.

Stwierdzenie 4.26 (kryterium Kummera). Załóżmy, że an> 0dla wszystkich n > n₁. Wówczas szeregP a_njest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba θ > 0 oraz liczby nieujemne b_n, że

b_n· a_n więc począwszy od miejsca n2 ciąg anbnjest malejący i ma wyrazy dodatnie, tzn. ma gra-nicę skończoną. Przeto szereg o wyrazach θ⁻¹(anbn− a_n+1bn+1) jest zbieżny: jego sumy częściowe to sN = θ⁻¹(a₁b₁− a_Nb_N). Z kryterium porównawczego i nierowności (4.8) wy-nika teraz zbieżność szereguP a_n. 

Przykład 4.27. Kładąc w (4.7) bn= n, otrzymujemy łatwo tzw. kryterium Raabego:⁶ Jeśli an> 0 i istnieje taka liczba s > 1, że to szeregP a_njest zbieżny.

(Uwaga: Czytelnik może sprawdzić, że wykorzystując warunek (4.9) i własności funkcji wykładniczej, można wykazać, że dla r ∈ (1, s) i wszystkich dostatecznie dużych n jest a_n+1/a_n ≤ b_n+1/b_n, gdzie bn = 1/n^r. SzeregP 1/n^rjest zbieżny dla r > 1. Zatem, nieza-leżnie od kryterium Kummera, każdy szeregP a_nspełniający warunek (4.9) jest zbieżny na mocy ilorazowej wersji kryterium porównawczego, patrz Stw.4.14.)

Ćwiczenie 4.28. Proszę sprawdzić, jaki wniosek otrzymamy, biorąc w kryterium

W dokumencie Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) (Stron 57-61)