Szeregi o wyrazach dowolnych

4.3.1 Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Definicja 4.36. Szereg P z_n jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg P |z_n| jest zbieżny.

Szereg, który jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, nazywa się warunkowo zbieżny. Przy-kłady takich szeregów zobaczymy później; jednym z nich jestP∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹/n (który nie jest bezwzględnie zbieżny, gdyżP 1/n = ∞).

Stwierdzenie 4.37. Jeśli szeregP z_njest bezwzględnie zbieżny, toP z_njest zbieżny.

Dowód. Jeśli szeregP z_njest bezwzględnie zbieżny, to, z definicji, szereg liczb nieujem-nychP |z_n| jest zbieżny, a więc spełnia warunek Cauchy’ego dla szeregów. Mamy jednak

|z_k+ zk+1+ · · · + zm| ≤ |z_k| + |z_k+1| + · · · + |z_m|

dla wszystkich m > k, więc skoro P |z_n| spełnia warunek Cauchy’ego, to iP z_nspełnia ten warunek. To zaś oznacza, żeP z_njest zbieżny. 

Pojęcie zbieżności bezwzględnej jest ważne z uwagi na następujące twierdzenie.

Twierdzenie 4.38. Załóżmy, że szeregP∞

n=1znjest bezwzględnie zbieżny, a σ : N → N jest dowolną bijekcją. Wtedy szeregP∞

n=1z_σ(n) jest zbieżny, a ponadto

∞

X

n=1

z_σ(n) =

∞

X

n=1

z_n

Innymi słowy, wyrazy szeregu bezwzględnie zbieżnego można dowolnie przestawiać;

nie wpływa to ani na jego zbieżność, ani na wartość jego sumy.

Dowód. Ustalmy ε > 0. Dobierzmy n0∈ N tak, aby

|z_k| + |z_k+1| + · · · + |z_m| < ε

2 dla wszystkich m > k ≥ n0

(istnienie takiej liczby n0wynika z bezwzględnej zbieżnościP z_ni warunku Cauchy’ego).

Biorąc k = n0 i przechodząc do granicy m → ∞, otrzymujemy

∞

X

j=n0

|z_j| ≤ ε 2 < ε.

Niech mj ∈ N będzie taką liczbą, że σ(mj) = j, gdzie j = 1, 2, . . ., tzn. mj := σ⁻¹(j).

Dla n ∈ N połóżmy k(n) = n + max(m1, m₂, . . . , m_n). Wtedy k(n) jest ciągiem rosnącym i k(n) > n dla wszystkich n ∈ N.

Sformalizujmy teraz następującą obserwację: ‘dalekie’ liczby permutacja σ musi prze-stawiać ‘daleko’. Zauważmy w tym celu, że dla numerów l > k(n0) mamy σ(l) > n0, gdyż σ jest bijekcją i wartości 1, 2, . . . , n0 przymuje w liczbach m1, m₂, . . . , m_n0 nie większych

od k(n0). Zatem, dla wszystkich m > k > n1 = max(n0, k(n0)) = k(n0) spełniona jest

n=1z_σ(n) spełnia więc warunek Cauchy’ego, tzn. jest zbieżny.

Ponadto, dla wszystkich n ≥ n0 jest  k(n)) sum częściowych szereguP z_σ(n)różnią się co najwyżej o ε. Z dowolności ε wynika zatem, że obie wspomniane granice są równe, a więc sumy obu szeregów są równe. To kończy cały dowód. 

Założenie bezwzględnej zbieżności w ostatnim twierdzeniu jest istotne. Bez niego teza nie zachodzi. Co więcej, ma miejsce następujący zaskakujący fakt.

Twierdzenie 4.39 (B. Riemann). Jeśli (an) ⊂ R i szeregP a_njest warunkowo (ale nie bezwzględnie!) zbieżny, to dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje taka bijekcja σ : N → N,

że ∞

X

n=1

a_σ(n) = x

Dowód. Opiszemy dowód słowami, gdyż dzięki temu będzie bardziej zrozumiały. Zainte-resowany Czytelnik zdoła samodzielnie uzupełnić drobne szczegóły.

Nietrudno zauważyć, że szeregP a_nma nieskończenie wiele wyrazów dodatnich i nie-skończenie wiele wyrazów ujemnych, gdyż w przeciwnym razie wszystkie wyrazy o dosta-tecznie dużych numerach byłyby tego samego znaku, a więcP a_nbyłby nie tylko zbieżny, ale i bezwzględnie zbieżny.

Bez zmniejszenia ogólności załóżmy, że żadna z liczb an nie jest zerem. Niech n1 <

n2 < n3 < . . . będą kolejnymi numerami wyrazów ujemnych, a k1 < k2 < k3 < . . . — kolejnymi numerami wyrazów dodatnich szereguP a_n. Zauważmy, że

∞

Gdyby tak nie było, to wobec zbieżności szereguP a_noba powyższe szeregi byłyby zbieżne, a wtedy cały szeregP a_nbyłby zbieżny bezwzględnie.

Bijekcję σ budujemy indukcyjnie. Oto pierwsze dwa kroki konstrukcji.

Wybieramy najmniejszą liczbę m taką, że ak1 + · · · + a_km > x. Kładziemy σ(1) = k1, σ(2) = k₂, . . . , σ(m) = km. Następnie zmniejszamy uzyskaną sumę, korzystając z ujem-nych wyrazów szeregu: wybieramy najmniejszą liczbę s taką, że

a_k1 + · · · + a_km+ a_n1 + · · · + a_ns < x

60 ostatnie poprawki: 14 grudnia 2018

Przyjmujemy teraz σ(m + 1) = n1, σ(m + 2) = n2, . . . , σ(m + s) = ks. Zarówno m, jak i s, są dobrze określone, gdyż szeregi wyrazów dodatnich i wyrazów ujemnych są rozbieżne.

Niech m1 = m, m2 = m + s.

Załóżmy teraz, że wykonaliśmy N podobnych kroków, definiując σ(j) dla wszystkich j ≤ mN, gdzie mN ≥ N . Wyrazy o numerach ≤ mN są już wykorzystane, a wyrazy o numerach > mN — jeszcze dostępne. Załóżmy ponadto, że (1) jeśli N jest nieparzyste, to

S_mN = X

j≤mN

a_σ(j)> x,

natomiast (2) jeśli N jest parzyste, to

S_mN = X

j≤mN

a_σ(j) < x

W kolejnym kroku w przypadku (1) dobieramy kolejne dostępne jeszcze (tzn. niewyko-rzystane wcześniej) ujemne wyrazy akj szeregu, aż do momentu, gdy uzyskamy sumę częściową mniejszą od x. Można to osiągnąć, gdyż szereg wyrazów ujemnych jest roz-bieżny. Natomiast w przypadku (2) dobieramy kolejne dostępne jeszcze wyrazy dodatnie, aż do momentu, gdy uzyskamy sumę częściową większą od x. Numery wyrazów, które wybieramy w (N + 1)-szym kroku, to wartości σ w liczbach mN+ 1, . . . , m_{N +1}.

Postępując indukcyjnie, definiujemy σ : N → N . Jest to bijekcja, gdyż każdy wyraz wykorzystujemy tylko raz i każdy wyraz zostaje kiedyś wykorzystany. Łatwo zauważyć, że σ(n) → ∞, gdy n → ∞. Sumy częściowe SnszereguP a_σ(n)oscylują wokół liczby x, gdyż tak były wybierane. W dodatku różnice między tymi sumami i liczbą x są coraz mniejsze, gdyż aⁿ→ 0 dla n → ∞ (to jest warunek konieczny zbieżności szereguP a_n).

Ściślej, nie jest trudno sprawdzić, że ciąg Snspełnia warunek Cauchy’ego. To wynika z konstrukcji σ i zbieżności an→ 0. Ponadto, ciąg SmN jest zbieżny do x. Zatem, cały ciąg Snteż jest zbieżny do x. 

Uwaga. Nietrudno sprawdzić, że jeśliP a_njest tylko warunkowo zbieżny, to można tak przestawić wyrazy, żeby po przestawieniu ciąg sum częściowych był rozbieżny do +∞ (albo do −∞). Czytelnik, po zapoznaniu się z dowodem twierdzenia Riemanna, bez większego trudu wskaże odpowiednie permutacje wyrazów.

Uwaga (twierdzenie Riemanna na płaszczyźnie zespolonej). Jako ciekawostkę po-damy następujący fakt: jeśli szereg liczb zespolonychP z_n jest zbieżny warunkowo, ale nie bezwzględnie, to na płaszczyźnie zespolonej C istnieje taka prosta `, że dla każdej liczby w ∈ `

∞

X

n=1

z_σ(n) = w

dla pewnej bijekcji σ : N → N.

4.3.2 Przekształcenie Abela

W tym podrozdziale zajmiemy się opisem warunków, które pozwalają wnioskować, że szeregP a_nbnjest zbieżny. Wygodnie będzie przyjąć następującą konwencję: jeśli wyrazy szeregu oznaczamy jakąś małą literą (np. a, b, . . .), to sumy częściowe tego szeregu ozna-czamy odpowiednią wielką literą (A, B, . . .).

Twierdzenie 4.40 (N. H. Abel). Niech (an), (bn) ⊂ C. Załóżmy, że istnieje taka liczba M > 0, że |A_n| = |a₁+ a2+ · · · + an| ≤ M dla wszystkich n, a ponadto

∞

X

n=1

|b_n− b_n+1| < +∞ oraz bn→ 0 dla n → ∞.

Wówczas szeregP a_nb_njest zbieżny.

Dowód. Najpierw zapiszmy pomocniczy

Lemat. Jeśli (α_n)jest ograniczonym ciągiem w C, a szeregP β_njest bezwgzlędnie zbieżny, to szeregP α_nβnjest bezwględnie zbieżny.

(Dla dowodu wystarczy zauważyć, że jeśli |αn| ≤ M dla wszystkich n, to wtedy |αnβ_n| ≤ M |βn|, a więc ze zbieżności szereguP |β_n| i kryterium porównawczego wynika zbieżność szereguP |α_nβn|).

Teraz wykonujemy przekształcenie Abela, tzn. zapisujemy sumy częściowe szeregu P a_nbnw innej postaci, korzystając z równości ak= A_k− A_k−1:

Sn =

n

X

k=1

akbk= b1A1+

n

X

k=2

bk(Ak− A_k−1) (4.11)

= A1(b1− b₂) + A2(b2− b₃) + · · · + An−1(bn−1− b_n)

| {z }

patrz Lemat!

+Anbn.

Ostatni składnik, Anbn, jest zbieżny do zera, gdyż |An| ≤ M i bn→ 0. Pozostała, oznaczona klamrą, część sumy Sn, tzn.

A₁(b₁− b₂) + A₂(b₂− b₃) + · · · + A_n−1(b_n−1− b_n)

też ma granicę dla n → ∞. To wynika z lematu, zastosowanego dla αn = A_n oraz dla βn= bn− b_n+1. 

Wniosek 4.41 (kryterium Dirichleta). Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bnmaleje do zera, a sumy częściowe A_nszereguP a_ntworzą ciąg ograniczony, to szeregP a_nb_njest zbieżny.

Dowód. Ponieważ bn≥ b_n+1> 0 i bn→ 0, więc

N

X

n=1

|b_n− b_n+1| =

N

X

n=1

b_n− b_n+1
= b₁− b_n+1→ b₁ dla N → ∞.

Można więc stosować twierdzenie Abela: spełnione są wszystkie jego założenia.  Wniosek 4.42 (kryterium Leibniza). Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bn maleje do zera, to szereg naprzemienny

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹bn

jest zbieżny.

62 ostatnie poprawki: 14 grudnia 2018

Dowód. Przyjmujemy w kryterium Dirichleta an = (−1)ⁿ⁺¹; wtedy |An| ≤ 1 dla wszyst-kich n. 

Przykład 4.43. Szereg naprzemiennyP∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹·_n¹ = 1 −¹₂+¹₃−¹₄+ · · · jest zbieżny (ale oczywiście nie jest bezwzględnie zbieżny).

Przykład 4.44. Jeśli z ∈ C, |z| = 1, z 6= 1, to szereg P zⁿ/n jest zbieżny. To wynika z kryterium Dirichleta zastosowanego do an= zⁿi bn= 1/n. Ciąg bn= 1/n maleje do zera, natomiast wartości bezwzględne sum częściowych

z + z²+ · · · + zⁿ= z · 1 − zⁿ 1 − z

są, niezależnie od n, ograniczone przez liczbę M = 2/|1 − z|, gdyż |1 − zⁿ| ≤ 1 + |z|ⁿ = 2.

Ponieważ |zⁿ/n| = 1/n, więc rozpatrywany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.

W tym przykładzie można zamiast 1/n użyć dowolnego ciągu bnmalejącego do zera i takiego, że bn≥ 1/n — żadna konkluzja nie ulegnie zmianie. 

Zadanie 4.45. Udowodnić kryterium Leibniza bezpośrednio, nie posługując się twierdze-niem Abela. (Wskazówka: zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągów (s2k) i (s2k+1), gdzie snoznacza n-tą sumę częściową rozważanego szeregu.)

W dokumencie Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) (Stron 64-68)